广东省汕头市澄海县立中学2023年高三数学文期末试卷含解析

广东省汕头市澄海县立中学2023年高三数学文期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.如图在边长为1的正方形组成的网格中，平行四边形的顶点被阴影遮住，请找出点的位置，计算的值为(

)A．10

B．11

C.12

D．13参考答案：B2.已知集合，，则__________.

A．

B．

C．

D．参考答案：C3.已知等差数列的项和为，且满足，则数列的公差是A. B.1 C.2 D.3参考答案：C略4.如下图，某几何体的主视图与左视图都是边长为1的正方形，且其体积为.则该几何体的俯视图可以是参考答案：D略5.下列函数中在区间上单调递增的是

（）

A.

B.

C.

D.

参考答案：C根据函数的单调性可知对数函数在上单调递增，选C.6.如果直线与平面满足：那么必有（

）A.

B.

C.

D.参考答案：A7.执行如图的程序框图,若输入的值为,则输出的值为(

)A.

B.

C.

D.参考答案：B8.设,若,则的最大值为

（）（A）

（B）2

（C）

（D）3参考答案：B9.已知f(x)＝，则下列四图中所作函数的图像错误的是()参考答案：D10.参考答案：B略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设，，…，是各项不为零的（）项等差数列，且公差．若将此数列删去某一项后，得到的数列（按原来顺序）是等比数列，则所有数对所组成的集合为____________．参考答案：{（4，,－4），（4,1）}

略12.已知A，B是求O的球面上两点，且∠AOB=120°，C为球面上的动点，若三棱锥O﹣ABC体积的最大值为，则求O的表面积为．参考答案：64π【考点】球的体积和表面积；球内接多面体．【分析】当点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥O﹣ABC的体积最大，利用三棱锥O﹣ABC体积的最大值为，求出半径，即可求出球O的表面积．【解答】解：如图所示，当点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥O﹣ABC的体积最大，设球O的半径为R，此时VO﹣ABC=VC﹣AOB==，故R=4，则球O的表面积为4πR2=64π，故答案为：64π．【点评】本题考查球的半径与表面积，考查体积的计算，确定点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥O﹣ABC的体积最大是关键．13.若函数满足：，则的值域为

▲

．参考答案：【知识点】函数及其表示B1【答案解析】2x-

函数f（x）满足：2f(x)+f()=3x，替换表达式中的x，得到：2f()+f(x)=，两个方程消去f（），可得f（x）=2x-．故答案为：2x-．【思路点拨】直接利用替换表达式中的x，得到方程，然后求解f（x）即可．14.已知为正数，满足则

的最小值为___________参考答案：415.已知定义在R上的函数满足，当时，，则

．参考答案：4考点：周期性和对称性因为

所以函数的周期为2.

所以

故答案为：416.若的展开式中的系数为7，则实数_________．参考答案：-1/2略17.阅读右面的程序框图，运行相应的程序，输出的结果为___________参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.在如图所示的几何体中，四边形ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，PA∥BE，AB=PA=4，BE=2．（Ⅰ）求证：CE∥平面PAD；（Ⅱ）求PD与平面PCE所成角的正弦值；（Ⅲ）在棱AB上是否存在一点F，使得平面DEF⊥平面PCE？如果存在，求的值；如果不存在，说明理由．参考答案：【考点】点、线、面间的距离计算；直线与平面平行的判定；直线与平面所成的角．【分析】（Ⅰ）设PA中点为G，连结EG，DG，可证四边形BEGA为平行四边形，又正方形ABCD，可证四边形CDGE为平行四边形，得CE∥DG，由DG?平面PAD，CE?平面PAD，即证明CE∥平面PAD．（Ⅱ）如图建立空间坐标系，设平面PCE的一个法向量为=（x，y，z），由，令x=1，则可得=（1，1，2），设PD与平面PCE所成角为a，由向量的夹角公式即可得解．（Ⅲ）设平面DEF的一个法向量为=（x，y，z），由，可得，由?=0，可解a，然后求得的值．【解答】（本小题共14分）解：（Ⅰ）设PA中点为G，连结EG，DG．因为PA∥BE，且PA=4，BE=2，所以BE∥AG且BE=AG，所以四边形BEGA为平行四边形．所以EG∥AB，且EG=AB．因为正方形ABCD，所以CD∥AB，CD=AB，所以EG∥CD，且EG=CD．所以四边形CDGE为平行四边形．所以CE∥DG．因为DG?平面PAD，CE?平面PAD，所以CE∥平面PAD．…（Ⅱ）如图建立空间坐标系，则B（4，0，0），C（4，4，0），E（4，0，2），P（0，0，4），D（0，4，0），所以=（4，4，﹣4），=（4，0，﹣2），=（0，4，﹣4）．设平面PCE的一个法向量为=（x，y，z），所以，可得．令x=1，则，所以=（1，1，2）．设PD与平面PCE所成角为a，则sinα=|cos＜，＞|=|=||=．．所以PD与平面PCE所成角的正弦值是．

…（Ⅲ）依题意，可设F（a，0，0），则，=（4，﹣4，2）．设平面DEF的一个法向量为=（x，y，z），则．令x=2，则，所以=（2，，a﹣4）．因为平面DEF⊥平面PCE，所以?=0，即2++2a﹣8=0，所以a=＜4，点．所以．

…19.已知是函数f（x）=msinωx﹣cosωx（m＞0）的一条对称轴，且f（x）的最小正周期为π（Ⅰ）求m值和f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）设角A，B，C为△ABC的三个内角，对应边分别为a，b，c，若f（B）=2，，求的取值范围．参考答案：【考点】H5：正弦函数的单调性；H1：三角函数的周期性及其求法；HP：正弦定理．【分析】（Ⅰ）利用辅助角公式基本公式将函数化为y=Asin（ωx+φ）的形式，再根据f（x）的最小正周期为π，求出ω，是其中一条对称轴，求出m的值，可得f（x）的解析式，将内层函数看作整体，放到正弦函数的增区间上，解不等式得函数的单调递增区间．（Ⅱ）根据f（B）=2，求出角B的大小，利用正弦定理，转化为三角函数问题解决即可．【解答】解：函数f（x）=msinωx﹣cosωx（m＞0）化简可得：f（x）=sin（ωx+θ），其中tanθ=﹣．∵f（x）的最小正周期为π，即T=π=，∴ω=2．又∵是其中一条对称轴，∴2×+θ=k，k∈Z．可得：θ=，则tan（kπ﹣）=﹣．m＞0，当k=0时，tan=∴m=．可是f（x）的解析式为f（x）=2sin（2x﹣），令2x﹣，k∈Z，得：≤x≤，所以f（x）的单调递增区间为[，]，k∈Z．（2）由f（B）=2sin（2B﹣）=2，可得2B﹣=，k∈Z，∵0＜B＜π，∴B=由正弦定理得：=2sinA﹣sin（A+）=sinA﹣cosA=sin（A﹣）∵0∴A﹣∈（，）∴的取值范围是（，），【点评】本题主要考查对三角函数的化简能力和三角函数的图象和性质的运用，求出f（x）的解析式是解决本题的关键．属于中档题．20.（本小题满分14分）如图，矩形ABCD中，AB＝2BC＝4，E为边AB的中点，将△ADE沿直线DE翻折成△A1DE。（1）当平面A1DE⊥平面BCD时，求直线CD与平面CEA1所成角的正弦值；（2）设M为线段A1C的中点，求证：在△ADE翻转过程中，BM的长度为定值。参考答案：解：（1）过A1作A1F⊥DE，由已知可得A1F⊥平面BCD，且F为DE中点，以D为原点，DC、DA所在直线为y，x轴建立空间直角坐标系，则D（0，0，0），C（0，4，0），E（2，2，0），A1（1，1，）求得平面CEA1的一个法向量为m＝（1，1，）＝（0，4，0），?m＝｜｜｜m｜cosθ，得cosθ＝所以，直线CD与平面CEA1所成角的正弦值为。（2）取A1D中点G，连结MG，EG，由MG∥EB，且MG＝EB，可得BMGE为平行四边形，所以，BM＝EG，而三角形ADE中，EG的长度为定值，所以，BM的长度为定值。21.某校高二年级共有学生1000名，其中走读生750名，住宿生250名，现采用分层抽样的方法从该年级抽取100名学生进行问卷调查．根据问卷取得了这100名学生每天晚上有效学习时间（单位：分钟）的数据，按照以下区间分为八组：①[0，30），②[30，60），③[60，90），④[90，120），…得到频率分布直方图（部分）如图．（Ⅰ）如果把“学生晚上有效时间达到两小时”作为是否充分利用时间的标准，对抽取的100名学生，完成下列2×2列联表；并判断是否有95%的把握认为学生利用时间是否充分与走读、住宿有关？

利用时间充分利用时间不充分总计走读生50

住宿生10

总计60

100K2=参考列表：

P（K2≥k0）0.500.400.250.150.100.050.025

k00.4550.7081.3232.0722.7063.8415.024（Ⅱ）若在第①组、第②组、第③组中共抽出3人调查影响有效利用时间的原因，记抽到“有效学习时间少于60分钟”的学生人数为X，求X的分布列和数学期望．参考答案：【考点】离散型随机变量的期望与方差；独立性检验的应用；离散型随机变量及其分布列．【分析】（1）把“学生晚上有效时间达到两小时”作为是否充分利用时间的标准，对抽取的100名学生，完成下列2×2列联表，求出K2，由K2＞3.841，得到有95%的把握认为学生利用时间是否充分与走读、住宿有关．（2）设第i组的频率为Pi（i=1，2，…，8），推导出第①组1人，第②组4人，第③组10人，从而X的所有可能取值为0，1，2，3，，由此能求出X的分布列和数学期望．【解答】解：（1）把“学生晚上有效时间达到两小时”作为是否充分利用时间的标准，对抽取的100名学生，完成下列2×2列联表如下：

利用时间充分利用时间不充分总计走读生502575住宿生101525总计6040100…K2=≈5.556…由于K2＞3.841，所以有95%的把握认为学生利用时间是否充分与走读、住宿有关…（2）设第i组的频率为Pi（i=1，2，…，8），则由图可知：P1=×30=，P2=×30=，P3=×30=，∴第①组1人，第②组4人，第③组10人．…则X的所有可能取值为0，1，2，3，，∴，…..∴X的分布列为：P0123X．…..22.在某校组织的“共筑中国梦”竞赛活动中，甲、乙两班各有6名选手参赛，在第一轮笔试环节中，评委将他们的笔试成绩作为样本数据，绘制成如图所示的茎叶图，为了增加结果的神秘感，主持人故意没有给出甲、乙两班最后一位选手的成绩，只是告诉大家，如果某位选手的成绩高于90分（不含90分），则直接“晋级”（Ⅰ）求乙班总分超过甲班的概率（Ⅱ）主持人最后宣布：甲班第六位选手的得分是90分，乙班第六位选手的得分是97分①请你从平均分光和方差的角度来分析两个班的选手的情况；②主持人从甲乙两班所有选手成绩中分别随机抽取2个，记抽取到“晋级”选手的总人数为ξ，求ξ的分布列及数学期望．参考答案：【考点】离散型随机变量的期望与方差；频率分布直方图．【分析】（Ⅰ）先分别求出甲班前5位选手的总分和乙班前5位选手的总分，由此利用列举法能求出乙班总分超过甲班的概率．（Ⅱ）①分别求出甲、乙两班平均分和方差，由此能求出甲班选手间的实力相当，相差不大，乙班选手间实力悬殊，差距较大．②ξ的可能取值为0，1，2，3，4，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和E（ξ）．【解答】解：（Ⅰ）甲班前5位选手的总分为88+89+90+91+92=450，乙班前5位选手的总分为82+84+92+91+94=443，若乙班总分超过甲班，则甲、乙两班第六位选手的成绩可分别为：（90，98），（90，99），（91，99），共三个，∴乙班