附15套高考模拟卷2019-2020学年高考临考冲刺数学试卷含解析

重庆市兼善中学2019-2020学年高考临考冲刺数学试卷

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的。

1.函数y="sin"x?的图象是

2.如图，四边形ABCO内接于圆。，若45=1,AD=2,^BC=V3BDcosZDBC+CDsinZBCD，

3.在下列给出的四个结论中，正确的结论是

A.A知函数f。）在区间（a,切内有零点,则/（。）/3）<0

B.若a+b=l,则3是3"与3”的等比中项

C.若4,02是不共线的向量，且机=q-202,n=34—602，则相〃〃

4

cosa=__

D.已知角a终边经过点（3,-4）,贝|5

3

4.定义在R上的偶函数/（x）=/T-COSX（其中e为自然对数的底），记a=/（log[）,^=/（log25）,

2

。=/伏+2）,则。，b,c的大小关系是（）

A.a<c<bB.c<a<bQb<c<apb<a<c

5.方程21+x=5的解所在的区间是（）

A.（°/）B.（1,2）C.（2J）D.（34）

6.我国古代名著《九章算术》中有这样一段话：“今有金锤，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重

二斤，中间三尺重几何.”意思是：“现有一根金锤，长5尺，头部1尺，重4斤，尾部1尺，重2斤，且

从头到尾，每一尺的重量构成等差数列，问中间三尺共重多少斤？”（）

A.6斤B.7斤C.8斤D.9JT

7.“勾股定理”在西方被称为“毕达哥拉斯定理”，三国时期吴国的数学家赵爽创制了一幅“勾股圆方图”

用数形结合的方法给出了勾股定理的详细证明.如图所示的“勾股圆方图”中，四个相同的直角三角形与中

TT

间的小正方形拼成一个边长为2的大正方形，若直角三角形中较小的锐角a=/，现在向该正方形区域内

6

随机地投掷一枚飞镖，飞镖落在小正方形内的概率是（）

V3y/32-64-6

A.4B.2c.2D.4

8.经统计，用于数学学习的时间（单位：小时）与成绩（单位：分）近似于线性相关关系.对某小组学

生每周用于数学的学习时间X与数学成绩V进行数据收集如下：

X1516181922

y10298115115120

由样本中样本数据求得回归直线方程为y=bx+a,则点（a，3与直线x+18y=100的位置关系是（）

A.tz+18/?<100B.«+18Z?>100

C.a+1助=10（）D.a+18。与10°的大小无法确定

9.已知“X）为定义在R上周期为2的奇函数，当—13<0时，f{x）=x（ax+\）,若/仁）=一1,

则。=（）

_L4

A.6B.4C.25D.-6

10.已知向量a=（l,I）,0=（—1,2）,^（a-b）//（2a+tb）,贝!!/=（）

]_

A.0B.2C.-2D.-3

11.设a=（2）；,0=（T）7,c=（T）；，则见瓦c的大小关系为（）

A.a<b<cB.b<c<a

C.a<c<bD.c<a<b

12.在空间直角坐标系。一到z中，四面体ABC。各顶点坐标分别为A（2,2,1）,3（2,2,-1）,

C（0,2,1）,0（0,0,1）,则该四面体外接球的表面积是（）

A.16万B.12万c.4辰口.6兀

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知,23”.经计算，（4）>2,'2,/（16）〉3,'2,则根据以上

式子得到第〃个式子为.

2乃

14.双曲线”的焦点是R层，若双曲线用上存在点P,使八。耳耳是有一个内角为H的等腰三角形,

则M的离心率是；

15.设“eR,若复数（I+'）（”+’）在复平面内对应的点位于实轴上，则。=.

x<2

<x-y+l<0

16.若变量％，）’满足约束条件〔龙+2）'-220,则z=f+V的最小值为.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（12分）如图，已知多面体ABC—A4G，4A,B}B,gC均垂直于平面ABC,ZABC=\20°,

AA=4,C|C=1,AB=BC=B、B=2.

A.

AB证明：Ag，平面A4G；求直线AG与平面所成的角的正弦值.

18.（12分）已知;4a41,若函数f（x）=衾-2x+l在区间［1,3］上的最大值为M（a）,最小值为N（a）,

令g（a）=M（a）-N（a）.

（1）求g（a）的函数解析式；

仁）不要证明，请直接写出函数名小）的单调区间，并求g（a）的最大值.

19.（12分）已知函数""）士+町。€勺当”=1时，解不等式*一°区§；若

〃x）+|x-1区2的解集包含［1,2］,求。的取值范围.

a

20.（12分）在MBC中，角所对的边分别为。也c,已知asinAsinB+Ocos?A=2a,求万的

7t

Bhsin（Q--

值；若c=72b,求3的值.

21.（12分）如图，在三棱柱ABC—44储中，C0_L平面ABC,。为A6的中点，A3=2,AC=1,

CC\=6ZABC=30°.

AG//平面4。。求直线DG与平面48所成角的正弦值.

22.（10分）如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD为平行四边形，ADAP为直角三角形且DA=DP,

△ABP是等边三角形.

求证：PAJ-BD；若BA=BD=2,求二面角D-PC-B的正弦值.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的。

1、D

2、C

3、C

4、A

5、C

6、D

7、C

8、B

9、A

10、C

11、B

12、B

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

心）＞审（neN

13、

6+1

14、2

15、-1

16、1

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、（1）见解析；（2）直线AG与平面A34所成的角的正弦值为巫.

13

【解析】

【分析】

（1）根据直线与平面垂直的判定定理，要证A4,平面A4G，只需证AB】与平面A4G两条相交直线

垂直。根据已知条件可求与A4的长度，然后跟据勾股定理可证4,同理可得

进而可得A4，平面A4G。（2）要求直线AR与平面A84所成的角的正弦值，应先作角。由条件可得

平面A4G，平面ABg。所以过点c作交直线44于点。，连结AO.可知NGA。是

AC与平面所成的角.根据条件可求M4G的三边长，进而可由余弦定理求得COS/G44,然后

可求sinNG44。进而求得G。，在RfAAG。中即可求得结果。

【详解】

（1）由他=2,朋=4,网=2,〃_1他,明，/18得明=44=20，

所以AM+442=441

故做“4.

由BC=2,BBX=2,CC,=1,BB1工BC,CG上BC得BQi=芯,

由AB=BC=2,ZABC=120。得A。=，

由CG_LAC,得AG=屈，所以A42+4C;2=AC；,故4G.

因此44，平面A4G.

（2）如图，过点G作GO_L44,交直线44于点。，连结AO.

由Ag_L平面A4G得平面AB£，平面ABB],

由G。，44得G。，平面ABB1,

所以ZC.AD是AC,与平面ABB,所成的角.

由4G=石,耳4=2亚,AG=收得cosNGA耳=B]

,sin/C14万

所以C|O=6,故五11/。|4)=笔=答.

因此，直线A0与平面ABB1所成的角的正弦值是叵.

方法二：

(1)如图，以AC的中点O为原点，分别以射线OB,OC为x,y轴的正半轴，建立空间直角坐标系O-xyz.

由题意知各点坐标如下：A(0,-V3,0),fi(l,0,0)，A(0,-V3,4),B,(l,0,2),C,(0,V3,l),

因此阴=(1,"2),44=(1,后一2),A4=(0,2后一3),

由AB/A4=O得的

由=0得做，4G.

所以A4，平面4片。「

(2)设直线AG与平面ABg所成的角为e.

由（I）可知A0=仅,2"1）,48=（1,6,0）,叫=（0,0,2）,

设平面ABBy的法向量n=(x,y,z).

n-AB=0,即卜岛=°，可取〃=卜31,0).

由，

n-BB]-0,2z=0.

|ACrn|

所以sin。=|cosAC],n|=

KFH13

因此，直线与平面所成的角的正弦值是逆.

【点睛】

立体几何中证明直线与平面垂直，应该利用直线与平面垂直的判定定理。注意直线与直线垂直、直线与平

面垂直、平面与平面垂直之间的互相转化。其中直线与直线垂直是基础，证明直线与直线垂直方法有：①

勾股定理；②直线与平面垂直的定义；③若贝肥工儿④等腰三角形三线合一，菱形对角线互

相垂直，等初中几何知识。

a4---2,一4a4一

a32；(2)g(a)在I，1上单调递减，在惇1

瓜(1)g(a)=<上单调递增，最大值

c1/1,

9aH---6,一<aWl

a2

为4.

【解析】

【分析】

⑴根据题意，分析可得f(x)=ax2-2x+l=a(x-L)2+l-L由a的范围分析可得N(a),讨论a的

aa

取值范围，分析可得M(a)；

(2)由(1)的结论，分析M(a)的单调性，据此分析可得答案.

【详解】

解：0)根据题意，f(x)=ax2-2x+l=a(x--)2+l--,由!Va41得1V工43,

aa3a

则N(a)=f1]=l—L

当1〈工<2,即，<a〈l时，M(a)=f(3)=9a-5；

a2

当2W』W3,即，WaK，时，M(a)=f(l)=a-1,

a32

1cl,1

a+——2,—<a<—

则g(a)=312；

9。4---6,一<。<1

a2

(2)g(a)在I，1上单调递减，在上单调递增，且g(a)的图象连续不断;

又由=g(l)=4,

所以g(a)的最大值是g⑴=4.

【点睛】

本题考查二次函数的性质，涉及函数的最值，注意讨论a的取值范围.

31

19、(1)［—3,2］；(2)—<a<—

22

【解析】

【分析】

(1)分别在xNl、-2<x<l和2三个范围去绝对值得到不等式，解不等式求得解集；(2)将问题

转化为|x+2a|+x—1W2在［1,2］上恒成立，从而得到x—34x+2aW3—x在［1,2］上恒成立，从而得到a

的范围.

【详解】

(1)当a=l时，不等式为忖+2|+,一1归5

x>\-2<x<1x<-2

等价于j(x+2)+(x—1)45或j(x+2)—(x-1)45或(x+2)-(x—1)45

解得：l<x<2或-2cx<1或-3<工《-2

综上所述：-3«x<2

所以原不等式的解集是卜3,2］

(2)由题可知，/(力+,一1,2在［1,2］上恒成立

贝(J+2a+x—1W2,即|x+2a|W3—x在［1,2］上恒成立

所以8-34％+2。43-%在［1,2］上恒成立

3

即一5«a«3-2x在［1,2］上恒成立，

3

即-2x2

31

则nI——<a<——

22

【点睛】

本题考查绝对值不等式的求解、恒成立问题的求解.解决本题的关键是能够将问题转化为含绝对值的不等

式恒成立的问题.

a1-3J7-J3

2()、(I)-=-；(II)z5

b216

【解析】

【分析】

(I)先根据正弦定理化边为角，化简后再根据正弦定理化角为边，即得结果，(II)先根据余弦定理得

cosC,再利用同角三角函数平方关系、二倍角公式以及两角差正弦公式得结果.

【详解】

⑴由正弦定理得：sinAsinAsirLB+sinBcos2A=2sinA，

得：sinB卜ir^A+cos2A）=2sinA,sinB=2sinA.10=2a即0=」.

+b2-2b2

(°)2白餐3»

2abb24

CG（0,^r）/.sinC

,1

sin2C=2sinCcosCcos2C=2cos~C-1=—

8

7tn一3币-也

sin[2C--\=sin2Ccos--cos2Csin—

33316

【点睛】

本题考查正弦定理、余弦定理以及同角三角函数平方关系、二倍角公式以及两角差正弦公式，考查基本分

析求解能力，属基础题.

2K(I)详见解析；(II)巫.

10

【解析】

【分析】

(1)连接BG交B|C于点E,连接DE,证明DE〃AJ,即可证明AC|〃平面B|CD.(2)以CA,CB,

CG为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系C-xyz,直线DC】与平面为CD所成角为0,求

出平面BKD的法向量，然后利用空间向量的数量积求解即可.

【详解】

(I)连接BQ交B£于点E,连接DE,

•.•四边形BBQ|C是平行四边形，

.•.点E是BQ的中点，

又点D为AB的中点，

DE是AABG的中位线，DE//AC1.

又DEu平面BiCD,AC©平面B】CD,

AC】//平面B|CD.

(II)由AB=2,AC=1,/ABC=30。，由余弦定理得BC=G，可得AC_LBC,

以点C为坐标原点，CA,CB,CG为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系C-xyz.

则C(0,0,0),B,(0,A/3,V3),Dg，¥，0，C|(0,0,回

ADC,=,CB1=(0,后⑹,

设平面B|CD的法向量为n=(x,y,z),则n-CB]=0,n-CD=0>

6y+也z-0

即《16，令z=l,得n=(百

—XH——-y=0

122'

/M\n-DC,岳

.•.cos(n,DC)=­1~~!■

'l/|n||DC,10

直线DC,与平面B,CD所成角的正弦值为姮.

10

【点睛】

本题考查直线与平面平行的判定定理的应用，直线与平面所成角的向量求法，考查空间想象能力以及计算

能力，是中档题

22、(1)见解析；(2)孚

【解析】

【分析】

(1)取AP中点F,连接DM,BM,由已知可证PAJLDM,PAJLBM,又DMClBM=M,可得PA_L平面

DMB,因为BDu平面DMB,可证PA_LBD；

(2)由已知可得△DAP是等腰三角形，又AABP是等边三角形，可求出MD_LMB,以MP,MB,MD

所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系.求出平面DPC与平面PCB的一个法向量，由两法向量

所成角的余弦值得二面角D-PC-B的余弦值，进一步求得正弦值.

【详解】

(1)证明：取AP中点M,连

VDA=DP,AABP为等边三角形，

；.PA1DM,PA1BM,又DMClBM=M,

:.PA1平面DMB,又BD<=平面DMB,PA1BD.

(2)解：•.•BA=BD=2,M^AP中点，结合题设条件可得DM==

ABD2=MB2+MD<'MD1MB.

如图，以MP,MB.MD所在直线分别为x,y.z轴建立空间直角坐标系,

则人(-1,0,O),B(O,^,O),P(1,0,O),D(O,O,1),

.IIIIIII

^DP=(1,O,-1/DC=AB=(l43r,0)，BP=(1,-ArO)*BC=AD=(1,0,1)

设平面DPC的一个法向量、=(Xi，y],Z])，

ni'DP=0|X[-Z[=0I

则小反=。即I+网=。’''=(-机心

设平面PCB的一个法向量％=⑸必马)，

由即，/..

*

••・

设二面角的平面角为，则由图可知，二

【点睛】

本题考查直线与平面垂直的判定，考查了利用空间向量求解空间角，考查计算能力，是中档

题.2019-2020高考数学模拟试卷

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的。

1.如图1为某省2019年卜4月快递义务量统计图，图2是该省2019年卜4月快递业务收入统计图，下

列对统计图理解错误的是()

・快递业务母(万件)一同比增长(％)■>快递业务收入(万元)一同比增长(%)

A.2019年1~4月的业务量，3月最高，2月最低，差值接近2000万件

B.2019年1~4月的业务量同比增长率超过50%,在3月最高

C.从两图来看2019年1~4月中的同一个月快递业务量与收入的同比增长率并不完全一致

D.从上4月来看，该省在2019年快递业务收入同比增长率逐月增长

2.在AABC中，角A,B,。的对边分别为。，b,c,若人=1,a(2sin5—>/3cosC)=A/3COSA>

点。是边BC的中点，且4。=士，则A4BC的面积为()

2

V3空

A.GB.2c.6或26D.4或G

3.数列｛a,,｝为等比数列，若4=1,%=8%,数列14的前〃项和为§则』=()

3£_15

A.16B.8c.7D.31

4.已知a,力是两条异面直线，直线C与a,b都垂直，则下列说法正确的是()

A.若CU平面a,则a_La

B.若平面a,则a//“,/?//〃

C.存在平面。，使得cla,aua,8//。

D.存在平面。，使得

21-1(点0)

5.函数〃x)=/(x+l)(x<0),若方程/(x)=-x+a有且只有两个不等的实数根，则实数a的取值

范围为()

A.(勺°)B.I。/)c.(fi)D.【a”)

3

6.如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它由四个全等的直角三角形围成，其中sin/8AC=j,

现将每个直角三角形的较长的直角边分别向外延长一倍，得到如图的数学风车，若在该数学风车内随机取

一点，则该点恰好取自“赵爽弦图”外面(图中阴影部分)的概率为()

B

7.已知等差数列｛凡｝,4=一2018,其前〃项和为S,,,瑞-景=1，则0239=（）

A.0B.1C.2018D.2019

2

x+2

8.函数y=(Y—1)?「一的部分图象是（）

2*2+1）

9.甲、乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种，则他们选择相同颜色运

动服的概率为（）

£j_23

A.3B.2C.3D.4

3I

10.已知a=C=J>则下列不等式正确的是（)

A.a>b>cB.h>a>CQtc>a>bpc>h>a

22

11.已知双曲线C：斗-当=1（4>0,6>0）的左，右焦点分别为耳，F2,右顶点为A,以A为圆心，。4

ab-

（。为坐标原点）为半径的圆与双曲线。在第一象限的交点为P,若且|助|=2|阴|,则

双曲线。的离心率为（）

1+\/5B1+A/3cDV3

12.A4BC的内角4,B,C的对边分别为。已知cos3-sin3==J5,c=2,贝!|8=()

C

3万汽土71

A.4B.3C.4D.6

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知数列｛q｝满足4=1,an-an-\=2"'（rt>2）,则出=.

“_布+。“

14.在数列｛叫4=°,1-总"，则$2018=.

V

,z、［2',X>3,

/（x）=<

15.设函数l/（x+l），"<3・则/（1。826）的值为.

22

工+匕=1

16.以椭圆42焦点为双曲线的顶点，以椭圆的顶点为双曲线的焦点，则该双曲线的方程是

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（12分）已知数列同3中，ai=T,且）.求数列｛aj的通项公式；求证：数

列为等差数列.

18.（12分）已知正方形的边长为4,E,F分别为的中点，以E/为棱将正方形A6CO折成如图

所示的6（）的二面角，点M在线段AB上.

若M为A3的中点，且直线“/，由ARE三点所确定平面的交

点为。，试确定点。的位置，并证明直线〃平面硕右；是否存在点时，使得直线短£与平面式20

所成的角为6°；若存在，求此时二面角知一EC一/的余弦值，若不存在，说明理由.

/（x）=cosx（>/3sinx-cosx）+xe［。申c<f（K）<c+2

19.（12分）已知函数2.求3的值；当2时,不等式c</（x）<c+2

恒成立，求实数。的取值范围.

20.（12分）如图，四棱锥尸一ABCD中，AB=AQ=2BC=2,BC//AD,AB±AD,APBD为正

三角形.且PA=2g.证明：平面PA8_L平面PBC；若点P到底面A8CD的距离为2,E是线段尸。上

一点，且PB//平面ACE,求四面体A-CDE的体积.

21.（12分）极坐标系与直角坐标系xOy有相同的长度单位，以原点。为极点，以谢正半轴为极轴，曲线01

Jx=t+2

的极坐标方程为p\os2。=3,曲线02的参数方程为（y=2t-l（t是参数）.求0】的直角坐标方程和02的普通

方程；若。2与Ci有两个不同的公共点A,B,求lABl.

1

22.（10分）已知函数/3=公一-2.1-13€阳.若e时，函数/（外取得极值,求函数f（x）的单

[111几（Z*\

IHF—F...H----->-ln（2n+1）H------（〃£N）

调区间；证明：352〃-122〃+八）.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的。

1、D

2、D

3、A

4、C

5、C

6、D

7、A

8、C

9、A

10、D

11、A

12、D

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、255

14、6

15、12

22

土-匕=1

16、22

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

e

17、（1）an=-;（nN*）；（2）详见解析.

【解析】

【分析】

（1）利用累加法即可求得数列的通项公式；（2）利用等差数列的定义即可得到证明.

【详解】

解：（D由=

所以当n“时，a2-ai=l923飞2=罟，…，

相加得,a1[-a]=1-；，

又ai=T,所以an=-；(n22,n6N*)，而a1=T也符合，

所以数列laj的通项公式为%=](n6N*)

(2)由(1)知上=-n,则工=-1,=-(n+l),

analan+l

所以」=-(n+l)+n=7(常数)，

an+lan

所以数列1口是首项为-1,公差为-1的等差数列.

【点睛】

本题考查由递推关系式求通项公式，考查累加法的应用，考查利用定义法证明数列为等差数列，属于基础

题.

18、(1)证明见解析；(2)0,土!.

4

【解析】

【分析】

(1)利用中位线不难得到。的位置，连接DF交CE于N,则。O//MN,证得线面平行；

(2)取AE中点H,以“为原点建立空间坐标系，设AM=/,利用线面所成角去列方程，解得f值，然

后确定二面角M-EC-尸的两个面的法向量，利用公式求解即可.

【详解】

(1)因为直线“尸u平面ABFE,

故点。在平面ABFE内也在平面ADE内，

所以点。在平面A8FE与平面AOE的交线上(如图所示)

因为AOBF,例为的中点，所以△QAA/MAA"/，

所以AO=BF,所以点。在EA的延长线上，且AO=2

连结。尸交EC于N,因为四边形CDER为矩形，所以N是EC的中点

连结MN,因为为AOOF的中位线，所以"NOD,

又因为MNu平面EMC,所以直线平面EMC.

(2)由已知可得，EF1AE,EFJ.DE,所以EPJ.平面AOE,

所以平面ABEF_L平面ODE,取AE的中点〃为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系,

所以£(一1,0,0),2X0,0,73).。(0,4,6)，F(-1,4,0),

所以ED=(1,0,百)，£C=(1,4,73).

设"(l/,0)(0K/K4),则£M=(2",0),

EM=02x+Zy=0

设平面£MC的法向量机=(x,y,z)，贝人

m・EC=0x+4y+\/3z=0

「2,

OE与平面EMC所成的角为60，所以I,岱一力22

所以/2G==g,所以――4.+3=0,解得f=l或f=3,

一4/+192

所以存在点M,使得直线短E与平面EMC所成的角为60，

取EO的中点。，则QA为平面CEF的法向量，因为。_g,

设二面角M-EC-F的大小为e,

।…m\QA-m\\2t-4\\t-2\

所以1。4川刈/2|4|(8-铲斯2_今+19,

因为当，=2时，cos8=0,平面EMC,平面CDER,

所以当』时，'为钝角，所以cos”q.

当r=3时，。为锐角，所以cos6=!.

4

【点睛】

此题考查了线面平行的证明，用空间向量解决线面所成角，二面角等，综合性较强，意在考查学生对这些

知识的理解掌握水平和分析推理能力，难度适中.

19、(I)1；(II)

【解析】

【分析】

(I)首先整理函数的解析式，然后结合函数的解析式求解函数值即可；

JT

(H)首先求得函数/(X)在区间o,y上的值域，然后结合恒成立的结论得到关于C的不等式组，求解不

等式组可得C的取值范围.

【详解】

(I)/(x)=V3sinxcosx-cos2x+-=—sin2x--cos2x=sin(2x-—),

2226

所以/(9)=1.

(II)因为04x4—,所以W2x4—.所以—--<sin(2x——)<1.

266626

由不等式c</")<c+2恒成立，所以|,<一2',解得-l<c<--.

[c+2>l乙

所以实数C的取值范围为(-

2

【点睛】

本题主要考查三角函数的性质及其应用，恒成立问题的处理方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算

求解能力.

8

20、(1)见解析(2)-

【解析】

【分析】

(I)证明可证平面平面PBC；

(H)如图，连接8。，AC交于点0,因为由(I)点P到平面ABC。的距离为2,

24

所以点E到平面ABCD的距离为h=-x2=-,所以由VA_COE=VE_ACO可求四面体A-CDE的体积.

【详解】

(I)证明：AB1AD,且AB=AD=2,：,BD=2y[l<又APBO为正三角形，所以

PB=PD=BD=2丘,又AB=2,PA=2^，所以

又AB1AD,BC//AD,：.AB1BC,PBcBC=B,

所以平面又因为ASq平面PA8,

所以平面平面PBC.

(D)如图，连接80,AC交于点。，因为8C〃AD,

且AD=2BC,所以00=203,连接0E,

因为P8〃平面ACE,所以PB//0E,则DE=2PE,

由(I)点P到平面ABC。的距离为2,

24

所以点E到平面A3CQ的距离为〃=7x2=G，

33

48

11f1=

所以^A-CDE~^E-ACD~耳^AACD"=不~x2x23-9-

0

即四面体A-CDE的体积为-.

【点睛】

本题考查面面垂直的证明以及锥体体积的实际，属中档题.

21、(1)J的直角坐标方程为*2_丫2=3,。2的普通方程为Y=2X-5;(2)|AB|=?

【解析】

【分析】

(1)在极坐标方程中凑出pcosapsm0,p2,分别替换为x,y,x2+y2即可化得直角坐标方程.把参数方程中的t消去

即可得普通方程.

(2)。］为双曲线，C?为直线，求直线和双曲线相交的弦长，联立方程，由弦长公式即可求得.

【详解】

由P2cos26=3,可得p2(cos2。-sin?。)二3，贝Kpcos6)2_(ps由旷二3，

所以的直角坐标方程为乂2—丫？二夕

由卜消去参数t得。2的普通方程为y=2x-5.

(2)由(1)知是双曲线，。2是直线，把直线方程代入双曲线方程消去y,

得3X2-20X+28=0-

设BGC2，Y2^所以X]=2,*2=号，

2

所以|AB|=y/1+2|X1-X2|=竽.

【点睛】

本题考查极坐标与参数方程的综合问题.解题的一般方法是把极坐标方程化成直角坐标方程，把参数方程

化为普通方程，再在直角坐标系中解决问题.

22、(1)见解析；(2)见解析

【解析】

【分析】

(1)先对函数求导，根据x=:时，函数/(X)取得极值，求出。，进而可求其单调区间；

(2)先令。=1,用导数的方法证明2xlnx-l>0,得到x〉l时，x-->21irv,

.2n+1,***2〃+12n-lc,2n+1

再令~；>l,neN,得----------->21n-----

2/?-12〃-12n+1

2n—l2"+1

最后求1+彳+=+...+^即可得出结论成立.

352«-1

【详解】

(1)由题意可得，/'(x)=2ar-2/nr-2(x>0,ae7?),

由％=一时,+2—2=0,所以a=0.

所以/(x)=—2xlnx—=-2lnx—2(x>0),

所以0<x<1时，/'(x)>0；x>，时，/'(x)<0；

所以的单调增区间(0,J,单调减区间为

2

(2)当”=1时，/(x)=x-2xlnx-\9所以/'(1)=2%一2妹一2=2(%-浓一1),

1x—\

令g(x)=x-lnx-l,则g'(x)=1-一=——，当0<x<1时，g'(x)<0；当%>1时，g'(x)>0,g(x)

XX

的单调减区间为(0,1),单调增区间为(1，+8),

所以g(x”g(l)=0,所以/'(x)“，/(x)是增函数，所以x>l时，

/(x)=x2-2xlnx-l>/(l)=0,

所以x〉l时，x-->21n^,

A2n+l_2n+l2n-l〜2n+1

令x=-------->l,neN,得------------->21n--------

2n-\2〃一12〃+l2n-l

2n+l

即1+------->21n

2n-l嘉)2n-\

…11.2n+l\(11)

所以----->-In---------1--------------------

2«-122n-l212〃-12n+lJ

上式中及=1,2,3,…，n,然后〃个不等式相加，

得到1+,+,+...+—!—>L]n(2〃+l)+—^―

352〃-12')2/?+1

【点睛】

本题主要考查导数的应用，熟记通常用导数的方法研究函数单调性，最值等，属于常考题型.

2019-2020高考数学模拟试卷

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的。

1.函数/（x）=&cos2x-sin2x的图像向右平移7个单位，若所得图像对应的函数在［-。,可是递增的,

则。的最大值是

〃兀3兀

A.6B.2C.4D.乃

2.如图，平面四边形ABCD中，E、F是AD、BD中点，AB=AD=CD=2,BD=2&,ZBDC=90°,

将AABD沿对角线BD折起至A/VB。，使平面A'8。，平面BCD,则四面体A2CD中，下列结论不正

确是（）

A.EF〃平面/V8C

B.异面直线CD与48所成的角为90°

500

C.异面直线EF与;——年所成的角为60°

（a-1）

500

D.直线（4一厅与平面BCD所成的角为30。

3.已知平面向量满足fa|=3,|胃=2,且（；+E），（a：2b）=4,则向量;，；的夹角为（）

冗87127c

A.6B.4c.3D.T

4.如图，网格纸上小正方形的边长为。，粗实线画出的是某几何体的三视图，若该几何体的表面积为

3+72»则a的值为（）

A.4B.3c.2D.1

5.已知直三棱柱么ABC-A4G的六个顶点都在半径为1的半球面上，AB=AC,侧面BCCB是半球

底面圆的内接正方形（如图），则侧面ABgA的面积为（）

6.若由函数丁=$m2x+1的图像变换得到>=5足6+（的图像，则可以通过以下两个步骤完成:

第一步，把丁=41112》+、图像上所有点的横坐标变为原来的4倍，纵坐标不变:第二步，可以把所得

图像沿x轴（）

7T5〃

A.向右移;个单位B.向右平移石个单位

715万

C.向左平移3个单位D.同左平移12个单位

7.已知｛4｝为等差数列,.0=5,4+4+4++%)[9=5x2019.若也｝为等比数列，b1010=5,

则也｝类似的结论是（)

A.4+2+4+4-Z?2()i9=5X2019

B.b、b2b3Z?20I9=5x2019

C.4+4+4++,2019=5“°”

019

D.Ab2b3b20l9=5~

19

8.设正数-"满足x>y,x+2y=3,则二+诉的最小值为（）

832百

A.3B.3c.2D.3

9.已知函数f(x)=lnx-x3+2ex2-(a+e?)x在定义域内有零点，则实数a的取值范围为()

(-♦)U1]刖boo)

A.'B.'eJC.'eJD.'

10.若在直线/上存在不同的三点A、B、C,使得关于x的方程X2Q4+XOB+8C=0有解（。任/），

则方程解集为