【附10套中考试卷】中考数学复习专题讲座4：探究型问题(含详细参考答案)

2013年中考数学复习专题讲座四：探究型问题

一、中考专题诠释

探究型问题是指命题中缺少一定的条件或无明确的结论，需要经过推断，补充并加以证明的一类问

题.根据其特征大致可分为：条件探究型、结论探究型、规律探究型和存在性探究型等四类.

二、解题策略与解法精讲

由于探究型试题的知识覆盖面较大，综合性较强，灵活选择方法的要求较高，再加上题意新颖，构思

精巧，具有相当的深度和难度，所以要求同学们在复习时，首先对于基础知识一定要复习全面，并力求扎

实牢靠；其次是要加强对解答这类试题的练习，注意各知识点之间的因果联系，选择合适的解题途径完成

最后的解答.由于题型新颖、综合性强、结构独特等，此类问题的一般解题思路并无固定模式或套路，但

是可以从以下几个角度考虑：

1.利用特殊值（特殊点、特殊数量、特殊线段、特殊位置等）进行归纳、概括，从特殊到一般，从

而得出规律.

2.反演推理法（反证法），即假设结论成立,根据假设进行推理，看是推导出矛盾还是能与已知条件

一致.

3.分类讨论法.当命题的题设和结论不惟一确定，难以统一解答时，则需要按可能出现的情况做到

既不重复也不遗漏，分门别类加以讨论求解，将不同结论综合归纳得出正确结果.

4.类比猜想法.即由一个问题的结论或解决方法类比猜想出另一个类似问题的结论或解决方法，并

加以严密的论证.

以上所述并不能全面概括此类命题的解题策略，因而具体操作时，应更注重数学思想方法的综合运用.

三、中考考点精讲

考点一：动态探索型：

此类问题结论明确，而需探究发现使结论成立的条件.

例1（2012•自贡）如图所示，在菱形ABCD中，AB=4,ZBAD=120°,ZiAEF为正三角形，点E、F

分别在菱形的边BC、CD上滑动，且E、F不与B、C、D重合.

（1）证明不论E、F在BC、CD上如何滑动，总有BE=CF；

（2）当点E、F在BC、CD上滑动时，分别探讨四边形AECF和4CEF的面积是否发生变化？如果不变，求

出这个定值；如果变化，求出最大（或最小）值.

考点：菱形的性质；二次函数的最值；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质。810360

分析：（1）先求证AB=AC,进而求证△ABC、4ACD为等边三角形，得N4=60°,AC=AB进而求证

△ABE^AACF,即可求得BE=CF；

（2）根据aABE且4ACF可得SAABE=SAACF,故根据S四边形AECF=SAAEC+SAACF=SAAK+SAABE=SAABC即可解题；当正三角

形AEF的边AE与BC垂直时，边AE最短.4AEF的面积会随着AE的变化而变化，且当AE最短时，正三

角形AEF的面积会最小，又根据SACEF=S四边形AECF-SAABF,则aCEF的面积就会最大.

解答：（1）证明：连接AC,如下图所示，

••,四边形ABCD为菱形，ZBAD=120°,

Zl+ZEAC=60°,Z3+ZEAC=60°,

.*.Z1=Z3,

VZBAD=120°,

AZABC=60°,

/.△ABC和4ACD为等边三角形，

.,,Z4=60°,AC=AB,

.,.在AABE和4ACF中，

'N1=N3

<AB=AC，

,ZABC=Z4

/.△ABE^AACF(ASA).

.,.BE=CF；

(2)解：四边形AECF的面积不变，ACEF的面积发生变化.

理由：由(1)得△ABEg^ACF,

则SAABE=S△ACF，

故S四边形AKF=SAAEc+SziMFuSAAK+SAABE=SziABC,是定值,

作AHLBC于H点，贝！|BH=2,

SHia®A£CF=SAABc=-lBC*AH--iBC,^y^g2_gp!^4,\/3>

由“垂线段最短”可知：当正三角形AEF的边AE与BC垂直时，边AE最短.

故△AEF的面积会随着AE的变化而变化，且当AE最短时，正三角形AEF的面积会最小,

又SACSF-S四边形AECF-SAAEFJ则此时ACEF的面积就会最大.

—

SACET^S四a彩AECF-SAAEF=4A/3-Zj§XJ""2^3)~~~

点评：本题考查了菱形的性质、全等三角形判定与性质及三角形面积的计算，求证△ABEg^ACF是解

题的关键，有一定难度.

考点二：结论探究型：

此类问题给定条件但无明确结论或结论不惟一，而需探索发现与之相应的结论的题目.

例3(2012•盐城)如图①所示，已知A、B为直线1上两点，点C为直线1上方一动点，连接AC、

BC,分别以AC、BC为边向aABC外作正方形CADF和正方形CBEG,过点D作DD>±1于点D>,过点E作EE1±1

于点Ei.

图①图②图③

(1)如图②，当点E恰好在直线1上时(此时W与E重合)，试说明DD尸AB；

(2)在图①中，当D、E两点都在直线1的上方时，试探求三条线段加卜EEi、AB之间的数量关系，并说

明理由；

(3)如图③，当点E在直线1的下方时，请直接写出三条线段DDi、EEi、AB之间的数量关系.(不需要证

明)

考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质。810360

专题：几何综合题。

分析：(1)由四边形CADF、CBEG是正方形，可得AD=CA,ZDAC=ZABC=90°,又由同角的余角相等，

求得NADDFNCAB,然后利用AAS证得△ADDIGACAB,根据全等三角形的对应边相等，即可得DDi=AB；

(2)首先过点C作CH_LAB于H,由DDi_LAB,可得NDDiA=NCHA=90°,由四边形CADF是正方形，可得

ADXA,又由同角的余角相等，求得NADD尸NCAH,然后利用AAS证得△AD»g^CAH,根据全等三角形的

对应边相等，即可得DDFAH,同理EE产BH,则可得AB=DDi+EEi.

(3)证明方法同(2),易得AB=DD「E&.

解答：(1)证明：1•四边形CADF、CBEG是正方形，

.♦.ADXA,NDAC=NABC=90°,

二NDADi+NCAB=90°,

VDDilAB,

...NDDiA=NABC=90°,

二/DADi+NADDi=90°,

二NADDFNCAB,

在△ADDI和aCAB中，

'NDD[A=/ABC

,ZADD^ZCAB,

.AD=CA

/.△ADDi^ACAB(AAS),

ADDi-AB；

⑵解：AB=DDi+EEi.

证明：过点C作CH_LAB于H,

VDDilAB,

NDDiA=NCHA=90°,

ZDADi+ZADDi=90°,

,/四边形CADF是正方形，

AAD-CA,NDAC=90°,

：.ZDADi+ZCAH=90°,

二NADDi=NCAH,

在△ADD】和aCAH中，

'NDDiA=NCHA

</ADD尸NCAH，

LAD=CA

/.△ADDI^ACAH(AAS),

，DD尸AH；

同理：EEFBH,

,

..AB=AH+BH=DD1+EE1；

⑶解：AB=DD!-EEi.

证明：过点C作CH_LAB于H,

,.•DD」AB,

NDDiA=NCHA=90°,

：.ZDADI+ZADD!=90O,

•••四边形CADF是正方形，

AADCA,NDAC=90°,

二NDADi+NCAH=90°,

NADDFNCAH,

在△ADDI和ACAH中，

ZDD.A=ZCHA

ZADD,=ZCAH,

[AD=CA

.,.△ADDi^ACAH(AAS),

.♦.DD尸AH；

同理：EEi=BH,

，AB=AH-BH=DDi-EEI.

点评：此题考查了正方形的性质与全等三角形的判定与性质.此题难度适中，注意数形结合思想的应用,

注意掌握辅助线的作法.

例4（2012•丽水）在直角坐标系中，点A是抛物线y=x?在第二象限上的点，连接0A,过点0作OB_LOA,

交抛物线于点B,以OA、0B为边构造矩形A0BC.

图1

（1）如图1,当点A的横坐标为矩形AOBC是正方形;

（2）如图2,当点A的横坐标为

①求点B的坐标；

②将抛物线y=x。作关于x轴的轴对称变换得到抛物线y=-x2,试判断抛物线y=-x2经过平移交换后，能

否经过A,B,C三点？如果可以，说出变换的过程；如果不可以，请说明理由.

考点：二次函数综合题。810360

专题：代数几何综合题。

分析：（1）过点A作ADJ_x轴于点D,根据正方形的对角线平分一组对角可得NA0C=45°,所以

ZAOD=45°,从而得到AAOD是等腰直角三角形，设点A坐标为（-a,a）,然后利用点A在抛物线上，

把点的坐标代入解析式计算即可得解；

（2）①过点A作AE_Lx轴于点E,过点B作BF，x轴于点F,先利用抛物线解析式求出AE的长度，然后

证明△AEO和△OFB相似，根据相似三角形对应边成比例列式求出OF与BF的关系，然后利用点B在抛物

线上，设出点B的坐标代入抛物线解析式计算即可得解；

②过点C作CG±BF于点G,可以证明△AEO和4BGC全等，根据全等三角形对应边相等可得COOE,BOAE,

然后求出点C的坐标，再根据对称变换以及平移变换不改变抛物线的形状利用待定系数法求出过点A、B

的抛物线解析式，把点C的坐标代入所求解析式进行验证变换后的解析式是否经过点C,如果经过点C,

把抛物线解析式转化为顶点式解析式，根据顶点坐标写出变换过程即可.

解答：解：（1）如图，过点A作AD_Lx轴于点D,

•.•矩形AOBC是正方形，

...NA0C=45°,

：.ZA0D-900-45°=45°,

...△AOD是等腰直角三角形，

设点A的坐标为（-a,a）（aWO）,

则（-a）%,

解得ai=-l,a2=0（舍去），

.•.点A的坐标-a=-1,

故答案为：-1;

(2)①过点A作AE±x轴于点E,过点B作BF±x轴于点F,

当x=-4f,y=(-1)2-1,

224

即0E=』，AE=L

24

VZAOE+ZBOF=18O0-90°=90°,

ZA0E+ZEAO900,

二ZEAOZBOF,

又,.•NAEONBFO90°,

/.△AEO^AOFB,

1

•OF-AE-ll

••--L----9

BFEO12

2

设OF=t,则BF=2t,

.*.t2=2t,

解得：ti=0(舍去)，t2=2,

.•.点B(2,4)；

②过点C作CG±BF于点G,

VZA0E+ZEA0=90o,ZFB0+ZCBG=90",NA0E=NFB0,

...ZEAOZCBG,

，ZAEO=ZG=90°

在△搦和△BGC中，，NEAO=/CBG，

,A0=CG

.♦.△AEO0△BGC(AAS),

.,.CG=OE=1,BG=AE=1.

24

；.Xc=2-工=2yc=4+A=.LZ,

2244

.•.点c(旦IX),

24

_1_1,,1

—一—一b+c二一

设过A(-1，工)、B(2,4)两点的抛物线解析式为y=-x?+bx+c,由题意得，・424,

24-4+2b+c=4

解得，b=3,

Ic=2

,经过A、B两点的抛物线解析式为y=-x%3x+2,

2

当x=务九y=-(3)+3XS+2=1X,所以点C也在此抛物线上，

2224

故经过A、B、C三点的抛物线解析式为y=-x?+3x+2=-(x-a)2+H.

24

平移方案：先将抛物线y=-X。向右平移2个单位，再向上平移U个单位得到抛物线y=-(x-卫)2+lZ.

点评：本题是对二次函数的综合考查，包括正方形的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判

定与性质，待定系数法求抛物线解析式，综合性较强，难度较大，要注意利用点的对称、平移变换来解释

抛物线的对称平移变换，利用点研究线也是常用的方法之一.

考点三：规律探究型：

规律探索问题是指由几个具体结论通过类比、猜想、推理等一系列的数学思维过程，来探求一般性结

论的问题，解决这类问题的一般思路是通过对所给的具体的结论进行全面、细致的观察、分析、比较，从

中发现其变化的规律，并猜想出一般性的结论，然后再给出合理的证明或加以运用.

例5(2012•青海)如图(*),四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点，NAEF=90°,且EF

交正方形外角平分线CF于点F.请你认真阅读下面关于这个图的探究片段，完成所提出的问题.

(1)探究1：小强看到图(*)后，很快发现AE=EF,这需要证明AE和EF所在的两个三角形全等，但4ABE

和4ECF显然不全等(一个是直角三角形，一个是钝角三角形)，考虑到点E是边BC的中点，因此可以选

取AB的中点M,连接EM后尝试着去证△AEM且EFC就行了，随即小强写出了如下的证明过程：

证明：如图1,取AB的中点M,连接EM.

VNAEF=90°

二/FEC+NAEB=90°

XVZEAM+ZAEB=90°

二ZEAM=ZFEC

•.•点E,M分别为正方形的边BC和AB的中点

.♦.AM=EC

又可知ABME是等腰直角三角形

...NAME=135°

又...CF是正方形外角的平分线

NECF=135°

/.△AEM^AEFC(ASA)

.*.AE=EF

(2)探究2：小强继续探索，如图2,若把条件“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上的任意一点”，

其余条件不变，发现AE=EF仍然成立，请你证明这一结论.

(3)探究3：小强进一步还想试试，如图3,若把条件“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC延长线

上的一点“，其余条件仍不变，那么结论AE=EF是否成立呢？若成立请你完成证明过程给小强看，若不成

立请你说明理由.

考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质。810360

专题：阅读型。

分析：(2)在AB上截取AM=EC,然后证明NEAM=FEC,NAME=NECF=135°,再利用“角边角”证明△AEM

和aEFC全等，然后根据全等三角形对应边相等即可证明；

(3)延长BA到M,使AM=CE,然后证明NBME=45°,从而得到NBME=NECF,再利用两直线平行，内错角

相等证明NDAE=NBEA,然后得到NMAE=NCEF,再利用“角边角”证明AMAE和4CEF全等，根据全等三

角形对应边相等即可得证.

解答：(2)探究2,证明：在AB上截取AM=EC,连接ME,

由(1)知NEAM=NFEC,

VAM-EC,AB=BC,

.♦.BM=BE,

，/BME=45°,

.•.NAME=NECF=135°,

VZAEF=90°,

AZFEC+ZAEB=90",

又•.•/EAM+NAEB=90°,

ZEAM=ZFEC,

'NAME=NFCE

在AAEM和aEFC中，，AM=EC，

BAE=NFEC

.,.△AEM^AEFC(ASA),

.*.AE=EF；

(3)探究3：成立，

证明：延长BA到M,使AM=CE,连接ME,

•\BM=BE,

.,.ZBME=45",

NBME=NECF,

又；AD〃BE,

二NDAE=NBEA,

又,../MAD=NAEF=90°,

...NDAE+NMAD=NBEA+NAEF,

即NMAE=NCEF,

2BME=NECF

在4MAE和4CEF中，JAM=CE

ZMAE=ZCEF

/.△MAE^ACEF(ASA),

/.AE=EF.

探究？图探究3图

点评：未题考查了正方形的性质，互等三角形的判定与性质，阅读材料，理清解题的关键是取AM=EC,

然后构造出AAEM与4EFC全等是解题的关键.

例6(2012•永州)如图所示，已知二次函数y=ax?+bx-1(a#0)的图象过点A(2,0)和B(4,3),1

为过点(0,-2)且与x轴平行的直线，P(m,n)是该二次函数图象上的任意一点，过P作PH_L1,H为

垂足.

(1)求二次函数y=ax?+bx-1(aWO)的解析式；

(2)请直接写出使y<0的对应的x的取值范围；

(3)对应当m=0,m=2和m=4时，分别计算|P0「和|PH|?的值.由此观察其规律，并猜想一个结论，证明

对于任意实数m,此结论成立；

(4)试问是否存在实数m可使△POH为正三角形？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由.

考点：二次函数综合题。810360

专题：压轴题。

分析：(1)根据二次函数y=ax?+bx-1(aWO)的图象过点A(2,0)和B(4,3),待定系数法求出a

和b的值，抛物线的解析式即可求出；

(2)令y=ax2+bx-1=0,解出x的值，进而求出使yVO的对应的x的取值范围；

(3)分别求出当m=O,m=2和m=4时，分别计算|PO「和|PH「的值.然后观察其规律，再进行证明；

(4)由(3)知OP=OH,只要OH=OP成立，△POH为正三角形，求出|OP|、|OH|含有m和n的表达式，令

两式相等，求出m和n的值.

解答：解：(1)•二次函数yuax'+bx-1(aWO)的图象过点A(2,0)和B(4,3),

'4a+2b-1=0

16a+4b-l=3

解得a=』，b=0,

4

二二次函数的解析式为尸I?_1,

4

(2)令y=L?-1=0,

4

解得x=-2或x=2,

由图象可知当-2VxV2时yVO,

(3)当m=0时，|PO「=L|PH|2=1；

当m=2时，P点的坐标为(2,0),|P0「=4,|PH「=4,

当m=4时，P点的坐标为(4,3),|P0「=25,|PH1=25,

由此发现|P0「=|PH|2,

设P点坐标为(m,n),即nJ™?-1

4

|PH|2=n2+4n+4=n2+m2,

故对于任意实数m,|PO|2=|PH|2；

（4）由（3）知OP=PH,只要OH=OP成立，△POH为正三角形,

=22

设P点坐标为（m,n）,|OP|^m+n>

㈣=G，

|OP|=|OH|,即n?=4,解得n=±2,

当n=-2时，n=lm2-1不符合条件，

4

故n=2,m=±2每J'可使△POH为正三角形.

点评：本题主要考查二次函数的综合题，解答本题的关键是熟练掌握二次函数的图形特征和性质，特别

是（3）问的解答很关键，是解答（4）问的垫脚石，此题难度一般.

考点四：存在探索型：

此类问题在一定的条件下，需探究发现某种数学关系是否存在的题目.

例7（2012•黑龙江）如图，在平面直角坐标系中，直角梯形OABC的边0C、0A分别与x轴、y轴

重合，AB/70C,ZA0C=90°,ZBCO=45°,BC=6&,点C的坐标为（-9,0）.

（1）求点B的坐标；

（2）若直线DE交梯形对角线B0于点D,交y轴于点E,且0E=2,0D=2BD,求直线DE的解析式；

（3）若点P是（2）中直线DE上的一个动点，是否存在点P,使以0、E、P为顶点的三角形是等腰三角

形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

考点：一次函数综合题。810360_

分析：（1）过点B作BF，x轴于F,在RtZkBCF中，已知NBC0=45°,BC=6我，解直角三角形求CF,

BF,确定B点坐标；

（2）过点D作DG_Ly轴于点G,由平行线的性质得出△0DGs2\0BA,利用相似比求DG,0G,确定D点坐

标，由已知得E点坐标，利用“两点法”求直线DE的解析式；

（3）存在.由已知的0E=2,分别以0、E为圆心，2为半径画弧，与直线DE相交，或作线段0E的垂直平

分线与直线DE相交，交点即为所求.

解答：解：（1）过点B作BF_Lx轴于F,…（1分）

在RtZ\BCF中，

VZBCO=45°,BC=6A/2>

.♦.CF=BF=6,…（1分）

VC的坐标为（-9,0）,

/.AB=OF=3,

.•.点B的坐标为（-3,6）；…（1分）

(2)过点D作DGJLy轴于点G,…(1分)

VAB/7DG,

/.△ODG^AOBA,

•.•更@=竺=2,AB=3,0A=6,

ABOBOA3

.•.DG=2,0G=4,…(1分)

AD(-2,4),E(0,2),

设直线DE解析式为y=kx+b(k#0)

.[-2k+b=4

,,jb=2

.•.1k-l,...(i分)

(b=2

•••直线DE解析式为y=-x+2；…(1分)

（3）存在Pi（2,0）、P2（1,1）、P3（加,2-&）、P,（-&,2+V2）…（3分）

（写对一个点得1分，写对两个点或三个点得2分）

点评：本题考查了一次函数的综合运用.关键是通过作辅助线，解直角三角形，证明三角形相似，确定

相关线段的长和点的坐标，得出直线解析式，再根据等腰三角形的性质，分类求P点坐标.

例8(2012•北海)如图，在平面直角坐标系中有RtAABC,NA=90°,AB=AC,A(-2,0)、B(0,1)、

C(d,2).

(1)求d的值；

(2)将AABC沿x轴的正方向平移，在第一象限内B、C两点的对应点T、C'正好落在某反比例函数图

象上.请求出这个反比例函数和此时的直线1C，的解析式；

(3)在(2)的条件下，直线BC交y轴于点G.问是否存在x轴上的点M和反比例函数图象上的点P,使

得四边形PGMC'是平行四边形？如果存在，请求出点M和点P的坐标；如果不存在，请说明理由.

考点：反比例函数综合题。810360

专题：计算题。

分析：(1)过C作CN垂直于x轴，交x轴于点N,由A、B及C的坐标得出0A,0B,CN的长，由NCAB=90°,

根据平角定义得到一对角互余，在直角三角形ACN中，根据两锐角互余，得到一对角互余，利用同角的余

角相等得到一对角相等，再由一对直角相等，且AC=BC,利用AAS得到三角形ACN与三角形AOB全等，根

据全等三角形的对应边相等可得出CN=0A,AN=0B,由AN+OA求出0N的长，再由C在第二象限，可得出d

的值；

(2)由第一问求出的C与B的横坐标之差为3,根据平移的性质得到纵坐标不变，故设出C'(m,2),

则B，(m+3,1),再设出反比例函数解析式，将与B，的坐标代入得到关于k与m的两方程，消去k

得到关于m的方程，求出方程的解得到m的值，即可确定出k的值，得到反比例函数解析式，设直线B，C'

的解析式为y=ax+b,将C'与B'的坐标代入，得到关于a与b的二元一次方程组，求出方程组的解得到

a与b的值，即可确定出直线B'C的解析式；

(3)存在x轴上的点M和反比例函数图象上的点P,使得四边形PGMC，是平行四边形，理由为：设Q为

GC'的中点，令第二问求出的直线B，5的解析式中x=0求出y的值，确定出G的坐标，再由C，的坐标,

利用线段中点坐标公式求出Q的坐标，过点Q作直线1与x轴交于M，点，与y=@的图象交于P'点，若

X

四边形7GM'「是平行四边形，则有P'卜QM',易知点M的横坐标大于2点P'的横坐标小于2

22

作P'H_Lx轴于点H,QK_Ly轴于点K,P'H与QK交于点E,作QFLx轴于点F,由两直线平行得到一对

同位角相等，再由一对直角相等及P'Q=QM，,利用AAS可得出△P，EQ与△QFM'全等，根据全等三角形

的对应边相等，设EQ=FM'=3由Q的横坐标-t表示出P，的横坐标，代入反比例函数解析式确定出P'

的纵坐标，进而确定出的坐标，根据口H-EH=P，H-QF表示出P'E的长，又P'gQM',分别放在

直角三角形中，利用勾股定理列出关于t的方程，求出方程的解得到t的值，进而确定出P'与的坐

标，此时点P'为所求的点P,点M，为所求的点M.

解答：解：(1)作CN_Lx轴于点N,

VA(-2,0)、B(0,1)、C(d,2),

：.0k=2,OB=1,CN=2,

VZCAB=90",BPZCAN+ZBA0900,

XVZCAN+ZACN=90°,

二ZBAO=ZACN,

在RtZkCNA和RSAOB中，

'NACN=/BAO

ZANC=ZBOA=90°，

,CA=AB

ARtACNA^RtAAOB(AAS),

...NOOA=2,AN=BO=1,

.,.NONA+AO3,又点C在第二象限，

.♦.d=-3；

(2)设反比例函数为y=K(kWO),点C'和B'在该比例函数图象上,

X

设C,(m,2),则B’(m+3,1),

把点C'和B'的坐标分别代入y=K得k=2m；k=m+3,

X

:.2m=m+3,

解得：m=3,

则k=6,反比例函数解析式为y=g点C'(3,2),B'(6,1),

x

设直线C'B'的解析式为y=ax+b(aWO),

把「、B，两点坐标代入得：

(3a+b=2,

l6a+b=l*

,fa=-l

•.解得：，3；

b=3

(3)存在x轴上的点M和反比例函数图象上的点P,使得四边形PGMC'是平行四边形，理由为:

设Q是GC'的中点，令丫=-工+3中*=0,得到y=3,

3

:.G(0,3),又C'(3,2),

AQ(心，上)，

22

过点Q作直线1与x轴交于点，与y=g的图象交于P'点，

X

若四边形P，GM，Cf是平行四边形，则有P‘Q=QM',

易知点的横坐标大于2点P'的横坐标小于心，

22

作P'H_Lx轴于点H,QKJ_y轴于点K,P'H与QK交于点E,作QFLx轴于点F,

•.•QF〃P'E,

AZM,QF=NQP'E,

在AP'EQ和△QFM'中，

'SEQ=ZQFM7

：NQP'E=NM'QF，

PQ二Q『

.♦.△P'EQ^AQFMZ(AAS),

.♦.EQ=FM',P'Q=QM/,

设EQ=FM'=t,

...点P'的横坐标x=a-t,点7的纵坐标尸包/—」一,点次的坐标是（心+t,0）,

2x3_t3-2t2

2

.,.PzE=P'H-EH=PZH-QF=12-

3-2t2

又MQ=QM',

根据勾股定理得：PzE2+EQ2=QF2+FMZ2,

(12-52+t2=(5).2,

3-2t22

整理得：_J2_=5,

3-2t

解得：t=c（经检验，它是分式方程的解）,

10

:.卫-t=2-3=6.」_=一四一5；3+t=3+A=l

2210?3-2t3-2XA22105

10

：.P'(0,5),Mz(20),

55

则点P'为所求的点P,点为所求的点M.

点评：此题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：全等三角形的判定与性质，勾股定理，坐标与图形

性质，利用待定系数法求函数解析式，平移的性质，是一道综合性较强的试题，要求学生掌握知识要全面.

四、中考真题演练

1.（2012•广东）如图，直线y=2x-6与反比例函数y=X（X>Q）的图象交于点A（4,2）,与x轴交于

x

点B.

（1）求k的值及点B的坐标；

（2）在x轴上是否存在点C,使得AC=AB?若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由.

考点：反比例函数综合题。810360

专题：数形结合。

分析：（1）先把（4,2）代入反比例函数解析式，易求k,再把y=0代入一次函数解析式可求B点坐

标；

（2）假设存在，然后设C点坐标是（a,0）,然后利用两点之间的公式可得

7（4-a）2+（2-0）（4-3）2+（2-0）2,借此无理方程，易得a=3或a=5,其中a=3和

B点重合，舍去，故C点坐标可求.

解答：解：（1）把（4,2）代入反比例函数丫=上，得

X

k=8,

把y=0代入y=2x-6中，可得

x=3,

故k=8；B点坐标是（3,0）；

（2）假设存在，设C点坐标是（a,0）,则

,.,AB=AC,

7（4-a）2+（2-0）（4-3）2+（2-0）2>

即（4-a）2+4=5»

解得a=5或a=3（此点与B重合，舍去）

点评：本题考查了反比函数的知识，解题的关键是理解点与函数的关系，并能灵活使用两点之间的距离

公式.

2.（2012•乐山）如图，直线y=2x+2与y轴交于A点，与反比例函数尸乂（x>0）的图象交于点M,过M

x

作MHJ_x轴于点H,且tanNAHO2.

（1）求k的值；

（2）点N（a,1）是反比例函数尸乂（x>0）图象上的点，在x轴上是否存在点P,使得PM+PN最小？若

x

存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

考点：反比例函数综合题。810360

分析：（1）根据直线解析式求A点坐标，得0A的长度；根据三角函数定义可求OH的长度，得点M的

横坐标；根据点M在直线上可求点M的坐标.从而可求K的值；

（2）根据反比例函数解析式可求N点坐标；作点N关于x轴的对称点N“连接MN1与x轴的交点就是满

足条件的P点位置.

解答：解：

(1)由y=2x+2可知A(0,2),即OA=2.…(1分)

VtanZAHO=2,/.OH=1.…(2分)

轴，.,.点M的横坐标为1.

•.•点M在直线y=2x+2上,

...点M的纵坐标为4.即M（L4）.-（3分）

•.•点M在y=K上，

X

/.k=lX4=4.（4分）

（2）存在.

•.•点N（a,1）在反比例函数尸&（x>0）上，

x

，a=4.即点N的坐标为（4,1）.•••（5分）

过点N作N关于x轴的对称点N”连接MN“交x轴于P（如图所示）.

此时PM+PN最小.…（6分）

•••N与同关于x轴的对称，N点坐标为（4,1）,

J.N1的坐标为（4,-1）.­••（7分）

设直线MNi的解析式为y=kx+b.

由，4=k+b解得k=-2b=lZ.-（9分）

[-l=4k+b.33

直线MN.的解析式为y=-.|X冉.

令y=0,得X=1Z.

5

，P点坐标为（210）.•••（10分）

5

点评：此题考查一次函数的综合应用，涉及线路最短问题，难度中等.

3.（2012•莆田）如图，一次函数丫=1<汉+13的图象过点A（0,3）,且与反比例函数产占2（x>0）的图象相

x

交于B、C两点.

（1）若B（1,2）,求kjkZ的值；

（2）若AB=BC,则kjkz的值是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由.

考点：反比例函数综合题。810360

专题：综合题。

分析：(1)分别利用待定系数法求函数解析式求出一次函数解析式与反比例函数解析式，然后代入k『kz

进行计算即可得解；

(2)设出两函数解析式，联立方程组并整理成关于x的一元二次方程，根据AB=BC可知点C的横坐标是

点B的纵坐标的2倍，再利用根与系数的关系整理得到关于L、区的关系式，整理即可得解.

解答：解：(1)VA(0,3),B(1,2)在一次函数y=kix+b的图象图象上，

Jb=3

，［ki+b=2，

豌俎酊=-1

解得、：

lb=2

•••B(1,2)在反比例函数产⑴图象上，

X

.,.旦2,

1

解得k2=2,

所以，kjkz=(-1)X2--2；

(2)kj«k2=-2,是定值.

理由如下：

•.•一次函数的图象过点A(0,3),

设一次函数解析式为尸kix+3,反比例函数解析式为y=&,

X

kn

/.kix+3二-

x

整理得kix2+3x-k2=0,

.3K2

X1+X2="上X1*X2=---

klkl

VAB=BC,

:.点C的横坐标是点B的横坐标的2倍，不防设X2=2XI,

短一前2,

整理得，%・区=-2,是定值.

点评：本题是对反比例函数的综合考查，主要利用了待定系数法求函数解析式，根与系数的关系，(2)

中根据AB=BC,得到点B、C的坐标的关系从而转化为一元二次方程的根与系数的关系是解题的关键.

4.(2012•长春)如图，在平面直角坐标系中，平行四边形0ABC的顶点A、C的坐标分别为A(2,0)、C

(-1,2),反比例函数y=X(kWO)的图象经过点B.

X

(1)求k的值.

(2)将平行四边形OABC沿x轴翻折，点C落在点C'处，判断点C'是否在反比例函数y=K(k#0)的

X

图象上，请通过计算说明理由.

考点：反比例函数综合题。810360

分析：（1）根据平行四边形的性质可得A0=BC,再根据A、C点坐标可以算出B点坐标，再把B点坐标

代入反比例函数解析式中即可求出k的值；

（2）根据翻折方法可知C与C，点关于x轴对称，故L点坐标是（-1,-2）,把「点坐标（-1,-

2）代入解析式发现能使解析式左右相等，故点，是否在反比例函数y=2的图象上.

X

解答：解：（1）・・•四边形0ABC是平行四边形，

ABC=A0,

VA（2,0）,

AOA=2,

ABC=2,

VC（-1,2）,

ACD=1,

ABD=BC-CD=2-1=1,

AB（1,2）,

・・,反比例函数y=上（kWO）的图象经过点B,

x

Ak=lX2=2；

（2）・・・6）ABC沿x轴翻折，点C落在点「处，

・・C点坐标是（-1,-2）,

Vk=2,

・••反比例函数解析式为y=2,

x

把C，点坐标（-1,-2）代入函数解析式能使解析式左右相等，

故点C'在反比例函数y=2的图象上.

点评：此题主要考查了反比例函数点的坐标与反比例函数解析式的关系，以及平行四边形的性质，关键

是熟练把握凡是反比例函数图象经过的点都能满足解析式.

7.(2012•宜宾)如图，抛物线y=x?-2x+c的顶点A在直线1：y=x-5上.

(1)求抛物线顶点A的坐标；

(2)设抛物线与y轴交于点B,与x轴交于点C、D(C点在D点的左侧)，试判断AABD的形状；

(3)在直线1上是否存在一点P,使以点P、A、B、D为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点P的

坐标；若不存在，请说明理由.

考点：二次函数综合题。810360

专题：压轴题；分类讨论。

分析：(1)先根据抛物线的解析式得出其对称轴方程，由此得到顶点A的横坐标，然后代入直线1的

解析式中即可求出点A的坐标.

(2)由A点坐标可确定抛物线的解析式，进而可得到点B的坐标.则AB、AD、BD三边的长可得，然后根

据边长确定三角形的形状.

(3)若以点P、A、B、D为顶点的四边形是平行四边形，应分①AB为对角线、②AD为对角线两种情况讨

论，即①ADgFB、②AB&FD,然后结合勾股定理以及边长的等量关系列方程求出P点的坐标.

解答：解：(1)1•顶点A的横坐标为X=：2=L且顶点A在y=x-5上，

2

当x=l时，y=l-5=-4,

AA(1,-4).

(2)Z\ABD是直角三角形.

将A(L-4)代入y=x?-2x+c,可得，1-2+c=-4,.*.c=-3,

Ay-x2-2x-3,AB(0,-3)

2

当y=0时，x-2x-3=0,xi=-1,x2=3

AC(-1,0),D(3,0),

BD2=0B2+0D2=18,AB2=(4-3)2+l2=2,AD2=(3-1)2+42=20,

BD2+AB2=AD2,

AZABI>90o,即aABD是直角三角形.

(3)存在.

由题意知：直线y=x-5交y轴于点A(0,-5),交x轴于点F(5,0)

.,.0E=0F=5,又,.,0B=0D=3

/.△0EF与aOBD都是等腰直角三角形

，BD〃1,即PA〃BD

则构成平行四边形只能是PADB或PABD,如图，

过点P作y轴的垂线，过点A作x轴的垂线并交于点C

设P(xi,%-5),则G(1,xi-5)

则PC=|l-xJ,AG=|5-xi-4|=|l-xi|

PA=BI>3&

由勾股定理得：

(1-Xi)2+(1-Xi)J18,X，-2xi-8=0,XF-2或4

AP(-2,-7),P(4,-1)

存在点P(-2,-7)或P(4,-1)使以点A、B、D、P为顶点的四边形是平行四边形.

点评：题目考查了二次函数解析式的确定、勾股定理、平行四边形的判定等基础知识，综合性较强；(3)

题应注意分类讨论，以免漏解.

8.(2012•温州)如图，经过原点的抛物线尸-xZ+2mx(m>0)与x轴的另一个交点为A.过点P(1,m)

作直线PMLx轴于点M,交抛物线于点B.记点B关于抛物线对称轴的对称点为C(B、C不重合).连接

CB,CP.

(1)当m=3时，求点A的坐标及BC的长；

(2)当时，连接CA,问m为何值时CAJ_CP?

(3)过点P作PE_LPC且PE=PC,问是否存在m,使得点E落在坐标轴上？若存在，求出所有满足要求的

m的值，并定出相对应的点E坐标；若不存在，请说明理由.

考点：二次函数综合题。810360

分析：(1)把m=3,代入抛物线的解析式，令y=0解方程，得到的非。解即为和x轴交点的横坐标，

再求出抛物线的对称轴方程，进而求出BC的长；

(2)过点C作CH_Lx轴于点H(如图1)由已知得NACP=NBCH=90°,利用已知条件证明△ACHSAPCB,

根据相似的性质得到：理一生，再用含有m的代数式表示出BC,CH,BP,代入比例式即可求出m的值；

CHBC

(3)存在，本题要分当m>l时，BC=2(m-1),PM=m,BP--1和当OVmVl时，BC=2(1-m),PM=m,

BP=l-m,两种情况分别讨论，再求出满足题意的m值和相对应的点E坐标.

解答：解：(1)当111=3时，y=-X2+6X

令y=0得-x?+6x=0

.,.xi=O,xz=6,

...A(6,0)

当x=l时，尸5

AB(1,5)

•.•抛物线y=-X2+6X的对称轴为直线x=3

又TB,C关于对称轴对称

.•.BC=4.

(2)过点C作CHJLx轴于点H(如图1)

由已知得NACP=NBCH=90°

AZACH=ZPCB

又•.•NAHC=NPBC=90°

/.△ACH^APCB,

•AHPB

,,丽而？

.抛物线y=-x2+2mx的对称轴为直线x=m,其中m>L

又TB,C关于对称轴对称，

/.BC=2(m-1),

*.'B(1,2m-1),P(1,m),

.•.BP=m-1,

又,:卜(2m,0),C(2m-1,2m-1)>

AH(2m-1,0),

.•.AH=1,CH=2m-1,

.1_m~~1

2m-12(m-1)

2

(3)VB,C不重合，，mWl,

(I)当m>l时，BC=2(m-1),PM=m,BP=m-b

(i)若点E在x轴上(如图1),

VZCPE=90",

...NMPE+NBPC=NMPE+NMEP=90°,PC=EP,

.,.△BPC^AMEP,

•\BC=PM,

.".2(m-1)=m,

此时点E的坐标是(2,0)；

(ii)若点E在y