2018版高中数学第二章平面向量疑难规律方法学案版4

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精PAGEPAGE11学必求其心得，业必贵于专精第二章平面向量1向量线性运算的应用平面向量的线性运算包括加法、减法以及数乘运算,在解题中具有广泛的应用.在对向量实施线性运算时，要准确利用对应的运算法则、运算律，注意向量的大小和方向两个方面.一、化简例1化简下列各式：（1）（2eq\o（AB,\s\up6(→）)－eq\o（CD,\s\up6（→）)）－（eq\o(AC，\s\up6（→)）－2eq\o（BD，\s\up6（→)))；（2)eq\f(1，24）［3(2a＋8b）－6（4a－2b）］.解（1）(2eq\o（AB，\s\up6（→)）－eq\o（CD,\s\up6（→）))－(eq\o（AC，\s\up6(→）)－2eq\o（BD，\s\up6(→）))＝2eq\o(AB,\s\up6(→)）－eq\o（CD,\s\up6（→）)－eq\o（AC，\s\up6(→）)＋2eq\o（BD,\s\up6(→）)＝2eq\o(AB,\s\up6（→））＋eq\o(DC，\s\up6（→)）＋eq\o（CA，\s\up6（→）)＋2eq\o（BD,\s\up6（→)）＝2(eq\o（AB，\s\up6(→)）＋eq\o（BD,\s\up6（→）))＋(eq\o（DC,\s\up6（→）)＋eq\o(CA，\s\up6(→））)＝2eq\o(AD,\s\up6（→）)＋eq\o(DA，\s\up6（→)）＝eq\o（AD,\s\up6(→))。（2)eq\f（1，24)［3（2a＋8b）－6(4a－2b)]＝eq\f(1,24)（6a＋24b－24a＋12b)＝eq\f（1，24)（－18a＋36b）＝－eq\f（3,4)a＋eq\f（3,2）b。点评向量的基本运算主要有两个途径:一是基于“形”，通过作出向量,运用平行四边形法则或三角形法则进行化简；二是基于“数”，满足“首尾相接且相加"或“起点相同且相减”的两个向量进行化简，解题时要注意观察是否有这两种形式出现，同时注意向量加法法则、减法法则的逆向应用.数乘运算,可类比实数积的运算方法进行,将向量a,b,c等看成一般字母符号，其中向量数乘之间的和差运算，相当于合并同类项或提取公因式，这里的“同类项”与“公因式"指的是向量。二、求参数例2如图，已知△ABC和点M满足eq\o(MA，\s\up6(→）)＋eq\o（MB,\s\up6(→)）＋eq\o（MC，\s\up6(→))＝0，若存在实数m使得eq\o（AB,\s\up6(→））＋eq\o(AC,\s\up6（→））＝meq\o（AM，\s\up6(→))成立,则m＝________。解析如图，因为eq\o(MA,\s\up6(→）)＋eq\o（MB，\s\up6(→））＋eq\o(MC，\s\up6(→))＝0，即eq\o(MA，\s\up6（→））＝－(eq\o(MB,\s\up6（→)）＋eq\o（MC，\s\up6(→)））,即eq\o（AM，\s\up6（→)）＝eq\o（MB,\s\up6（→））＋eq\o(MC，\s\up6（→）)，延长AM，交BC于D点,所以D是BC边的中点，所以eq\o(AM，\s\up6（→））＝2eq\o(MD，\s\up6(→)），所以eq\o（AD,\s\up6(→））＝eq\f(3，2）eq\o（AM,\s\up6（→)），所以eq\o（AB,\s\up6（→))＋eq\o(AC,\s\up6（→）)＝2eq\o（AD,\s\up6（→)）＝3eq\o（AM，\s\up6(→））,所以m＝3.答案3点评求解含参数的向量线性运算问题，只需把参数当作已知条件，根据向量的加法、减法及数乘运算将问题中所涉及的向量用两个不共线的向量表示，列出向量方程，对比系数求参数的值。三、表示向量例3如图所示，在△ABC中，eq\o（AD,\s\up6(→））＝eq\f（2，3）eq\o(AB，\s\up6（→)),DE∥BC交AC于点E，BC边上的中线AM交DE于点N，设eq\o（AB,\s\up6（→))＝a，eq\o(AC，\s\up6(→））＝b,用向量a，b表示eq\o（AE,\s\up6(→））、eq\o（BC,\s\up6(→)）、eq\o（DE,\s\up6(→））、eq\o(DN,\s\up6（→)）、eq\o(AM，\s\up6（→）)。解因为DE∥BC,eq\o（AD，\s\up6(→））＝eq\f（2，3）eq\o(AB，\s\up6(→)），所以eq\o（AE,\s\up6(→）)＝eq\f（2,3)eq\o(AC,\s\up6(→））＝eq\f(2,3)b，eq\o（BC,\s\up6（→））＝eq\o(AC，\s\up6（→))－eq\o（AB,\s\up6(→)）＝b－a，由△ADE∽△ABC，得eq\o(DE，\s\up6(→）)＝eq\f（2，3)eq\o（BC，\s\up6（→)）＝eq\f(2,3）(b－a），又M是△ABC底边BC的中点，DE∥BC，所以eq\o(DN,\s\up6（→))＝eq\f（1，2)eq\o（DE,\s\up6（→））＝eq\f（1,3）(b－a）,eq\o(AM,\s\up6（→）)＝eq\o（AB，\s\up6（→）)＋eq\o（BM，\s\up6(→)）＝a＋eq\f（1,2)eq\o（BC，\s\up6（→）)＝a＋eq\f(1，2）(b－a)＝eq\f(1,2)（a＋b）。点评用已知向量表示另外一些向量，应尽量将所求向量转化到平行四边形或三角形中，利用向量共线条件和平面几何知识的一些定理、性质，如三角形中位线性质，相似三角形对应边成比例等,再利用向量加法、减法法则,即可用已知向量表示所求向量.2走出平面向量的误区平面向量的基本定理与坐标表示是向量问题的基础,试题的特点是概念较多,应用也多，不少同学由于概念、性质掌握不清，在解题时经常出现错误，本文将常见的错误进行简单的总结，希望帮助同学们走出平面向量的误区.一、理解失误例1已知e1、e2是平面α内的一组基底,那么下列命题中正确的有______.（只填序号）①e1、e2两个向量可以共线,也可以是零向量；②λe1＋μe2可以表示平面α内的所有向量；③对于平面α内的任意向量a，使a＝λe1＋μe2的实数λ、μ有无数对。错解①②③正解由平面向量的基本定理知，只有不共线的两个向量才能作为平面向量的一组基底，所以①错误；任一平面向量都可以用一组基底线性表示，且基底确定，其表示是唯一的，所以②正确，③错误；故正确答案为②.答案②点评对平面向量基本定理的学习要把握以下几点：①e1、e2是同一平面内的两个不共线向量;②该平面内的任意向量a都可用e1、e2线性表示，且这种表示是唯一的；③对基底的选取不唯一,只要是同一平面内的两个不共线向量都可以作为一组基底.二、考虑不全例2与模长为13的向量d＝（12,5)平行的单位向量为________。错解由题意得|d|＝13,则与d＝(12，5）平行的单位向量为（eq\f(12，13),eq\f（5,13)）.正解与d＝(12，5）平行的单位向量为（eq\f（12，13)，eq\f（5,13））或（－eq\f（12,13)，－eq\f(5,13））。答案（eq\f（12，13)，eq\f（5,13)）或（－eq\f(12,13)，－eq\f（5，13））点评与d平行的单位向量有同向和反向两种情况，错解忽略了反向的情况。三、概念混淆例3已知A（－2，4),B（3,－1)，C(－3，－4）。设eq\o（CM,\s\up6（→）)＝3eq\o(CA，\s\up6(→))，eq\o(CN,\s\up6(→））＝2eq\o（CB,\s\up6（→)）,试求点M，N和向量eq\o(MN，\s\up6(→)）的坐标.错解A（－2，4)，B（3，－1),C(－3,－4），所以eq\o（CA，\s\up6（→))＝(－2＋3,4＋4）＝(1,8），eq\o(CB,\s\up6(→）)＝(3＋3，－1＋4）＝(6，3），eq\o（CM,\s\up6（→)）＝3eq\o(CA,\s\up6(→））＝(3,24）,eq\o（CN，\s\up6（→))＝2eq\o（CB,\s\up6(→)）＝(12，6），所以点M（3，24），点N(12，6），eq\o(MN，\s\up6（→)）＝（9，－18)。正解已知A（－2,4），B（3，－1),C(－3，－4）。所以eq\o（CA，\s\up6(→））＝(－2＋3，4＋4）＝(1，8）,eq\o（CB,\s\up6（→))＝（3＋3，－1＋4）＝（6,3)，eq\o（CM，\s\up6（→))＝3eq\o（CA，\s\up6(→)）＝（3，24），eq\o（CN，\s\up6（→)）＝2eq\o(CB，\s\up6(→））＝（12，6），又C(－3,－4)，所以点M(0，20)，点N的坐标为(9，2)；所以eq\o(MN，\s\up6(→)）＝(9－0,2－20）＝（9，－18）。点评向量的坐标与点的坐标是两个不同的概念，向量的坐标等于终点坐标减去起点坐标，只有当向量的起点在坐标原点处时，向量的坐标才与终点坐标相等。3平面向量的基本定理应用三技巧技巧一构造某一向量在同一基底下的两种不同的表达形式，用“若e1，e2为基底，且a＝x1e1＋y1e2＝x2e1＋y2e2,则用eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（x1＝x2,y1＝y2)）来求解.例1在△OAB的边OA，OB上分别取点M，N，使｜eq\o(OM，\s\up6(→))|∶|eq\o（OA，\s\up6（→）)|＝1∶3，｜eq\o（ON，\s\up6（→）)|∶|eq\o（OB,\s\up6(→))｜＝1∶4,设线段AN与BM交于点P，记eq\o(OA，\s\up6(→）)＝a，eq\o（OB,\s\up6(→））＝b，用a，b表示向量eq\o（OP,\s\up6（→)）。解∵B,P,M共线,∴存在常数s，使eq\o（BP，\s\up6（→）)＝seq\o（PM，\s\up6(→))，即eq\o(OP，\s\up6(→）)－eq\o（OB,\s\up6（→))＝s(eq\o（OM,\s\up6（→)）－eq\o(OP，\s\up6（→)）），∴eq\o（OP，\s\up6(→））＝eq\f（1，1＋s)eq\o（OB，\s\up6（→)）＋eq\f（s，1＋s）eq\o(OM，\s\up6（→)）。即eq\o（OP,\s\up6(→))＝eq\f(1，1＋s)eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f（s，31＋s)eq\o（OA,\s\up6(→））＝eq\f(s，31＋s)a＋eq\f（1,1＋s)b. ①同理，存在常数t，使eq\o（AP,\s\up6(→）)＝teq\o（PN，\s\up6（→）)，则eq\o(OP，\s\up6(→）)＝eq\f（1,1＋t）a＋eq\f（t,41＋t)b. ②∵a，b不共线，∴eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(\f（1，1＋t）＝\f（s,31＋s),，\f（1，1＋s)＝\f（t,41＋t),))解之得eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（s＝\f（9，2），t＝\f（8，3）)），∴eq\o（OP,\s\up6(→））＝eq\f（3,11）a＋eq\f（2，11)b。点评这里选取eq\o（OA，\s\up6（→)），eq\o(OB，\s\up6（→）)作为基底，构造eq\o(OP，\s\up6（→）)在此基底下的两种不同的表达形式,再根据相同基底的系数对应相等得到实数方程组,最后进行求解。技巧二构造两个共线向量在同一基底下的表达形式，用“若e1，e2为基底，a＝x1e1＋y1e2，b＝x2e1＋y2e2，且a∥b，则x1y2－x2y1＝0”来求解。例2如图，在△OAB中，eq\o(OC,\s\up6(→）)＝eq\f（1，4）eq\o(OA,\s\up6（→))，eq\o(OD，\s\up6（→))＝eq\f（1，2）eq\o（OB，\s\up6(→))，AD与BC交于点M,设eq\o(OA,\s\up6(→））＝a，eq\o（OB,\s\up6(→)）＝b.（1)用a、b表示eq\o（OM,\s\up6(→）);（2)已知在线段AC上取一点E,在线段BD上取一点F，使EF过M点，设eq\o(OE,\s\up6（→）)＝peq\o（OA,\s\up6(→)），eq\o（OF，\s\up6(→）)＝qeq\o（OB,\s\up6（→）），求证：eq\f（1,7p）＋eq\f(3,7q）＝1.(1)解设eq\o（OM,\s\up6（→)）＝ma＋nb，则eq\o(AM，\s\up6（→))＝(m－1）a＋nb，eq\o（AD，\s\up6(→)）＝－a＋eq\f（1，2）b。∵点A、M、D共线，∴eq\o（AM，\s\up6(→））与eq\o（AD，\s\up6（→）)共线，∴eq\f(1，2）（m－1）－（－1)×n＝0，∴m＋2n＝1. ①而eq\o（CM，\s\up6（→）)＝eq\o(OM,\s\up6(→）)－eq\o(OC,\s\up6(→)）＝（m－eq\f（1,4))a＋nb，eq\o(CB，\s\up6（→）)＝－eq\f（1,4）a＋b。∵点C、M、B共线，∴eq\o（CM,\s\up6(→)）与eq\o（CB，\s\up6（→)）共线，∴－eq\f(1,4）n－(m－eq\f(1，4）)＝0。∴4m＋n＝1. ②联立①②可得m＝eq\f（1,7），n＝eq\f（3,7），∴eq\o(OM，\s\up6（→)）＝eq\f(1，7)a＋eq\f(3，7）b。(2）证明∵eq\o(EM,\s\up6(→)）＝(eq\f（1，7)－p）a＋eq\f(3，7)b,eq\o(EF，\s\up6(→）)＝－pa＋qb，且eq\o（EF,\s\up6（→))与eq\o(EM，\s\up6（→））共线，∴（eq\f(1,7）－p）q－eq\f（3,7）×（－p）＝0.∴eq\f(1，7)q＋eq\f(3,7）p＝pq，即eq\f(1，7p）＋eq\f(3，7q)＝1。点评这里多次运用构造一组共线向量的表达形式，再根据共线向量基底的系数关系建立方程组求解.技巧三将题目中的已知条件转化成λ1e1＋λ2e2＝0的形式（e1，e2不共线），根据λ1＝λ2＝0来求解。例3如图，已知P是△ABC内一点，且满足条件eq\o(AP,\s\up6（→）)＋2eq\o(BP，\s\up6(→)）＋3eq\o（CP，\s\up6（→))＝0,设Q为CP的延长线与AB的交点,令eq\o（CP，\s\up6(→））＝p,试用向量p表示eq\o（CQ,\s\up6（→））。解∵eq\o(AP，\s\up6(→)）＝eq\o(AQ，\s\up6（→)）＋eq\o（QP,\s\up6(→))，eq\o（BP,\s\up6(→)）＝eq\o(BQ,\s\up6(→）)＋eq\o（QP,\s\up6（→）），∴(eq\o（AQ,\s\up6(→))＋eq\o（QP，\s\up6(→)))＋2(eq\o（BQ,\s\up6（→)）＋eq\o（QP，\s\up6（→)))＋3eq\o(CP,\s\up6（→）)＝0，∴eq\o（AQ,\s\up6（