江苏省南京市江宁区秦淮中学2021-2022学年高三数学理期末试卷含解析

江苏省南京市江宁区秦淮中学2021-2022学年高三数学理期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.在项数为的等差数列中，所有奇数项和与偶数项和的比是(

)A．

B．

C．

D．参考答案：A2.已知函数，则函数的值域是

A．

B．

C．

D．以上都不对

参考答案：C略3.运行如图的程序框图，设输出数据构成的集合为，从集合中任取一个元素a，则函数是增函数的概率为(

)参考答案：C略4.设，，，则（

）（A） （B）（C） （D）参考答案：C5.若2014=αk?5k+αk﹣1?5k﹣1+…+a1?51+a0?50，其中ak，ak﹣1，…，a0∈N，0＜ak＜5，0≤ak﹣1，ak﹣2，…，a1，a0＜5．现从a0，a1，…，ak中随机取两个数分别作为点P的横、纵坐标，则点P落在椭圆+=1内的概率是（）A． B． C． D．参考答案：A【考点】K4：椭圆的简单性质．【分析】由题意结合进位制转化求得a0，a1，…，ak，然后利用古典概型概率计算公式求得答案．【解答】解：由题意可知，把十进制数2014采用除5取余法化为五进制数：2014/5=402余4，402/5=80余2，80/5=16余0，16/5=3余1，3/5=0余3．∴2014=3?54+1?53+0?52+2?51+4?50．则a0=4，a1=2，a2=0，a3=1，a4=3．则从4，2，0，1，3中随机取两个数分别作为点P的横、纵坐标，共有52=25个点．其中在椭圆+=1内的点有：（0，0），（1，1），（2，2），（2，0），（2，1），（0，2），（0，1），（1，2），（1，0），（3，0），（3，1）共11个．∴点P落在椭圆+=1内的概率是．故选：A．【点评】本题考查椭圆的简单性质，考查了进位制，训练了古典概型概率计算公式的求法，是中档题．6.已知，则的大小关系是A．

B．

C．

D．

参考答案：【知识点】对数值大小的比较．B7【答案解析】B解析：由指数函数和对数函数的性质可知，而，，所以有，故选B.【思路点拨】利用指数函数和对数函数的单调性即可得出．7.已知函数的反函数为，则（A）0

（B）1

（C）2

（D）4参考答案：C8.如图是某个四面体的三视图，若在该四面体的外接球内任取一点，则点落在四面体内的概率为（）A. B. C. D.参考答案：D试题分析：由题意可知三棱锥的底面是一个直角边为等腰直角三角形，所以三棱锥的体积为12.球的直径为三棱锥的三个两两垂直的棱为长方体的体对角线，即.所以球的体积为.所以点落在四面体内的概率为.故选C.考点：1.三视图的知识.2.球的内接几何体.3.概率问题.4.空间想象力.9.已知复数，则在复平面内对应的点位于（

）A.第一象限

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限参考答案：B略10.某学校星期一每班都排9节课，上午5节、下午4节，若该校李老师在星期一这天要上3

个班的课，每班l节，且不能连上3节课（第5和第6节不算连上），那么李老师星期一这天课的排法共有

(A)474种

(B)77种

(C)462种

(D)79种参考答案：A略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知A.

B.

C.

D.参考答案：D12.设是抛物线上的一点,是抛物线上的任意两点,分别是的斜率,若,则的坐标为

.参考答案：13.已知为单位向量，，且，则与夹角的大小是

．参考答案：

14.已知是原点，点的坐标满足，则的取值范围为

．参考答案：答案：[－3，3]15.已知长方形ABCD中，AB=4，BC=1，M为AB的中点，则在此长方形内随机取一点P，P与M的距离小于1的概率为．参考答案：【考点】几何概型．【分析】本题利用几何概型解决，这里的区域平面图形的面积．欲求取到的点P到M的距离大于1的概率，只须求出圆外的面积与矩形的面积之比即可．【解答】解：根据几何概型得：取到的点到M的距离小1的概率：p====．故答案为：．16.(极坐标选做题）极坐标系中，曲线上的点到直线的距离的最大值是

.参考答案：略17.已知圆：，直线被圆截得的弦长是

．参考答案：解析：圆心，半径，弦心距。弦长三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数（Ⅰ）求证：对任意的；（Ⅱ）证明：；（Ⅲ）求证：对任意的.参考答案：（Ⅰ）只需证明的最大值为0即可，令，得，当时，，当时是唯一的极大值点，故,∴，从而

4分（Ⅱ）由（Ⅰ）当时，，即

令

得

由上面个不等式相加得

9分（Ⅲ）由（Ⅰ）当时

，即

14分19.如图，设P是圆x2＋y2＝2上的动点，点D是P在x轴上的投影，M为PD上一点，且|PD|＝|MD|,当P在圆上运动时，记点M的轨迹为曲线C.（I）求证：曲线C是焦点在x轴上的椭圆，并求其方程;（II）设椭圆C的右焦点为F2，直线与椭圆C交于A、B两点，直线F2A与F2B的倾斜角互补，求证：直线过定点，并求该定点的坐标.

参考答案：解析：(1)设M的坐标为(x，y)，P的坐标为(xP，yP)，由已知得，∵P在圆上，∴x2＋＝2，即，∴曲线C是焦点在x轴上的椭圆，其方程为.（2）由题意，知直线AB斜率存在，其方程为由，消去△=（4km）2—4(2k2+1)(2m2—2)>0.设则

且，由已知直线F2A与F2B的倾斜角互补得，

化简得，，，整理得，

所以直线MN的方程为，故直线MN过定点，该定点的坐标为（2，0）

略20.（12分）已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1=2，nan+1=2（n+1）an（1）记bn=，求数列{bn}的通项bn；

（2）求通项an及前n项和Sn．参考答案：【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（1）由nan+1=2（n+1）an?，即bn+1=2bn．（2）由（1）得an=nbn=n?2n．错位相减法求和即可．【解答】解：（1）因为nan+1=2（n+1）an所以，即bn+1=2bn所以{bn}是以b1=2为首项，公比q=2的等比数列．所以数列{bn}的通项bn=2×2n﹣1=2n．（2）由（1）得an=nbn=n?2n．所以

sn=1?2+2?22+3?23+…+（n﹣1）2n﹣1+n?2n．；

2sn=1?22+2?23+3?24+…+（n﹣1）2n+n?2n+1．；所以﹣sn=2+22+23+24+…+2n﹣n?2n+1=．所以sn=（n﹣1）?2n+1+2【点评】本题考查了等比数列的判定，及错位相减法求和，属于中档题．21.椭圆与的中心在原点，焦点分别在轴与轴上，它们有相同的离心率，并且的短轴为的长轴，与的四个焦点构成的四边形面积是.(1)求椭圆与的方程；(2)设是椭圆上非顶点的动点，与椭圆长轴两个顶点，的连线，分别与椭圆交于，点.(i)求证：直线，斜率之积为常数；(ii)直线与直线的斜率之积是否为常数？若是，求出该值；若不是，说明理由.参考答案：(1)依题意，设，，由对称性，四个焦点构成的四边形为菱形，且面积，解得：.所以椭圆，.(2)(i)设，则，，.，.所以：.直线，斜率之积为常数.(ii)设，则.，，所以：，同理：，所以：，由，，结合(i)有.22.某校高一某班的某次数学测试成绩（满分为100分）的茎叶图和频率分布直方图都受了不同程度的破坏，但可见部分，如图，据此解答下列问题：（1）求分数在[50，60]的频率及全班人数；（2）求分数在[80，90]之间的频数，并计算频率分布直方图中[80，90]间的矩形的高．参考答案：【考点】频率分布直方图；茎叶图．【分析】（1）由直方图在得到分数在[50，60）的频率，求出全班人数；（2）由茎叶图