江西省九江市武山初级中学2022-2023学年高二数学理测试题含解析

江西省九江市武山初级中学2022-2023学年高二数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.下列函数是偶函数的是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C2.设若的最小值A．

B．

C．

D．8参考答案：A3.下列计算错误的是（）A.

B.

C.

D.参考答案：C4.设，则是的（

） A．充分但不必要条件

B．必要但不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：A略5.给出下面四个类比结论①把与类比，则有；②把与类比，则有；③实数、，若，则或；类比向量、，若，则或；

④向量，有；类比复数，有.其中类比结论正确的命题个数为（）A.

0

B.

1

C.

2

D.

3参考答案：D略6.一个动圆与定圆：相内切，且与定直线：相切，则此动圆的圆心的轨迹方程是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：D7.定义：如果函数f（x）在[a，b]上存在x1，x2（a＜x1＜x2＜b）满足f'（x1）=，f'（x2）=，则称函数f（x）是[a，b]上的“双中值函数”，已知函数f（x）=2x3﹣x2+m是[0，2a]上“双中值函数”，则实数a的取值范围是（）A．（，） B．（，） C．（，） D．（，1）参考答案：A【考点】函数与方程的综合运用．【分析】根据定义得出=8a2﹣2a，相当于6x2﹣2x=8a2﹣2a在[0，2a]上有两个根，利用二次函数的性质解出a的范围即可．【解答】解：f（x）=2x3﹣x2+m是[0，2a]上的“双中值函数”，∴=8a2﹣2a，∵f'（x）=6x2﹣2x，∴6x2﹣2x=8a2﹣2a在[0，2a]上有两个根，令g（x）=6x2﹣2x﹣8a2+2a，∴△=4+24（8a2﹣2a）＞0，g（0）＞0，g（2a）＞0，2a＞，∴＜a＜．故选A．【点评】考查了新定义类型题的解题方法，重点是对新定义性质的理解．8.右边程序执行后输出的结果是（

）A.

B．

C．

D．参考答案：B9.已知函数，若方程恰有四个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（）A. B. C. D.参考答案：A如图所示,恒过定点,过与函数图像上点连线与函数图像有三个交点,设过点直线与函数图像相切于点,由,切线方程为,过点代入可得,又得,所以,那么.由图像观察知当直线绕定点逆时针转动时,与函数会出现四个交点,出现四个交点的斜率范围,即.此时函数，若方程恰有四个不相等的实数根.故本题答案选A.点睛：本题主要考查函数性质,利用数形结合的方法求参数取值.书籍函数有零点(方程有根),求参数取值常用以下方法(1)直接法:直接根据题目所给的条件,找出参数所需要满足的不等式,通过解不等式确定参数范围;(2)分离参数法:先将参数分离成参数与未知量的等式,将含未知量的等式转化成函数,利用求函数的值域问题来解决;(3)数形结合法:先对解析变形,在同一平面直角坐标系中,画出函数的图像,然后结合图像求解.

10.已知函数，则f(x)的图象在点处的切线方程为A. B. C. D.参考答案：B【分析】先由题求出f（x）的导函数，可得出在点（0，f（0））的斜率，再根据切线公式可得结果.【详解】∵f（x）=，∴f′（x）=，∴f′（0）=-1，f（0）=1，即函数f（x）图象在点（0，1）处的切线斜率为-1，∴图象在点（0，f（0））处的切线方程为y=-x+1，即x+y-1=0．故选：B．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.过点(,4)的直线l经过圆的圆心,则直线L的倾斜角=_____参考答案：略12.顶点在原点，对称轴是坐标轴，且焦点在直线2x+y﹣2=0上的抛物线方程是．参考答案：y2=4x或x2=8y【考点】抛物线的标准方程．【分析】求出已知直线与坐标轴的交点A和B，在焦点分别为A和B的情况下设出抛物线标准方程，对照抛物线焦点坐标的公式求待定系数，即可得到相应抛物线的方程．【解答】解：直线2x+y﹣2=0交x轴于点A（1，0），与y轴交于点B（0，2）；①当抛物线的焦点在A点时，设方程为y2=2px，可得2p=4，∴抛物线方程为y2=4x；②当抛物线的焦点在B点时，设方程为x2=2py，可得2p=8，∴抛物线方程为x2=8y综上所述，抛物线方程为y2=4x或x2=8y．故答案为：y2=4x或x2=8y．13.曲线在点处的切线方程为_______________参考答案：14.已知偶函数f（x）满足f（x﹣1）=，且当x∈[﹣1，0]时，f（x）=x2，若在区间[﹣1，3]内，函数g（x）=f（x）﹣loga（x+2）有3个零点，则实数a的取值范围

．参考答案：（3，5）【考点】52：函数零点的判定定理．【分析】可得f（x）是周期为2的周期函数．再由f（x）是偶函数，当x∈[﹣1，0]时，f（x）=x2，可得函数在[﹣1，3]上的解析式．根据题意可得函数y=f（x）的图象与y=loga（x+2）有3个交点，即可得实数a的取值范围．【解答】解：∵偶函数f（x）满足，f（x﹣1）=，∴f（x﹣2）=f（x﹣1﹣1）==f（x），∴函数f（x）周期为2，由f（x）是偶函数，当x∈[﹣1，0]时，f（x）=x2，可得当x∈[0，1]时，f（x）=x2，故当x∈[﹣1，1]时，f（x）=x2，当x∈[1，3]时，f（x）=（x﹣2）2．由于函数g（x）=f（x）﹣loga（x+2）有3个零点，故函数y=f（x）的图象与y=loga（x+2）有3个交点，所以可得loga（3+2＜1，且loga（1+2）＞1，解得3＜a＜5，∴实数a的取值范围是（3，5），故答案为：（3，5）．15.若0＜α＜，0＜β＜且tanα＝，tanβ＝，则α＋β的值是________．参考答案：16.若直线与曲线恰有两个不同的的交点，则____________．参考答案：17.六个人排成一排，丙在甲乙两个人中间（不一定相邻）的排法有__________种.参考答案：240略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（文科）已知如图，在三棱锥中，顶点在底面的投影是的垂心.（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）若，，且二面角度数为，求三棱锥的体积的值.

参考答案：（文科）（Ⅰ）连接，并延长交于，连接，并延长交于，连接,由，得，

又是的垂心，可得，而,则，所以；………………4分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，则，所以为二面角的平面角，则有

由，，可知，又，所以在中，因为是垂心，由平面几何可知,所以，则，所以.

………9分略19.已知函数在与时都取得极值．（1）求的值及函数的单调区间；（2）若对，不等式恒成立，求的取值范围．参考答案：21、解：（1）f（x）＝x3＋ax2＋bx＋c，f￠（x）＝3x2＋2ax＋b由f￠（）＝，f￠（1）＝3＋2a＋b＝0得a＝，b＝－2------------3分f￠（x）＝3x2－x－2＝（3x＋2）（x－1），函数f（x）的单调区间如下表：x（－￥，－）－（－，1）1（1，＋￥）f￠（x）＋0－0＋f（x）-极大值ˉ极小值-所以函数f（x）的递增区间是（－￥，－）与（1，＋￥）.递减区间是（－，1）-------------6分（2）f（x）＝x3－x2－2x＋c，x?〔－1，2〕，当x＝－时，f（x）＝＋c为极大值，而f（2）＝2＋c，则f（2）＝2＋c为最大值.-------------9分要使f（x）<c2（x?〔－1，2〕）恒成立，只需c2>f（2）＝2＋c解得c<－1或c>2-------------12分略20.（12分）如图，已知AB为圆O的直径，PA、PC是圆O的切线，A、C为切点，∠BAC=30°，PB交圆O于点D．（1）求∠APC的大小；（2）若PA=，求PD的长．参考答案：（1）∵PA是⊙O的切线，AB为⊙O的直径，∴∠BAP=90°.∵∠BAC=30°，∴∠CAP=∠PAB-∠CAB=60°．…2分∵PA、PC是⊙O的切线，∴PA=PC，∴△PAC是等边三角形.…4分∴…………5分[（2）∵△PAC是等边三角形∴…………6分

∵是⊙的直径∴∠ACB=90°…………………7分

连接BC，在直角中，∵∴……8分[

∴在直角中，…………9分

∵是⊙的切线，∴…………11分

∴，即……………12分21.已知函数f（x）=ax2﹣x﹣lnx（a∈R）．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）当a=1时，证明：（x﹣1）（x2lnx﹣f（x））≥0．参考答案：【考点】利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（I）利用导数的运算法则得出f′（x），通过对a分类讨论，利用一元二次方程与一元二次不等式的关系即可判断出其单调性；（II）利用（I）可得：f（x）≥0，即x+lnx﹣x2≤0，分当0＜x≤1时，x2lnx﹣f（x）≤0，所以（x﹣1）（x2lnx﹣f（x））≥0，当x＞1时，，令φ（x）=lnx+﹣1，利用其导数可得φ（x）＞0，即可得出（x﹣1）（x2lnx﹣f（x））＞0．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（0，+∞），f'（x）=令g（x）=2ax2﹣x﹣1，x∈（0，+∞）（1）当a≤0时，g（x）＜0，此时f'（x）＜0，故f（x）在（0，+∞）上为减函数；（2）当a＞0时，方程2ax2﹣x﹣1=0有两根，且x1＞0，x2＜0，此时当）时，f'（x）＜0，当时，f'（x）＞0，故f（x）在（0，）为减函数，在（）为增函数；所以当a≤0时，函数f（x）的递减区间为（0，+∞），当a＞0时，函数f（x）的递增区间为（），递减区间为（0，）．（Ⅱ）当a=1时，f（x）=x2﹣x﹣lnx，x2lnx﹣f（x）=x2lnx+x+lnx﹣x2，由（Ⅰ）知f（x）在（0，1）为减函数，在（1，+∞）为增函数，所以f（1）=0为f（x）的最小值，即f（x）≥0，所以x+lnx﹣x2≤0，故当0＜x≤1时，x2lnx﹣f（x）≤0，所以（x﹣1）（x2lnx﹣f（x））≥0，当x＞1时，，令φ（x）=lnx+﹣1，则φ'（x）=﹣，所以φ（x