八年级数学上册《第十三章 线段的垂直平分线的性质》练习题

第第页答案第=page11页，共=sectionpages22页八年级数学上册《第十三章线段的垂直平分线的性质》练习题（含答案解析）学校:___________姓名：___________班级：___________一、单选题1．如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，EF垂直平分BC，点P为直线EF上的任一点，则AP+BP的最小值是（）A．4 B．5 C．6 D．72．如图，DE，DF分别是线段AB，BC的垂直平分线，连接DA，DC，则（）A．∠A＝∠C B．∠B＝∠ADCC．DA＝DC D．DE＝DF3．在国家精准扶贫政策的指导下，在镇党委的大力扶持下，有两个村庄P、Q都开发了绳网项目，生产体育绳网、安全绳网等．为了让绳网通过互联网迅速销往各地，当地政府准备在两个村庄的公路m旁建立公用5G移动通信基站，要使基站到两个村庄的距离相等，那么基站应该建立在（

）A．A处

B．B处

C．C处

D．D处4．如图，AC＝AD，BC＝BD，则有（

）A．AB垂直平分CD B．CD垂直平分ABC．AB与CD互相垂直平分 D．CD平分∠ACB5．如图，在ABC中，AC的垂直平分线分别交AC、BC于E，D两点，EC=3，ABC的周长为21，则ABD的周长为（

）A．14 B．15 C．16 D．176．等腰三角形的一个外角等于130°，则它的顶角为（）A．50° B．80° C．50°或80° D．40°或65°7．如图，∠AOB＝20°，点M、N分别是边OA、OB上的定点，点P、Q分别是OB、OA上的动点，记∠MPQ＝α，∠PQN＝β，当MP+PQ+QN最小时，则β﹣α的值为（）A．10° B．20° C．40° D．50°二、填空题8．若三角形满足一个角是另一个角的3倍，则称这个三角形为“智慧三角形”，其中称为“智慧角”．在有一个角为60°的“智慧三角形”中，“智慧角”是______度．9．如图，AB＝AC，∠A＝40°，AB的垂直平分线MN交AC于点D．则∠DBC的大小为______．10．如图是可调躺椅示意图（数据如图），AE与BD的交点为C，且∠A，∠B，∠E保持不变．为了舒适，需调整∠D的大小，使，则图中∠D应___（填“增加”或“减少”）___度．11．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，根据尺规作图的痕迹判断以下结论正确的是______．①∠DBC＝∠BDC

②AE＝BE

③

④∠BAE＝∠ACD三、解答题12．如图，和都是直角三角形，．(1)如图1，，与直线重合，若，，求的度数；(2)如图2，若，，保持不动，绕点逆时针旋转一周．在旋转过程中，当时，求的度数；(3)如图3，，点、分别是线段、上一动点，当周长最小时，直接写出的度数（用含的代数式表示）．13．已知：，，.垂足分别为F、E，．(1)如图，求证：；(2)如图，连接、、，若，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出四个三角形，使每一个三角形的面积都等于面积的一半．14．如图，在△ABC和△AEF中，点E在BC边上，AE＝AB，AC＝AF，∠CAF＝∠BAE，EF与AC交于点G．(1)求证：EF＝BC；(2)若∠B＝62°，∠ACB＝24°，求∠FGC的度数．15．如图，在平面直角坐标中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣1，3），B（﹣4，0），C（1.5，0）．(1)若△ABC关于y轴对称的图形为△GEF，点G关于x轴的对称点为D，请直接写出以下三点的坐标：E，F，D；(2)求∠ABC的度数；(3)在（1）的条件下，猜想AC与DF的关系，并证明．参考答案：1．A【分析】根据题意知点B关于直线EF的对称点为点C，故当点P在AC上时，AP+BP有最小值．【详解】解：连接PC．∵EF是BC的垂直平分线，∴BP＝PC．∴PA+BP＝AP+PC．∴当点A，P，C在一条直线上时，PA+BP有最小值，最小值＝AC＝4．故选：A．【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题的应用，明确点A、P、C在一条直线上时，AP+PB有最小值是解题的关键．2．C【分析】根据垂直平分线的性质“线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等”分析判断即可．【详解】解：如图，连接BD，∵DE，DF分别是线段AB，BC的垂直平分线，∴，，∴．故选：C．【点睛】本题主要考查了垂直平分线段的性质，熟记垂直平分线的性质是解题的关键．3．B【分析】根据线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等进行求解即可．【详解】由题意知，村庄P．Q连线的垂直平分线与公路的交点就是所求，即选在点B，故选B．【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，熟知性质是解题的关键．4．A【分析】由AC＝AD，BC＝BD，可得点A在CD的垂直平分线上，点B在CD的垂直平分线上，又由两点确定一条直线，可得AB是CD的垂直平分线．【详解】解：∵AC＝AD，BC＝BD，∴点A在CD的垂直平分线上，点B在CD的垂直平分线上，∴AB是CD的垂直平分线．即AB垂直平分CD．故选：A【点睛】本题考查了垂直平分线的判定定理，熟悉垂直平分线的判定定理是解题的关键．5．B【分析】根据垂直平分线的性质计算即可；【详解】∵DE是线段AC的垂直平分线，∴，，∴，∵△ABC的周长为21，∴，∴，∴ABD的周长，故答案选B．【点睛】本题主要考查了垂直平分线的性质，准确计算是解题的关键．6．C【分析】先求出该外角的内角为50°，再分50°角为底角和顶角两种情况，求出其他两个内角的度数即可．【详解】解：∵等腰三角形的一个外角等于130°，∴等腰三角形的内角为180°-130°=50°，当50°角为底角时，顶角为180°-2×50°=80°，当50°为顶角时，底角为（180°-50°）÷2=65°，故等腰三角形的顶角为50°或80°，故选：C．【点睛】此题考查了等腰三角形的性质：等腰三角形的两个底角相等．7．C【分析】作M关于OB的对称点，N关于OA的对称点，连接交OA于Q，交OB于P，则MP＋PQ＋QN最小易知∠OPM＝∠OP＝∠NPQ，∠OQP＝∠AQ＝∠AQN，根据三角形的外角的性质和平角的定义即可得到结论．【详解】解：如图，作M关于OB的对称点，N关于OA的对称点，连接交OA于Q，交OB于P，则MP＋PQ＋QN最小，∴∠OPM＝∠OP＝∠NPQ，∠OQP＝∠AQ＝∠AQN，∴∠QPN＝（180°−α）＝∠AOB＋∠MQP＝20°＋（180°−β），∴180°−α＝40°＋（180°−β），∴β−α＝40°，故选：C．【点睛】本题考查轴对称−最短问题、三角形的内角和定理．三角形的外角的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．8．60或90##90或60【分析】根据“智慧三角形”及“智慧角”的定义，列方程求解即可．【详解】解：在有一个角为60°的三角形中，①当“智慧角”α=60°时，β=20°，另一个角为100°；②当α+β=180°-60°=120°且α=3β时，则3β+β=120°，解得β=30°，∴α=90°，即“智慧角”是90°，故答案为：60或90【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定理，掌握“三角形的内角和是180°”和“智慧三角形”、“智慧角”的定义是解决本题的关键．9．30°##30度【分析】先根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理求出∠ABC及∠ACB的度数，再根据线段垂直平分线的性质求出∠ABD的度数即可进行解答．【详解】解：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝70°，∵MN垂直平分AB，∴DA＝DB，∴∠A＝∠ABD＝40°，∴∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝70°﹣40°＝30°．故答案为：30°．【点睛】本题考查的是线段垂直平分线的性质，即线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等．10．

增加

20【分析】延长EF交BD于H，利用“8”字形求出∠EHC，利用外角的性质得到∠EFD=∠D+∠DHF，由此求出∠D的度数，进而得到答案．【详解】解：延长EF交BD于H，∵∠A+∠B=∠E+∠EHC，∴∠EHC=，∴，∵∠EFD=∠D+∠DHF，∴∠D=∠EFD-∠DHF=，∵，∴∠D的度数应增加，增加，故答案为：增加，20．【点睛】此题考查了三角形外角的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握三角形各角的关系是解题的关键．11．②③④【分析】根据尺规作图的痕迹可得，DE垂直平分AB，再根据线段垂直平分线的性质以及直角三角形斜边上中线的性质，即可得出结论．【详解】解：根据尺规作图的痕迹可得，DE垂直平分AB，∴D为AB的中点，AE=BE，∴CD=AB=AD=BD，∴∠DBC=∠DCB，∠A=∠ACD，综上所述，①选项错误，②③④选项都正确，故答案为：②③④．【点睛】本题主要考查了基本作图以及直角三角形斜边上中线的性质，在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．12．(1)(2)或(3)【分析】（1）先算出，，然后根据平角的定义，求出即可；（2）分点C在MN上方和点C在MN下方两种情况进行讨论，根据平行线的性质，求出结果即可；（3）延长PB截取BG=PB，在MN上截取AH=AP，连接GH，交BD于点E，交AC于点F，连接PE、PF，此时△PEF的周长最小，根据三角形外角的性质和垂直平分线的性质，求出的度数即可．（1）解：∵，，，∴，，∵，与直线重合，∴．（2）当点C在MN上方时，如图所示：，，∴，∵，，∴；当点C在MN下方时，如图所示：∵，，∴，，∴；综上分析可知，或．（3）延长PB截取BG=PB，在MN上截取AH=AP，连接GH，交BD于点E，交AC于点F，连接PE、PF，此时△PEF的周长最小，如图所示：∵，∴，，∴垂直平分PG，CA垂直平分PH，∴EG=EP，FP=FH，∴，，∵∠MPG是△PGH的外角，∴，，∴，∴【点睛】本题主要考查了平行线的性质，垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，直角三角形两锐角互余，根据题意作出图形，并进行分类讨论，是解题的关键．13．(1)见解析(2)，，，【分析】（1）由题意易得，然后可证，进而问题可求解；（2）由题意易得，然后根据三角形的中线与面积关系可得，然后再根据全等三角形的性质与判定可进行求解．（1）证明：∵，∴，即，又∵，，∴在和中，∴，∴；（2）解：，，，，理由如下：∵，，∴，∴，∴，∵，，∴，在和△ABF中，，∴（ASA），∴，∴，∵，∴，即，，，这四个三角形的面积都等于面积的一半．【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定及三角形的中线与面积的关系，熟练掌握全等三角形的性质与判定及三角形的中线与面积的关系是解题的关键．14．(1)证明见解析；(2)∠FGC＝80°【分析】（1）先证△BAC≌△EAF（SAS），即可求解；（2）根据三角形的内角和定理，补角的概念即可求解；（1）证明：∵∠CAF＝∠BAE，∴∠CAF+∠EAC＝∠BAE+∠EAC，即∠BAC＝∠EAF，在△BAC和△EAF中，，∴△BAC≌△EAF（SAS），∴EF＝BC．（2）解：∵AB＝AE，∴∠B＝∠AEB＝62°，∴∠BAE＝56°，∴∠CAF＝∠BAE＝56°，∵△BAC≌△EAF，∴∠F＝∠C＝24°，∴∠FGC＝∠FAC+∠F＝56°+24°＝80°．【点睛】本题主要考查三角形全等证明，三角形内角和定理，补角的概念，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键．15．(1)，，(2)45°(3)，，证明见解析【分析】（1）根据点的坐标关于谁对称，谁不变，不关谁对称，谁全变的特点求解即可；（2）过点A，作轴，交于点H，利用两点间的距离求出，，即可得；（3