2018届数学复习第八章平面解析几何第七节抛物线学案文

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精PAGE18-学必求其心得，业必贵于专精eq\o(\s\up7(第七节），\s\do5（))eq\o(\s\up7(抛物线)，\s\do5（））1.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率)．2．理解数形结合的思想．3．了解抛物线的实际背景及抛物线的简单应用．知识点一抛物线的定义平面内与一个定点F和一条定直线l（F∉l)距离______的点的轨迹叫做抛物线．答案相等1．判断正误（1）平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线．(）（2）抛物线y2＝4x的焦点到准线的距离是4。（）(3)若一抛物线过点P（－2，3），其标准方程可写为y2＝2px（p〉0)．（）答案:(1）×(2）×(3)×2．（2016·浙江卷）若抛物线y2＝4x上的点M到焦点的距离为10，则M到y轴的距离是________．解析：由于抛物线y2＝4x的焦点为F(1,0),准线为x＝－1，设点M的坐标为(x，y),则x＋1＝10，所以x＝9。故M到y轴的距离是9.答案：9知识点二抛物线的标准方程与几何性质标准方程y2＝2px（p>0）y2＝－2px（p〉0）x2＝2py（p>0）x2＝－2py(p〉0）图形范围x≥0，y∈R____________y≥0，x∈Ry≤0，x∈R焦点坐标______(－eq\f(p，2）,0）（0，eq\f（p，2)）______准线方程x＝－eq\f(p，2)____________y＝eq\f(p，2）离心率e＝1焦半径|PF｜＝x0＋eq\f(p，2）｜PF|＝________|PF|＝________｜PF|＝－y0＋eq\f(p,2）答案x≤0,y∈R（eq\f(p，2),0）(0,－eq\f（p,2)）x＝eq\f(p,2)y＝－eq\f(p，2)－x0＋eq\f（p,2)y0＋eq\f(p,2)3．已知抛物线y＝eq\f（3，4）x2，则它的焦点坐标是()A。eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(0，\f（3,16))) B.eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f(3，16)，0）)C。eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f（1，3），0)） D。eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（0，\f(1,3))）解析:抛物线的标准方程为x2＝eq\f（4,3）y。∴2p＝eq\f（4,3)，∴p＝eq\f（2,3)。∴抛物线y＝eq\f（3,4）x2的焦点坐标是eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(0,\f（1,3）)）.答案：D4．(选修1－1P63练习第1(1)题改编)已知抛物线的顶点是原点,对称轴为坐标轴，并且经过点P(－2，－4），则该抛物线的标准方程为______________．解析：很明显点P在第三象限，所以抛物线的焦点可能在x轴负半轴上或y轴负半轴上．当焦点在x轴负半轴上时，设方程为y2＝－2px(p〉0),把点P（－2，－4)的坐标代入得（－4）2＝－2p×(－2)，解得p＝4，此时抛物线的标准方程为y2＝－8x；当焦点在y轴负半轴上时，设方程为x2＝－2py（p>0)，把点P(－2,－4）的坐标代入得(－2）2＝－2p×(－4）,解得p＝eq\f(1,2)，此时抛物线的标准方程为x2＝－y。综上可知，抛物线的标准方程为y2＝－8x或x2＝－y.答案：y2＝－8x或x2＝－y5．（2016·新课标全国卷Ⅱ)设F为抛物线C：y2＝4x的焦点,曲线y＝eq\f（k，x)（k〉0)与C交于点P，PF⊥x轴,则k＝(）A。eq\f（1，2） B．1C.eq\f(3,2） D．2解析：易知抛物线的焦点为F(1,0),设P(xP，yP）,由PF⊥x轴可得xP＝1，代入抛物线方程得yP＝2（－2舍去)，把P(1,2）代入曲线y＝eq\f(k，x）(k>0)得k＝2.答案：D热点一抛物线的定义及应用【例1】已知抛物线y2＝2x的焦点是F,点P是抛物线上的动点，又有点A（3，2)，求｜PA｜＋|PF|的最小值，并求出取最小值时点P的坐标．【解】将x＝3代入抛物线方程y2＝2x，得y＝±eq\r(6）。∵eq\r(6)〉2，∴A在抛物线内部,如图．设抛物线上点P到准线l:x＝－eq\f(1,2)的距离为d,由定义知|PA|＋｜PF｜＝|PA｜＋d，当PA⊥l时，｜PA｜＋d最小，最小值为eq\f（7，2），即｜PA｜＋｜PF|的最小值为eq\f(7,2），此时P点纵坐标为2，代入y2＝2x，得x＝2，∴点P的坐标为（2，2)．将本例中点A的坐标改为（3，4)，求｜PA｜＋｜PF|的最小值．解：当P、A、F共线时，|PA｜＋|PF|最小,|PA｜＋｜PF｜≥|AF|＝eq\r（\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(3－\f（1，2）)）2＋42)＝eq\r(\f（25，4）＋16）＝eq\f（\r(89）,2).【总结反思】与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与抛物线的定义有关．由于抛物线的定义在运用上有较大的灵活性，因此此类问题也有一定的难度．“看到准线想焦点，看到焦点想准线”,这是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径.(2017·邢台摸底)已知M是抛物线x2＝4y上一点，F为其焦点，点A在圆C：(x＋1)2＋（y－5）2＝1上，则｜MA｜＋｜MF|的最小值是________．解析：依题意，由点M向抛物线x2＝4y的准线l:y＝－1引垂线，垂足为M1，则有|MA｜＋｜MF｜＝|MA|＋|MM1｜,结合图形可知｜MA｜＋｜MM1|的最小值等于圆心C（－1，5)到y＝－1的距离再减去圆C的半径，即等于6－1＝5,因此｜MA｜＋｜MF｜的最小值是5.答案：5热点二抛物线的标准方程及几何性质【例2】（1）（2017·泉州模拟）如图，过抛物线y2＝2px（p〉0）的焦点F的直线依次交抛物线及准线于点A,B，C，若｜BC|＝2|BF｜,且|AF|＝3,则抛物线的方程为()A．y2＝eq\f(3，2)xB．y2＝3xC．y2＝eq\f（9,2)xD．y2＝9x（2)若双曲线C：2x2－y2＝m(m>0)与抛物线y2＝16x的准线交于A,B两点，且|AB|＝4eq\r(3)，则m的值是__________．【解析】（1）如图，分别过点A，B作准线的垂线，分别交准线于点E，D，设|BF|＝a，则由已知得：｜BC｜＝2a由定义得:|BD｜＝a，故∠BCD＝30°,在直角三角形ACE中，因为｜AF｜＝3，｜AC|＝3＋3a,又2｜AE|＝｜AC|，所以3＋3a＝6,从而得a＝1，因为BD∥FG,所以eq\f（1，p）＝eq\f（2,3)，求得p＝eq\f（3,2)，因此抛物线方程为y2＝3x.（2）y2＝16x的准线l：x＝－4，因为C与抛物线y2＝16x的准线l:x＝－4交于A，B两点，｜AB｜＝4eq\r(3)，所以A(－4，2eq\r（3)），B(－4，－2eq\r（3)),将A点坐标代入双曲线方程得2（－4）2－（±2eq\r(3）)2＝m,所以m＝20。【答案】(1）B(2）20【总结反思】1．求抛物线的标准方程的方法（1）先定位：根据焦点或准线的位置．(2）再定形：即根据条件求p。2．抛物线性质的应用技巧（1)利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线时，关键是将抛物线方程化成标准方程．(2)要结合图形分析，灵活运用平面图形的性质以形助数。(1)以双曲线eq\f（x2,3）－y2＝1的左焦点为焦点，顶点在原点的抛物线方程是（)A．y2＝4x B．y2＝－4xC．y2＝－4eq\r（2）x D．y2＝－8x（2)（2016·新课标全国卷Ⅰ)以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A，B两点，交C的准线于D，E两点．已知|AB｜＝4eq\r(2），|DE|＝2eq\r（5），则C的焦点到准线的距离为（）A．2 B．4C．6 D．8解析：（1)由题意知抛物线的焦点为（－2，0)，又顶点在原点，所以抛物线的方程为y2＝－8x。(2）由题意，不妨设抛物线方程为y2＝2px（p>0）,由｜AB｜＝4eq\r(2)，|DE|＝2eq\r（5)，可取A（eq\f（4，p)，2eq\r（2））,D(－eq\f（p,2），eq\r(5)）．设O为坐标原点，由｜OA|＝｜OD｜，得eq\f(16,p2)＋8＝eq\f（p2,4)＋5，得p＝4，所以选B.答案：(1)D(2）B热点三直线与抛物线的位置关系考向1焦点弦问题【例3】已知过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点,斜率为2eq\r(2)的直线交抛物线于A（x1，y1）,B(x2，y2）(x1<x2）两点，且｜AB｜＝9.(1)求该抛物线的方程；(2)O为坐标原点，C为抛物线上一点,若eq\o（OC，\s\up15（→))＝eq\o（OA,\s\up15(→))＋λeq\o(OB，\s\up15(→)），求λ的值．【解】（1)由题意得直线AB的方程为y＝2eq\r(2）·eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（x－\f（p,2))）,与y2＝2px联立，消去y有4x2－5px＋p2＝0,所以x1＋x2＝eq\f(5p,4）。由抛物线定义得|AB|＝x1＋x2＋p＝eq\f(5p，4）＋p＝9，所以p＝4，从而该抛物线的方程为y2＝8x.(2）由(1)得4x2－5px＋p2＝0，即x2－5x＋4＝0,则x1＝1，x2＝4，于是y1＝－2eq\r(2），y2＝4eq\r(2)，从而A(1，－2eq\r（2）)，B（4，4eq\r(2))．设C(x3，y3)，则eq\o（OC,\s\up15（→）)＝（x3，y3）＝（1，－2eq\r(2))＋λ（4,4eq\r(2)）＝(4λ＋1,4eq\r(2）λ－2eq\r（2))．又yeq\o\al(2,3)＝8x3，所以［2eq\r（2)（2λ－1)］2＝8(4λ＋1)，整理得（2λ－1）2＝4λ＋1，解得λ＝0或λ＝2.考向2直线与抛物线的位置关系问题【例4】已知抛物线C：x2＝2py(p〉0）的焦点为F(0,1），过点F作直线l交抛物线C于A，B两点．椭圆E的中心在原点，焦点在x轴上，点F是它的一个顶点，且其离心率e＝eq\f(\r（3)，2).(1)分别求抛物线C和椭圆E的方程；(2）经过A,B两点分别作抛物线C的切线l1,l2，切线l1与l2相交于点M。证明AB⊥MF。【解】(1)由抛物线C：x2＝2py（p〉0)的焦点为F(0,1)可得抛物线C的方程为x2＝4y。设椭圆E的方程为eq\f（x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1（a〉b>0），半焦距为c,由已知可得eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（b＝1，，\f（c，a）＝\f（\r（3)，2)，，a2＝b2＋c2。)）解得a＝2，b＝1。所以椭圆E的方程为eq\f(x2,4)＋y2＝1。(2）证明：显然直线l的斜率存在，否则直线l与抛物线C只有一个交点，不符合题意，故可设直线l的方程为y＝kx＋1，A(x1，y1)，B(x2，y2）(x1≠x2)，由eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(y＝kx＋1，，x2＝4y））消去y并整理得x2－4kx－4＝0，∴x1x2＝－4。∵抛物线C的方程为y＝eq\f(1,4）x2,∴y′＝eq\f（1,2）x.∴直线l1，l2的方程分别是y－y1＝eq\f（1，2)x1(x－x1)，y－y2＝eq\f（1,2）x2（x－x2），即y＝eq\f(1，2）x1x－eq\f（1，4）xeq\o\al(2,1)，y＝eq\f(1,2）x2x－eq\f(1，4）xeq\o\al（2，2）。联立直线l1，l2的方程，解得两条切线l1，l2的交点M的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f(x1＋x2,2），\f（x1x2，4)）)，即Meq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f(x1＋x2，2），－1）).∴eq\o（FM,\s\up15（→)）·eq\o（AB，\s\up15(→）)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f（x1＋x2,2)，－2)）·(x2－x1,y2－y1）＝eq\f（1，2）(xeq\o\al(2,2)－xeq\o\al（2,1)）－2eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f(1，4）x\o\al（2,2)－\f(1,4)x\o\al(2,1))）＝0.∴AB⊥MF.【总结反思】直线与圆锥曲线相交问题通常采用“设而不求”的方法．设交点坐标为(x1，y1)，（x2，y2），直线方程为y＝kx＋b,代入圆锥曲线方程消去y得关于x的一元二次方程，由韦达定理得x1＋x2,x1x2，再把题中与交点有关的已知条件、要证明的结论等用x1,y1，x2,y2表示出来，最后把x1＋x2,x1x2代入转化变形可解决问题.（2017·陕西宝鸡质检)已知抛物线G的顶点在原点,焦点在y轴正半轴上,抛物线上的点P（m，4)到其焦点F的距离等于5。(1）求抛物线G的方程；（2）在正方形ABCD的三个顶点A（x1，y1)，B(x2，y2),C（x3，y3)(x1〈0≤x2〈x3）在抛物线G上，可设直线BC的斜率为k，求正方形ABCD面积的最小值．解：（1)由题知,点P(m,4）到抛物线的准线距离为5，所以准线方程为y＋1＝0，eq\f(p,2）＝1，抛物线G的方程为x2＝4y。(2)设直线BC的斜率为k，显然k〉0，则直线BC的方程为y＝k(x－x2)＋eq\f（x\o\al(2,2)，4）（k>0）,由eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(y＝kx－x2＋\f(x\o\al（2,2),4）,，x2＝4y，))消y，得x2－4kx－xeq\o\al（2,2）＋4kx2＝0，易知x2，x3为该方程的两个根,故有x2＋x3＝4k,得x3＝4k－x2，从而得|BC|＝eq\r(1＋k2)（x3－x2）＝2eq\r(1＋k2）（2k－x2），类似地，直线AB的方程为y＝－eq\f（1,k)（x－x2)＋eq\f(x\o\al(2，2),4），从而得|AB｜＝eq\f（2\r(1＋k2）,k2)(2＋kx2）,由｜AB|＝｜BC｜,得k2·(2k－x2)＝(2＋kx2），解得x2＝eq\f（2k3－1，k2＋k）,｜AB｜＝|BC|＝eq\f（4\r(1＋k2）k2＋1，kk＋1)（k>0)．因为eq\f(4\r（1＋k2）k2＋1,kk＋1）≥eq\f(4\r(\f（1＋k2,2))·2k,kk＋1)＝4eq\r(2)，所以SABCD＝｜AB|2≥32,即SABCD的最小值为32,当且仅当k＝1时取得最小值．1．认真区分四种形式的标准方程(1)区分y＝ax2与y2＝2px(p〉0）,前者不是抛物线的标准方程．(2）求标准方程要先确定形式，必要时要进行分类讨论，标准方程有时可设为y2＝mx或x2＝my（m≠0)．2．抛物线的离心率e＝1，体现了抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离．因此,涉及抛物线的焦半径、焦点弦问题，可以优先考虑利用抛物线的定义转化为点到准线的距离，这样就可以使问题简化．抛物线上的点到焦点的距离根据定义转化为到准线的距离，即｜PF｜＝｜x｜＋eq\f（p,2）或|PF|＝|y|＋eq\f(p，2）.巧用定义妙解最值【例】抛物线y2＝4mx(m〉0）的焦点为F,点P为该抛物线上的动点，若点A(－m，0)，则eq\f(|PF｜，｜PA｜)的最小值为________．【分析】设点P的坐标(xP,yP）,利用抛物线的定义，求出|PF｜,再利用两点间的距离公式求出|PA|2，把（eq\f(｜PF｜,｜PA|）)2用xP的代数式来表示,再利用基本不等式,即可求出eq\f（|PF｜，｜PA｜)的最小值．【解析】设点P的坐标为（xP,yP)