2022年高考数学考前试题

2022年高考数学考前试题

1.如图，在正四棱柱ABCQ-4BiCi£)i中，点M在棱BBi上，AMLAiM.

(I)证明：AM±DiM；

(II)若M是881的中点，求直线0M与平面AOM所成角的正弦值.

【分析】(I)利用线面垂直的性质可得DiAiLAM,又AiMLAM,由线面垂直的判定

定理可证明AM,平面AOM,即可证明结论；

(II)建立合适的空间直角坐标系，求出所需点的坐标和向量的坐标，然后利用待定系

数法求出平面AOM的法向量，由向量的夹角公式求解即可.

【解答】(I)证明：因为。i4_L平面A8B1A1,AMu平面ABBiAi,

所以。

又D\A\QA\M=A\,D\A\,AiMu平面

所以平面AiGM,

又DiMu平面ADM,

所以AM_L£>iM；

(II)解：设AB=1,BB\=b,

由题意可得，DD\,AD,OC两两互相垂直，建立空间直角坐标系如图所示，

b

则4(1,0,0),Ai(1,0,/?),M(1,1,-),

2

th-*h

所以4M=(0,1,全，ArM=(0,1,全，

因为

TT后

所以4M4M=1-*=0,

解得b=2,

则。1(0,0,2),D(0,0,0),M(1,1,1),

所以。4=(1,0,0),AM=(0,1,1),DJVf=(1,1,-1),

设平面ACM的一个法向量为蔡=(x,y,z),

Jm-DA=x=0,

{m•AM=y+z=0

令y=1,则z=-1,

所以=(0/1,—1),

。:心心好吧=康=手

顺cos<m,

‘2x43$

所以直线DiM与平面ADM所成角的正弦值为:■.

【点评】本题考查了立体几何的综合应用，涉及了线面垂直的判定定理的应用，线面角

的求解，在求解有关空间角问题的时候，一般会建立合适的空间直角坐标系，将空间角

问题转化为空间向量问题进行研究，属于中档题.

2.如图，正方体的棱长为1,B'CQBC=O,求：

(1)A。与AC所成角的大小；

(2)AO与平面ABC。所成角的正切值.

1

El

【分析】(1)说明AO与4c所成的角就是NOAC.然后求解即可.

(2)作OELBC于E,连接AE.说明OAE为OA与平面4BCC所成的角.然后求解即

可.

(3)说明平面AOB_L平面AOC.推出平面A08与平面AOC所成的角为90°.

【解答】解：(1)-：A'C//AC,

：.AO与所成的角就是/OAC.

平面BC,OCu平面BC,

J.OCLAB,

又OCLBO,ABQBO=B,AB,8Ou平面A8O,

，OCJ_平面ABO.

又OAu平面ABO,AOCA.OA,

万or1

在RtZXAOC中，。。=芋AC=V2,sin^OAC=

ZOAC=30C.

即AO与AC所成角为30°.

(2)如图，作OE_LBC于E,连接AE.

•.・平面8CJ_平面ABC。，平面BCD平面ABCD=BC,OEu平面BC,

；.OE_L平面ABC。，

ZOAE为OA与平面ABCD所成的角.

在RtZ^OAE中，0E=：,AE=J/+8)2=亨，

/.tanz.OAE=器=雪.

V5

即AO与平面ABCD所成角的正切值为

(3)由(1)可知OC_L平面AO8.

又；OCu平面AOC,平面平面AOC.

即平面AOB与平面AOC所成的角为90°.

【点评】本题考查异面直线所成角以及直线与平面所成角的求法，（1）求异面直线所成

的角常用平移转化法（转化为相交直线的夹角）.（2）求直线与平面所成的角常用射影转

化法（即作垂线、找射影）.（3）二面角的平面角的作法常有三种：①定义法；②三垂线

法；③垂面法.

3.如图，长方体A8C£>-AiBiCi。中，AB=y[3AD,E在棱Ci。上，且Ci£=2E£>i,在

平面AiBiCiDi内过点Di作直线/,使得LAE.

（1）在图中画出直线/并说明理由；

（2）若AD=4h，求直线/与平面4BE所成角的正弦值.

【分析】（1）连接81。1，则直线即为所求的直线/.连接4E,推出

又AAiLBiQi，由线面垂直的判定定理可得Bid，平面A4iE,从而证得8i£>i，AE；

（2）以力为原点，建立空间直角坐标系。-孙z如图所示，设40=3,求出。热1与平面

A8E的法向量，由向量的夹角公式即可求解.

【解答】解：（1）连接Bi。，则直线Bid即为所求的直线/.理由如下：

,D1EDA1

连接A1E,因为一^―=二1"二1=7，ZEDiAi=ZD|AiBi=90°,

4v3

所以△E£）I4S/V）|4BI,

故N£>1A1E=/Ai8i£>i，又/Ai3iZ）i+/AiG8i=90°,

所以NDiAiE+N4Oi8i=90°,所以8i£>i_L4E,

又A4i_L平面AlBCDi,BQiU平面AiBiCiDi，所以A4i_LBi£)i，

又AiECA4i=Ai，所以8|£>i_L平面44iE,又AEu平面A4iE,

所以81OL4E,所以直线BiQ即为所求的直线/.

［说明］若连接4E,作D|HJ_4E于”，则直线为所求的直线/.给出相应理由，同

样给至(5分).

(2)以。为原点，建立空间直角坐标系Q-xyz如图所示，

不妨设40=3,则48=3V3,4(3,0,0),8(3,3用,0),E(0,娼,3),D\(0,0,

3),当(3,3vL3),

。4=(3,3V3,0),AB=(0,3取,0),族=(-3,瓜,3),

设平面ABE的法向量/=(x,y,z),则=3'=0,解得｛'二°,

n-AE=—3x+V3y+3z=0%—z

令z=l,得£=(1,0,1)

TTL

设直线1与平面ABE所成角为。，则sin0=|cos<D^1,n>|=.匕%g==苧，