直线和平面所成的角

复习回顾直线和平面垂直的定义：

如果一条直线与平面内的任意一条直线都垂直，则称这条直线与这个平面垂直.直线和平面垂直的判定定理：

如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面.直线和平面垂直的性质：

如果一条直线和一个平面垂直，那么这条直线与平面内的任意一条直线都垂直.第1页/共19页第一页，共20页。知识探究（一）：平面的斜线

1.斜线的定义:

与平面相交但不垂直的直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的交点叫做斜足.αlP斜线斜足第2页/共19页第二页，共20页。2.射影的定义:

过斜线上斜足外一点向平面引垂线，连结垂足和斜足的直线叫做这条斜线在这个平面上的射影.αlPABPA——斜线段PB——垂线段AB——射影第3页/共19页第三页，共20页。思考:

两条平行直线、相交直线、异面直线在同一个平面内的射影可能是哪些图形？第4页/共19页第四页，共20页。第5页/共19页第五页，共20页。思考:

如图，过平面α外一点P向这个平面引两条斜线段PA、PB，斜足为A、B，再过点P引平面α的垂线，垂足为O，如果PA>PB，那么OA与OB的大小关系如何？反之成立吗？αOPAB第6页/共19页第六页，共20页。αOPAB3.射影的性质：斜线段相等，射影也相等；斜线段较长，射影也较长.反之亦然.第7页/共19页第七页，共20页。知识探究（二）：直线和平面所成的角

思考:

平面的一条斜线与这个平面总存在一个相对倾斜度，我们设想用一个平面角来反映这个倾斜度，并且这个角的大小由斜线与平面的相对位置关系所确定，那么角的顶点宜选在何处？αl第8页/共19页第八页，共20页。思考:

如图，AP为平面α的一条斜线，A为斜足，AC为平面α内的任意一条直线，PB为平面α的垂线，下面哪个角能反映斜线AB与平面α的相对倾斜度？αCAPαPAB第9页/共19页第九页，共20页。BαCAP∠PAC>∠PAB第10页/共19页第十页，共20页。4.直线和平面所成的角：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条斜线和这个平面所成的角.αPAB直线与平面所成的角的取值范围：第11页/共19页第十一页，共20页。思考:

两条平行直线与同一个平面所成的角的大小关系如何？一条直线与两个平行平面所成的角的大小关系如何？α第12页/共19页第十二页，共20页。思考:

过平面α外一点P引平面α的斜线，斜足为A，若斜线PA与平面α所成的角为50°，那么点A在平面α内的运动轨迹是什么图形？PAOα第13页/共19页第十三页，共20页。

例1在正方体ABCD-A1B1C1D1中.（1）求直线A1B和平面ABCD所成的角；（2）求直线A1B和平面A1B1CD所成的角.D1ABA1CB1C1DO第14页/共19页第十四页，共20页。例2如图，AB为平面α的一条斜线，B为斜足，AO⊥平面α，垂足为O，直线BC在平面α内，已知∠ABC=60°，∠OBC=45°，求斜线AB和平面α所成的角.ABCOαD第15页/共19页第十五页，共20页。作业:P67练习：2.P74习题2.3A组：9.第16页/共19页第十六页，共20页。思考:

如图，直线l是平面α的一条斜线，它在平面α内的射影为b，直线a在平面α内，如果a⊥b，那么直线a与直线l垂直吗？反之成立吗？aαlb第17页/共19页第十七页，共20页。aαlb3.三垂线定理:

如果平面内的一条直线垂直于这个平面的一条斜线的射影，那么这条直线也和斜线垂直.反之也成立.第18页/共19页第十八页，共20页。感谢您的观看！第19页/共19页第十九页，共20页。内容总结复习回顾。PA——斜线段。PB——垂线段。AB——射影。两条平行直线、相交直线、异面直线在同一个平面内的射影可能是哪些图形。斜线段较长，射影也较长.反之亦然.。∠PAC>∠PAB。两条平行直线与同一个平面所