广东省江门市洪窖中学2021年高三数学文联考试题含解析

广东省江门市洪窖中学2021年高三数学文联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知复数则=

（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B2.函数f（x）=sinx+cosx的一条对称轴是（）A．x=B．x=C．x=D．x=参考答案：A考点：两角和与差的正弦函数；正弦函数的对称性．专题：三角函数的图像与性质．分析：化简函数f（x）的解析式为f（x）=sin（x+），令x+=kπ+，k∈z，求出x即为函数的对称轴．解答：解：根据和差公式可得f（x）=sinx+cosx=sin（x+）令x+=kπ+，k∈z，可得x=kπ+，k∈z．故选：A．点评：本题主要考查三角函数的恒等变换，正弦函数的对称性，化简函数f（x）的解析式为sin（x+），是解题的关键，属于中档题．3.一个几何体的三视图如图所示，且其侧（左）视图是一个等边三角形，则这个几何体的体积为(

) A． B． C．2 D．参考答案：B考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：此几何体是底面积是S==1的三棱锥，与底面是边长为2的正方形的四棱锥构成的组合体，它们的顶点相同，底面共面，高为，即可得出．解答： 解：此几何体是底面积是S==1的三棱锥，与底面是边长为2的正方形的四棱锥构成的组合体，它们的顶点相同，底面共面，高为，∴V==．点评：本题考查了三棱锥与四棱锥的三视图、体积计算公式，属于基础题．4.若复数满足方程，则A.

B.

C.

D.参考答案：答案：D解析：由，故选D.5.将函数的图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍，再向右平移个单位，得到的函数的一个对称中心(

)A． B． C．（） D．（）参考答案：A【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；正弦函数的对称性．【专题】计算题．【分析】先根据三角函数图象变换规律写出所得函数的解析式，再根据三角函数的性质进行验证：若f（a）=0，则（a，0）为一个对称中心，确定选项．【解答】解：函数的图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍得到图象的解析式为再向右平移个单位得到图象的解析式为=sin2x当x=时，y=sinπ=0，所以是函数y=sin2x的一个对称中心．故选A．【点评】本题考查了三角函数图象变换规律，三角函数图象、性质．是三角函数中的重点知识，在试题中出现的频率相当高．6.已知复数z满足，则z的共轭复数的虚部是（

）A．－i

B．－1

C．i

D．1参考答案：D由已知得，所以共轭复数，虚部为1，故选D.7.函数的图象如图所示，则满足的关系是(

)A． B．C． D．参考答案：A8.在中，已知,则的面积是（

）A．

B．

C．或

D．参考答案：【知识点】正弦定理；三角形面积公式.C8答案C

解析：根据正弦定理：,即，解得或，则或，所以=或，故选C。【思路点拨】先利用正弦定理求出C,再得到A，然后利用三角形面积公式求出面积即可。9.如果，那么的取值范围是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：D10.复数的值是（

）A．

B．

C．

D．1参考答案：D，所以，选D.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知直线过椭圆的左焦点和一个顶点B.则该椭圆的离心率____.参考答案：略12.若复数(为虚数单位)，

且为纯虚数，则实数的值为________．参考答案：略13.已知不共线的平面向量，满足||=3，||=2，若向量=λ+μ（λ，μ∈R）．且λ+μ=1，=，则λ=．参考答案：【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据题意，利用λ+μ=1得出=λ+μ=λ+（1﹣λ），再由=，代入化简，得出关于λ的方程组，从而求出λ的值．【解答】解：向量，满足||=3，||=2，∵λ+μ=1，∴=λ+μ=λ+（1﹣λ），又=，∴=，即=，∴=，即?+2﹣2λ=3λ+?，∴，解得λ=．故答案为：．14.已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，，若，则实数a的取值范围是___________．参考答案：(－2,1)略15.过双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的右焦点F的直线l：y=与C只有一个公共点，则C的焦距为，C的离心率为．参考答案：8，2【考点】双曲线的简单性质．【分析】结合双曲线的性质=，0=c﹣4，求出a，c即可．【解答】解：过双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y=±x，因为过双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的右焦点F的直线l：y=与C只有一个公共点，所以=，0=c﹣4，又因为a2+b2=c2，解得c=3，a=，所以2c=8，e==2，故答案为：8，216.已知200辆汽车通过某一段公路的时速的频率分布直方图如上图所示，求时速在[60，70]的汽车大约有__________辆.参考答案：8017.设直线与圆交于两点,若圆的圆心在线段上,且圆与圆相切,切点在圆的劣弧上,则圆的半径的最大值是

；参考答案：1三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（选修4—5：不等式选讲）已知关于的不等式的解集为，求实数的取值范围．参考答案：证明：若，则；(2分)

若，则对任意的恒成立，即对任意的恒成立，(4分)

所以或对任意的恒成立，(8分)

解得.(10分)

略19.已知函数f（x）=x2+a．（1）若是偶函数，在定义域上F（x）≥ax恒成立，求实数a的取值范围；（2）当a=1时，令g（x）=f（f（x））﹣λf（x），问是否存在实数λ，使g（x）在（﹣∞，﹣1）上是减函数，在（﹣1，0）上是增函数？如果存在，求出λ的值；如果不存在，请说明理由．参考答案：考点：函数恒成立问题．专题：函数的性质及应用．分析：（1）把函数f（x）的解析式代入函数F（x）利用函数是偶函数求出b=0，把b=0代回函数F（x）的解析式，由F（x）≥ax恒成立分离出参数a，然后利用基本不等式求最值，则a的范围可求；（2）把a=1代入函数f（x）的解析式，求出函数g（x）解析式，由偶函数的定义得到函数g（x）为定义域上的偶函数，把函数g（x）在（﹣∞，﹣1）上是减函数，在（﹣1，0）上是增函数转化为在区间（1，+∞）上是增函数，在（0，1）上是减函数，换元后利用复合函数的单调性得到换元后的二次函数的对称轴，由对称轴可求λ的值．解答：解：（1）．由F（x）是偶函数，∴F（﹣x）=F（x），即∴﹣bx+1=bx+1，∴b=0．即F（x）=x2+a+2，x∈R．又F（x）≥ax恒成立，即x2+a+2≥ax恒成立，也就是a（x﹣1）≤x2+2恒成立．当x=1时，a∈R当x＞1时，a（x﹣1）≤x2+2化为，而，∴．当x＜1时，a（x﹣1）≤x2+2化为，而，∴综上：；（2）存在实数λ=4，使g（x）在（﹣∞，﹣1）上是减函数，在（﹣1，0）上是增函数．事实上，当a=1时，f（x）=x2+1．g（x）=f（f（x））﹣λf（x）=（x2+1）2+1﹣λ（x2+1）=x4+（2﹣λ）x2+（2﹣λ）．∵g（﹣x）=（﹣x）4+（2﹣λ）（﹣x）2+（2﹣λ）=g（x）∴g（x）是偶函数，要使g（x）在（﹣∞，﹣1）上是减函数，在（﹣1，0）上是增函数，即g（x）只要满足在区间（1，+∞）上是增函数，在（0，1）上是减函数即可．令t=x2，当x∈（0，1）时t∈（0，1）；x∈（1，+∞）时t∈（1，+∞），由于x∈（0，+∞）时，t=x2是增函数，记g（x）=H（t）=t2+（2﹣λ）t+（2﹣λ），故g（x）与H（t）在区间（0，+∞）上有相同的增减性，当二次函数H（t）=t2+（2﹣λ）t+（2﹣λ）在区间（1，+∞）上是增函数，在（0，1）上是减函数时，其对称轴方程为t=1，∴，解得λ=4．点评：本题考查了函数的性质，考查了函数的单调性与奇偶性的应用，考查了分类讨论的数学思想方法，训练了分离变量及利用基本不等式求参数的取值范围，考查了二次函数的单调性．属难题．20.已知向量，，，若，（1）求的值；（2）若，求角的大小．参考答案：（1），，…………………2分，（显然，否则与矛盾．），（不交代扣2分）…………………5分．………………7分（2）且，，又，．…………10分

………………14分21.（13分）已知函数f（x）=ax+xlnx（a∈R）（1）若函数f（x）在区间[e，+∞）上为增函数，求a的取值范围；（2）当a=1且k∈z时，不等式k（x﹣1）＜f（x）在x∈（1，+∞）上恒成立，求k的最大值．参考答案：【考点】：利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．【专题】：综合题；导数的概念及应用．【分析】：（1）易求f′（x）=a+1+lnx，依题意知，当x≥e时，a+1+lnx≥0恒成立，即x≥e时，a≥（﹣1﹣lnx）max，从而可得a的取值范围；（2）依题意，对任意x＞1恒成立，令则，再令h（x）=x﹣lnx﹣2（x＞1），易知h（x）在（1，+∞）上单增，从而可求得g（x）min=x0∈（3，4），而k∈z，从而可得k的最大值．解：（1）∵f（x）=ax+xlnx，∴f′（x）=a+1+lnx，又函数f（x）在区间[e，+∞）上为增函数，∴当x≥e时，a+1+lnx≥0恒成立，∴a≥（﹣1﹣lnx）max=﹣1﹣lne=﹣2，即a的取值范围为[﹣2，+∞）；

（2）当x＞1时，x﹣1＞0，故不等式k（x﹣1）＜f（x）?k＜，即对任意x＞1恒成立．令则，令h（x）=x﹣lnx﹣2（x＞1），则在（1，+∞）上单增．∵h（3）=1﹣ln3＜0，h（4）=2﹣ln4＞0，∴存在x0∈（3，4）使h（x0）=0，即当1＜x＜x0时，h（x）＜0，即g′（x）＜0，当x＞x0时，h（x）＞0，即g′（x）＞0，∴g（x）在（1，x0）上单减，在（x0，+∞）上单增．令h（x0）=x0﹣lnx0﹣2=0，即lnx0=x0﹣2，=x0∈（3，4），∴k＜g（x）min=x0且k∈Z，即kmax=3．【点评】：本题考查利用导数研究函数的单调性及利用导数求闭区间上函数的最值，着重考查等价转化思想与函数恒成立问题，属于难题．22.函数，在一个周期内的图象如图所示,为图象的最高点,、为图象与轴的交点,且为正三角形.(Ⅰ)求函数的解析式;(Ⅱ)