要讲量纲课程学习

为了能够应用数学来描述物理对象，我们需要对其定量化。物理对象的定量化需要有单位和数值，单位是作为度量标准的某个物理量。被测物理量的数值大小不仅取决于其本身，而且取决于所选用的单位。

例如为了描述一块地的范围，需要确定其面积的单位和数值的大小。我们可以说这是块大小为1平方公里的地，也可以说这是块大小为1000000平方米的地。离开了单位，仅根据数值我们无法判断一块地的大小。单位的选取往往带有任意性，比如说度量长短可以选用米为单位，也可以选用厘米、分米、公里甚至光年为单位。

这些单位都是用来度量同一个物理量—长度的，它们之间可以相互换算，具有某种统一性。第1页/共41页第一页，共42页。一因次分析的基本概念1因次

是物理量的单位种类，又称量刚，如长度、宽度、高度、深度、厚度等都可以用米、英寸、公尺等不同单位来度量，但它们属于同一单位，即属于同一单位量纲（长度量纲），用L表示。2基本因次导出因次

基本因次是具有独立性的因次，在流体力学领域中有三个基本因次：长度因次L时间因次T质量因次M通常表示量纲的符号为dim单位：物理量的大小；量刚：物理单位的种类。(不唯一)（唯一）第2页/共41页第二页，共42页。导出因次由基本因次组合表示，如加速度的因次[a]=LT-2力的因次[F]=[ma]=MLT-2

任何物理量B的因次可写成[B]=MaLbTc用[]表示物理量的量纲，用（）表示物理量的单位第3页/共41页第三页，共42页。

量纲按基本量纲的指数a、b、c的值，可分为以下三类：几何学量纲：a0，b=0，c=0运动学量纲：a0，b0，c=0动力学量纲：a0，b0，c0例如：[m]=M[ρ]=ML-3[p]=ML-1T-2第4页/共41页第四页，共42页。1.基本量纲：具有独立性、唯一性在工程流体力学中，若不考虑温度变化，则常取质量M、长度L和时间T三个作为基本量纲。许多物理问题的研究只涉及M,L,T三个基本量纲，我们称这样的问题为MLT系统.运动问题都是MLT系统.其它物理量的量纲可用基本量纲表示，如流速dimv＝LT－1密度dimρ＝ML－3

力dimF＝MLT－2压强dimp=ML－1T－2第5页/共41页第五页，共42页。在MLT系统中各物理量的量纲课本244页第6页/共41页第六页，共42页。4无因次量(无量纲、量纲一的量、纯数）

指该物理量的因次为1，用L0M0T0表示，实际是一个数，但与单纯的数不一样，它是几个物理量组合而成的综合物理量，特点：（1）无量纲单位，它的大小与所选单位无关；（2）具有客观性；（3）在超越函数（对数、指数、三角函数）运算中，均应用无量纲数。第7页/共41页第七页，共42页。

由于物理量是有量纲的，因此用数学公式来描述任何一个客观规律时，等式两边的量纲必须一致，这个要求称为量纲一致原则。第8页/共41页第八页，共42页。二因次和谐性原理（兼容）

因次和谐性原理又被称为因次一致性原理，也叫因次齐次性原理，指一个物理现象或一个物理过程用一个物理方程表示时，方程中每项的因次应该是和谐的、一致的、齐次的。一个正确的物理方程，式中的每项的因次应该一样，以能量方程为例

方程左边各项的因次从左到右依次为、第9页/共41页第九页，共42页。

2、量纲和谐原理的重要性

a、一个方程在量纲上应是和谐的，所以可用来检验经验公式的正确性和完整性。

b、量纲和谐原理可用来确定公式中物理量的指数。c、可用来建立物理方程式的结构形式。第10页/共41页第十页，共42页。例:单摆运动，质量为m

的小球系在长度为l的线的一端，线的另一端固定，小球偏离平衡位置θ后，在重力mg

作用下做往复摆动，忽略阻力，求摆动周期t的表达式解：在这个问题中有关的物理量有t,m,l,g,设它们之间有关系式其中a\b\c为待定常数，k是无量纲的比例系数则有量纲t=kmalbgcT=MaLb+cT-2c第11页/共41页第十一页，共42页。例题a：自由落体运动的位移s与时间t、重力加速度g有关。试求位移s的表达式。解：s=KgatbL=（LT-2）aTb根据量纲和谐原理，方程两侧的量纲应一致，则La=1T-2a+b=0得出：a=1,b=2s=Kgt2第12页/共41页第十二页，共42页。例题b:液体在恒定水头H作用下从面积为A的孔口流出，v与H、ρ、g和μ有关。试求v的表达式。解：v=KHaρbgcμdLT-1=La(ML-3)b(LT-2)c(ML-1T-1)d第13页/共41页第十三页，共42页。量纲分析法有两种：雷利法和π定理量纲分析法雷利法1、确定与所研究的物理现象有关的n个物理量；式中，k为无量纲数，α1、α2、...、αn为待定指数；

对某一物理现象，主要因素为y、x1，x2、…、xn。它们之间待定的函数关系为

2、量纲只能由基本量纲的积和商导出；而不能相加减，写出各物理量之间的指数乘积的形式，第14页/共41页第十四页，共42页。

3、表示为基本量纲指数乘积的形式。[LaTbMc]=[La1T1b1Mc1]α1[La2Tb2Mc2]α2…[LanTbnMcn]

αn

4、根据量纲和谐原理，即等式两端的量纲应该相同，确定物理量的指数关系式

[L]a=a1α1+a2α2+….+anαn

[T]b=b1α1+b2α2+….+bnαn

[M]c=c1α1+c2α2+….+cnαn解上式，求出特定指数α1、α2、...、αn。但因方程数只有三个，当n>3时，则有(n-3)个指数需用其他指数值的函数来表示。第15页/共41页第十五页，共42页。分四步找物理量找全、找准写表达式A=KA1aA2bA3c确定指数量纲和谐原理确定关系数A=KA1aA2bA3c第16页/共41页第十六页，共42页。四、实例分析例1.(p243例2)作用在车厢式货车上的风力假设:(1)影响作用在车厢式货车上的风力的主要因素有车速v,货车暴漏在风向上的表面积A,风的密度ρ(2)作用在车厢式货车上的风力和车的速度的某次幂和接触面积的某次幂以及风的密度的某次幂的乘积成正比,即第17页/共41页第十七页，共42页。其中k是常数,下面列出变量和对应的量纲变量|FvAρ--------------------------------------------------量纲|MLT-2LT-1L2ML-3无量纲化处理第18页/共41页第十八页，共42页。最终模型:作用在车厢式货车上的风力第19页/共41页第十九页，共42页。实验揭示，流动有两种状态:层流和湍流，实验指出，恒定有压管流的下临界流速vcr与管径d，流体密度ρ

流体动力粘度μ有关。试用量纲分析法求出它们的函数关系。解：按瑞利法解本题，首先写出待定函数形式为vcr=f(d,ρ,μ)将上式写成指数乘积的形式为再写成量纲方程为第20页/共41页第二十页，共42页。列方程解得α3=1，α2=-1,α1=-1将这些指数值代人指数乘积函数关系式

第21页/共41页第二十一页，共42页。第22页/共41页第二十二页，共42页。三布金汉（Buckingham）定理

6-1-4π定理

1、确定n个物理量方程；式中．π1，π2，……，πn-m为（n-m）个无量纲数，这些无量纲数是用π来表示的；所以称为π定理。π定理在1915年由布金汉（E.Buckngham)提出，又称为布金汉定理。

2、其中可选出m个变量(在管流中，一般选d、v、密度；在渠流中，一般选H、V、密度)在量纲上是互相独立的，其余（n-m）个变量是非独立的；那么，此物理方程，必然可以表示为(n-m)个无量纲数的物理方程式，，第23页/共41页第二十三页，共42页。

3、在应用π定理时要注意所选取的m个量纲独立的量，设所选择的物理量为x1,x2,x3，知，它们的量纲式可用基本量纲表示为为使x1,x2,x3互相独立、就要使它们的指数乘积不能为零，也就要求式中的指数行列式不等于零，即。第24页/共41页第二十四页，共42页。4、无量纲的π项的组成，可以从所选用的独立变量之外的其余变量中．每次轮取一个，与所选用的独立变量一起组合而成式中αi,βi,γi(i＝1，2，3,…,n-m)，是各π项的待定指数。5、根据量和谐原理，各π项的指数皆为零

，可以求出指数αi,βi,γi第25页/共41页第二十五页，共42页。例经初步分析知道，在水平等直径圆管道内流体流动的压降p与下列因素有关：管径d、管长L、管壁粗糙度、管内流体密度、流体的动力粘度，以及断面平均流速v有关。试用定理推出压降p的表达形式。解：所求解问题的原隐函数关系式为f(p,d,L,,,,v)=0有量纲的物理量个数n=7，此问题的基本量纲有L、M、T三个，m=3，按定理，这n个变量转换成有n-m=4个无量纲量的函数关系式F(1,2,3,4)=0从7个物理量中选出3个,例如dv其余物理量用基本物理量的幂次乘积形式表示第26页/共41页第二十六页，共42页。1=L1v1d1

2=2v2d23=3v3d3

4=p4v4d4第27页/共41页第二十七页，共42页。将上述表达式写成量纲形式[1]=L(ML-3)1(LT-1)1L1=M0L0T

（1）

[2]=L(ML-3)2(LT-1)2L2=M0L0T0（2）

[3]=ML-1T-1(ML-3)3(LT-1)3L3=M0L0T0（3）

[4]=ML-1T-2(ML-3)4(LT-1)4L4=M0L0T0(4）

第28页/共41页第二十八页，共42页。求解方程（1）M:1=0T:1=0L:-31+1+1+1=0→1=-1所以1=L/d求解方程（2）M:2=0T:2=0L:1-32+2+2=0→2=-1所以2=/d第29页/共41页第二十九页，共42页。求解方程（3）M:1+3=0→3=-1T:-1-3=0→3=-1L:-1-33+3+3=0→3=-1所以3=/vd=1/Re（雷诺数）求解方程（4）M:1+4=0→4=-1T:-2-4=0→4=-2L:-1-34+4+4=0→4=0所以4=p/v2因此，所解问题用无量纲数表示的方程为

F(l/d,/d,1/Re,p/v2)=0第30页/共41页第三十页，共42页。或

或

23(,)elpFRddruDD=第31页/共41页第三十一页，共42页。Pi定理的应用—航船阻力问题问题描述：设船在密度为、粘性系数为的水面上以速度v航行，其吃水深度为h并且船的长度为l，重力加速度g

。若不考虑风的阻力，试问船受到的阻力为多大？第32页/共41页第三十二页，共42页。问题分析与求解我们遇到的物理量有阻力f、船的长度l、吃水深度h、速度v、水的粘性系数和密度、重力加速度g我们要求的是关系(f,l,h,v,,,g)=0基本物理量纲L、M、T[f]=L1M1T-2[l]=L1M0T0[h]=L1M0T0[v]=L1M0T-1[]=L-1M1T-1[]=L-3M1T0[g]=L1M0T-2第33页/共41页第三十三页，共42页。第34页/共41页第三十四页，共42页。量纲分析的应用－模型模拟由于未知，上述模型无法直接应用为此，我们建立一个模型设f,l,h,v,,,g和f’,l’,h’,v’,‘,’,g’分别是船和它的模型的参数只要我们按照一定的比例建造船的一个模型。然后让它在相同的水面上航行，测定模型受到的阻力，就可以计算得到船受到的阻力。第35页/共41页第三十五页，共42页。

试用瑞利法分析溢流堰过流时单宽流量q的表达式。已知q与堰顶水头H、水的密度ρ和重力加速度g有关。

试用瑞利法分析溢流堰过流时单宽流量q的表达式。已知q与堰顶水头H、水的密度ρ和重力加速度g有关。第36页/共41页第三十六页，共42页。题目

求水泵输