广东省汕头市东安初级中学2023年高三数学理下学期期末试卷含解析

广东省汕头市东安初级中学2023年高三数学理下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.在区间内随机取两个数分别记为，则使得函数有零点的概率为 （

） A． B． C． D．参考答案：B在区间内随机取两个数分别记为，表示边长为的正方形。要使函数有零点，需，表示以原点为圆心，为半径的圆的外部，且在正方形的内部，所以其面积为，所以有零点的概率为。2.已知函数的图象与轴的两个相邻交点的距离等于，则为得到函数的图象可以把函数的图象上所有的点A.向右平移，再将所得图象上所有的点的纵坐标变为原来的2倍;

B.向右平移，再将所得图象上所有的点的纵坐标变为原来的2倍;C.向左平移，再将所得图象上所有的点的纵坐标变为原来的倍;D.向左平移，再将所得图象上所有的点的纵坐标变为原来的2倍.参考答案：A依题意知，故，故选A.3.已知，且，则的概率（

）A.

B．

C．

D.参考答案：B由题基本事件空间中的元素有：，满足题意的有，所以选B.4.设x=1是函数的极值点，数列，若表示不超过x的最大整数，则=（

）A．2017

B．2018

C．2019 D．2020参考答案：A5.在△ABC中，内角A、B、C的对边分别是a、b、c，若，sinC＝sinB，则A＝

(

)A．30°

B．60°C．120°

D．150°参考答案：A略6.设函数f（x）=，则f（27）+f（﹣log43）的值为（）A．6 B．9 C．10 D．12参考答案：A【考点】3T：函数的值．【分析】根据分段函数的表达式分别代入进行求解即可．【解答】解：f（27）=log927==，f（﹣log43）=+=3+，则f（27）+f（﹣log43）=+3+=6，故选：A7.已知F1，F2是双曲线的焦点，是双曲线M的一条渐近线，离心率等于的椭圆E与双曲线M的焦点相同，P是椭圆E与双曲线M的一个公共点，设，则（

）A．n=12

B．n=24

C．n=36

D．n≠12且n≠24且n≠36参考答案：A由题意得，选A

8.斐波拉契数列0，1，1，2，3，5，8…是数学史上一个著名的数列，定义如下：F（0）=0，F（1）=1，F（n）=F（n﹣1）+F（n﹣2）（n≥2，n∈N）．某同学设计了一个求解斐波拉契数列前15项和的程序框图，那么在空白矩形和判断框内应分别填入的词句是（）A．c=a，i≤14 B．b=c，i≤14 C．c=a，i≤15 D．b=c，i≤15参考答案：B【考点】EF：程序框图．【分析】模拟程序的运行，可得在每一次循环中，计算出S的值后，变量b的值变为下一个连续三项的第一项a，即a=b，变量c的值为下一个连续三项的第二项b，即b=c从而判断空白矩形框内应为：b=c，由于程序进行循环体前第一次计算S的值时已计算出数列的前两项，只需要循环12次就完成，可求判断框中应填入i≤14．【解答】解：依题意知，程序框图中变量S为累加变量，变量a，b，c（其中c=a+b）为数列连续三项，在每一次循环中，计算出S的值后，变量b的值变为下一个连续三项的第一项a，即a=b，变量c的值为下一个连续三项的第二项b，即b=c，所以矩形框应填入b=c，又程序进行循环体前第一次计算S的值时已计算出数列的前两项，因此只需要循环12次就完成，所以判断框中应填入i≤14．故选：B．9.已知，作直线l，使得点A、B到直线l的距离均为d，且这样的直线l恰有4条，则d的取值范围是（

）A. B.C. D.参考答案：B【分析】分别以为圆心，半径为作圆，当两个圆外离时，可以作两个圆的四条公切线，根据圆心距和的大小关系，求得的取值范围.【详解】分别以为圆心，半径为作圆，当两个圆外离时，可以作两个圆四条公切线，也即到四条切线的距离都等于，符合题目的要求.圆心距，由于两个圆外离，故，即.故选：B.【点睛】本小题主要考查两个圆的位置关系，考查两圆外离时公切线的条数，考查化归与转化的数学思想方法，考查两点间的距离公式，属于基础题.10.已知是虚数单位，和都是实数，且，则（

）A．B．C．D．参考答案：D

【知识点】复数代数形式的乘除运算．L4因为和都是实数，且，所以可得：，解得，所以，故选D.【思路点拨】利用复数相等的条件求出和的值，代入后直接利用复数的除法运算进行化简．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知平面向量满足，，与的夹角为，以为邻边作平行四边形，则此平行四边形的两条对角线中较短的一条的长度为

．参考答案：12.若复数z满足是虚数单位)，则z的虚部为

．参考答案：－1由题得所以复数z的虚部为－1.故答案为：－1

13.若在区间[0,1]上存在实数x使2x（3x+a）<1成立,则a的取值范围是

。参考答案：（-∞，1）【知识点】函数的单调性与最值B32x（3x+a）＜1可化为a＜2-x-3x，

则在区间[0，1]上存在实数x使2x（3x+a）＜1成立，等价于a＜（2-x-3x）max，

而2-x-3x在[0，1]上单调递减，∴2-x-3x的最大值为20-0=1，∴a＜1，

故a的取值范围是（-∞，1）.【思路点拨】2x（3x+a）＜1可化为a＜2-x-3x，则在区间[0，1]上存在实数x使2x（3x+a）＜1成立，等价于a＜（2-x-3x）max，利用函数的单调性可求最值．14.如图，已知⊙O的割线PAB交⊙O于A，B两点，割线PCD经过圆心，若PA=3，AB=1，PO=4，则⊙O的半径为

。参考答案：215.若直线与直线之间的距离是，则m+n=

.参考答案：0直线与直线之间的距离是，，解得，（负值舍去）则

16.．已知i为虚单位，则复数的虚部为

。参考答案：-1略17.若函数f(x)=(3－a)x与g(x)=logax的增减性相同，则实数a的取值范围是_________．参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（13分）已知数列满足，，．（Ⅰ）证明数列为等比数列，求出的通项公式；（Ⅱ）设,数列的前项和为,求证:对任意，.参考答案：解析：（I）由有数列是首项为，公比为的等比数列.

(６分)（Ⅱ）

(7分)

(9分)

(13分)19.某商场举行优惠促销活动，顾客仅可以从以下两种优惠方案中选择一种，方案一：每满200元减50元；方案二：每满200元可抽奖一次．具体规则是依次从装有3个红球、l个白球的甲箱，装有2个红球、2个白球的乙箱，以及装有1个红球、3个白球的丙箱中各随机摸出1个球，所得结果和享受的优惠如下表：（注：所有小球仅颜色有区别）红球个数3210实际付款半价7折8折原价

（1）若两个顾客都选择方案二，各抽奖一次，求至少一个人获得半价优惠的概率；（2）若某顾客购物金额为320元，用所学概率知识比较哪一种方案更划算？参考答案：（1）（2）方案二更为划算【分析】（1）设事件为“顾客获得半价”，可以求出，然后求出两位顾客都没有获得半价优惠的概率，然后利用对立事件的概率公式，求出两位顾客至少一人获得半价的概率；（2）先计算出方案一，顾客付款金额，再求出方案二付款金额元的可能取值，求出，最后进行比较得出结论.【详解】（1）设事件为“顾客获得半价”，则，所以两位顾客至少一人获得半价的概率为：．（2）若选择方案一，则付款金额为．若选择方案二，记付款金额为元，则可取的值为．，，，，∴．所以方案二更为划算．【点睛】本题考查了对立事件的概率公式、离散型随机变量的分布列、期望.考查了应用数学知识解决现实生活中实际问题的能力.

20.如图，已知椭圆的上、下顶点分别为，点在椭圆上，且异于点，直线与直线分别交于点，（ⅰ）设直线的斜率分别为、，求证：为定值；（ⅱ）当点运动时，以为直径的圆是否经过定点？请证明你的结论．参考答案：略21.已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，且过点（1，）．（1）求椭圆C的方程；（2）设与圆O：x2+y2=相切的直线l交椭圆C于A，B两点，求△OAB面积的最大值，及取得最大值时直线l的方程．参考答案：【考点】K4：椭圆的简单性质．【分析】（1）运用椭圆的离心率公式和点满足椭圆方程，解方程可得a，b，进而得到椭圆方程；（2）讨论①当k不存在时，②当k存在时，设直线为y=kx+m，A（x1，y1），B（x2，y2），将直线y=kx+m代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，以及直线和圆相切的条件：d=r，结合基本不等式即可得到所求面积的最大值和直线l的方程．【解答】解：（1）由题意可得，e==，a2﹣b2=c2，点（1，）代入椭圆方程，可得+=1，解得a=，b=1，即有椭圆的方程为+y2=1；（2）①当k不存在时，x=±时，可得y=±，S△OAB=××=；②当k存在时，设直线为y=kx+m，A（x1，y1），B（x2，y2），将直线y=kx+m代入椭圆方程可得（1+3k2）x2+6kmx+3m2﹣3=0，x1+x2=﹣，x1x2=，由直线l与圆O：x2+y2=相切，可得=，即有4m2=3（1+k2），|AB|=?=?=?=?=?≤?=2，当且仅当9k2=即k=±时等号成立，可得S△OAB=|AB|?r≤×2×=，即有△OAB面积的最大值为，此时直线方程y=±x±1．22.（本小题满分14分）已知数列{an}的首项a1=2，前n项和为Sn，且-a2，Sn，2an+1成等