课件遥感物理

第一章基本概念遥感物理第三节辐射传输方程的解

(ResolutionofRTEquations)√§1.3.1源函数J与待求强度I无关时的解

§1.3.2单次散射解与散射逐次计算法

§1.3.3二流(two-stream)近似上一节我们给出了不考虑源函数J时传输方程的解(比尔定律），但是显然这是极不准确的。这里给出考虑源函数J（J与I无关）时传输方程的解。为简单起见，仍考虑平面平行介质，其传输方程为：将方程两边同时乘以，则得到1/7上式乘以dτ后，两边对τ积分，即可求得带有源函数的传输方程的解。根据上式，请给出τ=0处的辐射强度I(0,Ω)与τ=τ0处的辐射强度I(τ0,Ω)之间的关系表达式，并简要解释其物理含义。2/7参考式：对上式从0到τ0

积分：即：从τ0到0积分，结果一样。3/7整理得I(0,Ω)与I(τ0,Ω)之间的关系：对上式的解释：位于τ=0处的辐射强度由两部分组成：τ=τ0处的辐射强度穿过整层介质而经过衰减的值，整层介质中的每个辐射源被衰减后到达τ=0处的辐射强度的总和。4/7I(0,Ω)与I(τ0,Ω)之间的关系也可以表述为：请注意，此时μ<0，若将其变为正数，则上式可变为：对上式的解释：位于τ=τ0

处的辐射强度由两部分组成：τ=0处的辐射强度穿过整层介质而经过衰减的值，整层介质中的每个辐射源被衰减后到达τ=τ0处的辐射强度的总和。5/7源函数只考虑介质发射情况下的解当源函数只考虑介质发射时，辐射传输方程相对考虑散射时要简单得多，因为它不需要考虑各方向散射辐射因素，而且J与I无关。此时的辐射传输方程可以写为：请根据前面的推导过程，自行推导上述方程的解。6/7B(T)为普朗克函数，是物体亮温为T时发射的出射辐射亮度，它的强度与出射方向无关，即各向均一。总结辐射传输方程的求解是对τ的积分，而J与I是否有关决定了求解难易。不考虑源函数的解为比尔-布格-朗伯定律，只考虑发射的解也相对简单。注意辐射传输方程中单次散射项也与I无关：7/7下一小节将重点解决该问题。第一章基本概念遥感物理第三节辐射传输方程的解

(ResolutionofRTEquations)

§1.3.1源函数J与待求强度I无关时的解√§1.3.2单次散射解与散射逐次计算法

§1.3.3二流(two-stream)近似不考虑发射和多次散射，仅考虑源函数为单次散射情况时的传输方程为：此时源函数与待求强度I无关，可套用上一小节的解法，即上式可转换为：其中1/8参照上一小节的解：代入即可求得仅考虑源函数为单次散射情况时的传输方程的解。有时也称上面等号右面第1项（即比尔定律）为零次散射解2/8作业：请给出仅考虑源函数为单次散射情况时的传输方程的解。3/8散射的逐次计算方法散射的逐次计算方法是这样一种方法，我们单独对散射一次、二次、三次等的光子计算其强度，而总强度则为所有各次散射之和。式中n表示散射的次数。4/8注意到多次散射的源函数为：由于二次散射是由一次散射引起的，因而从一次散射强度I1(τ,Ω)即可求出二次散射源函数：而二次散射强度是可以由其源函数计算出来的：解该方程需要明确积分上下界和边界条件，这里就不展开了5/8同样我们可以由二次散射强度推导出三次散射源函数，继而推出三次散射强度。依此类推，我们可以得到任意次散射的强度，其递归关系式可以表示为：注意是对τ积分,还是对Ω积分6/8利用递归关系式可以设计数值方法，逐级导出源函数和强度，进而根据：求出包含多次散射的总强度。7/88/8总结在辐射传输方程中，单次散射源函数J与待求强度I无关，可以求出解析解。单次散射解中的第1项反映了比尔-布格-朗伯定律，有时也称为零次散射解，而将第2项，即对源函数的积分结果称为单次散射解。利用逐次计算方法可以依次得到各次散射的源函数和强度，进而求出考虑多次散射的方程解。第一章基本概念遥感物理第三节辐射传输方程的解

(ResolutionofRTEquations)

§1.3.1源函数J与待求强度I无关时的解

§1.3.2单次散射解与散射逐次计算法√§1.3.3二流(two-stream)近似辐射传输与方位无关时的简化观察我们已熟知的辐射传输方程(不考虑发射)：当辐射传输与方位φ无关，而仅与μ有关时，注意到此时，则有：注意μ=cosθ1/14勒让德（Legendre）展开散射相函数可以表征为散射角余弦的函数：上式可以用有限N项的勒让德多项式进行展开：不同阶的勒让德多项式在区间[-1，1]上正交球坐标系通常用勒让德多项式展开，带有方位的也可展开2/14其中l

阶勒让德多项式：前几阶的勒让德多项式为：3/14针对P(cosΘ)进行勒让德多项式展开的系数为：前2阶的展开的系数为：注意：P为散射相函数，Pl为勒让德多项式的l阶展开，二者符号差不多，不要搞混。4/14引入不对称因子：对各向同性散射，g为零；当相函数的衍射峰变得越来越尖锐时，g也随之增大；若相函数峰值位于后向，g为负值。g可以看作散射相函数在正前向的投影积分；是前向通量与后向通量之差。5/14不对称因子g观察与方位φ无关时的辐射传输方程对其进行勒让德多项式展开，有：-μ0中的负号用于表征方向6/14为了用解析方法求解上式，必须用有限个求和代替积分。业已发现，对于区间[-1，1]上的求积分，可用高斯公式展开，即对任何函数f(μ)，有：式中权重值其中μj是偶阶勒让德多项式P2n(μ)的零点，并有：7/14考虑：用高斯公式展开后得：式中μi(-n,n)代表辐射流的方向。8/14取n=1，则得到两个辐射流，即j=-1和1，此时N=1，并且相应的高斯点和权重值分别为重排各项并以I↑表示I(τ,μ1)和I↓表示I(τ,-μ1)后，可导出两个联立方程，即式中9/14上式即为二流近似的辐射传输方程，它可以得到解析解，这里不继续推导其求解过程，有兴趣者可以翻看相关参考资料当取n=2时，即可得到四个辐射流，列出4个方程，称为四流近似。同样，我们可以采用六流近似、八流近似等求解。流数越多，精度越高。与二流近似相近的有爱丁顿（Eddington）近似。解的精度与光学厚度的关系？10/14离散纵标方法（DiscreteOrdinatesMethod）利用离散纵标方法可以将辐射传输方程中的散射相函数用勒让德多项式展开，并用高斯求和式代替方程中的积分式，进而将原有的积分微分方程转化为微分方程组，最终通过边界条件的代入，求解辐射在几个特定方向（由高斯点决定）上的解析解。这种方法的精度取决于多项式展开的次数，次数越多，精确性越高，但也越复杂。方向解的个数（即流数）是展开次数的2倍，如一次展开为二流近似，二次展开为四流近似，三次展开为六流近似，等等。另外，方向解向上和向下的数目相等，且成对称排列。迄今为止采用最多的是二流近似方法。11/14蒙特卡洛方法（MonteCarloMethod）蒙特卡洛法直接模拟辐射传输实际过程。计算机从源的方向在介质中随机地“发射”大量的光子，并且在它们被散射或吸收过程中逐个地跟踪这些光子的路径。将到达介质中的某一点或某些点的光子数目累计起来，就可以得到所需要求的通量密度，即是特定问题的蒙特卡洛解。同样，我们也可以得到任意方向上的辐射强度。原则上只需要维持“发射”光子，直到探测器处接收到统计上有意义的样本为止。所以蒙特卡洛方法是一种概率统计方法，又称随机抽样技巧，或统计试验方法，在学科上它属于计算数学的一个分支。它诞生于本世纪40年代，最先在核武器研究工程中得到应用和发展。近几十年内，应用领域逐步扩大，六十年代以后许多研究者应用这种方法求解辐射传输问题。蒙特卡洛方法是解算多次散射最精确的方法，但是运算复杂，需要耗费大量机时，因此常常用它作为验证其它方法所得到结果的手段。12/14总结1利用二流近似方法可以求解多次散射影响，尤其适合于通量密度的解算。13/143个关键步骤：与方位无关时辐射传输方程的简化——去掉φ

勒让德多项式展开——将μ与μ’分开高斯公式展开——将μ’积分换成求和流数（双数）增多将使精度提高；传输方程变成方程组，方程个数与流数相等。总结2