2018届数学大复习第九章算法初步、统计、统计案例第二节随机抽样理

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精PAGE19-学必求其心得，业必贵于专精第二节随机抽样☆☆☆2017考纲考题考情☆☆☆考纲要求真题举例命题角度1.理解随机抽样的必要性和重要性;2.会用简单随机抽样方法从总体中抽取样本；3。了解分层抽样和系统抽样方法。2015,湖南卷，12,5分(系统抽样)2014，天津卷，9,5分(分层抽样）2015，湖北卷,2,5分(简单随机抽样)1.主要考查学生在应用问题中构造抽样模型、识别模型、收集数据等能力方法，是统计学中最基础的知识；2。高考试题中主要以选择题或填空题的形式出现，题目多为中低档题，重在考查抽样方法的应用.微知识小题练自|主｜排｜查1．简单随机抽样(1）定义：设一个总体含有N个个体，从中逐个不放回地抽取n个个体作为样本（n≤N）,如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等,就把这种抽样方法叫做简单随机抽样.(2）最常用的简单随机抽样的方法：抽签法和随机数法。2．系统抽样的步骤假设要从容量为N的总体中抽取容量为n的样本。(1）先将总体的N个个体编号.（2)确定分段间隔k，对编号进行分段,当eq\f（N，n）是整数时，取k＝eq\f(N,n）。（3)在第1段用简单随机抽样确定第一个个体编号l（l≤k).(4）按照一定的规则抽取样本,通常是将l加上间隔k得到第2个个体编号（l＋k)，再加k得到第3个个体编号（l＋2k），依次进行下去，直到获取整个样本。3．分层抽样（1)定义:在抽样时,将总体分成互不交叉的层，然后按照_一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法叫做分层抽样。(2）分层抽样的应用范围：当总体是由差异明显的几个部分组成时,往往选用分层抽样。微点提醒1．随机数法编号要求:应保证各号数的位数相同，而抽签法则无限制.2．不论哪种抽样方法，总体中的每一个个体入样的概率是相同的.3．系统抽样是等距抽样，入样个体的编号相差eq\f(N，n）的整数倍。4．分层抽样是按比例抽样，每一层入样的个体数为该层的个体数乘以抽样比.小｜题｜快｜练一、走进教材1．（必修3P64A组T6A．5,15，25,35，45 B．1,3，5,7,9C．11，22,33，44,50 D．12,15,19，23，28【解析】采用系统抽样的等距抽样法，抽样间距为eq\f(50,5)＝10,随机抽取第1个奖品号，设为a(0≤a≤10），则其他奖品号分别为10＋a,20＋a,30＋a,40＋a，所以可知A正确。【答案】A2．(必修3P100A组T2（2）A．2 B．3C．5 D．13【解析】由题意，设抽取的进口的标志灯的数量为x,则eq\f（30,300）＝eq\f(x,20)，所以x＝2。故选A。【答案】A3．（必修3P64A组T5改编)一个总体分为A，B两层,用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为10的样本。已知B层中每个个体被抽到的概率都为eq\f（1,12)，则总体中的个体数为（）A．40 B．60C．80 D．120【解析】因为用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为10的样本.由B层中每个个体被抽到的概率都为eq\f(1，12)，知道在抽样过程中每个个体被抽到的概率是eq\f（1,12）.所以总体中的个体数为10÷eq\f(1,12)＝120。故选D。【答案】D二、双基查验1．为了了解全校240名学生的身高情况，从中抽取40名学生进行测量，下列说法正确的是(）A．总体是240 B．个体是每一个学生C．样本是40名学生 D．样本容量是40【解析】总体容量是240；总体是240名学生的身高；个体是每名学生的身高；样本是40名学生的身高；样本容量是40。故选D。【答案】D2．总体由编号为01,02，…，19，20的20个个体组成.利用下面的随机数表选取5个个体,选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为(）7816657208026314070243699728019832049234493582003623486969387481A。08 B．07C．02 D．01【解析】从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字中小于20的编号依次为08,02，14,07,01，所以第5个个体的编号为01。故选D。【答案】D3．某公司有员工500人，其中不到35岁的有125人，35～49岁的有280人，50岁以上的有95人，为了调查员工的身体健康状况，从中抽取100名员工，则应在这三个年龄段分别抽取人数为(）A．33人，34人，33人 B．25人，56人,19人C．30人，40人，30人 D．30人，50人,20人【解析】因为125∶280∶95＝25∶56∶19，所以抽取人数分别为25人，56人，19人。故选B。【答案】B4．已知某商场新进3000袋奶粉，为检查其三聚氰胺是否超标，现采用系统抽样的方法从中抽取150袋检查，若第一组抽出的号码是11,则第六十一组抽出的号码为________。【解析】每组袋数：d＝eq\f(3000，150）＝20，由题意知这些号码是以11为首项，20为公差的等差数列.a61＝11＋60×20＝1211。【答案】1211微考点大课堂考点一简单随机抽样【典例1】(1）下列抽取样本的方式属于简单随机抽样的个数为（）①从无限多个个体中抽取100个个体作为样本；②盒子里共有80个零件，从中选出5个零件进行质量检验.在抽样操作时,从中任意拿出一个零件进行质量检验后再把它放回盒子里；③从20件玩具中一次性抽取3件进行质量检查；④某班有56名同学，指定个子最高的5名同学参加学校组织的篮球赛。A．0 B．1C．2 D．3（2)(2016·泰安模拟)假设要考察某公司生产的500克袋装牛奶的质量是否达标，现从800袋牛奶中抽取60袋进行检验，利用随机数表抽取样本时，先将800袋奶按000，001，…，799进行编号，如果从随机数表第8行第7列的数开始向右读，请你依次写出最先检测的5袋牛奶的编号________。（下面摘取了随机数表第7行至第9行)eq\x(\a\al(84421753315724550688770474476721763350258392120676，63016378591695556719981050717512867358074439523879，33211234297864560782524207443815510013429966027954））【解析】(1）①不是简单随机抽样.因为被抽取样本的总体的个体数是无限的，而不是有限的。②不是简单随机抽样。因为它是放回抽样。③不是简单随机抽样。因为这是“一次性"抽取，而不是“逐个”抽取。④不是简单随机抽样。因为指定个子最高的5名同学是56名中特指的，不具有随机性，不是等可能的抽样。故选A.（2)找到第8行第7列的数开始向右读，第一个符合条件的是785；第二个数916〉799，舍去；第三个数955>799，舍去;第四个数567符合题意，这样再依次读出结果为199,507,175。【答案】（1)A（2)785，567,199，507，175反思归纳抽签法与随机数表法的适用情况1．抽签法适用于总体中个体数较少的情况，随机数表法适用于总体中个体数较多的情况。2．一个抽样试验能否用抽签法，关键看两点：一是抽签是否方便；二是号签是否易搅匀.一般地，当总体容量和样本容量都较小时可用抽签法。【变式训练】(1）下面的抽样方法是简单随机抽样的是（)A．在某年明信片销售活动中，规定每100万张为一个开奖组,通过随机抽取的方式确定号码的后四位为2709的为三等奖B．某车间包装一种产品，在自动包装的传送带上，每隔30分钟抽一包产品，称其重量是否合格C．某学校分别从行政人员、教师、后勤人员中抽取2人、14人、4人了解学校机构改革的意见D．用抽签方法从10件产品中选取3件进行质量检验(2)（2015·湖北高考)我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为(）A．134石 B．169石C．338石 D．1365石【解析】（1）A，B不是简单随机抽样，因为抽取的个体间的间隔是固定的；C不是简单随机抽样，因为总体中的个体有明显的层次；D是简单随机抽样。故选D。(2）设这批米内夹谷x石，则由题意知,eq\f（28，254)＝eq\f(x，1534），即x＝eq\f(28,254）×1534≈169.故选B。【答案】（1）D(2)B考点二系统抽样……母题发散【典例2】（1)为了解1000名学生的学习情况，采用系统抽样的方法,从中抽取容量为40的样本,则分段的间隔为（)A．50 B．40C．25 D．20(2）某单位有840名职工，现采用系统抽样方法抽取42人做问卷调查,将840人按1,2，…，840随机编号,则抽取的42人中,编号落入区间[481,720］的人数为()A．11 B．12C．13 D．14【解析】(1)由eq\f（1000,40）＝25，可得分段间隔为25。故选C.（2)由系统抽样定义可知，所分组距为eq\f(840，42)＝20，每组抽取一个，因为包含整数个组，所以抽取个体在区间［481,720］的数目为（720－480）÷20＝12。故选B.【答案】(1)C（2）B【母题变式】1。本典例（2）中条件不变，若第三组抽得的号码为44，则在第八组中抽得的号码是______。【解析】在第八组中抽得的号码为(8－3)×20＋44＝144。【答案】1442．本典例（2)中条件不变，若在编号为[481，720]中抽取8人，则样本容量为________.【解析】因为在编号[481,720]中共有720－480＝240人，又在［481，720］中抽取8人，所以抽样比应为240∶8＝30∶1，又因为单位职工共有840人，所以应抽取的样本容量为eq\f（840，30)＝28。【答案】28反思归纳解决系统抽样问题的两个关键步骤1．分组的方法应依据抽取比例而定，即根据定义每组抽取一个样本。2．起始编号的确定应用简单随机抽样的方法，一旦起始编号确定，其他编号便随之确定了。【拓展变式】（2015·湖南高考)在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩（单位：分钟)的茎叶图如图所示。13003456688891411122233445556678150122333若将运动员按成绩由好到差编为1～35号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在区间［139，151]上的运动员人数是________.【解析】35÷7＝5，因此可将编号为1～35的35个数据分成7组,每组有5个数据,在区间［139，151]上共有20个数据,分在4个小组中，每组取1人，共取4人.【答案】4考点三分层抽样……多维探究角度一:分层抽样的计算【典例3】(2016·安徽江南十校联考)2016年1月1日我国全面二孩政策实施后，某中学的一个学生社团组织了一项关于生育二孩意愿的调查活动。已知该中学所在的城镇符合二孩政策的已婚女性中,30岁以下的约2400人，30岁至40岁的约3600人，40岁以上的约6000人。为了解不同年龄层的女性对生育二孩的意愿是否存在显著差异,该社团用分层抽样的方法从中抽取了一个容量为N的样本进行调查，已知从30岁至40岁的女性中抽取的人数为60，则N＝________。【解析】由题意可得eq\f（3600，2400＋3600＋6000)＝eq\f(60,N)，故N＝200。【答案】200角度二：分层抽样与概率的综合问题【典例4】最新高考改革方案已在上海和浙江实施，某教育机构为了解我省广大师生对新高考改革方案的看法，对某市部分学校500名师生进行调查，统计结果如下：赞成改革不赞成改革无所谓教师120y40学生xz130在全体师生中随机抽取1名“赞成改革”的人是学生的概率为0。3，且z＝2y。(1）现从全部500名师生中用分层抽样的方法抽取50名进行问卷调查，则应抽取“不赞成改革”的教师和学生人数各是多少？(2）在(1）中所抽取的“不赞成改革”的人中,随机选出3人进行座谈，求至少有1名教师被选出的概率。【解析】(1)由题意知eq\f（x,500)＝0.3,所以x＝150，所以y＋z＝60。因为z＝2y，所以y＝20，z＝40。则应抽取“不赞成改革”的教师人数为eq\f(50，500）×20＝2，应抽取“不赞成改革”的学生人数为eq\f(50,500）×40＝4。(2）至少有1名教师被选出的概率【答案】(1)教师为2名，学生为4名(2)eq\f(4,5）微考场新提升1．为了了解某地区的中小学生视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大，在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是（)A．简单随机抽样 B．按性别分层抽样C．按学段分层抽样 D．系统抽样解析不同的学段在视力状况上有所差异，所以应该按照学段分层抽样。故选C。答案C2．某校选修乒乓球课程的学生中，高一年级有30名,高二年级有40名.现用分层抽样的方法在这70名学生中抽取一个样本，已知在高一年级的学生中抽取了6名,则在高二年级的学生中应抽取的人数为（）A．6 B．8C．10 D．12解析设样本容量为N，则N×eq\f（30,70)＝6，∴N＝14，∴高二年级所抽学生人数为14×eq\f（40,70)＝8。故选B。答案B3．从2007名学生中选取50名学生参加全国数学联赛，若采用下面的方法选取：先用简单随机抽样从2007人中剔除7人，剩下的2000人再按系统抽样的方法抽取,则每人入选的概率（）A．不全相等 B．均不相等C．都相等，且为eq\f（50,2007) D．都相等,且为eq\f（1，40)解析从