2018届数学大复习第二章函数、导数及其应用第十二节定积分与微积分基本定理理

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精PAGE17-学必求其心得，业必贵于专精第十二节定积分与微积分基本定理☆☆☆2017考纲考题考情☆☆☆考纲要求真题举例命题角度1.了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念；2。了解微积分基本定理的含义。2015,天津卷，11，5分(求面积)2015,福建卷，8，5分(定积分与概率的综合)2014，陕西卷，16，5分(定积分的计算）1。定积分的计算、利用定积分求平面图形的面积是高考命题的内容之一；2。常与解析几何、函数、概率等相结合命题;3。题型以选择题、填空题为主，属中低档题.微知识小题练自｜主|排｜查1．定积分的定义一般地，如果函数f(x）在区间[a，b］上连续，用分点a＝x0〈x1<…〈xi－1〈xi〈…〈xn＝b，将区间［a，b]等分成n个小区间,在每个小区间［xi－1，xi］上任取一点ξi（i＝1，2，…，n），作和式eq\i\su(i＝1,n，)f(ξi)Δx＝eq\i\su（i＝1,n，)eq\f（b－a,n)f(ξi),当n→∞时，上述和式无限接近某个常数,这个常数叫做函数f（x)在区间[a，b]上的定积分,记作eq\i\in(a,b，)f（x）dx.2．定积分的相关概念在eq\i\in（a，b,）f(x)dx中，a与b分别叫做积分下限与积分上限，区间[a,b］叫做积分区间，函数f（x)叫做被积函数,x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积式。3．定积分的性质(1)eq\i\in（a，b,)kf(x)dx＝keq\i\in（a，b,）f（x)dx(k为常数）；(2）eq\i\in（a，b,)［f1(x)±f2（x）]dx＝eq\i\in（a,b,）f1（x)dx±eq\i\in（a,b，）f2(x）dx;（3)eq\i\in（a，b,）f（x）dx＝eq\i\in(a，c，)f（x）dx＋eq\i\in(c，b,）f（x)dx（其中a<c<b）。4．定积分的几何意义如图：设阴影部分面积为S。（1）S＝eq\i\in(a,b,）f(x）dx；（2)S＝－eq\i\in(a,b,）f（x)dx；(3）S＝eq\i\in（a，c,)f(x)dx－eq\i\in（c，b,）f（x)dx;（4)S＝eq\i\in(a，b,）f（x)dx－eq\i\in（a,b，)g(x）dx＝eq\i\in(a,b，)［f(x）－g（x)]dx。5．微积分基本定理如果F′(x)＝f（x），且f(x)在[a，b］上可积，则eq\i\in(a,b，)f(x)dx＝F(b）－F(a）.其中F(x）叫做f（x）的一个原函数.可以把F（b）－F(a)记为F(x）eq\b\lc\｜\rc\(\a\vs4\al\co1(,，，，))eq\o\al（b，a),即eq\i\in（a,b,）f（x)dx＝F（x）eq\b\lc\｜\rc\（\a\vs4\al\co1(,,，,))eq\o\al(b,a）＝F(b)－F（a)。微点提醒1．定积分应用的两条常用结论(1)当曲边梯形位于x轴上方时,定积分的值为正；当曲边梯形位于x轴下方时，定积分的值为负；当位于x轴上方的曲边梯形与位于x轴下方的曲边梯形面积相等时，定积分的值为零.（2)加速度对时间的积分为速度，速度对时间的积分是路程.2．函数f（x)在闭区间[－a，a］上连续，则有（1）若f（x）为偶函数,则eq\i\in(,a,)－af（x）dx＝2eq\i\in(0，a,)f(x）dx。(2）若f（x)为奇函数，则eq\i\in（,a，)－af（x)dx＝0。小|题|快|练一、走进教材1．（选修2－2P50A组T5改编)定积分eq\i\in(，1,)－1｜x|dx＝（)A．1 B．2C．3 D．4【解析】eq\i\in（，1,）－1｜x|dx＝eq\i\in（，0，）－1（－x)dx＋eq\i\in(0,1，)xdx＝2eq\i\in(0,1，)xdx＝x2eq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1（,，,，))eq\o\al（1,0)＝1。故选A.【答案】A2．（选修2－2P65A组T5改编）曲线y＝x2＋2x与直线y＝xA。eq\f(1,6） B。eq\f(1，3）C.eq\f(5，6) D。eq\f（2，3）【解析】由eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（y＝x2＋2x，,y＝x，)）可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（x＝－1，，y＝－1,）)或eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（x＝0,，y＝0，))所以曲线y＝x2＋2x与直线y＝x所围成的封闭图形的面积如图为eq\i\in(，0,）－1(x－2x－x2）dx＝eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(－\f（1，2)x2－\f(1，3)x3))eq\o\al(0,－1)＝eq\f（1,6）。故选A。【答案】A二、双基查验1．（2016·沈阳模拟)定积分eq\i\in(0，1,)（2x＋ex)dx的值为（)A．e＋2 B．e＋1C．e D．e－1【解析】eq\i\in(0，1，）（2x＋ex)dx＝（x2＋ex）eq\o\al（1,0）＝1＋e1－1＝e。故选C。【答案】C2．若s1＝eq\i\in(1，2，）x2dx，s2＝eq\i\in(1,2，)eq\f（1,x）dx，s3＝eq\i\in(1,2，)exdx,则s1，s2，s3的大小关系为(）A．s1＜s2＜s3 B．s2＜s1＜s3C．s2＜s3＜s1 D．s3＜s2＜s1【解析】因为s1＝eq\f（1，3)x3eq\o\al（2，1)＝eq\f(1，3)（23－13）＝eq\f（7,3）＜3；s2＝lnxeq\o\al(2,1)＝ln2－ln1＝ln2＜1;s3＝exeq\o\al（2,1）＝e2－e＞3。所以s2＜s1＜s3。故选B.【答案】B3．（2017·包头模拟）由曲线y＝eq\r（x)，直线y＝x－2及y轴所围成的图形的面积为(）A。eq\f（10，3) B．4C。eq\f(16,3) D．6【解析】作出曲线y＝eq\r(x）,直线y＝x－2的草图（如图所示),所求面积为阴影部分的面积。由eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（y＝\r(x)，,y＝x－2）)得交点A（4，2)。因此y＝eq\r(x）与y＝x－2及y轴所围成的图形的面积为eq\i\in(0,4,）[eq\r(x）－(x－2）］dx＝eq\i\in（0，4，）(eq\r（x)－x＋2）dx＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f（2，3）x\f(3,2)－\f(1,2）x2＋2x））eq\o\al（4,0)＝eq\f（2,3）×8－eq\f(1,2)×16＋2×4＝eq\f（16，3)。故选C。【答案】C4．已知t＞1，若eq\i\in(1，t,）(2x＋1)dx＝t2,则t＝________.【解析】eq\i\in(1,t，)(2x＋1)dx＝（x2＋x)eq\o\al（t，1)＝t2＋t－2，从而得方程t2＋t－2＝t2,解得t＝2.【答案】25．汽车以36km/h的速度行驶,到某处需要减速停车，设汽车以加速度a＝－2m/s2刹车，则从开始刹车到停车，汽车行驶的距离是________m。【解析】先求从刹车开始到停车所用的时间：t＝0时，v0＝36km/h＝10m/s，刹车后，汽车减速行驶，速度为v(t）＝v0＋at＝10－2t，由v(t）＝0可得：t＝5s，所以从刹车到停车,汽车所走过的路程为eq\i\in（0，5，)v(t)dt＝eq\i\in(0，5,)(10－2t）dt＝(10t－t2)eq\o\al（5，0）＝25(m）.即汽车从开始刹车到停车,共行驶了25m。【答案】25微考点大课堂考点一定积分的计算【典例1】(1）eq\i\in（0,π，）（sinx－cosx）dx＝________。（2）若f（x)＝eq\r(3＋2x－x2)，则eq\i\in(1,3,）f（x）dx为________。(3）设f(x)＝eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（x2，x∈［0，1]，,\f(1,x）,x∈1，e］))(e为自然对数的底数），则eq\i\in(0,e，）f（x）dx的值为________。【解析】(1）eq\i\in（0，π,)（sinx－cosx)dx＝eq\i\in(0,π，)sinxdx－eq\i\in(0,π，)cosxdx＝2。(2)由y＝eq\r(3＋2x－x2)＝eq\r（4－x－12)，得(x－1)2＋y2＝4（y≥0），表示以(1，0）为圆心，2为半径的圆在x轴上方的部分，所以eq\i\in(1，3，）eq\r（3＋2x－x2）dx是圆面积的eq\f（1,4）。所以eq\i\in(1,3，）eq\r(3＋2x－x2)dx＝eq\f（1，4)·π·22＝π。(3）因为f（x）＝eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(x2，x∈[0,1]，,\f（1，x），x∈1，e］，））因为eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f（1，3）x3）)′＝x2，（lnx)′＝eq\f(1，x)，所以eq\i\in(0，e,)f(x)dx＝eq\i\in(0，1,)x2dx＋eq\i\in(1,e，）eq\f(1,x）dx＝eq\f（1，3）＋1＝eq\f(4,3）。【答案】(1）2（2)π(3)eq\f（4，3)反思归纳计算定积分的步骤1．把被积函数变形为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数的积的和或差。2．把定积分用定积分性质变形为求被积函数为上述函数的定积分。3．分别用求导公式找到一个相应的原函数。4．利用微积分基本定理求出各个定积分的值。5．计算原始定积分的值。【变式训练】eq\i\in（1,e,）eq\f(1，x）dx＋eq\i\in（,2，）－2eq\r(4－x2)dx＝________。【解析】eq\i\in(1,e，）eq\f(1，x）dx＝lnxeq\o\al（e，1）＝1－0＝1,因为eq\i\in（,2,）－2eq\r(4－x2)dx表示的是圆x2＋y2＝4的x轴上方的面积,故eq\i\in（,2,）－2eq\r（4－x2)dx＝eq\f（1,2)π×22＝2π，故答案为2π＋1。【答案】2π＋1考点二利用定积分求平面图形的面积【典例2】（2016·青岛模拟）由曲线xy＝1,直线y＝x，x＝3所围成的封闭平面图形的面积为(）A。eq\f（32，9） B．4－ln3C．4＋ln3 D．2－ln3【解析】画出平面图形，根据图形确定积分的上、下限及被积函数。由曲线xy＝1，直线y＝x，x＝3所围成的封闭的平面图形如图所示:由eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（xy＝1，，y＝x，）)得eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（x＝1，，y＝1)）或eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（x＝－1，,y＝－1))（舍）.由eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（y＝x,,x＝3，))得eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（x＝3，y＝3。))故阴影部分的面积为eq\i\in（1,3,)eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(x－\f（1，x))）dx＝eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f（1,2)x2－lnx）)eq\o\al(3,1)＝4－ln3.故选B。【答案】B反思归纳利用定积分求平面图形面积的步骤1．根据题意画出图形.2．借助图形确定出被积函数，求出交点坐标，确定积分的上、下限。3．把曲边梯形的面积表示成若干个定积分的和.4．计算定积分，写出答案。【变式训练】（1）（2016·青岛模拟)若函数f(x）＝Asineq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（ωx－\f(π，6)））（A>0，ω〉0）的图象如图所示,则图中的阴影部分的面积为________。（2）(2015·福建高考）如图,点A的坐标为（1，0)，点C的坐标为（2，4），函数f（x）＝x2。若在矩形ABCD内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率等于________.【解析】（1）由图象可知A＝1,eq\f（T,2)＝eq\f（2π，3)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f（π,3)）)＝π,所以ω＝1，f（x）＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（x－\f(π，6)))。图中其与x轴的交点横坐标为eq\f(π,6)，所以图中的阴影部分的面积为∫eq\f（π,6）0eq\b\lc\［\rc\］（\a\vs4\al\co1(－sin\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（x－\f（π,6））)))dx，因为eq\b\lc\［\rc\]（\a\vs4\al\co1(cos\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(x－\f（π，6））)))′＝－sineq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（x－\f(π，6）))，所以原式＝coseq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（x－\f(π,6)）)eq\f(π，6）0＝1－eq\f(\r（3），2）.（2）依题意知点D的坐标为(1，4)，所以矩形ABCD的面积S＝1×4＝4，阴影部分的面积S阴影＝4－eq\i\in(1,2，)x2dx＝4－eq\f（1,3)x3eq\o\al（2，1)＝4－eq\f(7，3)＝eq\f（5，3），根据几何概型的概率计算公式得,所求的概率P＝eq\f（S阴影,S）＝eq\f(\f（5，3），4)＝eq\f(5,12）。【答案】(1）1－eq\f（\r(3)，2)(2）eq\f(5，12)考点三定积分在物理中的应用【典例3】（1）一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v（t)＝7－3t＋eq\f(25,1＋t)（t的单位：s,v的单位：m/s）行驶至停止.在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是（）A．1＋25ln5 B．8＋25lneq\f（11,3)C．4＋25ln5 D．4＋50ln2（2)已知作用于某一质点的力F(x)＝eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(x2,0≤x≤1,,x＋1，1＜x≤2))（单位：N），则力F（x）从x＝0处运动到x＝2处（单位：m）所做的功为________。【解析】（1)7－3t＋eq\f（25，1＋t）＝0，t＝4或t＝－eq\f（8，3）＜0(舍去).eq\i\in(0,4,）eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(7－3t＋\f（25，1＋t)）)dt＝eq\b\lc\［\rc\](\a\vs4\al\co1（7t－\f（3,2)t2＋25ln1＋t））eq\o\al(4，0)＝4＋25ln5，故选C.(2)根据题意，力F所做的功为W＝eq\i\in(0,1，）x2dx＋eq\i\in(1,2，)（x＋1)dx＝eq\f（1，3）x3eq\o\al（1,0)＋eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1，2)x2＋x)）eq\o\al(2，1）＝eq\f(17,6）（J）.【答案】(1）C(2)eq\f(17，6)J反思归纳定积分在物理中的两个应用1．求变速直线运动的路程：如果变速直线运动物体的速度为v＝v（t）,那么从时刻t＝a到t＝b所经过的路程s＝eq\i\in（a，b，）v(t)dt。2．变力做功:一物体在变力F（x）的作用下，沿着与F(x）相同的方向从x＝a移动到x＝b时,力F（x)所做的功是W＝eq\i\in（a，b,)F(x)dx。【变式训练】(1)物体A以v＝3t2＋1(m/s）的速度在一直线l上运动，物体B在直线l上,且在物体A的正前方5m处,同时以v＝10t(m/s）的速度与A同向运动，出发后，物体A追上物体B所用的时间t(s）为（)A．3 B．4C．5 D．6(2)设变力F（x）作用在质点M上，使M沿x轴正向从x＝1运动到x＝10，已知F(x)＝x2＋1且方向和x轴正向相同,则变力F(x)对质点M所做的功为________J（x的单位：m；力的单位:N）【解析】(1）因为物体A在t秒内行驶的路程为eq\i\in(0，t，)(3t2＋1）dt，物体B在t秒内行驶的路程为eq\i\in(0,t,)10tdt，因为(t3＋t－5t2）′＝3t2＋1－10t，所以eq\i\in(0，t,)(3t2＋1－10t)dt＝（t3＋t－5t2）eq\o\al（t，0)＝t3＋t－5t2＝5,整理得(t－5）（t2＋1）＝0，解得t＝5。故选C。(2)变力F(x）＝x2＋1使质点M沿x轴正向从x＝1运动到x＝10所做的功为W＝∫eq\o\al（10,1)F(x)dx＝∫eq\o\al（10,1）（x2＋1)dx因为eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f（1，3)x3＋x））′＝x2＋1，所以原式＝342（J）.【答案】（1）C（2)342微考场新提升1．定积分eq\i\in(，2,）－2|x2－2x｜dx等于（)A．5 B．6C．7 D．8解析eq\i\in（,2,）－2|x2－2x|dx＝eq\i\in(，0，）－2（x2－2x）dx＋eq\i\in（0,2,)（2x－x2）dx＝eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f(x3,3）－x2))eq\o\al（0，－2）＋eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(x2－\f(x3，3）)）eq\o\al(2，0）＝eq\f（8,3)＋4＋4－eq\f(8,3)＝8。故选D。答案D2．（2016·怀