2023版高考数学考点43排列与组合试题解读与变式

考点43排列与组合知识储藏汇总与命题规律展望知识储藏汇总:两个原理：①分类计数原理〔加法原理〕：完成一件事有类不同方案，在第1类方案中有种不同的方法，在第2类方案中有种不同的方法，…………，第类方案中有种不同的方法，那么完成这件事共有种不同的方法．.②分步计数原理〔乘法原理〕：完成一件事有个步骤，完成第1步有种不同的方法，完成第2步有种不同的方法，…………，完成第步有种不同的方法，那么完成这件事共有种不同的方法．..〔2〕排列与排列数①排列：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．②排列数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，记作Aeq\o\al(m,n).③排列数公式：==.(，∈N*，且)．注:规定.〔3〕组合与组合数①组合：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．②组合数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，记作Ceq\o\al(m,n).③组合数公式：===(∈N*，，且).注:规定.④组合数的两个性质(1)=;(2)+=.命题规律展望：排列与组合是高考考查的热点和重点，主要考查利用分步计数原理、分类计数原理、排列组合的知识计算计数问题和古典概型的计算，题型为选择填空或解答题中利用排列组合知识求随机变量分布列，分值为5至12分，难度为根底题或中档题.二、题型与相关高考题解读1.两个定理应用1.1考题展示与解读例1(2023·全国甲卷)如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，那么小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为()A．24B．18C．12 D．9【命题意图探究】此题主要考查利用两个原理计算计数问题，是根底题.【解题能力要求】分类整合思想、运算求解能力【方法技巧归纳】利用两个计数原理解决应用问题的一般思路:(1)弄清“完成一件事〞是什么事;(2)确定是先分类后分步，还是先分步后分类;(3)弄清分步、分类的标准是什么;(4)利用两个计数原理求解；(5)对于分类计数原理，要重点抓住“类〞字，应用时要注意“类〞及“类〞之间的独立性和并列性，对于分步计数原理，要重点抓住“步〞字，应用时要注意“步〞与“步〞之间的相依性和连续性，对于稍复杂问题，常常结合相关知识混合使用两个计数原理．1.2【典型考题变式】【变式1：改编条件】将1,2,3，…，9这九个数字填在如下图的9个空格中，要求每一行从左到右，每一列从上到下增大，当3,4固定在图中的位置时，填写空格的方法有()A.6种B.12种C.18种D.24种【答案】A【解析】分为三个步骤：12349第一步，数字1,2,9必须放在如图的位置，只有1种方法．第二步，数字5可以放在左下角或右上角两个位置，故数字5有2种方法．第三步，数字6如果和数字5相邻，那么7,8有1种方法；数字6如果不和数字5相邻，那么7,8有2种方法，故数字6,7,8共有3种方法．根据分步乘法计数原理，有1×2×3＝6(种)填写空格的方法，应选A.【变式2：改编结论】4名学生被中大、华工、华师录取，假设每所大学至少要录取1名，那么共有不同的录取方法__________．【答案】36种【解析】先从名学生中任意选个人作为一组，方法种；再把这一组和其它个人分配到所大学，方法有种，再根据分步计数原理可得不同的录取方法种，故答案为种.【变式3：改编问法】在高校自主招生中，某学校获得5个推荐名额，其中清华大学2名，北京大学2名，浙江大学1名，并且清华大学和北京大学都要求必须有男生参加，学校通过选拔定下3男2女共5个推荐对象，那么不同的推荐方法共有〔〕A.36种B.24种C.22种D.20种【答案】B排列问题2.1考题展示与解读例2【2023年高考四川理数】用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为〔A〕24〔B〕48〔C〕60〔D〕72【命题意图探究】此题主要考查利用分步计数原理及排列的知识计算计数问题，是根底题.【答案】D【解析】由题意，要组成没有重复的五位奇数，那么个位数应该为1、3、5中之一，其他位置共有随便排共种可能，所以其中奇数的个数为，应选D.【解题能力要求】运算求解能力【方法技巧归纳】解决排列问题的主要方法(1)解决“在〞与“不在〞的有限制条件的排列问题，既可以从元素入手，也可以从位置入手，原那么是谁“特殊〞谁优先．不管是从元素考虑还是从位置考虑，都要贯彻到底，不能既考虑元素又考虑位置．(2)解决相邻问题的方法是“捆绑法〞，即把相邻元素看做一个整体和其他元素一起排列，同时要注意捆绑元素的内部排列．(3)解决不相邻问题的方法是“插空法〞，即先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空当中．(4)对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以定序元素的全排列．(5)假设某些问题从正面考虑比拟复杂，可从其反面入手，即采用“间接法〞．2.2【典型考题变式】【变式1：改编条件】由1、2、3、4、5、6、7七个数字组成七位数，要求没有重复数字且6、7均不得排在首位与个位，1与6必须相邻，那么这样的七位数的个数是〔〕A.300B.338C.600D.768【答案】D【变式2：改编结论】生产过程中有4道工序，每道工序需要安排一人照看.现从甲、乙、丙等6名工人中安排4人分别照看一道工序，第一道工序只能从甲、乙两名工人中安排一人，第四道工序只能从甲、丙两名工人中安排一人，那么不同的安排方案共有〔〕A.24种B.36种C.48种D.72种【答案】B【解析】第一道工序安排甲那么第四道工序安排丙，从剩下4选两人照看剩下两道工序有方案；第一道工序安排乙那么第四道工序有两种方案，再从剩下4选两人照看剩下两道工序有方案，因此共有，选B.【变式3：改编问法】某铁路所有车站共发行132种普通客票，那么这段铁路共有车站数是〔〕A.8B.12C.16D.24【答案】B【解析】设共有个车站，在个车站中，每个车站之间都有2种车票，相当于从个元素中拿出个进行排列，共有，，应选B.组合问题3.1考题展示与解读例3 【2023浙江，16】从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人效劳队，要求效劳队中至少有1名女生，共有______中不同的选法．〔用数字作答〕【解题能力要求】此题主要考查分类计数原理及利用组合知识计算计数问题，是中档题.【答案】660【解析】由题意可得：总的选择方法为种方法，其中不满足题意的选法有种方法，那么满足题意的选法有：种．【解题能力要求】运算求解能力，正难那么反思想【方法技巧归纳】组合问题解题思路：分清问题是否为组合问题；对较复杂的组合问题，要搞清是“分类〞还是“分步〞，一般是先整体分类，然后局局部步，将复杂问题通过两个计数原理化归为简单问题;分组问题：①假设各组元素个数均不相同，那么逐组抽取；②假设其中有假设干组元素个数相同，那么逐组选取，因元素个数相同，所以组间无差异，故除以元素个数相同组数的全排列以消序；〔4〕组合问题的限制条件主要表达在取出元素中“含〞或“不含〞某些元素，或者“至少〞或“最多〞含有几个元素：①“含有〞或“不含有〞某些元素的组合题型．“含〞，那么先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含〞，那么先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取．②“至少〞或“最多〞含有几个元素的题型．考虑逆向思维，用间接法处理3.2【典型考题变式】【变式1：改编条件】【广东省中山市第一中学2023届月考】有6名学生，其中有3名会唱歌，2名会跳舞，1名既会唱歌又会跳舞，现从中选出2名会唱歌的，1名会跳舞的，去参加文艺演出，求所有不同的选法种数为()A.18B.15C.16D.25【答案】B【解析】名会唱歌的从中选出两个有种,名会跳舞的选知名有种选法,但其中一名既会唱歌又会跳舞的有一个,两组不能同时用他,共有种，应选B.【变式2：改编结论】在一个圆周上有10个点，任取3个点作为顶点作三角形，一共可以作__________个三角形〔用数字作答〕．【答案】120【解析】由于圆周上的任意三点不共线，所以任取3点方法数为，填120.【变式3：改编问法】省中医院5月1号至5月3号拟安排6位医生值班，要求每人值班1天，每天安排2人．假设6位医生中的甲不能值2号，乙不能值3号，那么不同的安排值班的方法共有__________种．【答案】42;【解析】分两类(1)甲、乙同一天值班，那么只能排在1号，有种排法；(2)甲、乙不在同一天值班，有种排法，故共有42种方法．排列组合综合问题4.1考题展示与解读例4【2023课标II，理6】安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，那么不同的安排方式共有〔〕A．12种B．18种C．24种D．36种【命题意图探究】此题主要考查利用分步计数原理及排列组合知识计算计数问题，是根底题.【答案】D【解析】由题意可得，一人完成两项工作，其余两人每人完成一项工作，据此可得，只要把工作分成三份：有种方法，然后进行全排列即可，由乘法原理，不同的安排方式共有种方法。应选D。【解题能力要求】运算求解能力，应用意识【方法技巧归纳】排列、组合的混合题推理是从几类元素中取出符合题意的几个元素，再安排到一定位置上的问题．其根本的解题步骤为：第一步：选，根据要求先选出符合要求的元素．第二步：排，把选出的元素按照要求进行排列．第三步：乘，根据分步乘法计数原理求解不同的排列种数，得到结果．4.2【典型考题变式】【变式1：改编条件】从5名学生中选出4名分别参加数学，物理，化学，生物四科竞赛，其中甲不能参加生物竞赛，那么不同的参赛方案种数为A.48B.72C.90D.96【答案】D【变式2：改编结论】某校的A、B、C、D四位同学准备从三门选修课中各选一门，假设要求每门选修课至少有一人选修，且A,B不选修同一门课，那么不同的选法有〔〕A.36种B.72种C.30种D.66种【答案】C【解析】先从4人中选出2人作为1个整体有种选法，减去在同一组还有5种选法，再选3门课程有种选法，利用分步计数原理有种不同选法.选C.【变式3：改编问法】在高校自主招生中，某学校获得5个推荐名额，其中中山大学2名，暨南大学2名，华南师范大学1名，并且暨南大学和中山大学都要求必须有男生参加，学校通过选拔定下3男2女共5个A.36B.24C.22D.20【答案】B【解析】由题意可分成两类:第一类是将3个男生每个大学各推荐1人,共有种推荐方法;第二类是将3个男生分成两组分别推荐给暨南大学和中山大学,其余2个女生从剩下的大学中选,共有种推荐方法，故共有12+12=24种推荐方法，应选择B.课本试题探源选修2-3P28页习题1.2B第3题：从1,3,5,7,9中任取3个数，从2,4,6,8中任取2个数，一共可以组成多少个没有重复数字的五位数？四．典例高考试题演练1.〔2023届河南三门峡市阶段考〕名成人带两个小孩排队上山，小孩不排在一起也不排在头尾，那么不同的排法种数有〔〕A.种B.种C.种D.种【答案】A【解析】首先5名大人先排队，共有种，然后把两个小孩插进中间的4个空中，共有种排法，根据乘法原理，共有种，应选A.2.【广东省德庆县香山中学2023届第一次模拟】从班委会5名成员中选出3名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，那么不同的选法共有()种.A.36B.30C.12D.6【答案】A【解析】从班委会5名成员中选出3名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，因为先从其余3人中选出1人担任文艺委员，再从4人中选2人担任学习委员和体育委员，所以不同的选法共有种，应选A.3.【福建省2023届高三基地校总复习综合卷数学试题】将甲，乙等位同学分别保送到北京大学，清华大学，浙江大学等三所大学就读，那么每所大学至少保送一人的不同保送的方法数为〔〕A.种B.种C.种D.种【答案】A【解析】先将个人分成三组,或,分组方法有中,再将三组全排列有种,故总的方法数有种.选A.4.【山东省寿光现代中学2023届开学考】在航天员进行的一项太空实验中，要先后实施6个程序，其中程序A只能出现在第一或最后一步，程序B和C在实施时必须相邻，问实验顺序的编排方法共有〔〕A.34种B.48种C.96种D.144种【答案】C【解析】先安排A两种方法，再安排BC，有种方法，剩下全排列，所以共有，选C.5.【浙江省临海市白云高级中学2023届第二次月考】2个男生和4个女生排成一排，其中男生既不相邻也不排两端的不同排法有()A.种B.种C.种D.种【答案】A6.【2023届广东省东莞市阶段考】将甲、乙、丙、丁四名学生分配到三个不同的班，每个班至少一名，那么不同分法的种数为〔〕A.18B.24C.36D.72【答案】C【解析】先不考虑甲、乙同班的情况，将4人分成三组有C42＝6(种)方法，再将三组同学分配到三个班级有A33＝6(种)分配方法，依据分步计数原理可得不同分配方法有种，应选答案C。7.【2023届河南南阳一中第二次月考】安排3名志愿者完成5项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，那么不同的安排方式共有〔〕A.90种B.150种C.180种D.300种【答案】B【解析】按每个人工作的工程数，分两种情况：〔1〕1+1+3,所以先选分组，再排列，〔2〕2+2+1，先分组，为均分组，再排列，，总方法数150,选B.8.【河北省廊坊市省级示范高中联合体2023届开学测】某校选定甲、乙、丙、丁、戊共5名教师去3个遥远地区支教〔每地至少1人〕，其中甲和乙一定不同地，甲和丙必须同地，那么不同的选派方案共有〔〕种A.27B.36C.33D.30【答案】D【解析】因为甲和丙同地，甲和乙不同地，所以有2、2、1和3、1、1两种分配方案，2、2、1方案：甲、丙为一组，从余下3人选出2人组成一组，然后排列，共有：种；3、1、1方案：在丁、戊中选出1人，与甲丙组成一组，然后排列，共有：种；所以，选派方案共有18+12=30种，应选D.9.【2023届广东省揭阳市第三中学第二次月考】身穿红、黄两种颜色衣服的各有两人，身穿蓝颜色衣服的有一人，现将这五人排成一行，要求穿相同颜色衣服的人不能相邻，那么不同的排法共有〔〕A.24种B.28种C.36种D.48种【答案】D10.【重庆市巴蜀中学2023届高三9月高考适应月考】将某商场某区域的行走路线图抽象为一个的长方体框架〔如图〕，小红欲从处行走至处，那么小红行走路程最近且任何两次向上行走都不连续的路线共有〔〕A.360种B.210种C.60种D.30种【答案】C【解析】根据题意，最近路线，那就是不能走回头路，不能走重复的路；所以一共要走3次向上，2次向右，2次向前，一共7次；因为不能连续向上,所以先把不向上的次数排列起来,也就是2次向左和2次向前全排列，因为2次向左是没有顺序的,所以还要除以，同理2次向前是没有顺序的,再除以，接下来,就是把3次向上插到4次不向上之间的空当中5个位