正交试验课程学习

正交试验设计第1页/共86页第一页，共87页。正交试验设计部分的内容§1-1正交表及其用法§1-2多指标的分析方法§1-3混合水平的正交试验设计§1-4有交互作用的正交试验设计§1-5正交表的构造法§1-6正交试验设计的方差分析第2页/共86页第二页，共87页。希望试验次数尽量少，结果尽可能好。可变因素个数每个因素所取的水平数全面试验的次数2772=493773=3436776=117649解决方法：正交设计正交设计的主要工具：正交表表1-1为什么需要试验设计？第3页/共86页第三页，共87页。图1-1全面实验法的试验点分布§1.1正交表及其用法第4页/共86页第四页，共87页。序号ABC序号ABC111115223211216231311317232412118233512219311612320312713121313813222321913323322102112432311212253311221326332132212733314222表1-2图1-1中所有可能的实验搭配第5页/共86页第五页，共87页。图1-2简单比较法的试验点分布第6页/共86页第六页，共87页。图1-3正交表安排试验时试验点分布因素编号ABC111121223133421252236231731383219332表1-3L9(33)正交表第7页/共86页第七页，共87页。【例1-1】某钢铁厂为了提高铁水温度，需要通过试验选择最好的生产方案，经初步分析，主要有三个因素影响铁水温度，它们是焦比、风压和底焦高度，每个因素都考虑3个水平，具体情况如表1-2，问对这三个水平如何安排，才能获得最高的铁水温度？

因素水平A焦比B风压/133PaC底焦高度/m11：161701.221：182301.531：142001.3表1-4试验编号123456789铁水温度/C136513951385139013951380139013901410表1-5：试验结果第8页/共86页第八页，共87页。

因素试验号1A2B3C铁水温度/C铁水温度减去1350111113651521221395453133138535421213904052231395456231138030731313904083211390409332141060K1959585K2115130145K31401251201(=K1/3)31.731.728.32(=K2/3)38.343.348.33(=K3/3)46.741.740.0极差15.011.620.0优方案A3B2C2表1-6试验结果及分析第9页/共86页第九页，共87页。表1-6的计算分析过程K1行分别是A、B、C的第一水平对应的铁水温度（减去1350之后）K2行分别是A、B、C的第二水平对应的铁水温度（减去1350之后）K3行分别是A、B、C的第三水平对应的铁水温度（减去1350之后）12

3分别是K1、K2、K3这三行中的3个数除以3所得的结果，也就是个水平所对应的平均值。极差同一列中，这三个数中的最大者减去最小者。优方案若指标要求越大越好，则取各中的最大者；若指标要求越小越好，则取各中的最小者。第10页/共86页第十页，共87页。正交表的代号表的横行数（需做试验的次数）表的纵列数（可安排因素的最多个数）表示每一因素的水平个数正交表的表示方法第11页/共86页第十一页，共87页。各列水平均为2的常用正交表有：L4（23），L8（27），L12（211），L16（215），L20（219），L32（231）。各列水平数均为3的常用正交表有：L9（34），L27（313）各列水平数均为4的常用正交表有：L16（45）各列水平数均为5的常用正交表有：L25（56）第12页/共86页第十二页，共87页。

列号试验号ABCD111112122231333421235223162312731328321393321表1-7：L9(34)正交表第13页/共86页第十三页，共87页。正交表的性质

每列中不同数字出现的次数是相等的。任意两列中，将同一行的两个数字看成有序数对时，每种数对出现的次数是相等的。用正交表来安排试验时，各因素的各种水平搭配是均衡的。正交表的优点第14页/共86页第十四页，共87页。

根据实验的目的，确定实验时要考虑的因素。对所做实验了解少，因素应多取一些；了解多，因素可少取。确定每个因素的变化水平，每个因素的水平数可以相等或不等。重要的因素，水平可以多一些，其余可以少一些。估计实验条件、成本等情况，估算一下能做多少实验。选取正交表。选表时要先看各因素的水平数，再决定从两水平、三水平或者四水平的L表中选取，然后根据因素和实验要求来定L表。当实验精度要求高、因素多、交互作用多时，应选择大的L表，否则可选小的L表。根据安排的计划进行试验，测定各试验指标。对试验结果进行计算分析，得出合理的结论。正交试验设计步骤第15页/共86页第十五页，共87页。【例1-2】某种功能材料成分的正交设计。序号SiO2Na2OK2OCaO172.07.268.1612.68274.06.767.6611.68376.06.267.1610.68材料的组成为：从表中选出一种组成，使其具有某种最佳性能（弹性模量）。选用：L9(34)正交表，测得弹性模量实验数据如下表所示。表1-8第16页/共86页第十六页，共87页。

列号试验号A（SiO2）B（Na2O）C（K2O）D（CaO）实验结果（弹性模量）111117.2636212227.2582313337.2456421237.2001522317.3130623127.2560731327.2558832137.1988933217.308617.25587.239837.239477.2950727.25637.256677.255637.2566737.25447.270077.271477.21483极差0.00190.030240.032000.08024表1-9优方案：A2B3C3D1第17页/共86页第十七页，共87页。§1.2多指标试验设计的分析方法综合评分法将多指标化为一个评分指标来进行直观分析的方法。综合平衡法先分别将各个指标按单指标进行计算分析，再将各指标的分析结果进行综合平衡,以得到“最优”试验方案。第18页/共86页第十八页，共87页。【例1-3】某厂生产一种化工产品，需要检验两个指标：核酸纯度和回收率，这两个指标都是越大越好。有影响的因素有四个，各有三个水平。是通过试验分析找出最好方案，使产品的核酸含量和回收率都有提高。综合评分法

因素水平A时间/hB加料中核酸含量CpH值D加水量1257.55.01：6259.06.01：4316.09.01：2表1-10第19页/共86页第十九页，共87页。

列号试验号A1B2C3D4各指标试验结果综合评分纯度回收率1111117.530.0100.02122212.041.289.2313336.060.084.0421238.024.256.2522314.55169.0623124.058.474.4731328.531.065.0832137.020.548.5933214.573.591.5K1273.2221.2222.9260.5总分=4×纯度+1×回收率K2196.6206.7236.9228.6K3205.0249.9218.9188.7191.173.774.386.8265.568.979.076.2368.383.372.762.9极差25.614.46.323.9优方案A1B3C2D1表1-11第20页/共86页第二十页，共87页。【例1-4】为提高某种产品质量，要对生产该产品的原料进行配方设计，要检验三项指标：抗压强度、落下强度和裂纹度。前两个指标越大越好，第三个指标越小越好。配方中有三个重要因素：水分、粒度和碱度，它们各有三个水平。试进行试验分析，找出最好的配方。因素水平水分A%粒度B%碱度C%1841.12961.33781.53因素三水平问题，选用L9(34)正交表。三个因素依次排在前三列，第四列不要。表1-12综合平衡法第21页/共86页第二十一页，共87页。

列号试验号A1B2C3各指标的实验结果抗压强度落下强度裂纹度111111.51.1321224.53.64313311.04.6442127.01.1352238.01.62623118.515.1073139.01.1383218.04.62933213.420.21抗压强度K127.027.538.0K233.520.524.9K330.442.928.019.09.212.7211.26.88.3310.114.39.3极差2.27.54.4优方案A2B3C1表1-13第22页/共86页第二十二页，共87页。接上表

列号试验号A1B2C3各指标的实验结果抗压强度落下强度裂纹度裂纹度K11195K2588K365913.73.01.721.72.72.732.01.73.0极差2.01.31.3优方案A2B3C1落下强度K19.33.320.8K217.89.824.9K325.939.97.313.11.16.925.93.38.338.613.32.4极差5.512.25.9优方案A3B3C2第23页/共86页第二十三页，共87页。综合分析，较好的试验方案是：粒度：B3，第三水平，8碱度：C1，第一水平，1.1水分：A2，第二水平，9图1-4优方案：裂纹度：A2B3C1落下强度：A3B3C2抗压强度：A2B3C1第24页/共86页第二十四页，共87页。【例1-5】某厂5t冷风冲天炉，探索较好的生产条件。质量指标

铁水温度在1400C以上

熔化速度在5t/h左右

焦炭与铁水的比例在1：12因子

熔化带直径与炉缸直径

两排风口尺寸

风压

焦铁比

每个因子定三个水平第25页/共86页第二十五页，共87页。

因子水平A熔化带直径×炉缸直径（mm）B一排风口尺寸×二排风口尺寸(mm)C风压（Pa/kg）D焦铁比1：X1Φ760×Φ620Φ40×Φ6Φ40×Φ613001：13.52Φ740×Φ550Φ30×Φ6Φ25×Φ616001：14.53Φ720×Φ550Φ20×Φ6Φ25×Φ615001：12.5表1-14因素及水平数第26页/共86页第二十六页，共87页。

列号试验号ABCD1234试验方案试验指标综合评分铁水温度C熔化速度t/h总焦铁比1：X11111A1B1C1D114085.31：11.7221222A1B2C2D213975.21：13.2731333A1B3C3D314095.61：12.3642123A2B1C2D314095.21：11.9652231A2B2C3D114054.91：12.5962312A2B3C1D214125.11：13.02173132A3B1C3D214155.41：13.32483213A3B2C1D314135.31：12.21293321A3B3C2D114195.11：13.533选用L9(34)正交表。综合评分法表1-15第27页/共86页第二十七页，共87页。铁水温度以1400C为基准，每高1C加1分，每低1C减1分；熔化速度以5t/h为基准，每增大0.1吨或减小0.1吨都扣1分；总焦铁比以1：12为标准，每高0.1加1分，每低0.1，减1分。评分方法第28页/共86页第二十八页，共87页。

列号试验号A1B2C3D4试验方案综合评分11111A1B1C1D1221222A1B2C2D2731333A1B3C3D3642123A2B1C2D3652231A2B2C3D1962312A2B3C1D22173132A3B1C3D22483213A3B2C1D31293321A3B3C2D133K115323544K236284652K3696039241510.711.714.72129.315.317.332320.013.08.0极差1810.73.69.3表1-16第29页/共86页第二十九页，共87页。结合上表知：最优方案是A3、B3、C2、D2。图1-5因子和水平与评分的关系第30页/共86页第三十页，共87页。综合平衡法

因子计算值铁水温度℃熔化速度t/h总焦铁比1:XABCDABCDABCDK1421442324233423216.115.915.715.31:37.21:36.91:36.91:37.7K2422642154225422415.215.415.515.71:37.41:37.91:38.61:39.5K3424742404229423115.815.815.916.11:39.01:38.81:38.11:36.4114051411141114115.45.35.235.11:12.41:12.31:12.31:12.6214091405140814085.15.15.175.21:12.51:12.61:12.91:13.2314161413141014105.35.35.35.41:13.01:12.91:12.71:12.1极差118330.30.20.10.30.60.60.61.1优方案A3B3C1D1A2B2C2D1A3B3C2D2表1-17【例1-5】第31页/共86页第三十一页，共87页。铁水温度熔化速度总焦铁比图1-6第32页/共86页第三十二页，共87页。§1.3水平不同的正交试验设计

有些试验中，有的因子可以取较多的水平，有些因子受条件的限制，不能多选水平，这就是水平不同的正交试验设计，也叫混合水平的多因素试验设计。解决方法拟水平法——把水平不同的问题化成水平数相同的问题来处理直接利用混合水平正交表第33页/共86页第三十三页，共87页。混合水平正交表及其用法混合水平正交表就是各因素的水平数不完全相等的正交表。混合水平的正交表的类型：L8(41×24)，L16(41×212)，L16(42×29)，L18(21×37)等混合水平正交表的两个特点：每一列中不同数字出现的次数是相同的。每两列各种不同的水平搭配出现的次数是相同的。但每两列不同水平的搭配的个数是不完全相同的。第34页/共86页第三十四页，共87页。表1-18正交表L8(41×24)列号试验号12345111111212222321122422211531212632121741221842112第35页/共86页第三十五页，共87页。【例1-6】某农科站进行品种试验，共有4个因素：A（品种）、B（氮肥量）、C（氮磷钾肥比例）、D（规格）。因素A是4水平的，其余3个因素都是2水平的。试验指标是产量，数值越大越好。试用混合正交表安排试验，找出最好的试验方案。因素水平A品种B氮肥量C氮磷钾肥比例D规格1甲2.53：3：16×62乙3.02：1：27×73丙4丁表1-19第36页/共86页第三十六页，共87页。

因素试验号1A2B3C4D试验指标(产量)/kg减去20011111195-5212222055321122202042221225255312121010632122151574122185-1584211190-10K10102020K245353525K325K4-25102.55.05.0222.58.86.36.3312.53-12.5极差35.06.31.31.3优方案A2B2C2D2表1-20第37页/共86页第三十七页，共87页。拟水平法【例1-7】现有某一试验，试验指标只有一个，它的数值越小越好。这个试验有四个因素A，B，C，D，其中因素C是2水平的，其余三个因素都是3水平的，具体数值如下表所示，试安排试验，并对试验结果进行分析，找出最好的试验方案。因素水平ABCD13501560652250580753300108580表1-21第38页/共86页第三十八页，共87页。

因素试验号1A2B3C4D试验指标测试结果11111145212222363133231242122315522321406231121573132210832113593322147K1937065132K2708116061K36274321(=K1/3)31.023.321.744.02(=K2/3)23.327.026.720.33(=K3/3)20.724.710.7极差10.33.75.033.3优方案A3B1C1D3表1-22第39页/共86页第三十九页，共87页。交互作用§1.4有交互作用的正交试验设计第40页/共86页第四十页，共87页。【例1-8】有四块试验田，土质情况基本一样，种植同样的作物。现将氮肥、磷肥采用不同的方式分别施在4块地里，收获后算出平均亩产量，记在表1-21中。

磷肥P

氮肥NP1=0P2=2N1=0200225N2=3215280氮肥磷肥交互作用的效果=氮肥、磷肥的总效果-（只加氮肥的效果+只加磷肥的效果）表1-23第41页/共86页第四十一页，共87页。

列号列号()1234567(1)325476(2)16745(3)7654(4)123(5)32(6)1(7)表1-24：正交表L8(27)所对应的交互作用表第一列与第二列的交互作用在第三列第三列与第四列的交互作用在第七列第42页/共86页第四十二页，共87页。如5因子A、B、C、D、E，每个因子是2水平的试验，其中A与B、B与C都有交互作用，其他无交互作用。用L8(27)正交表，则表头设计是：ABA×BCDB×CE1234567表头设计表1-25第43页/共86页第四十三页，共87页。【例1-9】为了提高精铸性能指标，寻找好的工艺条件，安排了5因子2水平的试验，如下表，根据经验A与B有交互作用，B与C也有交互作用。表1-26因素及水平

因子水平A硬化剂相对密度B硬化时间（min）C硬化剂温度（C）D晾干时间（min）E脱蜡条件11.4821315NH4Cl21.2242540HCl第44页/共86页第四十四页，共87页。表1-27实验结果及分析A1B2A×B3C4D5B×C6E7性能指标1111111182111222210312211226412222110521212120621221210722112210822121124K12418221418128K2410614101620164.55.53.54.532A1B1C2D1E2212.51.53.52.545ΔR5240213A→A×B→

E→

D→

B×C→

C第45页/共86页第四十五页，共87页。二元交联表项目A1A2B1(8+10)/2=

9(0+0)/2=0B2(6+0)/2=3(0+4)/2=2优方案：A1B1

第46页/共86页第四十六页，共87页。二元交联表项目B1B2C1(8+0)/2=4(6+0)/2=3C2(10+0)/2=5(0+4)/2=2优方案：B1C2

综合前面分析，优方案为A1B1C2D1E2第47页/共86页第四十七页，共87页。试验结果分析：（1）绘制因子、水平和性能指标的关系图图1-7第48页/共86页第四十八页，共87页。（2）性能指标愈高，质量愈好，因子对指标的影响主次顺序是：A、A×B、E、D、B×C、C（3）选方案经过综合分析得到最优方案是A1B1C2D1E2。第49页/共86页第四十九页，共87页。p43【例3-2】有4个因素影响某化学品的转化率，每个因素分为2个水平，具体条件见下表。通过使用要求解决的问题如下。(1)哪个因素对转化率的影响大？因素间的交互作用如何？(2)根据使用结果，在所考察的因素和水平中，选取最优生产条件。因素水平A温度/ºCB反应时间/hC配比D压力/Pa160(A1)2.5(B1)1.1:1(C1)500(D1)280(A2)3.5(B2)1.2:1(C2)600(D2)表1-28第50页/共86页第五十页，共87页。ABA×BCA×CB×CD试验结果yi11111111862111222295312211229141222211945212121291621221219672211221838221211288K1366368352351361359359K2358356372373363365365191.5928887.7590.2589.7589.75289.589.09393.2590.7591.2591.25ΔR2.03.05.05.50.51.51.5实验数据分析表第51页/共86页第五十一页，共87页。二元交联表项目A1A2B1(86+95)/2=90.5(91+96)/2=93.5B2(91+94)/2=92.5(83+88)/2=85.5优方案：A2B1C2D2第52页/共86页第五十二页，共87页。

标准型正交表——可以考察交互作用非标准型正交表——标准型正交表之外的正交表，不能考察交互作用。第53页/共86页第五十三页，共87页。常用标准型正交表：水平数为2的标准正交表：L4(23)，L8(27)，L12(211)，L16(215)，L20(219)，L32(231)水平数为3的标准正交表：L9(34)，L27(313)，水平数为4的标准正交表：L16(45)水平数为5的标准正交表：L25(56)

标准型正交表

LmN（mk）水平数m只能取素数或素数幂，总试验次数为mN，N称为基本列数，总列数k=(mN-1)/(m-1)第54页/共86页第五十四页，共87页。§1.5正交表的构造法

符号转换法阿达马矩阵法正交拉丁方的方法混合型正交表：由水平数相等的正交表通过“并列法”改造而成。第55页/共86页第五十五页，共87页。§1.6正交试验设计的方差分析方法直观分析法：优点：简单、直观、易做、计算量小。缺点：不能给出误差大小的估计，不能知道结果的精度。方差分析法：可以弥补直观分析法的不足。是一种统计方法，将试验条件不同所引起的试验结果间的差异与偶然因素所引起的试验结果的差异区分开来的一种数学方法。第56页/共86页第五十六页，共87页。§1.6正交试验设计的方差分析方法正交设计方差分析的步骤水平正交设计的方差分析第57页/共86页第五十七页，共87页。正交设计方差分析的步骤

计算离差的平方和计算自由度计算平均离差平方和（均方）求F比对因素进行显著性检验第58页/共86页第五十八页，共87页。

设用正交表安排m个因素的试验，试验总次数为n,试验的结果分别为x1,x2,……,xn.假定每个因素有na个水平，每个水平做a次试验，则n=ana。计算离差的平方和

(1)总离差的平方和ST

记上式记为其中则第59页/共86页第五十九页，共87页。

ST反映了试验结果的总差异，它越大，说明各次试验的结果之间的差异越大。试验结果之所以有差异，一是由因素水平的变化所引起的，二是因为有试验误差。(2)各因素离差的平方和

下面以计算因素A的离差的平方和SA为例来说明。设因

素A安排在正交表的某列，可看作单因素试验。用xij表

示因素A的第i个水平的第j个试验的结果(i=1,2,…,na;

j=1,2,…,a)，则有第60页/共86页第六十页，共87页。由单因素的方差分析，记为

其中

Ki表示因素的第i个水平a次试验结果的和。

SA反映了因素A的水平变化时所引起的试验结果的差异，即因素A对试验结果的影响。

用同样的方法可以计算其它因素的离差平方和。

对于两因素的交互作用，我们把它当作一个新的因素。如果交互作用占两列，则交互作用的离差的平方和等于这两列的离差的平方和之和。

比如SAxB=S(AxB)1+S(AxB)2第61页/共86页第六十一页，共87页。(3)试验误差的离差的平方和SE

设S因+交为所有因素以及要考虑的交互作用的离差的平方和，

因为ST=S因+交+SE,

所以SE=ST-S因+交第62页/共86页第六十二页，共87页。2.计算自由度试验的总自由度f总=试验总次数-1=n-1各因素的自由度f因=因素的水平数-1=na-1两因素交互作用的自由度等于两因素的自由度之积fAxB=fAXfB试验误差的自由度fE=f总-f因+交第63页/共86页第六十三页，共87页。3.计算平均离差平方和(均方)

在计算各因素离差平方和时，我们知道，它们都是若干项平方的和，它们的大小与项数有关，因此不能确切反映各因素的情况。为了消除项数的影响，我们计算它们的平均离差的平方和。

因素的平均离差平方和=(因素离差的平方和)/因素的自由度=S因/f因试验误差的平均离差平方和

=(试验误差的离差的平方和)/试验误差的自由度=SE/fE第64页/共86页第六十四页，共87页。4.求F比

将各因素的平均离差的平方和与误差的平均离差平方和相比，得出F值。这个比值的大小反映了各因素对试验结果影响程度的大小。第65页/共86页第六十五页，共87页。5.对因素进行显著性检验

给出检验水平α，从F分布表中查出临界值Fα(f因，fE)。将在“求F比”中算出的F值与该临界值比较，若F>Fα(f因，fE)，说明该因素对试验结果的影响显著，两数差别越大，说明该因素的显著性越大。通常当F>F0.05(因素方差的自由度,方差自由度)时，认为因子影响显著；记为*当F>F0.01(因素方差的自由度,方差自由度)时，认为因子影响高度显著；记为**否则认为影响不显著。第66页/共86页第六十六页，共87页。2水平正交设计，各因素离差平方和为：因为

又所以上式可简化为这里2水平设计计算离差平方和的一般公式，同样适用于交互作用。水平正交设计的方差分析第67页/共86页第六十七页，共87页。【例1-10】某农药厂生产某种农药，指标是农药的收率，显然是越大越好。据经验知道，影响农药收率的因素有4个：反应温度A，反应时间B，原料配比C，真空度D。每个因素都是两水平，具体情况见表。要考虑A，B的交互作用。试进行方差分析。表1-28第68页/共86页第六十八页，共87页。解：选用正交表L8(27)表1-29C

→

A×B→B→A→DC2

B1

A1

D2C2

B1

A2

D2

√第69页/共86页第六十九页，共87页。这里类似地计算误差平方和：SE

=

ST

-

(S因

+

S交)=

146

-

(8

+

18

+

60.5

+

4.5

+50)

=

5第70页/共86页第七十页，共87页。计算自由度:

计算均方值：由于各因素和交互作用A×B的自由度都是1，因此它们的均方值与它们各自的平方和相等。只有误差的均方为计算F比：第71页/共86页第七十一页，共87页。方差分析表：表1-30第72页/共86页第七十二页，共87页。方差分析：从方差分析表中F值的大小看出，各因素对试验影响大小的顺序为C，A×B，B，A，D。C影响最大，其次是交互作用AXB，D的影响最小。①首先确定C，取C2②A×B需要列出二元交联表（见下表），确定优方案为A2B1③D选D2

这样最后确定下来的最优方案应当是A2B1C2D2。这个方案不在正交表的9个试验中，可以按此进行试验，比较一下结果。第73页/共86页第七十三页，共87页。二元交联表项目A1A2B1(86+95)/2=90.5(91+96)/2=93.5B2(91+94)/2=92.5(83+88)/2=85.5优方案：A2B1

第74页/共86页第七十四页，共87页。【例1-11】T8钢淬火试验，因素及水平如下表，其中A与B有交互作用，测试淬火硬度，硬度越大越好。步骤：（1）选L8(27)表头设计A温度（℃）B时间(min)C(冷却液)D操作方法180015油D1282011水D2ABA×BCD123