2023年初中数学竞赛精品标准教程及练习正整数简单性质的复习

初中数学竞赛精品标准教程及练习(7０)正整数简朴性质的复习一.连续正整数一．ｎ位数的个数：一位正整数从１到９,共9个,两位数从1０到99，共90个,三位数从100到９9９共9×102个,那么n位数的个数共______＿__＿．(n是正整数)练习：1．一本书共1989页,用0到９的数码,给每一页编号，总共要用数码_＿＿个.2.由连续正整数写成的数1234……99９１00０是一个＿＿＿_＿__位数；……1９８８１989是＿___＿__位数．3.除以3余1的两位数有____个,三位数有____个，n位数有___＿___个.４．从1到100的正整数中,共有偶数_＿__个,含3的倍数_＿__个；从50到１０0０的正整数中，共有偶数_＿＿_个,含3的倍数_＿__个.二.连续正整数的和：1+２＋3＋……+n=（1+n)×.把它推广到连续偶数，连续奇数以及以模m有同余数的连续数的和.练习:５.计算2+4＋6+……+1０0＝___＿___＿__.1+3+5+……+９9=_＿____＿_____．5＋1０＋15+……+１00＝______＿＿_.1+4+７＋……+100=＿__________＿.1＋2+３+……＋1９8９其和是偶数或奇数？答____＿_和等于100的连续正整数共有＿_____组,它们是_＿＿_＿＿_＿____＿__＿_＿____.和等于10０的连续整数共有_＿___组，它们是_＿__＿＿__＿_______＿_＿＿＿___＿_.三．由连续正整数连写的整数，各位上的数字和整数各位上的数字和是：(０+9）+（1+8）+…＋(4＋5)＝9×5＝４5;１２34…99100各位数字和是(0＋99)+(1+９8）+…+（49＋50)＋1=18×50+1=９01.练习:12．整数12３4……9９９100０各位上的数字和是____＿___＿__＿_.把由1开始的正整数依次写下去，直到第１9８位为止:这个数用9除的余数是___＿__＿___.由1到1０0这１０0个正整数顺次写成的数1234……991０0中:它是一个_＿______位数;它的各位上的数字和等于_＿______;从这一数中划去10０个数字,使剩下的数尽也许大，那么剩下的数的前十位是_____＿__＿＿____________＿____.四．连续正整数的积：①1×2×3×…×n记作n!读作ｎ的阶乘．②n个连续正整数的积能被n!整除.如:2!|a（a+1),3！|ａ(a＋1)(a+2）,n！|a(a＋1）(a＋２)…(a+n-1）．a为整数．③ｎ!中具有质因数m的个数是＋+…＋．[x]表达不大于x的最大正整数，ｉ=1,2，３…mi≤n如:1×２×3×…×10的积中,含质因数3的个数是：=3+1=4练习:15.在10０！的积中,含质因数5的个数是：_＿_＿1６.一串数1，4,7，１0，……,6９7,70０相乘的积中,末尾共有零＿_＿_＿__个1７.求证：1049４｜1９89!１8．求证：4!|a（ａ2－1)(ａ+2)a为整数五.两个连续正整数必互质练习:1９．假如n＋１个正整数都小于２n,那么必有两个是互质数，试证之.二.正整数十进制的表达法一.n＋１位的正整数记作：an×10n+ａn-1×10n－1+……+ａ１×1０+ａ0其中ｎ是正整数,且０≤aｉ≤9（ｉ=1,2，３,…n）的整数,最高位an≠0．例如：54321＝５×104＋4×10３+3×1０2＋２×10＋1.例题:从1２到33共22个正整数连写成A=1２１3１４…3233.试证:Ａ能被９9整除．证明:A=1２×１0４2＋1３×１040+14×1038+……+31×1０4+３２×102＋33＝1２×１0０2１＋1３×1002０＋14×101９+……＋3１×１002+32×1００＋33.∵10０的任何次幂除以9的余数都是1，即10０n=(９9+1)n≡1(mod9)∴Ａ=9９k+１２+13+14+……+31＋３2+３3(k为正整数)=9９ｋ＋（１2+３3)+(1３+32)+…＋(22+23)=99ｋ+45×11=99k+99×５.∴A能被99整除.练习：20.把从19到８０的连结两位数连写成1９２02322…7９80.试证明这个数能被1980整除二.常见的一些特例=10n－1,=（10n-１),(10n－1)．例题：试证明12,112２，11１222，１1１12222,……这些数中的任何一个，都是两个相邻的正整数的积.证明:第n个数是=×10n+＝（10ｎ+2)===×.证毕．练习:21.化简×+1=＿__＿＿____＿___＿__＿_＿＿______＿＿___.22.化简=＿＿__＿＿_＿＿______＿＿＿___＿＿＿＿______＿__＿＿_＿___＿__．２3.求证是合数.24.已知:存在正整数n,能使数被1987整除.求证：数p＝和数q=都能被1987整除.证明:把一个大于1000的正整数分为末三位一组,其余部分一组,若这两组数的差,能被7（或13)整除，则这个正整数就能被7(或1３)整除.求证：×15+１是完全平方数．三.末位数的性质.一.用Ｎ（ａ）表达自然数的个位数.例如a=1２４时，N(a）=4；a=－３时，Ｎ(ａ)=３.１．Ｎ(a４k＋ｒ)=N(aｒ)a和k都是整数，ｒ＝１,2，3,４.特别的:个位数为0,1,5,6的整数，它们的正整数次幂的个位数是它自身．个位数是4，9的正偶数次幂的个位数也是它自身.N(a)＝N(b)N(a－ｂ)=0１0｜(a－ｂ).若Ｎ(a）=a０,N（b)=ｂ0.则Ｎ(an)=N(a0n)；N(aｂ)=N(ａ0b0）.例题1:求①5３1０0;和②７的个位数．解:①Ｎ(５3100)=N(3４×24＋4）=N（34)＝1②先把幂的指数7７化为４k+ｒ形式，设法出现4的因数．77=77-7+7=７（7６-1）+４＋3=7(7２－1)(74+72+１)＋4+3=7×4×12×(74+7２+1)+４＋3=4k+3∴Ｎ(7)=N(74ｋ+3)=Ｎ(7３)=３.练习:27．19８９1９8９的个位数是___＿__，9的个位数是_______.求证：10|(１987198９-19931991).２2１０×３３１５×7720×５５25的个位数是______.二.自然数平方的末位数只有０，１，４,５，6，9；连续整数平方的个位数的和，有如下规律：12，2２，3２,……，１0２的个位数的和等于1＋4+9+6＋5+5+9＋４+０=45.1.用这一性质计算连续整数平方的个位数的和例题1.填空:１2,22,3２,……,的和的个位数的数字是_______.解：∵12,22，32,……,1０2的个位数的和等于1＋4+9+6＋5＋5+9+4+0=45．11到２0；21到３0；31到４0;………到,的平方的个位数的和也都是45．所以所求的个位数字是:(1+４+９＋6＋５＋5+9+4+0)×(1２3４567８+1）的个位数5.2.为判断不是完全平方数提供了一种方法例题2.求证:任何五个连续整数的平方和不能是完全平方数．证明：（用反证法）设五个连续整数的平方和是完全平方数，那么可记作：（n－2)2+(n-1)2+n2+（n+1）２＋(ｎ＋２)2=k2(n,k都是整数)5(ｎ2+2)=k２.∵k2是５的倍数,k也是5的倍数.设k=5ｍ,则5(n2+２)＝25m2n2+2＝5m2n2+2是５的倍数,其个位数只能是0或5，那么n2的倍数是8或3.但任何自然数平方的末位数,都不也许是8或3.∴假设不能成立∴任何五个连续整数的平方和不能是完全平方数.３．判断不是完全平方数的其他方法例题3.已知:ａ是正整数.求证：ａ(ａ+1)+1不是完全平方数证明：∵a(a+1)+1=a2+a+１,且a是正整数∴a2<a（a+1)+1＝a2＋a+1＜(a+1)2，∵ａ和a+1是相邻的两个正整数，a（ａ+1)+1介于它们的平方之间∴a(ａ+1）+1不是完全平方数例题4.求证:(n＞１的正整数)不是完全平方数证明:根据奇数的平方数除以4必余1,即(2k+１)2=4(k+１）+1.但==４k+１1=4ｋ+4×2+3=4(ｋ＋2)+３即除以4余数为3,而不是1，∴它不是完全平方数.例题5．求证：任意两个奇数的平方和,都不是完全平方数．证明：设2a+１，２b+1(a,b是整数)是任意的两个奇数.∵(2a+1）2+(2b+1)２=4a2＋4a＋1+４b２+４b+1=4(a2+ｂ2+a+ｂ）＋２.这表白其和是偶数，但不是４的倍数，故任意两个奇数的平方和,都不也许是完全平方数．三.魔术数:将自然数N接写在每一个自然数的右面，假如所得到的新数，都能被Ｎ整除,那么N称为魔术数.常见的魔术数有:能被末位数整除的自然数，其末位数是1,2,５(即１0的一位正约数是魔术数)能被末两位数整除的自然数,其末两位数是10,20,25,50(即100的两位正约数也是魔术数))能被末三位数整除的自然数,其三末位数是100，１２5，２0０，250，５00(即1０00的三位正约数也是魔术数)练习：30．在小于１30的自然数中魔术数的个数为_________.四．两个连续自然数,积的个位数只有0，2，6；和的个位数只有１,3，5，7，9.练习：31.已知:n是自然数，且9n2+５n＋２６的值是两个相邻自然数的积,那么ｎ的值是:_________＿___＿_____.四.质数、合数正整数的一种分类:质数中，偶数只有一个是2,它也是最小的质数.互质数:是指公约数只有1的两个正整数.相邻的两个正整数都是互质数.例题:试写出10个连续自然数,个个都是合数.解：答案不是唯一的,其中的一种解法是：令A=1×２×3×4×5×６×7×8×9×1０×11那么Ａ+2，A＋３，A+4，A+５,A+６,Ａ+7，A+８,A+9，A+10，Ａ+１1就是10个连续数，且个个都是合数.一般地，要写出n个连续自然数，个个是合数,可用令m＝n+1，那么m!＋2，m!＋3,m！+4，+……+m!+n＋1就是所求的合数.∵m!+i(2≤i≤n＋1)有公约数i.练习:32.已知质数a，与奇数b的和等于11,那么a=__＿,b=＿__.两个互质数的最小公倍数是7２，若这两个数都是合数,那么它们分别等于_＿_＿，____.写出１0个连续正奇数,个个都是合数，可设m=(10+1）×2，m！=22！那么所求的合数是２2!+3，＿＿＿__，＿___,____，……写出1０个连续自然数，个个都是合数，还可令N＝2×３×5×7×11.(这里1１=10+１，即N是不大于１１的质数的积)．那么Ｎ+2,N+3,N+4，……N＋11就是所求的合数.这是为什么?假如要写１５个呢?已知：x，ｍ,n都是正整数.求证:２4m+2＋x4n五.奇数和偶数1.整数的一种分类：2.运算性质:奇数＋奇数=偶数，偶数+偶数=偶数，奇数+偶数=奇数.奇数×奇数=奇数,偶数×偶数＝偶数,奇数×偶数＝偶数．(奇数)正整数=奇数，(偶数)正整数=偶数.4．其他性质:①两个连续整数必一奇一偶，其和是奇数，其积是偶数．②奇数的平方被4除余１；偶数的平方能被4整除；除以４余2或３的整数不是平方数.2n(ｎ为正整数)不含大于1的奇因数.若两个整数的和(差）是奇数,则它们必一奇一偶．若n个整数的积是奇数,则它们都是奇数.例1．设m与ｎ都是正整数,试证明m3-ｎ3为偶数的充足必要条件是m－n为偶数.证明：∵m3-n3=(m－n)(ｍ2＋mn+n2)．当m－n为偶数时,不管m２+mn+n2是奇数或偶数,m３－ｎ3都是偶数;∴m－n为偶数是m３－n3为偶数的充足条件．当m-n为奇数时，ｍ,n必一奇一偶,m2，ｍn,n2三个数中只有一个奇数，∴m2+mn+ｎ2是奇数，从而m３-n3也是奇数.∴m-ｎ为偶数，是ｍ3-ｎ3为偶数的必要条件.综上所述m3-n3为偶数的充足必要条件是ｍ－n为偶数.例２.求方程x2－y２=１990的整数解.解:(ｘ＋y）(x-y)=2×５×199.若ｘ，y同是奇数或同是偶数，则x+y,ｘ-y都是偶数,其积是4的倍数,但１9９0不含4的因数，∴方程左、右两边不能相等.若ｘ,ｙ为一奇一偶，则x-y，x+y都是奇数，其积是奇数，但1990不是奇数,∴方程两边也不能相等．综上所述,不管x,y取什么整数值，方程两边都不能相等．所以原方程没有整数解本题是根据整数的一种分类:奇数和偶数,详尽地讨论了方程的解的也许性.练习：37．设n为整数，试鉴定n2-n+１是奇数或偶数.3８.100１+1０02＋1003+……+19８9其和是偶数或奇数,为什么？39.有四个正整数的和是奇数，那么它们的立方和，不也许是偶数,试说明理由．40.求证:方程ｘ２+1989x+９８91＝０没有整数根.41.已知：求证:ｎ是4的倍数.4２.若ｎ是大于1的整数，p=n＋（n2-1)试鉴定p是奇数或偶数,或奇偶数都有也许.六.按余数分类整数被正整数m除,按它的余数可分为m类，称按模m分类.如：模m＝2,可把整数分为2类:{２ｋ},{2k＋1}k为整数，下同模m=3,可把整数分为3类:｛3k},｛3k+1},{3k+2}.……模ｍ＝9,可把整数分为９类:{9k｝，{９k+1},{９k＋2}.…{9k＋８｝．整数除以9的余数，与这个整数各位上的数字和除以9的余数相同.如：６３72,5２73，4785各位数字和除以9的余数分别是0，8，6.那么这三个数除以９的余数也分别是0,8，6．按模m分类时，它们的余数有可加,可乘,可乘方的性质.如:若a=５k1+１,b=5k2＋2.则a+b除以5余数是３(1＋2）；aｂ除以5余2(１×２)；b２除以5余4(２2）.例1.求19891989除以7的余数．解：∵198９1９8９＝(７×２84+1)19８9,∴198919８9≡1１９89≡１(mｏd7）.即19８91９89除以7的余数是1.练习：43.今天是星期一,9９天之后是星期＿_____＿_.44.n个整数都除以n－１,至少有两个是同余数,这是为什么？４5.a是整数，最简分数化为小数时,若为循环小数，那么一个循环节最多有几位?运用余数性质和整数除以9的余数特性,可对四则运算进行检查例２．下列演算是否对的?①12625＋9568=21193；②２４73×429=１０6０927．解：①用各位数字和除以9,得到余数：１2625，95６8,２119３除以9的余数分别是7,１,7．∵7+１≠7,∴演算必有错．②24７3，4２9，10６0９27除以９的余数分别是7，６，７．而7×6=４２,它除以9余数为6，不是7,故演算也有错.注意:发现差错是准确的,但这种检查并不能肯定演算是绝对对的.练习:46．检查下列计算有无差错:①372８54-83２75＝２８96７9;②23366292÷6236=3748.整数按模分类，在证明题中的应用例3.求证:任意两个整数a和ｂ，它们的和、差、积中,至少有一个是３的倍数.证明：把整数a和b按模３分类,再详尽地讨论.假如ａ,ｂ除以3，有同余数(涉及同余0、1、2),那么a,ｂ的差是3的倍数;假如ａ，ｂ除以3，余数不同,但有一个余数是０，那么ａ,b的积是3的倍数；假如ａ,ｂ除以３,余数分别是1和２,那么ａ,b的和是3的倍数.综上所述任意两个整数a，b,它们的和、差、积中，至少有一个是３的倍数.(分类讨论时,规定做到既不反复又不违漏)例４.已知：p≥５，且p和2ｐ＋1都是质数.求证：４ｐ+１是合数.证明:把整数按模3分类.即把整数分为3k,３k＋1,3k+2(ｋ为整数)三类讨论∵p是质数,∴不能是3的倍数,即p≠3ｋ；当p=3k＋1时,２p+1=2(３k+1）+1=3(2k+1）．∴2ｐ+１不是质数，即p≠3k+１；只有当质数p=3k+2时,２p+1=2(３ｋ+2)+１＝６k+5.∴2p+1也是质数，符合题设.这时,4ｐ+１=4(3k+２)+1＝3（4ｋ+３)是合数．证毕练习：47．已知:整数a不能被2和３整除．求证:ａ2+23能被24整除.４8.求证：任何两个整数的平方和除以8,余数不也许为6.４９.若正整数a不是5的倍数.则a8+3ａ4－４能被1０0整除.已知:自然数n>２求证:2n－１和2n+1中，假如有一个是质数,则另一个必是合数．51.设ａ,b，ｃ是三个互不相等的正整数，求证a３ｂ－ab３,ｂ3ｃ－bc3，c３a-ca七.整数解二元一次方程aｘ＋by=c的整数解:当a,b互质时,若有一个整数的特解那么可写出它的通解运用整数的和、差、积、商、幂的运算性质整数±整数＝整数，整数×整数=整数,整数÷(这整数的约数)=整数,（整数)自然数＝整数一元二次方程,用求根公式，根的判别式,韦达定理讨论整数解.根据已知条件讨论整数解.例1.小军和小红的生日．都在１0月份,且星期几也相同,他们生日的日期的和等于3４,小军比小红早出生，求小军的生日.解：设小军和小红的生日分别为x，ｙ,根据题意,得(k=1,2,3，４)２x=34－７kx=17-k=1,3时,ｘ没有整数解；当k=2时,当k=4时，(10月份没有3１日，舍去)∴小军的生日在10月10日例2.假如一个三位数除以11所得的商，是这个三位数的各位上的数的平方和，试求符合条件的所有三位数.解:设三位数为10０ａ+１0b+c，a,b,c都是整数，０<ａ≤9,0≤b,c≤9．那么,且-8<a-ｂ＋c<１8.要使a－ｂ+c被11整除,其值只能是0和11.(１）当ａ-b+c＝0时，得9a＋ｂ＝ａ2+b2+c2.以b=a+ｃ代入,并整理为关于a的二次方程，得２a2+2（c-5)a＋2c2－c=0根据韦达定理这是必要而非充足条件．∵5－c>0,以c=0,1，2,３,４逐个讨论ａ的解.当ｃ=２,4时，无实数根；当c=1,3时，无整数解；只有当c＝0时,a=5;或a=0.(a=0不合题意,舍去）∴只有c=０，a=5，b=5适合∴所求的三位数是550;(2)当ａ－b＋c＝11时，得9a+ｂ+1＝a2+ｂ2+ｃ２．以ｂ＝a＋c代入，并整理为关于a的二次方程，得２a2＋2(c－１6)a+2c２-23c+131=0.仿(1)通过韦达定理,由c的值逐个以讨论a的解.只有当c=3时,a=8，b=0适合所有条件．即所求三位数为803.综上所述,符合条件的三位数有５50和８03.练习:5２.正整数x1,x2,x３,……xｎ满足等式x1+x2+ｘ３＋x4+x5=x1x２ｘ３ｘ4ｘ4x5那么x5的最大值是_＿_____＿.假如p，q,都是整数,.且p>1,q>1,试求p＋q的值.能否找到这样的两个正整数m和n，使得等式m２＋１９86＝n2成立.试说出你的猜想,并加以证明.当m取何整数时，关于x的二次方程m2ｘ2-18mx+72=x2－6x的根是正整数,并求出它的根.若关于x的二次方程（1＋ａ）ｘ2+２x+1-a＝0的两个实数根都是整数,那么a的取值是________＿_＿__＿__.不等边三角形的三条边都是整数，周长的值是28，最大边与次大边的差比次大边与最小边的差大１,适合条件的三角形共有____个,它们的边长分别是：＿__＿_______＿__＿_＿___＿＿____＿____＿_______＿____＿_＿____＿___＿___＿＿_.直角三角形三边长都是整数，且周长的数值恰好等于面积的数值,求各边长.鸡翁一,值钱；，鸡母一，值钱三;鸡雏三,值钱一.百钱买百鸡,问鸡翁、鸡母、鸡雏各几何？甲买铅笔4支，笔记本10本，文具盒１个共付1.６9元，乙买铅笔3支，笔记本7本,文具盒1个共付1．２6元,丙买铅笔、笔记本、文具盒各1,应付几元？若１×２×3×4×……×9９×１00＝12n×M,其中M为自然数,n为使得等式成立的最大自然数，则M是(）（A）.能被２整除,不能被3整除.(B)．能被３整除,但不能被２整除.（C).被4整除,不能被3整除．(D).不能被3整除，也不能被2整除.练习７0参考答案:9＋９0×２+90０×３＋99０×4=6849２８９3７95630,３0０，3×10n-14.50,３3,47６，３1７.5.2５5０6.25０0．7.１05０17１7.9.奇数(1+1989)×．10有两组:18，1９,２０,21，22;9,10,11,12，13，14，１5，16．1１.有四组：除上题中的两组外,尚有-8到16；－１7到２212.13501．13．余数是6(由1到102刚好是１98位).14.(1)192(2)90１(3)15.+＝２4６0个.计算积中含质因数５的个数是:从10，２5,40，55,……7０0这组数中含质因数5的共有（70０-10)÷15+1＝4７；而２５，１00，175,……70０具有52因数，应各加1个5,共有(100－２5)÷75+1=10；且25０，625,具有53因数,应再各加1个5,共有2个;６25具有54因数,再加1个5.∴总共是47＋１０+2+1=60.１7．＝37９＋７９+15+3=4941８.把a(ａ2-１)(3a+２）化为a(ａ＋1）(a-1）[(２a+4)+（a－2)]＝2(ａ-1)a（a＋1)（ａ+2）+（a-2)（ａ－1)a(ａ+1).19．根据两个连续整数必互质,把ｎ+1个正整数按非连续数单独分组，由于它们都小于2n,所以最多分为ｎ组,那么n+1个正整数至少有一个不能单独分组，即与n组中的一个互质.２０.易证能被20整除,再证能被99整除21.原数=(10n－1)2+１×10ｎ+(10n-1)=1０2n22.原数=×（10２n-1)－２××（10n－1)=……＝()2=(23.原数=×(10１９90-1）＝×（１0995＋１）(10995-1)＝×(10995+1）(10－1)×Ｎ(N为整数)２４.p＝×(１03n+９×102n+８×10n+７）ｑ=×(10３ｎ+３+9×102n＋2+8×１0n+1＋7)∵10n=9×+１，103ｎ+3，10２n+2,10n+1除以的余数分别为10３,１０2,１0.∴q的第二因式除以的余数分别为1×10３+9×1０2+8×１0＋7……25.设A＝103A=１03M+N=103２6．原数＝=……27.１.28