《状元路》2016届高考数学理新课标A版一轮总复习练习选45不等式选讲2_第1页
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文档简介

自主园地备考套餐加固训练练透考点1．已知a，b，m，n均为正数，且a＋b＝1，mn＝2，则(am＋bn)(bman)的最小值为__________．分析：由柯西不等式(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ab＋bd)2，当且仅当ad＝bc时“＝”建立，得(am＋bn)(bm＋an)≥(am·an＋bmbn)2＝mn(a＋b)2＝2.答案：22．[2014·西陕]设a，b，m，n∈R，且a2＋b2＝5，ma＋nb＝5，则m2＋n2的最小值为__________．分析：由柯西不等式得(ma＋nb)2≤(m2＋n2)(a2＋b2)，即m2＋n2≥5，∴m2＋n2≥5，∴所求最小值为5.答案：53．设正数x，y，z知足2x＋2y＋z＝1.(1)求3xy＋yz＋zx的最大值；311125(2)证明：1＋xy＋1＋yz＋1＋zx≥26.分析：(1)3xy＋yz＋zx＝3xy＋(x＋y)z＝3xy＋(x＋y)·[1－2(x＋y)]＝3xy＋(x＋y)－2(x＋y)2≤34(x＋y)2＋(x＋y)－2(x＋y)2＝－54(x＋y)2＋(x＋y)52211＝－[(x＋y)－]＋≤.4555当且仅当＝＝＝1时等号建立，＋＋获得最大值1.xyz53xyyzzx5311(2)证明：由柯西不等式和(1)得，＋＋1＋xy1＋yz1＋zx≥25≥2512531＋xy＋1＋yz＋1＋zx1＝26.5＋54．(1)设≥，≥，证明：x＋＋1≤1＋1＋xy；x1y1yxyxy(2)设1＜a≤b≤c，证明：logab＋logbc＋logca≤logba＋logcb＋logac.证明：(1)因为x≥1，y≥1，11要证x＋y＋xy≤x＋y＋xy，只要证xy(x＋y)＋1≤y＋x＋(xy)2.因为[y＋x＋(xy)2]－[xy(x＋y)＋1][(xy)2－1]－[xy(x＋y)－(x＋y)](xy＋1)(xy－1)－(x＋y)(xy－1)(xy－1)(xy－x－y＋1)(xy－1)(x－1)(y－1)，由条件x≥1，y≥1，因此(xy－1)(x－1)(y－1)≥0，进而所要证明的不等式建立．1(2)设logab＝x，logbc＝y，由对数的换底公式得logca＝xy，logba11＝x，logcb＝y，logac＝xy.于是，所要证明的不等式即为111x＋y＋x

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