用勾股定理求几何体中的最短路线长

学习目标：勾股定理在生活中的应用十分广泛，利用勾股定理解决问题，关键是找出问题中隐藏的直角三角形或自己构造合适的直角三角形，尝试把立体图形转换为平面图形。

第1页/共18页第一页，共19页。勾股定理

如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么a²+b²=c²

。cabABC∵

在Rt△ABC中,∠C=90º,AB=c,AC=b,BC=a,a2+b2=c2.┏第2页/共18页第二页，共19页。例1如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别等于5cm，3cm和1cm，A和B是这个台阶的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物.请你想一想，这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面爬到B点，最短线路是多少？ABCBA531512一、台阶中的最值问题∵AB2=AC2+BC2=169,∴AB=13.第3页/共18页第三页，共19页。AB例2

如图所示，有一个高为8cm，底面半径为2cm的圆柱，在圆柱下底面的A点有一只蚂蚁，它想吃到圆柱上底面上与A点相对的B点处的食物，问这只蚂蚁沿着侧面需要爬行的最短路程为多少厘米？(的值取3)二、圆柱(锥)中的最值问题第4页/共18页第四页，共19页。ACBAB分析：由于蚂蚁是沿着圆柱的表面爬行的，故需把圆柱展开成平面图形.根据两点之间线段最短，可以发现A、B分别在圆柱侧面展开图的A处和长的中点处，即AB长为最短路线.(如图)第5页/共18页第五页，共19页。练习1有一圆形油罐底面圆的周长为24m，高为6m，一只老鼠从距底面1m的A处爬行到对角B处吃食物，它爬行的最短路线长为多少？AB解：AC=6–1=5，BC=24×=12，由勾股定理得AB2=AC2+BC2=169,∴AB=13(m).21BAC第6页/共18页第六页，共19页。三、正方体中的最值问题例3、如图，边长为1的正方体中，一只蚂蚁从顶点A出发沿着正方体的外表面爬到顶点B的最短距离是（）.

（A）3（B）√5

（C）2（D）1AB分析：由于蚂蚁是沿正方体的外表面爬行的，故需把正方体展开成平面图形（如图）.CABC21第7页/共18页第七页，共19页。练习2

如图的棱长为10cm的正方体盒子，蚂蚁沿着表面需要爬行的最短路程又是多少呢？AB第8页/共18页第八页，共19页。AB101010CAB第9页/共18页第九页，共19页。例4如果盒子换成如图长为3cm，宽为2cm，高为1cm的长方体，蚂蚁沿着表面需要爬行的最短路程又是多少呢？AB四、长方体中的最值问题第10页/共18页第十页，共19页。分析：蚂蚁由A爬到B过程中较短的路线有多少种情况？(1)经过前面和上底面;(2)经过前面和右面;(3)经过左面和上底面.AB23AB1C321BCA321BCA第11页/共18页第十一页，共19页。(1)当蚂蚁经过前面和上底面时，如图，最短路程为解:AB23AB1CAB＝＝＝第12页/共18页第十二页，共19页。(2)当蚂蚁经过前面和右面时，如图，最短路程为AB321BCAAB＝＝＝第13页/共18页第十三页，共19页。(3)当蚂蚁经过左面和上底面时，如图，最短路程为ABAB＝＝＝321BCA第14页/共18页第十四页，共19页。练习3、如图，长方体的长为15cm，宽为10cm，高为20cm，点B到点C的距离为5cm，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从A点爬到B点，需要爬行的最短距离是多少？201015BCA分析根据题意分析蚂蚁爬行的路线有两种情况(如图①②

),由勾股定理可求得图1中AB最短.①BA2010155AB=√202+152=√625

BAB=√102+252=√725

②A2010155第15页/共18页第十五页，共19页。选作：

如图，长方形中AC=3,CD=5,DF=6,求蚂蚁沿表面从A爬到F的最短距离.356ACDEBF第16页/共18页第十六页，共19页。小结：把几何体适当展开成平面图形，再利用“两点之间线段最短”，或点到直线“垂线段最短”等性质来解决问题。第17页/共18页第十七页，共19页。谢谢您的观看！第18页/共18页第十八页，共19页。内容总结学习目标：勾股定理在生活中的应用十分广泛，利用勾股定理解决问题，关键是找出问题中隐藏的直角三角形或自己构造合适的直角三角形，尝试把立体图形转换为平面图形。∵AB2=AC2+BC2=16