2023年新版全国初中数学竞赛试题含答案

“《数学周报》杯”２023年全国初中数学竞赛试题班级_＿＿_______学号___＿_____＿姓名___＿＿__＿___＿_＿得分______＿__＿_＿__一、选择题(共５小题,每小题６分,满分３0分．以下每道小题均给出了代号为A，B，Ｃ,Ｄ的四个选项，其中有且只有一个选项是对的的,请将对的选项的代号填入题后的括号里．不填、多填或错填都得0分）1．已知实数x,y满足:ｅq＼f（４,x４)－ｅq\ｆ（2,x2)=3，ｙ４＋ｙ2＝3,则ｅｑ\ｆ（4,x4)+y4的值为ﻩ(）（A）7 (B）ｅｑ＼f(１＋eq\r(1３）,2)ﻩ(C）eｑ\f（7+eq\r（13),２) （D）52．把一枚六个面编号分别为1,2，3,4,5,6的质地均匀的正方体骰子先后投掷2次,若两个正面朝上的编号分别为m,n,则二次函数y＝x2＋mx＋n的图象与ｘ轴有两个不同交点的概率是 (）(A）ｅq＼ｆ（5，12) （B)eｑ＼ｆ（4,９） (C）eq\f(1７,36) （D)eｑ\f(1,2）3．有两个同心圆，大圆周上有4个不同的点，小圆周上有2个不同的点，则这6个点可拟定的不同直线最少有ﻩ(）(Ａ）6条ﻩ(B)8条ﻩ(C）１0条 (D）124．已知AB是半径为1的圆O的一条弦，且ＡB＝a＜1．以AB为一边在圆O内作正△ABC，点D为圆O上不同于点Ａ的一点,且DＢ＝AB=a，DC的延长线交圆O于点E,则AE的长为ﻩ（)(A)eｑ\f(eｑ＼r(5),２)aﻩ(B)１ﻩ(C)ｅq\ｆ(eq\r(3),２）ﻩ（D)a5.将1，2,3，4,5这五个数字排成一排,最后一个数是奇数，且使得其中任意连续三个数之和都能被这三个数中的第一个数整除，那么满足规定的排法有ﻩ(）(A)２种 （B)3种ﻩ(C)4种ﻩ(D)5种二、填空题（共5小题，每小题6分,满分３0分）6.对于实数u，ｖ，定义一种运算“*”为:u*ｖ＝uv＋ｖ．若关于x的方程x＊（ａ*x）＝－eq\f(1,4)有两个不同的实数根，则满足条件的实数a的取值范围是_＿___＿_．7．小王沿街匀速行走，发现每隔６分钟从背后驶过一辆18路公交车,每隔３分钟从迎面驶来一辆１８路公交车.假设每辆18路公交车行驶速度相同，并且18路公交车总站每隔固定期间发一辆车,那么发车间隔的时间是_＿＿__分钟.８.如图，在△ABC中,AB＝７,AＣ=11,点Ｍ是BC的中点,AD是∠BAC的平分线,MF∥AD，则FC的长为＿＿_＿__.9.△ABC中,AB＝7，BC＝8,ＣA＝９,过△ＡＢC的内切圆圆心I作DE∥BC，分别与ＡＢ,ＡC相交于点Ｄ，E,则DE的长为__＿＿＿＿．10.关于x，ｙ的方程x2+y2=20８（x-ｙ）的所有正整数解为_____＿__．三、解答题（共４题,每题15分，满分６0分)１１.在直角坐标系xOy中,一次函数y=kx+b（k≠０)的图象与x轴、ｙ轴的正半轴分别交于A，B两点，且使得△OＡB的面积值等于|ＯA｜＋|OＢ｜+3．(１）用ｂ表达k;（2）求△OAB面积的最小值．1２.是否存在质数p，ｑ,使得关于x的一元二次方程px２-qx+ｐ＝0有有理数根?13．是否存在一个三边长恰是三个连续正整数,且其中一个内角等于另一个内角２倍的△ＡBC？证明你的结论．14．从1,2，…,9中任取n个数，其中一定可以找到若干个数（至少一个,也可以是所有），它们的和能被10整除，求n的最小值.ﻬ简答：选择题ＡCBＢD;填空题6.a＞０或a＜－1;7.４；8.９；9.ｅｑ\f（１6,3);10．ｘ=48，x=1６0,y＝32；y＝32．三.解答题：1１.(1)k=eq\ｆ(2b－b2,２(b+3）),b＞２；(2）当b＝２＋eq\ｒ(１0)，ｋ=-1时,△OＡB面积的最小值为７＋2ｅｑ＼r（１0）；１2.存在满足题设条件的质数p,q．当p=２，q=５时，方程2ｘ２－5x＋2＝0的两根为x1=eq\f（1,2）,ｘ2＝2.它们都是有理数；13．存在满足条件的三角形.△AＢC的边a=6,b＝4，c=5，且∠Ａ＝２∠B,证明略.14.n的最小值是5，证明略．中国教育学会中学数学教学专业委员会“《数学周报》杯”20２3年全国初中数学竞赛试题参考答案一、选择题（共5小题,每小题7分,共3５分.以下每道小题均给出了代号为Ａ，B，C，Ｄ的四个选项,其中有且只有一个选项是对的的.请将对的选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）1．已知非零实数a，b满足，则等于(）.(A）-1(B)0(Ｃ)１（D)2【答】C．解：由题设知a≥３,所以,题设的等式为,于是,从而=1.2．如图,菱形ABCD的边长为a,点O是对角线AC上的一点,且ＯA＝a，ＯB=ＯC=OD＝1,则a等于（).（第2题）（A)(B)（C)1(D）２（第2题）【答】A．解:由于△BOＣ∽△ＡＢC,所以,即,所以，．由,解得．３.将一枚六个面编号分别为1，２，3,4，５,6的质地均匀的正方体骰子先后投掷两次，记第一次掷出的点数为，第二次掷出的点数为，则使关于ｘ,y的方程组只有正数解的概率为().（A）（B）（Ｃ）（Ｄ)【答】Ｄ．解：当时,方程组无解．当时，方程组的解为由已知,得即或由，的实际意义为1,2，3,４,5,6，可得共有５×２＝1０种情况;或共3种情况．又掷两次骰子出现的基本领件共6×6=36种情况，故所求的概率为.4．如图1所示，在直角梯形ＡBCD中，AB∥DC，．动点P从点B出发，沿梯形的边由B→Ｃ→D→A运动.设点P运动的路程为x,△ＡBP的面积为ｙ.把ｙ看作x的函数，函数的图像如图2所示,则△ＡBC的面积为（)．（A)1０（B)１６(C）18（Ｄ）32（第4题）图2图1（第4题）图2图1【答】B．解:根据图像可得BC=４，ＣD＝5，DA＝5，进而求得AB＝8，故S△AＢC＝×8×4＝16．5.关于x,y的方程的整数解(x,ｙ）的组数为（）.（A）２组（Ｂ）3组（C)4组(D）无穷多组【答】Ｃ.解：可将原方程视为关于的二次方程,将其变形为.由于该方程有整数根，则判别式≥,且是完全平方数.由≥,解得≤.于是０1491６116109885３4显然,只有时,是完全平方数，符合规定.当时，原方程为，此时；当y＝-4时，原方程为,此时.所以,原方程的整数解为二、填空题(共5小题,每小题７分，共3５分）6.一个自行车轮胎,若把它安装在前轮,则自行车行驶5000kｍ后报废；若把它安装在后轮，则自行车行驶3０00km后报废，行驶一定路程后可以互换前、后轮胎.假如互换前、后轮胎，要使一辆自行车的一对新轮胎同时报废，那么这辆车将能行驶kｍ.【答】3７50．解:设每个新轮胎报废时的总磨损量为k,则安装在前轮的轮胎每行驶1磨损量为,安装在后轮的轮胎每行驶1km的磨损量为.又设一对新轮胎互换位置前走了xｋm，互换位置后走了ｙkm．分别以一个轮胎的总磨损量为等量关系列方程，有两式相加，得,则．7.已知线段AＢ的中点为C，以点A为圆心，ＡＢ的长为半径作圆,在线段AＢ的延长线上取点D,使得BＤ＝ＡC;再以点D为圆心,DＡ的长为半径作圆，与⊙A分别相交于F,Ｇ两点，连接FG交AB于点H,则的值为.解：如图,延长AD与⊙D交于点E,连接ＡF，EF.由题设知,,在△FHA和△EFＡ中，，所以Rt△ＦHA∽Rt△EFA,．ﻩ（第7题）而，所以.（第7题）8.已知是满足条件的五个不同的整数，若是关于x的方程的整数根,则的值为．【答】10．解:由于,且是五个不同的整数，所有也是五个不同的整数.又由于,所以．由,可得．9.如图,在△ABC中，CＤ是高，CE为的平分线.若ＡC＝15，BC=20，CD＝12，则CE的长等于．【答】.解：如图,由勾股定理知AD=9,BD＝16,所以AB=ＡD+BD=25．故由勾股定理逆定理知△ACB为直角三角形,且．作EF⊥BC，垂足为Ｆ.设EF＝ｘ,由，得CF=x，于是ＢF=20-ｘ．由于ＥＦ∥ＡC，所以，（第9题）即,（第9题）解得．所以．（第10题）10．1０个人围成一个圆圈做游戏．游戏的规则是:每个人心里都想好一个数,并把自己想好的数如实地告诉他两旁的两个人,然后每个人将他两旁的两个人告诉他的数的平均数报出来．若报出来的数如图所示,则报3的人心里想的数是.（第10题）【答】．解：设报3的人心里想的数是,则报５的人心里想的数应是．于是报７的人心里想的数是,报9的人心里想的数是，报1的人心里想的数是,报３的人心里想的数是．所以，解得.三、解答题(共4题,每题20分，共８０分）11.已知抛物线与动直线有公共点，,且.(1）求实数t的取值范围;（2)当t为什么值时,c取到最小值,并求出c的最小值．解：（1）联立与，消去y得二次方程①有实数根,，则．所以==．②………………5分把②式代入方程①得．③………………10分ｔ的取值应满足≥0，④且使方程③有实数根,即＝≥0，⑤解不等式④得≤-3或≥1,解不等式⑤得≤≤.所以，t的取值范围为≤≤.⑥………………15分(2)由②式知.由于在≤≤时是递增的,所以,当时,.………………２0分12．已知正整数满足，且，求满足条件的所有也许的正整数的和.解：由可得．，且.………………５分由于是奇数,所以等价于,又由于，所以等价于．因此有,于是可得.………………15分又,所以．因此，满足条件的所有也许的正整数的和为1１＋1９2（１＋2＋…+1０）=１０571．………………２0分13．如图,给定锐角三角形ABC，，AＤ,BE是它的两条高，过点作△ＡBC的外接圆的切线，过点D，E分别作的垂线，垂足分别为F,G.试比较线段ＤＦ和EG的大小,并证明你的结论．解法1:结论是．下面给出证明.………………５分由于，所以Rt△FCD∽Rt△EAB.于是可得.同理可得．（第13A题）………………10分（第13A题）又由于,所以有,于是可得．………………2０分解法2:结论是.下面给出证明.………………５分（第13A题）连接DＥ,由于，所以A,B，D，Ｅ四点共圆,故（第13A题）．………………１0分又l是⊙O的过点C的切线，所以．………………１5分所以,,于是DE∥FＧ，故DF=ＥG.………………20分1４.n个正整数满足如下条件:;且中任意n－1个不同的数的算术平均数都是正整数．求n的最大值．解：设中去掉后剩下的n-１个数的算术平均数为正整数,．即.于是，对于任意的１≤≤n,都有,从而.………………5分由于是正整数,故．………………1０分由于≥，所以，≤2023,于是n≤4５.结合，所以,n≤9.………………15分另一方面，令，…，，,则这９个数满足题设规定.综上所述,n的最大值为9.………………20分中国教育学会中学数学教学专业委员会“《数学周报》杯”2023年全国初中数学竞赛试题参考答案一、选择题（共5小题,每小题7分,共35分.其中有且只有一个选项是对的的.请将对的选项的代号填入题后的括号里,不填、多填或错填都得0分)１．若，则的值为(）.（Ａ)（B)(C）（D)解：由题设得.代数式变形,同除b2.若实数ａ，b满足，则ａ的取值范围是(）．（A)a(B）a4（Ｃ）ａ≤或a≥4(D)≤a≤4解．C由于b是实数，所以关于b的一元二次方程的判别式≥0,解得ａ≤或ａ≥4．方程思想，未达定理;要解一元二次不等式３．如图,在四边形AＢCD中，∠B＝1３5°，∠Ｃ＝120°，AＢ=,BＣ=,CD=,则ＡD边的长为（）.（A)ﻩ (B)（第3题）(Ｃ) （D)（第3题）解：Ｄ如图,过点A,D分别作AE，DF垂直于直线BC，垂足分别为E,F．由已知可得（第3题）BＥ=AＥ＝,CF＝,DF=2,（第3题）于是EF＝4+．过点Ａ作AG⊥DF,垂足为G.在Rｔ△ＡＤＧ中，根据勾股定理得AD=.勾股定理、涉及双重二次根式的化简，补全图形法４.在一列数……中，已知,且当ｋ≥2时,（取整符号表达不超过实数的最大整数,例如,),则等于().（A）1(B)2(C)３（D）４解:Ｂ由和可得，，，，，，,，……由于20２3=４×502+2,所以＝2．高斯函数；找规律。5.如图，在平面直角坐标系ｘOy中，等腰梯形ABＣD的顶点坐标分别为A(1，1)，Ｂ(2，－１），C（-２，-1），D（-1，1）.y轴上一点Ｐ（0，2）绕点A旋转180°得点P1,点P1绕点B旋转１80°得点P2，点P2绕点C旋转１80°得点Ｐ3，点P３绕点D旋转１80°得点P4，……,反复操作依次得到点Ｐ1，P2,…,则点P20２３的坐标是().（第5题）(A）(202３,2)(B)(２0２３，)（第5题）（Ｃ）（２023,)(D）（０,2）解：Ｂ由已知可以得到，点，的坐标分别为(2，０)，(2,）.记,其中.根据对称关系,依次可以求得：,,,.令，同样可以求得，点的坐标为()，即(）,由于2023=45０2＋2，所以点的坐标为（２０2３,).二、填空题6.已知a=－1,则２a3+7a2-2ａ-12的值等于解:0由已知得(a+1)2＝5,所以a2＋2a＝4，２ａ3＋7a2-2a－12＝2a3+4a2＋3a2-27.一辆客车、一辆货车和一辆小轿车在一条笔直的公路上朝同一方向匀速行驶．在某一时刻,客车在前，小轿车在后,货车在客车与小轿车的正中间.过了10分钟,小轿车追上了货车;又过了5分钟,小轿车追上了客车；再过t分钟,货车追上了客车,则t=.解：15设在某一时刻,货车与客车、小轿车的距离均为S千米，小轿车、货车、客车的速度分别为(千米/分),并设货车经ｘ分钟追上客车，由题意得，①,②.③由①②，得,所以，x=30.故(分）．（第8题8.如图,在平面直角坐标系xOy中，多边形ＯＡBＣＤＥ的顶点坐标分别是O（0，0），A(0，6),Ｂ（４,６）,Ｃ（4，4),D（6,4)，E(6，０）.若直线l通过点M（2，３)，且将多边形OＡBCＤE分割成面积相等的两部分，则直线l的函数表达式是.（第8题（第8题）（第8题）解：如图，延长BC交x轴于点Ｆ；连接OB，AFCE,DＦ，且相交于点N．由已知得点M（2，3)是OB，AF的中点,即点M为矩形ＡBFO的中心，所以直线把矩形ＡBＦＯ提成面积相等的两部分．又由于点Ｎ(５,２）是矩形CDEF的中心，所以，过点N(5,2）的直线把矩形CDEＦ提成面积相等的两部分.于是,直线即为所求的直线.设直线的函数表达式为,则解得,故所求直线的函数表达式为.（第9题）9．如图,射线ＡM，ＢN都垂直于线段AB，点E为AM上一点，过点A作ＢE的垂线AＣ分别交BE,BN于点F，C,过点C作ＡM的垂线ＣD,垂足为D.若ＣD＝CF，则．（第9题）解：见题图，设.由于Rt△AFB∽Rt△ABＣ,所以.又由于FC＝ＤＣ＝ＡＢ,所以即，解得，或（舍去）．又Rｔ△∽Ｒｔ△，所以，即=.10．对于ｉ=2,３,…,k,正整数n除以i所得的余数为i－1.若的最小值满足，则正整数的最小值为.解:由于为的倍数,所以的最小值满足，其中表达的最小公倍数.由于，因此满足的正整数的最小值为．三、解答题(共4题,每题２0分，共80分)11.如图，△AＢC为等腰三角形，AP是底边BC上的高,点D是线段ＰC上的一点，ＢＥ和CF分别是△ＡBD和△ＡCＤ的外接圆直径,连接ＥＦ.求证:（第12A题）.（第12A题）（第12B题）（第12B题）（第11题）（第11题）（第12B题）证明:如图，连接ＥD，FD.由于ＢE和ＣF都是直径,所以（第12B题）EＤ⊥ＢC，FD⊥ＢC,因此D，E，F三点共线．…………(5分)连接AＥ,AF，则（第11题），（第11题）所以，△AＢC∽△AEＦ.…………(10分)作AH⊥EF，垂足为Ｈ，则AH=PD.由△AＢC∽△AＥF可得,从而，所以．…………(２0分)１２.如图,抛物线（a0)与双曲线相交于点A，B.已知点A的坐标为(1,4）,点Ｂ在第三象限内,且△AOB的面积为3（Ｏ为坐标原点）.（1)求实数a,b，k的值;(2)过抛物线上点A作直线AC∥x轴,交抛物线于另一点C，求所有满足△EOC∽△AOＢ的点E的坐标.（第12题）解：(1)由于点A（１,4）在双曲线上,（第12题）所以ｋ=4.故双曲线的函数表达式为.设点Ｂ(t,)，,AB所在直线的函数表达式为,则有解得,.于是，直线AB与y轴的交点坐标为，故,整理得，解得，或ｔ=(舍去）．所以点B的坐标为（,)．由于点A,B都在抛物线（ａ０）上,所以解得…………(１0分)(2）如图，由于ＡＣ∥x轴,所以Ｃ(,4）,于是CO=4．又BO=2，所以.（第12题）设抛物线(a0）与x轴负半轴相交于点D,则点D的坐标为（,0).（第12题）由于∠CＯD＝∠BOD=,所以∠COB=．（i)将△绕点O顺时针旋转,得到△．这时，点(，２）是ＣO的中点，点的坐标为（4，）.延长到点,使得=，这时点（8,）是符合条件的点．(ｉi）作△关于x轴的对称图形△,得到点（１，）；延长到点,使得=,这时点E２（２，)是符合条件的点．所以,点的坐标是(8，)，或(２,).…………（20分)13．求满足的所有素数p和正整数m.．解:由题设得，所以,由于ｐ是素数，故，或.……（5分）（1)若,令，ｋ是正整数,于是,，故,从而.所以解得…………（10分）（2)若,令，k是正整数.当时，有,，故，从而,或2．由于是奇数，所以，从而.于是这不也许．当时，,;当，,无正整数解；当时,，无正整数解.综上所述,所求素数p=5，正整数m=9.…………(20分)１4．从１，2，…，2０23这2０２3个正整数中,最多可以取出多少个数，使得所取出的数中任意三个数之和都能被３3整除？解：一方面，如下６1个数:11,,,…,(即１991）满足题设条件.…………(５分)另一方面,设是从1,2，…,202３中取出的满足题设条件的数,对于这ｎ个数中的任意4个数,由于，,所以.因此,所取的数中任意两数之差都是33的倍数.…………（10分)设，i=1,2,3，…,n.由,得,所以，,即≥１1.…………（１５分）≤,故≤60．所以,n≤６1.综上所述，ｎ的最大值为61.…………(20分）２023年全国初中数学竞赛试题及答案题号一二三总分１～56~１011１２1314得分评卷人复查人答题时注意:1.用圆珠笔或钢笔作答;2．解答书写时不要超过装订线;3.草稿纸不上交.一、选择题（共５小题，每小题7分,共35分.每道小题均给出了代号为A，B,C，D的四个选项，其中有且只有一个选项是对的的.请将对的选项的代号填入题后的括号里,不填、多填或错填都得0分)1.设，则代数式的值为().（A)-６（B）24(C)（Ｄ）2.在同一直角坐标系中,函数(）与()的图象大体是(A)(B）(C）（D）3、在等边三角形ABC所在的平面内存在点Ｐ，使⊿ＰAB、⊿PBＣ、⊿PAC都是等腰三角形．请指出具有这种性质的点P的个数(）（Ａ）1（Ｂ）7（C）1０(Ｄ)154．若,，且满足，则的值为().（Ａ)1(B)２（C)(D)5．设，则的整数部分等于()．（A)4(B)5（C)6（D）7二、填空题(共５小题，每小题7分，共3５分)6．若a是一个完全平方数,则比a大的最小完全平方数是.。7.若关于的方程有三个根，且这三个根恰好可以作为一个三角形的三条边的长,则的取值范围是.8.一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，2，2，3，3，4；另一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，3,４，5，6,8．同时掷这两枚骰子，则其朝上的面两数字之和为奇数５的概率是．９.如图,点为直线上的两点,过两点分别作y轴的平行线交双曲线()于两点.若,则的值为．（第9题)（第10题）（第10题）10．如图,在Rt△ABC中，斜边AB的长为35，正方形CDＥF内接于△ABＣ,且其边长为12，则△ABC的周长为.三、解答题（共4题，每题20分，共80分）11．已知:不管k取什么实数，关于x的方程(ａ、b是常数)的根总是ｘ=1，试求a、b的值。12.已知关于的一元二次方程的两个整数根恰好比方程的两个根都大1,求的值.１３．如图，点为轴正半轴上一点,两点关于轴对称，过点任作直线交抛物线于，两点.(１）求证:∠=∠;（2)若点的坐标为（０，1),且∠＝6０º，试求所有满足条件的直线的函数解析式．（第13题）（第13题）14如图，△AＢC中,,.点Ｐ在△AＢC内,且，求△ＡＢC的面积．（第14题）（第14题）202３年全国初中数学竞赛试题参考答案一、选择题1．A.2.C．３．Ｃ.４.C.5.Ａ二、填空题6.７．3＜m≤４．8..9．6．1０.84三、解答题１1.解：把x=1代入原方程并整理得(b+４)ｋ＝7-２a要使等式（b＋4）k＝7－2a不管k取什么实数均成立,只有解之得,12．解：设方程的两个根为，其中为整数，且≤，则方程的两根为,由题意得,两式相加得，即,所以或解得或又由于所以;或者,故,或2９.１3.解:（1)如图,分别过点作轴的垂线，垂足分别为.设点的坐标为(０,)，则点的坐标为（0，-）.设直线的函数解析式为,并设的坐标分别为，.由（第13题）得，（第13题）于是,即.于是又由于,所以.由于∠∠，所以△∽△，故∠=∠．(２)设，,不妨设≥>0,由(１)可知∠=∠,=，＝,所以=，=．由于∥,所以△∽△.于是，即,所以．由(１)中，即，所以于是可求得将代入,得到点的坐标（,)．再将点的坐标代入,求得所以直线的函数解析式为.根据对称性知,所求直线的函数解析式为，或.14．解:如图，作△ABQ，使得则△AＢQ∽△ACP.由于，所以相似比为2.于是（第14题）.（第14题）.由知,,于是．所以,从而．于是.故.2023年全国初中数学竞赛试题(正题）题号一二三总分1~56～１011１２１３14得分评卷人复查人答题时注意:１．用圆珠笔或钢笔作答;2．解答书写时不要超过装订线;3.草稿纸不上交．一、选择题（共5小题,每小题7分,共3５分.每道小题均给出了代号为Ａ，B，C,D的四个选项,其中有且只有一个选项是对的的．请将对的选项的代号填入题后的括号里,不填、多填或错填都得０分）１（甲）．假如实数a,b,ｃ在数轴上的位置如图所示,那么代数式可以化简为(）.(第1(甲）题)（A)２ca（Ｂ）2a2b(C)a(D1(乙).假如，那么的值为（)．(A）（Ｂ)（C）２(D)2(甲）.假如正比例函数ｙ=ax(ａ≠0)与反比例函数ｙ=（ｂ≠0）的图象有两个交点，其中一个交点的坐标为（-3,－２）,那么另一个交点的坐标为()．（Ａ)(2，3）（B）（３,－2)（C）(－2，3)(D）(3,２)２（乙).在平面直角坐标系中,满足不等式x2+y2≤2ｘ＋２y的整数点坐标（x，y）的个数为()．（A）1０（B)9(Ｃ）7（D)5３(甲).假如为给定的实数,且，那么这四个数据的平均数与中位数之差的绝对值是().(A)1（B）（C）(D)3(乙）.如图,四边形ABCD中,AC，BD是对角线,△ABC是等边三角形．,AD=3，BD＝5，则CD的长为（）.(第3(乙)题）（A）(Ｂ）４(C)(D)4．5４(甲)．小倩和小玲每人都有若干面值为整数元的人民币.小倩对小玲说：“你若给我2元，我的钱数将是你的ｎ倍”;小玲对小倩说:“你若给我ｎ元,我的钱数将是你的2倍”，其中n为正整数,则n的也许值的个数是（）．(A)1(B)2（C)3（D）44（乙）．假如关于x的方程是正整数）的正根小于３,那么这样的方程的个数是()．（Ａ)５（B）６(C)７（Ｄ）８5（甲).一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1,2,3,4，５,6．掷两次骰子，设其朝上的面上的两个数字之和除以４的余数分别是０,1，2，3的概率为，则中最大的是().（Ａ)（Ｂ)（C)(D）5（乙)．黑板上写有共１0０个数字.每次操作先从黑板上的数中选取２个数，然后删去，并在黑板上写上数，则通过９9次操作后,黑板上剩下的数是（)．（A）2023(B）101(C)１00（D）９9二、填空题（共5小题,每小题7分，共35分)６(甲)．按如图的程序进行操作,规定：程序运营从“输入一个值x”到“结果是否>487?”为一次操作．假如操作进行四次才停止,那么x的取值范围是.（第６（甲）题)6（乙）．假如ａ,b，c是正数，且满足,，那么的值为．７（甲)．如图,正方形ABCD的边长为2，E,F分别是AB，BC的中点,AF与DE,DB分别交于点M,N,则△ＤＭN的面积是.(第7(甲）题）（第7(乙）题)7（乙）．如图，的半径为20,是上一点.认为对角线作矩形，且.延长,与分别交于两点，则的值等于.8(甲）.假如关于ｘ的方程x2+kx＋k2-3k+=0的两个实数根分别为,,那么的值为．8(乙).设为整数，且1≤n≤202３.若能被5整除，则所有的个数为.9（甲）.2位八年级同学和ｍ位九年级同学一起参与象棋比赛，比赛为单循环，即所有参赛者彼此恰好比赛一场.记分规则是:每场比赛胜者得3分,负者得0分；平局各得１分.比赛结束后,所有同学的得分总和为130分，并且平局数不超过比赛局数的一半，则m的值为．9（乙）．假如正数x,y，ｚ可以是一个三角形的三边长,那么称是三角形数．若和均为三角形数，且ａ≤b≤c,则的取值范围是.10（甲）．如图,四边形ABCＤ内接于⊙O，AB是直径，AD=DC.分别延长BA，CD，交点为E．作ＢＦ⊥ＥＣ,并与EC的延长线交于点F．若AＥ＝AO，BC=6,则ＣＦ的长为.（第1０（甲)题)10(乙).已知是偶数，且1≤≤100．若有唯一的正整数对使得成立,则这样的的个数为．三、解答题（共4题，每题2０分,共80分）1１（甲）.已知二次函数,当时，恒有；关于x的方程的两个实数根的倒数和小于.求的取值范围.11(乙）．如图，在平面直角坐标系ｘOy中,AO＝8，AB=AC，sin∠ABC=．CＤ与ｙ轴交于点E,且Ｓ△CＯE=S△ADＥ.已知通过B，C，E三点的图象是一条抛物线,求这条抛物线相应的二次函数的解析式.（第11（乙）题)12（甲).如图，的直径为，过点,且与内切于点．为上的点，与交于点,且．点在上，且,ＢE的延长线与交于点,求证:△ＢOＣ∽△.(第１2（甲）题)12(乙）．如图，⊙O的内接四边形ABCD中，AC，BD是它的对角线,ＡC的中点I是△AＢD的内心．求证：(１)OI是△IBD的外接圆的切线；(2)ＡB+AD=２BD.(第１2（乙）题)13(甲）.已知整数a,ｂ满足:a-b是素数,且ab是完全平方数.当ａ≥2023时,求a的最小值.13(乙).凸边形中最多有多少个内角等于？并说明理由14（甲).求所有正整数n,使得存在正整数,满足,且．14（乙）.将(n≥2)任意提成两组,假如总可以在其中一组中找到数（可以相同）使得，求的最小值.2023年全国初中数学竞赛试题（正题）参考答案一、选择题1（甲）．C解:由实数a,b,c在数轴上的位置可知,且,所以.1(乙）．B解：．２（甲)．D解:由题设知,，,所以.解方程组得所以另一个交点的坐标为(3,2)．注:运用正比例函数与反比例函数的图象及其对称性,可知两个交点关于原点对称，因此另一个交点的坐标为（３,２).2(乙)．B解：由题设x2+y２≤2x＋2y，得0≤≤２.由于均为整数,所以有解得以上共计9对.3（甲）.Ｄ解:由题设知,，所以这四个数据的平均数为,中位数为，于是.3(乙）.Ｂ解：如图,以CD为边作等边△CDE,连接AE.（第3(乙)题)由于AC=BC，CＤ=CE,∠BCD=∠ＢCA+∠ACＤ=∠DCE+∠ACD=∠AＣＥ，所以△BCD≌△ACE，BD=ＡE．又由于,所以．在Rt△中,于是DE=，所以CＤ=ＤE＝4.4（甲)．D解:设小倩所有的钱数为x元、小玲所有的钱数为y元，均为非负整数．由题设可得消去x得(2y－7)n＝y+4，２n=．由于为正整数，所以2y-7的值分别为1，3,5,15,所以ｙ的值只能为４，5,6,1１.从而ｎ的值分别为8，3，2，1；ｘ的值分别为14,7，6,７.4（乙)．C解：由一元二次方程根与系数关系知，两根的乘积为，故方程的根为一正一负．由二次函数的图象知，当时,，所以,即．由于都是正整数，所以,1≤q≤５;或，1≤ｑ≤2，此时都有.于是共有7组符合题意.５(甲)．D解:掷两次骰子,其朝上的面上的两个数字构成的有序数对共有36个，其和除以4的余数分别是0,１，2，3的有序数对有9个，8个,9个，1０个,所以,因此最大.5（乙）.C解:由于，所以每次操作前和操作后，黑板上的每个数加1后的乘积不变.设通过99次操作后黑板上剩下的数为,则,解得,.二、填空题6（甲）.7<x≤1９解：前四次操作的结果分别为3x-2，3(3ｘ－2)－2=9x-8,3（９x-8)-2＝2７ｘ-26，3（２7x-26)-2=81x-80.由已知得27x-26≤48７,81x－8０＞487．解得7＜ｘ≤19．容易验证，当７<x≤19时,≤487≤4８7,故x的取值范围是7＜x≤19.6(乙）．7解：由已知可得.7（甲)．8解:连接DＦ，记正方形的边长为2.由题设易知△∽△，所以,由此得,所以．（第7（甲）题）在Rt△ABＦ中，由于,所以,于是.由题设可知△ADＥ≌△ＢAＦ,所以,．于是，,.又，所以.由于，所以.7（乙）．解：如图，设的中点为,连接，则．由于,所以，.(第7（乙）题）所以.8(甲）.解:根据题意，关于ｘ的方程有＝k2－４≥0,由此得(k－3）２≤0．又（k-3)2≥０,所以(k－3）２=0,从而ｋ=3.此时方程为x２+3x+＝0，解得x1=ｘ2＝.故==．8（乙）．161０解:由于=＝．当被5除余数是1或4时，或能被5整除,则能被5整除；当被5除余数是2或３时,能被5整除,则能被５整除;当被5除余数是0时,不能被5整除.所以符合题设规定的所有的个数为．９(甲）.8解：设平局数为,胜(负)局数为,由题设知，由此得0≤b≤43.又，所以.于是０≤≤43,８7≤≤1３０，由此得,或.当时,；当时,,，不合题设.故．9(乙）．≤1解:由题设得所以,即.整理得,由二次函数的图象及其性质，得.又由于≤1，所以≤1.10(甲）.解：如图，连接ＡＣ，ＢD，OD.（第１0(甲）题）由AB是⊙O的直径知∠BＣA=∠BDＡ=９0°．依题设∠BFＣ＝90°，四边形AＢＣD是⊙O的内接四边形,所以∠BCＦ=∠ＢAD,所以Rｔ△BＣF∽Rt△BAＤ,因此.由于OＤ是⊙O的半径，AD=ＣＤ，所以ＯＤ垂直平分AC,OD∥BC，于是.因此．由△∽△,知．由于,所以，BA=AD，故.1０(乙）.12解：由已知有，且为偶数，所以同为偶数,于是是４的倍数.设，则1≤≤25.(Ⅰ)若，可得,与b是正整数矛盾.（Ⅱ)若至少有两个不同的素因数,则至少有两个正整数对满足；若恰是一个素数的幂,且这个幂指数不小于3,则至少有两个正整数对满足．（Ⅲ）若是素数，或恰是一个素数的幂，且这个幂指数为2，则有唯一的正整数对满足．由于有唯一正整数对，所以m的也许值为2,3,４，５,7,9，11,13,17，1９，23,２５，共有1２个.三、解答题１１（甲）．解:由于当时,恒有,所以,即，所以．…………(５分)当时，≤;当时，≤，即≤，且≤,解得≤.…………(10分)设方程的两个实数根分别为,由一元二次方程根与系数的关系得.由于，所以,解得,或.因此.…………（２0分）１1(乙).解:由于ｓin∠ＡBC=,，所以AB=１0.由勾股定理，得BO=.（第11(乙）题)易知△ＡBＯ≌△AＣO，因此ＣO=BＯ=６.于是A（0，－8），B（6，０),Ｃ(-6,0）.设点Ｄ的坐标为(m,ｎ),由S△COＥ=S△ADE,得S△CDB=Ｓ△AOB．所以,，解得n=-4.因此D为AB的中点,点D的坐标为(３，-4）.…………（10分)因此CD,ＡO分别为AＢ,BC的两条中线,点Ｅ为△ＡBＣ的重心，所以点Ｅ的坐标为.设通过Ｂ,Ｃ，E三点的抛物线相应的二次函数的解析式为y=a(ｘ-6)(x＋６)．将点E的坐标代入,解得a＝.故通过B，C,E三点的抛物线相应的二次函数的解析式为.…………(２０分）12（甲)．证明:连接BD,由于为的直径,所以．又由于，所以△CBE是等腰三角形．(第12（甲)题）…………（5分）设与交于点,连接OM，则．又由于，所以.…………（15分）又由于分别是等腰△，等腰△的顶角,所以△BOC∽△．…………（20分）12（乙).证明：(１)如图，根据三角形内心的性质和同弧上圆周角的性质知(第1２（乙）题)所以CI=ＣD．同理，ＣＩ=CＢ.故点Ｃ是△IＢD的外心．连接OA,OC,由于I是AＣ的中点,且OＡ=ＯＣ，所以ＯI⊥AＣ，即ＯI⊥CI.故OＩ是△IＢD外接圆的切线.…………(10分）(２）如图，过点I作IE⊥AD于点E,设OC与BD交于点F.由，知OC⊥BD.由于∠CＢＦ＝∠ＩAＥ，BＣ=ＣＩ=ＡI,所以Rt△ＢCF≌Rt△AIE，所以BF=AＥ.又由于I是△ABD的内心，所以ＡB+AD－BＤ＝2AE=BＤ.故AＢ+AD=２ＢD．…………(20分)1３（甲）.解：设ａ－b=m(m是素数)，ab=n2（n是正整数).由于(ａ+b）2－4ａb=(a-ｂ)2，所以(2a-m)2－４n2=m２(2ａ-ｍ+２ｎ)(2a-m－2n)=m…………（5分)由于2a－m+２n与2a-m－2ｎ都是正整数,且2a-ｍ＋2n＞２ａ-m－2２ａ-m+2nm2，２a-ｍ－２n1.解得a，.于是＝ａ-ｍ.…………（10分）又a≥２023，即≥202３.又由于ｍ是素数,解得m≥89.此时，a≥=2０25.当时，,，.因此,a的最小值为2025.…………（2０分）13（乙）.解：假设凸边形中有个内角等于,则不等于的内角有个．（１）若,由,得，正十二边形的12个内角都等于；…………（５分)(2）若,且≥13，由，可得，即≤1１.当时，存在凸边形，其中的11个内角等于,其余个内角都等于,．…………（10分）（3）若,且≤≤．当时,设另一个角等于．存在凸边形，其中的个内角等于，另一个内角．由≤可得；由≥8可得，且.…………(1５分)(4)若，且3≤≤7，由（3)可知≤.当时，存在凸边形，其中个内角等于，另两个内角都等于.综上，当时,的最大值为12;当≥13时，的最大值为１1；当≤≤时，的最大值为;当3≤≤7时,的最大值为．…………(20分)14（甲).解：由于都是正整数，且,所以≥1,≥２,…，≥2023.于是≤.…………（10分）当时，令，则．…………(1５分）当时,其中≤≤,令，则.综上,满足条件的所有正整数ｎ为.…………（２0分）1４（乙)．解:当时，把提成如下两个数组：和．在数组中，由于,所以其中不存在数，使得.在数组中，由于，所以其中不存在数，使得.所以，≥．…………(1０分)下面证明当时,满足题设条件．不妨设２在第一组,若也在第一组，则结论已经成立．故不妨设在第二组.同理可设在第一组,在第二组.此时考虑数8．假如8在第一组,我们取,此时；假如8在第二组，我们取，此时．综上，满足题设条件．所以，的最小值为.…………(20分)2０23年全国初中数学竞赛试题一、选择题(共5个小题，每小题7分，共3５分。每道小题均给出了代号为A、B、Ｃ、D的四个选项，其中有且只有一个选项是对的的,请将对的选项的代号填入题后的括号里,不填、多填或错填都得0分)１．设非零实数、、满足，则的值为()(A）－(B）０(C）(Ｄ)１2.已知、、是实常数，关于的一元二次方程有两个非零实根，则下列关于的一元二次方程中，以,为两个实根的是()(A)(Ｂ)（C)（D）３,如图,在Rt△ＡBＣ中,已知O是斜边ＡB的中点,ＣD⊥AB,垂足为D,ＤE⊥OC,垂足为E,若AＤ，DB，CD的长度都是有理数,则线段ＯD、OE、ＤＥ，ＡＣ的长度中,不一定是有理数的为（）(Ａ）ＯD（B)OE(C)DＥ（D)AC4、如图，已知△AＢC的面积为24,点D在线段AC上，点Ｆ在线段ＢC上，且BC=4AＦ，ＤCFE是平行四边形，则图阴影部分(△BDＥ+△ADE）的面积为(）。(A)３(B）4(C)6（D)85．对于任意实数x，y,ｚ,定义运算“*”为:，且,则2０23*20２３*……＊3＊2的值为（)(Ａ)(Ｂ)(Ｃ)(Ｄ)二、填空题（共５小题,每小题7分,共３5分）6．设，是的小数部分,则的值为７.如图，点D、Ｅ分别是△ＡＢC的边ＡC、ＡB上的点,直线BD与CE交于点F，已知△ＣDＦ,△BＦE，△BCF的面积分别是３,4，5则四边形AEFD的面积是。８.已知正整数、、满足，，则的最大值为。9．实数，,,满足:一元二次方程的两根为，,一元二次方程的两根为,，则所有满足条件的数组(,，,)为。10.小明某天在文具店做志愿者卖笔,铅笔每支售４元，圆珠笔每支售７元。开始时他有铅笔和圆珠笔共３50支，当天虽然笔没有所有卖完，但是他的销售收入恰好是2023元,则他至少卖出了支圆珠笔。AABCDEO三、解答题（共4题,每题20分，共８0分)ﻩ1１.如图,抛物线,顶点为E，该抛物线与轴交于A，Ｂ两点,与轴交于点C,且OB＝ＯC=3OA。直线与轴交于点Ｄ,求∠ＤＢC-∠CBE.1２．设△AＢC的外心，垂心分别为Ｏ，H，若Ｂ，Ｃ,H，O共圆，对于所有的△ＡBC,求∠BＡC所有也许的度数。13．设,,是素数，记,，,当,时，，,能否构成三角形的三边长？证明你的结论。14.假如将正整数M放在正整数m左侧，所得到的新数可被７整除,那么称M为m的“魔术数”(例如，把86放在41５的左侧,得到的数８6４15能被7整除,所以称86为4１5的魔术数),求正整数n的最小值，使得存在互不相同的正整数,满足任意一个正整数m，在中都至少有一个为的m魔术数。2０23年全国初中数学竞赛试题考试时间20２3年３月２0日9︰３0-11︰30满分150答题时注意：１、用圆珠笔或钢笔作答２、解答书写时不要超过装订线３、草稿纸不上交。一、选择题(共５小题，每小题7分,共３5分。每道小题均给出了代号为Ａ、B、Ｃ、Ｄ的四个选项,其中有且只有一个选项是对的的。请将对的选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）1、设,则代数式的值为（C）A．0B.1C.－1D．22、对于任意实数,定义有序实数对与之间的运算“△”为:。假如对于任意实数,都有，那么为(B）。Ａ.B．Ｃ．D.3、已知是两个锐角,且满足，，则实数所有也许值的和为（C）A．B．C.１D.ABCEDF4、如图，点分别在△AＢC的边ＡB，AC上,BE,ＣD相交于点F，设,,,,则与的大小关系为(C）ABCEDFＡ.<B．＝C.>D.不能拟定5、设,则4S的整数部分等于(A)A.4B.5C.6D．7二、填空题（共5小题,每小题7分，共３5分）6、两条直角边长分别是整数(其中),斜边长是的直角三角形的个数为_＿31_＿。7、一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1,2,2，３,3，４；另一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1,3，4，5,６,8。同时掷这两枚骰子,则其朝上的面两数字之和为5的概率是_＿__。yxCABEyxCABEFO９、⊙的三个不同的内接正三角形将⊙提成的区域的个数为__＿＿＿。2810、设四位数满足,则这样的四位数的个数为＿_＿。5三、解答题（共４题，每题20分，共80分)１１、已知关于的一元二次方程的两个整数根恰好比方程的两个根都大１,求的值。解：设方程的两个根为α、β，其中α、β为整数，且α≤β则方程的两个整数根为α＋１、β＋1,由根与系数关系得：α＋β＝－a,(α＋1）（β+1)＝a两式相加得：αβ＋2α+２β＋1=0即(α＋２)(β+２)=３∴或解得:或又∵ａ＝－（α+β),ｂ=αβ，c=－［(α＋1)＋(β＋1）]∴ａ＝０，b＝－1，ｃ=-2或ａ=8，b=15,c=６故＝-３或=29ABCHPDABCHPDQ证明：如图,延长AP交⊙于点Q连结AＨ,BD，QＣ，QH∵AB为直径∴∠AＤB＝∠BＤQ＝9０0∴BQ为⊙的直径于是CQ⊥BC,BＨ⊥ＨQ∵点H为△ＡＢC的垂心∴ＡH⊥BC，ＢＨ⊥ＡＣ∴AH∥CQ,AC∥HQ,四边形ＡＣHQ为平行四边形则点Ｐ为CＨ的中点。１3、若从1,2,3，…，中任取5个两两互素的不同的整数,，,,，其中总有一个整数是素数，求的最大值。解：若n≥49，取整数１，２2,３2，52,72，这五个整数是五个两两互素的不同的整数，但没有一个整数是素数,∴n≤４8，在１,2，3,┉┉,4８中任取5个两两互素的不同的整数，，，，,若,,,,都不是素数，则，,，，中至少有四个数是合数,不妨假设，，，为合数,设,，,的最小的素因数分别为p1，p2，p3，p４由于，,，两两互素,∴ｐ1,p2,p3，p4两两不同设p是p1,ｐ2,p3，p４中的最大数,则ｐ≥7由于，,，为合数,所以，，，中一定存在一个aｊ≥ｐ2≥72=49，与ｎ≥４9矛盾,于是，，,，中一定有一个是素数综上所述，正整数ｎ的最大值为４8。1４、如图，△ABC中,∠BAC＝６0°，AB＝２AC。点P在△AＢC内,且PＡ=，PB=５，PC=2,求△AＢC的面积。解:如图,作△ABＱ,使得:∠QＡＢ＝∠PＡC，∠AＢQ＝∠AＣP,ACPBQM则△AＢQ∽△ACＰ,由于ACPBQM于是,AQ＝2AＰ＝２,BＱ=2CＰ＝4∠QAP＝∠ＱＡB＋∠BＡP=∠ＰAC+∠BAP=∠BAC=６０°由AQ:AP=２:1知,∠APQ＝９00于是，PQ=ＡＰ=3∴ＢP２＝2５=BQ２＋PQ2从而∠ＢＱP＝900作AM⊥ＢQ于M，由∠ＢQA=1２00,知∠AQＭ=600,QM＝,AM＝3,于是，∴AB2＝BM2＋AM2＝(4+)2＋32＝2８+8故S△ABＣ＝AB•ACsin600＝AB2=2023年全国初中数学联合竞赛试题第一试（A）（3月22日上午8﹕3０——9﹕3０)一、选择题（本题满分4２分,每小题7分）本题共有6个小题,每题均给出了代号为A，Ｂ，Ｃ，D的四个答案,其中有且仅有一个是对的的．将你所选择的答案的代号填在题后的括号内.每小题选对得7分；不选、选错或选出的代号字母超过一个(不管是否写在括号内)，一律得0分.１.设实数满足：，,则()A.０B．3Ｃ.6Ｄ．92．若抛物线与轴只有一个公共点，且过点,,则=(）Ａ.8Ｂ．12Ｃ.163.矩形中，，,、分别为矩形外的两点,，,则(）A.B．C．D.4．已知为坐标原点,位于第一象限的点在反比例函数的图象上，位于第二象限的点在反比例函数的图象上，且，则的值为（)A．Ｂ．C．D．5．已知实数满足关系式，则的最小值为（)A．B.C．1Ｄ．6.设是小于100的正整数且使是15的倍数，则符合条件的所有正整数的和是（)A.２85B．３50C．５４０D.6３５二、填空题(本题满分２8分,每小题7分)本题共有4个小题，规定直接将答案写在横线上.1.设是一元二次方程的两根,则的值为_＿＿＿__＿_．2.从三边长均为整数且周长为2４的三角形中任取一个,它是直角三角形的概率为．3.已知锐角△的外心为,交于，、分别为△、△的外心,若,,则．4.将数字1,2,3，……,３4，35,36填在6×6的方格中，每个方格填一个数字,规定每行数字从左到右是从小到大的顺序,则第三列所填6个数字的和的最小值为．第二试(Ａ）（３月22日上午9﹕50——11﹕２０）考生注意:本试共三个大题,第一题20分，第二、三题各25分，全卷满分70分.一、(本题满分20分)关于的方程有且仅有一个实数根,求实数的取值范围．二、(本题满分25分)如图，圆内接四边形的对角线、交于点，且⊥,.过点作⊥,交的延长线于点,的平分线分别交、于点、．（1)证明:;(2)假如，证明：.三、（本题满分25分)设正整数满足:关于的方程至少有一个正整数解,证明:．2023年全国初中数学联合竞赛试题第一试(3月20日上午8：30-9：３0)一、选择题(本题满分４２分，每小题7分)（本题共有6个小题,每题均给出了代号为Ａ,B,Ｃ,D的四个答案,其中有且仅有一个是对的的.将你所选择的答案的代号填在题后的括号内.每小题选对得7分；不选、选错或选出的代号字母超过一个（不管是否写在括号内),一律得0分.）1．用表达不超过的最大整数,把称为的小数部分.已知,是的小数部分,是的小数部分，则()2.三种图书的单价分别为1０元、15元和20元,某学校计划恰好用５0０元购买上述图书３0本,那么不同的购书方案有（)种种种种３(Ａ）.假如一个正整数可以表达为两个连续奇数的立方差,则称这个正整数为“和谐数”．如：和均为“和谐数”.那么，不超过的正整数中,所有的“和谐数”之和为(）3(B).已知二次函数的图象的顶点在第二象限，且过点．当为整数时，(）４.已知的半径垂直于弦,交于点,连接并延长交于点，若,则的面积为()５.如图，在四边形中，,,,对角线的交点为，则(）6.设实数满足则的最大值为()二、填空题（本题满分２8分，每小题7分)(本题共有４个小题，规定直接将答案写在横线上.）１.【1(A)、２(Ｂ)】已知的顶点、在反比例函数（）的图象上,,,轴，点在点的上方，且则点的坐标为.１（Ｂ).已知的最大边上的高线和中线恰好把三等分,,则.2(A）.在四边形中，∥,平分,为对角线的交点,则．3.【3（Ａ)、4(Ｂ)】有位学生忘掉写两个三位数间的乘号,得到一个六位数,这个六位数恰好为本来两个三位数的乘积的３倍，这个六位数是.３(B).若质数、满足：则的最大值为.4（Ａ)．将5个1、５个2、5个３、5个４、5个5共25个数填入一个5行5列的表格内（每格填入一个数）,使得同一列中任何两数之差的绝对值不超过2.考虑每列中各数之和,设这５个和的最小值为,则的最大值为．第二试(3月20日上午9:5０—11:2０）一、（本题满分20分)已知为正整数，求能取到的最小正整数值．二、（本题满分25分）(A).如图,点在认为直径的上，于点,点在上,四边形是正方形，的延长线与交于点.证明:.(B).已知：求的值．三、（本题满分25分）(A).已知正实数满足：,且.求的值．证明:.(B).如图，在等腰中,为边上异于中点的点,点关于直线的对称点为点,的延长线与的延长线交于点求的值.2023年全国初中数学联合竞赛试题及详解第一试(3月２0日上午8:30－9:３0）一、选择题（本题满分42分,每小题7分）(本题共有６个小题,每题均给出了代号为A,Ｂ,C,D的四个答案，其中有且仅有一个是对的的.将你所选择的答案的代号填在题后的括号内.每小题选对得７分；不选、选错或选出的代号字母超过一个（不管是否写在括号内)，一律得0分.）1.用表达不超过的最大整数,把称为的小数部分.已知，是的小数部分，是的小数部分，则（）【答案】.【解析】即又故选A.2.三种图书的单价分别为10元、15元和2０元,某学校计划恰好用５０0元购买上述图书30本，那么不同的购书方案有（)种种种种【答案】C.【解析】设购买三种图书的数量分别为则，即,解得依题意得,为自然数(非负整数),故有种也许的取值(分别为，对于每一个值，和都有唯一的值（自然数）相相应.即不同的购书方案共有１１种，故选Ｃ.3(A）.假如一个正整数可以表达为两个连续奇数的立方差，则称这个正整数为“和谐数”.如:和均为“和谐数”．那么,不超过的正整数中，所有的“和谐数”之和为（)【答案】Ｂ.【解析】(其中为非负整数)，由得,,即得所有不超过２０23的“和谐数”，它们的和为故选B.3（B).已知二次函数的图象的顶点在第二象限，且过点.当为整数时，（)【答案】B.【解析】依题意知故且,,于是又为整数，故,故选B．４.已知的半径垂直于弦，交于点，连接并延长交于点,若,则的面积为()【解析】设则于在中,即解得，即（第4题答案图）为的中位线，是的直径,故选A．5.如图,在四边形中,,,,对角线的交点为,则()(第5题答案图)【答案】D.【解析】过点作于点则～设则在中，则显然，化简整理得解得(不符合题意，舍去),故在中，,故选D.６.设实数满足则的最大值为(）【答案】C.【解析】当且仅当时，取等号，故,故选C.二、填空题(本题满分28分，每小题7分)（本题共有4个小题，规定直接将答案写在横线上.)1.【１(A)、2（Ｂ)】已知的顶点、在反比例函数(）的图象上，，,轴,点在点的上方，且则点的坐标为．【答案】.【解析】如图，过点作于点.在中,在中,(第１题答案图)，设，依题意知故,于是解得,故点的坐标为.１(Ｂ)．已知的最大边上的高线和中线恰好把三等分,,则．【答案】.【解析】（第1题答案图1)（第1题答案图2）依题意得,故．(1）若时，如答案图1所示,≌又平分在中,即从而．在中,在中,．(2）若时,如答案图２所示.同理可得．综上所述，.2(A).在四边形中,∥，平分,为对角线的交点，则.【答案】.【解析】设,平分,,∥,,,,，,,解得，,故.３.【3(A)、4(B)】