2018版高中数学第一章算法初步1.3中国古代数学中的算法案例学案3

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精PAGEPAGE12学必求其心得，业必贵于专精1。3中国古代数学中的算法案例学习目标1。理解辗转相除法与更相减损术中的数学原理,并能根据这些原理进行算法分析.2。理解割圆术中蕴含的数学原理。3.了解秦九韶算法及利用它提高计算效率的本质。4.对简单的案例能设计程序框图并写出算法程序．知识点一更相减损术更相减损术的运算步骤第一步，任意给定两个正整数，判断它们是否都是______．若是,用____约简;若不是,执行__________．第二步,以________的数减去________的数,接着把所得的差与________的数比较，并以大数减小数，继续这个操作，直到所得的数________为止，则这个数(等数)或这个数与约简的数的乘积就是所求的最大公约数．知识点二割圆术S1假设圆的半径为1,面积为S，圆内接正n边形面积为Sn，边长为xn，边心距为hn，先从圆内接正六边形的面积开始算起，即n＝6，则正六边形的面积S6＝6×eq\f(\r(3），4）;S2利用公式S2n＝Sn＋n·eq\f(1，2)·xn(1－hn)重复计算，就可得到正十二边形、正二十四边形…的面积．因为圆的半径为1,所以随着n的增大，S2n的值不断趋近于圆周率，这样不断计算下去，就可以得到越来越精密的圆周率近似值．2．割圆术的算法思想刘徽从圆内接正六边形开始，让边数逐次加倍，逐个算出这些圆内接正多边形的面积，从而得到一系列逐渐递增的数值，来一步一步地逼近圆面积,最后求出圆周率的近似值．用刘徽自己的话概括就是“割之弥细，所失弥少,割之又割，以至于不可割，则与圆合体而无所失矣．”知识点三秦九韶算法思考衡量一个算法是否优秀的重要参数是速度．把多项式f(x)＝x5＋x4＋x3＋x2＋x＋1变形为f(x）＝((（(x＋1)x＋1)x＋1）x＋1)x＋1，然后求当x＝5时的值，为什么比常规逐项计算省时？梳理秦九韶算法的一般步骤：把一个n次多项式f（x）＝anxn＋an－1xn－1＋…＋a1x＋a0改写成如下形式：(…((anx＋an－1)x＋an－2)x＋…＋a1）x＋a0，求多项式的值时,首先计算________________一次多项式的值,即v1＝________________,然后由内向外逐层计算一次多项式的值,即v2＝__________________，v3＝__________________，…vn＝__________________，这样,求n次多项式f（x）的值就转化为求__________________的值．类型一更相减损术例1试用更相减损术求612、396的最大公约数．反思与感悟用更相减损术的算法步骤：第一步,给定两个正整数m，n，不妨设m＞n。第二步,若m，n都是偶数,则不断用2约简，使它们不同时是偶数，约简后的两个数仍记为m，n.第三步，d＝m－n。第四步，判断“d≠n”是否成立，若是，则将n，d中的较大者记为m，较小者记为n，返回第三步;否则，2kd(k是约简整数2的个数）为所求的最大公约数．跟踪训练1用更相减损术求261和319的最大公约数．类型二秦九韶算法的基本思想例2已知一个5次多项式为f(x)＝4x5＋2x4＋3.5x3－2.6x2＋1。7x－0.8，用秦九韶算法求这个多项式当x＝5时的值．反思与感悟秦九韶算法之所以优秀，一是其对所有多项式求值都适用，二是充分利用已有计算成果，效率更高．跟踪训练2用秦九韶算法求多项式f（x)＝7x7＋6x6＋5x5＋4x4＋3x3＋2x2＋x当x＝3时的值．1．用秦九韶算法计算多项式f(x)＝6x6＋5x5＋4x4＋3x3＋2x2＋x＋7在x＝0。4时的值时，需做加法和乘法的次数的和为（）A．10 B．9C．12 D．82．已知f(x）＝2x3＋x－3，用秦九韶算法求当x＝3时v2的值．3．用更相减损术求1734和816的最大公约数．1．更相减损术，就是对于给定的两个正整数，用较大的数减去较小的数，然后将差和较小的数构成新的一对数，继续上面的减法，直到差和较小的数相等，此时相等的两数即为原来两个数的最大公约数．2．用秦九韶算法求多项式f（x）当x＝x0的值的思路为（1)改写;（2）计算eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（v0＝an,，vk＝vk－1x0＋an－kk＝1，2,…，n；)）（3）结论f（x0)＝vn.

答案精析问题导学知识点一偶数2第二步较大较小较小相等知识点三思考从里往外计算，充分利用已有成果,可减少重复计算．梳理最内层括号内anx＋an－1v1x＋an－2v2x＋an－3vn－1x＋a0n个一次多项式题型探究类型一例1解方法一612÷2＝306，396÷2＝198,306÷2＝153，198÷2＝99,∴153－99＝54，99－54＝45，54－45＝9，45－9＝36，36－9＝27，27－9＝18,18－9＝9。所以612、396的最大公约数为9×22＝36.方法二612－396＝216,396－216＝180,216－180＝36，180－36＝144,144－36＝108,108－36＝72,72－36＝36.故36为612、396的最大公约数．跟踪训练1解∵319－261＝58,261－58＝203，203－58＝145，145－58＝87，87－58＝29,58－29＝29，∴319与261的最大公约数为29。类型二例2解将f（x)改写为f（x）＝（((（4x＋2）x＋3.5)x－2.6)x＋1。7)x－0。8，由内向外依次计算一次多项式当x＝5时的值：v0＝4;v1＝4×5＋2＝22；v2＝22×5＋3.5＝113。5；v3＝113.5×5－2。6＝564。9；v4＝564.9×5＋1。7＝2826.2；v5＝2826。2×5－0.8＝14130.2。∴当x＝5时，多项式的值等于14130。2.跟踪训练2解f（x）＝（（（（（（7x＋6）x＋5)x＋4)x＋3)x＋2)x＋1)x,所以有v0＝7，v1＝7×3＋6＝27，v2＝27×3＋5＝86,v3＝86×3＋4＝262，v4＝262×3＋3＝789,v5＝789×3＋2＝2369,v6＝2369×3＋1＝7108,v7＝7108×3＝21324.故当x＝3时，多项式f（x）＝7x7＋6x6＋5x5＋4x4＋3x3＋2x2＋x的值为21324.当堂训练1．C[f（x）＝(（（（(6x＋5)x＋4)x＋3）x＋2)x＋1)x＋7，∴做加法6次,乘法6次，∴6＋6＝12(次)，故选C。］2．解f(x）＝2x3＋x－3＝2x3＋0·x2＋x－3＝((2x＋0）x＋1）x－3,v0＝2，v1＝2×3＋0＝6，v2＝6×3＋1＝19.3．解因为1734和816都是偶数,所以分别除以2得867和408。867－408＝459,459－408＝51,408－51＝357,357－51＝306,306－51＝255,255－51＝204，204－5