（整理版）高中学习资料必修5综合测试

必修5综合测试时间：120分钟分值：150分第Ⅰ卷(选择题，共60分)题号123456789101112答案一、选择题(每小题5分，共60分)1．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知C＝eq\f(π,3)，a＝2，b＝1，则c等于()A.eq\r(5) B.eq\r(3)C.eq\r(7) D．1解析：c＝eq\r(a2＋b2－2abcosC)＝eq\r(3).答案：B2．下列结论正确的是()A．若ac>bc，则a>bB．若a8>b8，则a>bC．若a>b，c<0，则ac<bcD．若eq\r(a)<eq\r(b)，则a>b解析：A中，若c<0，则a<b，所以A不正确；B中，(－1)8＝1>08＝0，但是－1<0，所以B不正确；D中，有a<b，所以D不正确．很明显C是不等式的性质，则C正确．答案：C3．已知{an}是等差数列，a10＝10，其前10项和S10＝70，则其公差d等于()A．－eq\f(2,3) B．－eq\f(1,3)C.eq\f(1,3) D.eq\f(2,3)解析：由题意，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋9d＝10，,10a1＋45d＝70，))解得d＝eq\f(2,3).答案：D4．已知△ABC中，a＝4，b＝4eq\r(3)，A＝30°，则角B的度数等于()A．30°B．30°或150°C．60°D．60°或120°解析：由正弦定理，得eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)，所以sinB＝eq\f(b,a)sinA＝eq\f(4\r(3),4)sin30°＝eq\f(\r(3),2).又a<b，则A<B.所以B＝60°或120°.答案：D5．在△ABC中，若sinC＝2cosA·sinB，则此三角形必为()A．等腰三角形 B．正三角形C．直角三角形 D．等腰直角三角形解析：方法1：sinC＝2cosAsinB⇒sin(A＋B)＝2cosAsinB⇒sinAcosB＋cosAsinB＝2cosAsinB⇒sinAcosB－cosAsinB＝0⇒sin(A－B)＝0⇒A＝B.方法2：∵sinC＝2cosAsinB，∴c＝2eq\f(b2＋c2－a2,2bc)·b.∴a＝b，即△ABC为等腰三角形．答案：A6．在锐角三角形中，下列正确的是()A．sinA>cosB B．sinA<cosBC．sinA＝cosB D．以上都有可能解析：在锐角三角形中，有A＋B＝π－C>eq\f(π,2)，故A>eq\f(π,2)－B，sinA>sin(eq\f(π,2)－B)＝cosB，故A正确．答案：A7．在R上定义运算⊙：a⊙b＝ab＋2a＋b，则满足x⊙(x－2)<0的实数x的取值范围为(A．(0,2)B．(－2,1)C．(－∞，－2)∪(1，＋∞)D．(－1,2)解析：根据定义x⊙(x－2)＝x(x－2)＋2x＋(x－2)＝x2＋x－2<0，解得－2<x<1，所以所求的实数x的取值范围为(－2,1)．答案：B8．设{an}是等差数列，且a2＝－6，a8＝6，Sn是数列{an}的前n项和，则()A．S4<S5B．S4＝S5C．S6<S5D．S6＝S解析：设公差为d，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋d＝－6，,a1＋7d＝6，))解得d＝2，a1＝－8，则a3＝－4，a4＝－2，a5＝0，a6＝2，则S4＝S5.答案：B9．设x，y∈R，a>1，b>1.若ax＝by＝3，a＋b＝2eq\r(3)，则eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)的最大值为()A．2 B.eq\f(3,2)C．1 D.eq\f(1,2)解析：x＝loga3，y＝logb3，则eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)＝eq\f(1,loga3)＋eq\f(1,logb3)＝log3a＋log3b＝log3ab≤log3(eq\f(a＋b,2))2＝1，当且仅当a＝b＝eq\r(3)时取等号，所以eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)的最大值为1.答案：C10．当x>0时，不等式x2－mx＋9>0恒成立，则实数m的取值范围是()A．(－∞，6) B．(－∞，6]C．[6，＋∞) D．(6，＋∞)解析：由题意得，当x>0时，mx<x2＋9，即m<x＋eq\f(9,x)恒成立．设函数f(x)＝x＋eq\f(9,x)(x>0)，则有x＋eq\f(9,x)≥2eq\r(x×\f(9,x))＝6，当且仅当x＝eq\f(9,x)，即x＝3时，等号成立．则实数m的取值范围是m<6.答案：A11．已知a、b、c∈R，a＋b＋c＝0，abc>0，T＝eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＋eq\f(1,c)，则()A．T>0 B．T<0C．T＝0 D．以上都有可能解析：由a＋b＋c＝0，abc>0得a、b、c中必有一正二负．不妨设a>0，b<0，c<0，则T＝eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＋eq\f(1,c)＝eq\f(bc＋ac＋ab,abc)＝eq\f(c(a＋b)＋ab,abc)＝eq\f(ab－c2,abc).∵abc>0，ab<0，c2>0，∴ab－c2<0.∴T<0.答案：B12．设x，y满足约束条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x－y－6≤0，,x－y＋2≥0，,x≥0，,y≥0，))若目标函数z＝ax＋by(a>0，b>0)的最大值为12，则eq\f(2,a)＋eq\f(3,b)的最小值为()A.eq\f(25,6) B.eq\f(8,3)C.eq\f(11,3) D．4解析：图1不等式表示的平面区域如图1所示阴影部分，当直线y＝－eq\f(a,b)x＋eq\f(z,b)过直线x－y＋2＝0与直线3x－y－6＝0的交点A(4,6)时，目标函数z＝ax＋by取得最大值12，则4a＋6b＝12，即2a＋3b＝6，所以eq\f(2a＋3b,6)＝1，所以eq\f(2,a)＋eq\f(3,b)＝(eq\f(2,a)＋eq\f(3,b))×eq\f(2a＋3b,6)＝eq\f(13,6)＋(eq\f(b,a)＋eq\f(a,b))≥eq\f(13,6)＋2＝eq\f(25,6)，当且仅当a＝b＝eq\f(6,5)时取等号，所以eq\f(2,a)＋eq\f(3,b)的最小值为eq\f(25,6).答案：A第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(每小题5分，共20分)13．已知a∈R＋，且a≠1，又M＝eq\f(a＋1,2)，N＝eq\r(a)，P＝eq\f(2a,a＋1)，则M，N，P的大小关系是__________．解析：利用基本不等式求解．答案：M>N>P14．在等比数列{an}中，a1＋a2＋a3＋a4＝eq\f(15,8)，a2a3＝－eq\f(9,8)，则eq\f(1,a1)＋eq\f(1,a2)＋eq\f(1,a3)＋eq\f(1,a4)＝________.解析：eq\f(1,a1)＋eq\f(1,a2)＋eq\f(1,a3)＋eq\f(1,a4)＝eq\f(a1＋a4,a1a4)＋eq\f(a2＋a3,a2a3)＝eq\f(a1＋a2＋a3＋a4,a2a3)＝eq\f(\f(15,8),－\f(9,8))＝－eq\f(5,3)(∵a1a4＝a2a3)．答案：－eq\f(5,3)15．建筑物CD的高为h，在顶部C测得地面上两点A、B的俯角分别为60°、30°，又测得∠ADB＝60°，则AB的长为________．解析：图2如图2所示，由条件知，∠CAD＝60°，∠CBD＝30°，∠ADB＝60°，∴AD＝eq\f(1,\r(3))h，BD＝eq\r(3)h.在△ABD中，由余弦定理可得AB2＝AD2＋BD2－2·AD·BD·cos60°，将AD＝eq\f(1,\r(3))h，BD＝eq\r(3)h，代入得AB＝eq\f(\r(21),3)h.答案：eq\f(\r(21),3)h16①若a>b>0，则eq\f(1,a)>eq\f(1,b)；②若a>b>0，则a－eq\f(1,a)>b－eq\f(1,b)；③若a>b>0，则eq\f(2a＋b,a＋2b)>eq\f(a,b)；④若a>0，b>0，且2a＋b＝1，则eq\f(2,a)＋eq\f(1,b)的最小值为9.其中正确________．()解析：①中a>b>0，eq\f(1,a)－eq\f(1,b)＝eq\f(b－a,ab)<0，所以①不正确；②中，(a－eq\f(1,a))－(b－eq\f(1,b))＝a－b＋eq\f(1,b)－eq\f(1,a)＝a－b＋eq\f(a－b,ab)＝(a－b)(1＋eq\f(1,ab))>0，所以②正确；③中，eq\f(2a＋b,a＋2b)－eq\f(a,b)＝eq\f((2a＋b)b－a(a＋2b),(a＋2b)b)＝eq\f((b－a)(b＋a),(a＋2b)b)，由于b－a<0，b＋a>0，(a＋2b)b>0，所以eq\f(2a＋b,a＋2b)<eq\f(a,b)，所以③不正确；④中，eq\f(2,a)＋eq\f(1,b)＝eq\f(2(2a＋b),a)＋eq\f(2a＋b,b)＝5＋eq\f(2b,a)＋eq\f(2a,b)≥5＋2eq\r(\f(2b,a)×\f(2a,b))＝9，当且仅当a＝b＝eq\f(1,3)时，等号成立，所以④正确．答案：②④三、解答题(写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共70分)17．(本小题10分)△ABC中，BC＝7，AB＝3，且eq\f(sinC,sinB)＝eq\f(3,5).(1)求AC；(2)求角A.解：(1)由正弦定理，得eq\f(AC,sinB)＝eq\f(AB,sinC)，∴eq\f(AB,AC)＝eq\f(sinC,sinB)＝eq\f(3,5).∴AC＝eq\f(5×3,3)＝5.(2)由余弦定理，得cosA＝eq\f(AB2＋AC2－BC2,2AB·AC)＝eq\f(9＋25－49,2×3×5)＝－eq\f(1,2).又0°<A<180°，∴A＝120°.18．(本小题12分)在等比数列{an}中，a1·a2·a3＝27，a2＋a4＝30.求：(1)首项a1和公比q；(2)前6项的和S6.解：(1)在等比数列中，由已知得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1·a1q·a1q2＝27，,a1q＋a1q3＝30，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝1，,q＝3))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝－1，,q＝－3.))(2)当eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝1，,q＝3))时，S6＝eq\f(1×(1－36),1－3)＝364；当eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝－1，,q＝－3))时，S6＝eq\f((－1)×[1－(－3)6],1＋3)＝182.∴S6的值为364或182.19．(本小题12分)在△ABC中，已知a2＋c2＝b2＋ac，且sinA＋sinC＝eq\r(3)sinB，求角A、B、C的度数．解：∵cosB＝eq\f(a2＋c2－b2,2ac)＝eq\f(ac,2ac)＝eq\f(1,2)，又0°<B<180°，∴B＝60°.∴A＋C＝120°.∴sinA＋sinC＝eq\f(3,2)，即sinA＋sin(120°－A)＝eq\f(3,2)，∴eq\f(\r(3),2)sinA＋eq\f(1,2)cosA＝eq\f(\r(3),2)，即sin(A＋30°)＝eq\f(\r(3),2).∵0°<A<120°，∴30°<A＋30°<150°.∴A＋30°＝60°或120°.∴A＝30°或90°；当A＝30°时，C＝90°.当A＝90°时，C＝30°.综上，A＝30°，B＝60°，C＝90°或A＝90°，B＝60°，C＝30°.20．(本小题12分)某工厂修建一个长方体形无盖蓄水池，其容积为4800立方米，深度为3米，池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元．设池底长方形长为x(1)求底面积并用含x的表达式表示池壁面积S；(2)怎样设计水池能使总造价最低？最低造价是多少？解：(1)设水池的底面积为S1，池壁面积为S，则有S1＝eq\f(4800,3)＝1600(平方米)，则池底长方形宽为eq\f(1600,x)米，所以S＝6x＋6×eq\f(1600,x)＝6(x＋eq\f(1600,x))(x>0)．(2)设总造价为y，则y＝150×1600＋120×6(x＋eq\f(1600,x))≥240000＋57600＝297600，当且仅当x＝eq\f(1600,x)，即x＝40时取等号，即x＝40时，总造价最低为297600元．21．(本小题12分)某纺纱厂生产甲、乙两种棉纱，已知生产甲种棉纱1吨需耗一级子棉2吨、二级子棉1吨；生产乙种棉纱需耗一级子棉1吨、二级子棉2吨．每吨甲种棉纱的利润是600元，每吨乙种棉纱的利润是900元，工厂在生产这两种棉纱的计划中要求消耗一级子棉不超过300吨、二级子棉不超过250吨．甲、乙两种棉纱应各生产多少(精确到吨)，能使利润总额最大？解：设生产甲、乙两种棉纱分别为x吨、y吨，利润总额为z元，那么eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋y≤300，,x＋2y≤250，,x≥0，,y≥0，))z＝600x＋900y.图3作出以上不等式组所表示的平面区域(如右图3)，即可行域．作直线l：600x＋900y＝0，即直线l：2x＋3y＝0，把直线l向右上方平移至l1的位置时，直线经过可行域上的点M，且与原点距离最大，此时z＝600x＋900y取最大值．解方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋y＝300，,x＋2y＝250，))得M的坐标为