广东省江门市鹤山第三中学2023年高三数学理下学期期末试卷含解析

广东省江门市鹤山第三中学2023年高三数学理下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知i是虚数单位，复数，则z的共轭复数的虚部为（

）A.－i B.1 C.i D.－1参考答案：B【分析】利用复数的运算法则、共轭复数与虚部的定义即可得出．【详解】解：，则的共轭复数的虚部为1．故选：B．【点睛】本题考查了复数的运算法则、共轭复数与虚部的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2.已知集合A={﹣2，﹣1，0，2，3}，B={y|y=x2﹣1，x∈A}，则A∩B中元素的个数是（）A．2 B．3 C．4 D．5参考答案：B【考点】交集及其运算．【分析】先分别求出集体合A和B，由此以求出A∩B中元素的个数．【解答】解：∵集合A={﹣2，﹣1，0，2，3}，B={y|y=x2﹣1，x∈A}={﹣1，0，3，8}，∴A∩B={﹣1，0，3}，∴A∩B中元素的个数是3．故选：B．3.函数（）是单调函数的充要条件是（A）（B）（C）（D）参考答案：答案：A4.已知实数a＜0，函数，若f（1﹣a）≥f（1+a），则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣2] B．[﹣2，﹣1] C．[﹣1，0） D．（﹣∞，0）参考答案：B【考点】函数的值．【分析】根据条件判断1﹣a和1+a的范围，结合分段函数的表达式进行转化求解即可．【解答】解：∵a＜0，则1﹣a＞1，1+a＜1，则f（1﹣a）≥f（1+a）等价为﹣（1﹣a）≥（1+a）2+2a，即a2+3a+2≤0，得﹣2≤a≤﹣1，即实数a的取值范围是[﹣2，﹣1]，故选：B【点评】本题主要考查不等式的求解，根据分段函数的表达式判断变量1﹣a和1+a的范围是解决本题的关键．5.若，则（

）A．

B．

C．

D．参考答案：【答案】A【解析】利用中间值0和1来比较:【高考考点】对数函数的性质及图象6.12个篮球队中有3个强队，将这12个队任意分成3个组（每组4个队），则3个强队恰好被分在同一组的概率为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B解析：因为将12个组分成4个组的分法有种，而3个强队恰好被分在同一组分法有，故个强队恰好被分在同一组的概率为7.甲，乙，丙，丁，戊5名学生进行某种劳动技术比赛决出第1名到第5名的名次（无并列）．甲乙两名参赛者去询问成绩，回答者对甲说“很遗憾，你和乙都没有得到冠军”；对乙说“你当然不是最差的”。从这个人的回答中分析，5人的名次情况共有(

)种A

54

B

48

C

36

D

72参考答案：A8.双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）上任意一点M与左右顶点A1、A2连线的斜率之积为，则双曲线的离心率为（）A． B． C． D．参考答案：C【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】设出M的坐标，利用已知条件，转化求解双曲线的离心率即可．【解答】解：设M（m，n），由题意可得：，，并且：，可得=，所以==，∴=，e=．故选：C．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．9.已知身穿红、黄两种颜色衣服的各有两人，身穿蓝颜色衣服的有一人，现将这五人排成一行，要求穿相同颜色衣服的人不能相邻，则不同的排法共有（

）A．48种

B．72种

C．78种

D．84种参考答案：A

【知识点】排列、组合及简单计数问题．J2解析：由题意知先使五个人的全排列，共有A55种结果．去掉相同颜色衣服的人相邻的情况，穿蓝色相邻和穿黄色相邻两种情况∴穿相同颜色衣服的人不能相邻的排法是A55﹣A22A22A33﹣2A22A22A32=48，故选A．【思路点拨】由题意知先使五个人的全排列，共有A55种结果，去掉相同颜色衣服的人相邻的情况，穿蓝色相邻和穿黄色相邻两种情况，得到结果10.若，则下列不等式：①a＋b<ab②|a|>|b|

③a<b④中，正确的不等式有A．①②

B．②③

C．①④

D．③④参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积是．

参考答案：考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：画出几何体的直观图，然后利用三视图的数据求解几何体的体积即可．解：由图知此几何体为边长为2的正方体裁去一个三棱锥（如右图），所以此几何体的体积为：2×=．故答案为：．点评：本题考查几何体的三视图与直观图的关系，几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．

12.巳知函数分别是二次函数和三次函数的导函数，它们在同一坐标系内的图象如图所示.（1）若，则________；（2）设函数，则的大小关系为________(用“<”连接）.参考答案：(1)1;

(2)h(0)<h(1)<h(-1)略13.给出下列关于互不相同的直线m，n，l和平面α，β的四个命题：（1）m?α，l∩α=A，点A?m，则l与m不共面；（2）l、m是异面直线，l∥α，m∥α，且n⊥l，n⊥m，则n⊥α；（3）若l?α，m?α，l∩m=点A，l∥β，m∥β，则α∥β；（4）若l∥α，m∥β，α∥β，则l∥m其中真命题是

（填序号）参考答案：（1）、（2）、（3）【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【专题】综合题；阅读型．【分析】对于（1）可根据异面直线的定义进行判定，对于（2）可根据线面垂直的判定定理进行判定，对于（3）根据面面平行的判定定理进行判定，对于（4）列举出所以可能即可．【解答】解：（1）m?α，l∩α=A，点A?m，则l与m不共面，根据异面直线定义可知正确；（2）l、m是异面直线，l∥α，m∥α，且n⊥l，n⊥m，则n⊥α，根据线面垂直的判定定理可知正确；（3）若l?α，m?α，l∩m=点A，l∥β，m∥β，则α∥β，根据面面平行的判定定理可知正确；（4）若l∥α，m∥β，α∥β，则l与m平行、相交、异面，故不正确；故答案为：（1）、（2）、（3）【点评】本题主要考查了空间两直线的位置关系、以及直线与平面之间的位置关系，同时考查了推理能力，属于基础题．14.（4分）四面体的顶点和各棱中点共有10个点，取其中不共面的4点，不同的取法共有种．参考答案：141考点：排列、组合及简单计数问题．专题：计算题．分析：由题意知从10个点中任取4个点有C104种取法，减去不合题意的结果，4点共面的情况有三类，取出的4个点位于四面体的同一个面上；取任一条棱上的3个点及该棱对棱的中点；由中位线构成的平行四边形，用所有的结果减去补合题意的结果．解答：解：从10个点中任取4个点有C104种取法，其中4点共面的情况有三类．第一类，取出的4个点位于四面体的同一个面上，有4C64种；第二类，取任一条棱上的3个点及该棱对棱的中点，这4点共面，有6种；第三类，由中位线构成的平行四边形（其两组对边分别平行于四面体相对的两条棱），它的4顶点共面，有3种．以上三类情况不合要求应减掉，∴不同的取法共有C104﹣4C64﹣6﹣3=141种．故答案为141．点评： 本题考查分类计数原理，考查排列组合的实际应用，是一个排列组合同立体几何结合的题目，解题时注意做到不重不漏．15.若，其中是虚数单位，则实数a的值为

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．参考答案：2．16.二维空间中圆的一维测度（周长），二维测度（面积），观察发现；三维空间中球的二维测度（表面积），三维测度（体积），观察发现.已知四维空间中“超球”的三维测度，猜想其四维测度________.参考答案：略17.（13分）已知椭圆C的中心为坐标原点O，焦点F1，F2在x轴上，离心率为，点Q在椭圆C上且满足条件：=2，–2．（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）设A、B为椭圆上不同的两点，且满足OA⊥OB，若(∈R)且，试问：是否为定值．若为定值，请求出；若不为定值，请说明理由。参考答案：解析：（Ⅰ）设椭圆方程为，∵e=，∴a=2c∴，．又–2

∴cos∠F1QF2=．由|F1F2|2=|QF1|2+|QF2|2–2|QF|·|QF2|cos∠F1QF2得a=2，c=1，b2=3∴椭圆C的方程为．

……5分（Ⅱ）依题意可知，点M为由点O向直线AB所作的垂线的垂足．设A(x1，y1)，B(x2，y2)（1）当x1=x2时，直线OA、OB的斜率分别为±1，解方程组得x=±．∴．

……6分（2）当x1≠x2时，设AB的直线方程为：y=kx+m，代入得(3+4k2)x2+8mkx+4m2–12=0x1+x2=，x1·x2=

……8分∵，∴=∴7m2=12(k2+1)

∴

……11分又∵．综上所述．

……13分三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知椭圆C：（b＞0），以椭圆C的短轴为直径的圆O经过椭圆C左右两个焦点，A，B是椭圆C的长轴端点． （1）求圆O的方程和椭圆C的离心率e； （2）设P，Q分别是椭圆C和圆O上的动点（P，Q位于y轴两侧），且直线PQ与x轴平行，直线AP，BP分别与y轴交于点M，N，试判断MQ与NQ所在的直线是否互相垂直，若是，请证明你的结论；若不是，也请说明理由． 参考答案：【考点】直线与椭圆的位置关系． 【分析】（1）由题意可得a=2，b=c，b2+c2=a2，解方程可得b，c，进而得到圆O的方程和椭圆的离心率； （2）设P（x0，y0）（y0≠0），Q（xQ，y0），分别代入圆和椭圆方程，运用直线方程的点斜式求得AP，BP的方程，令x=0，可得M，N的坐标，求得向量MQ，NQ的坐标，由向量垂直的条件：数量积为0，化简整理，即可得到结论． 【解答】解：（1）由椭圆方程可得a=2， 又以椭圆C的短轴为直径的圆O经过椭圆C左右两个焦点， 可得b=c且b2+c2=a2， 解得a=2，b=c=， 则圆O的方程为x2+y2=2，椭圆C的离心率e==． （2）如图所示，设P（x0，y0）（y0≠0），Q（xQ，y0）， 则即， 又A（﹣2，0），B（2，0），由AP：，得． 由BP：，得． 所以=， ， 所以， 所以QM⊥QN，即MQ与NQ所在的直线互相垂直． 【点评】本题考查椭圆的方程和性质，主要是离心率的求法，考查两直线垂直的条件，转化为两向量垂直的条件：数量积为0是解题的关键，考查直线和圆方程的运用，以及化简整理的运算能力，属于中档题． 19.函数，（Ⅰ）若求不等式的解集（Ⅱ）若不等式的解集非空，求a的取值范围参考答案：（Ⅰ）（﹣∞，﹣2）∪（﹣，+∞）（Ⅱ）（﹣1，0）．【分析】（Ⅰ）若a＝﹣2，分类讨论，即可求不等式f（x）+f（2x）＞2的解集；（Ⅱ）求出函数f（x）的值域为[﹣，+∞），利用不等式f（x）+f（2x）＜的解集非空，求a的取值范围【详解】（Ⅰ）当a＝﹣2时，f（x）＝|x+2|，f（x）+f（2x）＝|x+2|+|2x+2|＞2，不等式可化为或或，解得x∈（﹣∞，﹣2）∪（﹣，+∞）；（Ⅱ）f（x）+f（2x）＝|x﹣a|+|2x﹣a|，当x≤a时，f（x）＝a﹣x+a﹣2x＝2a﹣3x，则f（x）≥﹣a；当a＜x＜时，f（x）＝x﹣a+a﹣2x＝﹣x，则﹣＜f（x）＜﹣a；当x≥时，f（x）＝x﹣a+2x﹣a＝3x﹣2a，则x≥﹣，所以函数f（x）的值域为[﹣，+∞），因为不等式f（x）+f（2x）＜的解集非空，即为＞﹣，解得a＞﹣1，由于a＜0，则a的取值范围为（﹣1，0）．【点睛】含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解．法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立,有解问题联系起来，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向．20.已知数列{an}的前n项和为Sn，满足，且．正项数列{bn}满足，其前7项和为42．（1）求数列{an}和{bn}的通项公式；（2）令，数列{cn}的前n项和为Tn，若对任意正整数n，都有，求实数a的取值范围；（3）将数列{an}，{bn}的项按照“当n为奇数时，an放在前面；当n为偶数时，bn放在前面”的要求进行排列，得到一个新的数列：，，，，，，，，，，，…，求这个新数列的前n项和Pn．参考答案：（1），；（2）；（3），【分析】（1）是首项为1，公差为等差数列，计算得到；化简得到，计算得到答案.（2），，设，根据单调性得到，只需即可.（3）讨论为偶数，和三种情况，分别计算得到答案.【详解】（1），故是首项为，公差为的等差数列，故，当时，，时满足，故，则，即前7项和，故（2），即易知函数，单调递增，故（3）当为偶数时：；当时，；当时，故【点睛】本题考查了数列的通项公式，前项和，恒成立问题，意在考查学生对于数列公式方法的综合应用.21.已知函数f（x）=ax3﹣（a+2）x2+6x+b在x=2处取得极值．（Ⅰ）求a的值及f（x）的单调区间；（Ⅱ）若x∈[1，4]时，不等式f（x）＞b2恒成立，求b的取值范围．参考答案：考点：利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．专题：计算题；函数的性质及应用；导数的综合应用．分析：（Ⅰ）求出导数，由题意得，f'（2）=0，求出a的值，再令导数大于0，得增区间，令