北京兴寿中学2022年高三数学文测试题含解析

北京兴寿中学2022年高三数学文测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.过抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点F的直线l与抛物线交于M，N两点，若，则直线l的斜率为（）A．± B．± C．± D．±参考答案：D【考点】抛物线的简单性质．【分析】作MB垂直准线于B，作NC垂直准线于C，作NA垂直MB于A，根据抛物线定义，可得tan∠NMA就是直线l的斜率【解答】解：如图，作MB垂直准线于B，作NC垂直准线于C，根据抛物线定义，可得MB=MF，NC=NF作NA垂直MB于A，设FN=m，则MN=5m，NA=MF﹣NF=3m在直角三角形AMN中tan∠NMA=，∴直线l的斜率为±，故选：D2.已知是两条不同直线，、是两个不同平面，下列命题中的假命题是A.

若

B.若C.若

D.若参考答案：C略3.设，，是非零向量，已知命题p：若?=0，?=0，则?=0；命题q：若∥，∥，则∥，则下列命题中真命题是（） A．p∨q B． p∧q C． （￢p）∧（￢q） D． p∨（￢q）参考答案：考点： 复合命题的真假．分析： 根据向量的有关概念和性质分别判断p，q的真假，利用复合命题之间的关系即可得到结论．解答： 解：若?=0，?=0，则?=?，即（﹣）?=0，则?=0不一定成立，故命题p为假命题，若∥，∥，则∥平行，故命题q为真命题，则p∨q，为真命题，p∧q，（￢p）∧（￢q），p∨（￢q）都为假命题，故选：A．点评： 本题主要考查复合命题之间的判断，利用向量的有关概念和性质分别判断p，q的真假是解决本题的关键．4.命题“函数是偶函数”的否定是

A.

B.，

C.，

D.参考答案：A略5.已知奇函数在上单调递减，且，则不等式＞0的解集是（）

A.

B.

C.

D.参考答案：B6.点P在双曲线上，F1，F2是这条双曲线的两个焦点，∠F1PF2＝90°，且△F1PF2的三条边长成等差数列，则此双曲线的离心率是()A．2

B．3

C．4

D．5参考答案：D7.已知圆C：上存在两点关于直线：对称，经过点作圆的两条切线，切点分别为，，则A．3

B．

C．

D．参考答案：D考点：直线与圆的位置关系圆C：的圆心C为（1,2），半径为2.

因为圆上存在两点关于直线l对称，所以直线过圆心，即：

所以m=-1.所以M（-1，-1），所以

又CP=2，CQ=2，MP=3，MQ=3.设PQ的中点为H，

在直角中，故2PH=。

故答案为：D8.一个几何体的三视图如图所示，且其侧（左）视图是一个等边三角形，则这个几何体的体积为A．B．C．D．参考答案：B9.等比数列{an}中，是关于x的方程的两个实根，则（

）．A．8 B．－8 C．4 D．8或－8参考答案：B是关于x的方程的两实根，所以，由得，所以，即，所以.故选B10.若关于的方程存在三个不等实根，则实数a的取值范围是A. B.

C. D.参考答案：C由题意知，令，的两根一正一负，由的图象可知，，解得.故选C.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知变量、满足则的最大值为__________。参考答案：答案：1解析：作出线性约束区域，目标函数求最值。12.如图，正四棱柱的底面边长，若直线与底面所成的角的大小为，则正四棱柱的侧面积为

.参考答案：32略13.已知三棱锥P-ABC的三条侧棱PA，PB，PC两两互相垂直，且,则该三棱锥的外接球的体积为

．

参考答案：

－1

14.已知函数，若存在，，当时，，则的取值范围是________．参考答案：15.实数x，y满足条件，则的最大值为

．参考答案：略16.在直角三角形中，，，点是斜边上的一个三等分点，则

．参考答案：由题意知三角形为等腰直角三角形。因为是斜边上的一个三等分点，所以，所以，所以，，所以。17.若存在实数使成立，则实数的取值范围是_________．参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（12分）已知四棱台ABCD﹣A1B1C1D1的上下底面分别是边长为2和4的正方形，AA1=4且AA1⊥底面ABCD，点P为AA1的中点．（1）求证：AB1⊥平面PBC；（2）在BC上找一点Q，使得PQ∥平面CDD1C1，并求三棱锥P﹣QBB1的体积．参考答案：【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定．【分析】（1）由AA1⊥底面ABCD，可得AA1⊥BC，结合ABCD为正方形，可得AB1⊥BC，再由△ABP≌△A1AB1，得AB1⊥BP，然后利用线面垂直的判定可得AB1⊥平面PBC；（2）取DD1中点M，连接PM，CM，在BC上取点Q，使CQ=PM=3，则CQ∥PM，得到四边形PQCM为平行四边形，则PQ∥CM，从而得到PQ∥面CC1D1D．然后求出，利用求得三棱锥P﹣QBB1的体积．【解答】（1）证明：∵AA1⊥底面ABCD，BC?面ABCD，∴AA1⊥BC，∵ABCD为正方形，∴AB⊥BC，则BC⊥面AA1B1B，∵AB1?面AA1B1B，∴AB1⊥BC，∵A1B1=AP=2，A1A=AB=4，∠B1A1A=∠PAB=90°，∴△ABP≌△A1AB1，可得AB1⊥BP．∵BP∩BC=B，∴AB1⊥平面PBC；（2）解：取DD1中点M，连接PM，CM，在BC上取点Q，使CQ=PM=3，则CQ∥PM，∴四边形PQCM为平行四边形，得PQ∥CM．∴PQ∥面CC1D1D．∵PQCM为平行四边形，∴（A1D1+AD）=3，则BQ=1．又=．∴=．【点评】本题考查直线与平面垂直的判定，考查空间想象能力和思维能力，训练了利用等积法求多面体的体积，是中档题．19.已知向量。

（1）求的最小正周期和单调减区间；

（2）将函数的图象向右平移个单位，再将所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象，在△ABC中，角A、B、C的对边分别为，若，求的值。参考答案：解：（1）∵向量=（cosx+sinx，2cosx），=（cosx﹣sinx，﹣sinx）．f（x）=?=COS2x﹣sin2x=sin（2x+），∴函数的周期为=π，∵2kπ+≤2x+2kπ，k∈z，∴kπ﹣≤x≤kπ+，k∈z，所以函数的周期为=π，[kπ，kπ]，k∈z（2）∵将函数y=f（x）的图象向右平移个单位，再将所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，∴g（x）=cosx，∵f（）=0，g（B）=，b=2，∴sin（A+）=0，COSB=，∵在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，∴A=，B=∵，b=2∴得：，即a=，略20.（本小题满分14分）已知函数（Ⅰ）当时，求函数的极值；（Ⅱ）求函数在（为自然对数的底数）上的最大值；（Ⅲ）对任意给定的正实数，曲线上是否存在两点，使得△是以为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在轴上？参考答案：（Ⅰ）（Ⅱ）①由（1）知当时，在处取得极大值．又，所以在上的最大值为2．……4分②当时，，当时，；当时，在上单调递增，所以在上的最大值为．所以当时，在上的最大值为；当时，在上的最大值为2.……8分

（Ⅲ）假设曲线上存在两点，使得是以为直角顶点的直角三角形，则只能在轴的两侧，不妨设，则，且．因为是以为直角顶点的直角三角形，所以，即：（1）……10分是否存在点等价于方程（1）是否有解．若，则，代入方程（1）得：，此方程无实数解．若，则，代入方程（1）得到：，……12分设，则在上恒成立．所以在上单调递增，从而，所以当时，方程有解，即方程（1）有解．所以，对任意给定的正实数，曲线上存在两点，使得是以为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在轴上．……14分21.（本小题满分12分）设函数f（1）讨论函数f(x)的极值点；（2）求经过点(0,－1)且与函数g(x)的图象相切的直线方程；（3）令h(x)＝f(x)+g(x)，若不等式上恒成立，求实数t的取值范围。参考答案：（1）

……1分i）若，，则无极值点；

……2分ii）若令又，

则时，单调递减；时，单调递增，故的极小值点为；

……3分当时，单调递增；时，单调递减，故的极大值点为；

……4分

（2）设切点为，则则切线的方程为代入点得故切线的方程为

……8分（3）方法1：对上恒成立即对恒成立

……9分

令易知在上恒成立从而在上单调递增，，故

……12分

方法2：成立，则

……7分由得在递减，且此时……10分从而在递减，只需满足……11分故

……12分22.已知函数(Ⅰ)若函数的最小值