2022届高考数学备战热身卷四(解析)

2022届高考数学·备战热身卷4一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，有一项符合题目要求。）5BR1．已知集合A|x22xB| x 5BRBB5【答案】D5

BA D．ABA|0xAB|0xA

x B|错误；AB，B|已知sincos

3，

a

，则sinacosasinacosa 2 2A．355【答案】D

B． C． D．53555 5355sincos【详解】因为

3，所以tan13，解得tan2．sincos tan1又因为2

a

tan0，所以0a2

．sin2

cos ，所以2 555 52 555sincos ．55下列抛物线中，以点F为焦点的是（ ）A．y24x B．x24y C．y24x D．x24y【答案】A抛物线为Fy22pxp0，p1p2，2∴y24x.一个底面半径为2的圆锥，其内部有一个底面半径为1的内接圆柱，且内接圆柱的体为，则该圆锥的体积为（ ）A．8 【答案】C

B．2 3

C．8 3

D．4 【详解】圆锥与内接圆柱的轴截面如图所示：其中S为圆锥的顶点，O为底面的圆心，H为内接圆柱的上底面的圆心.设内接圆柱的高为h1

，则h1

，故h1

3，hh EH 1设圆锥的高为h，则

1 ，故h2 3，h BO 2所以圆锥的体积为V142 38 3.3 3如图，已知两个模都为10的向量OB，它们的夹角为2

，点C在以O为圆心，10为半径的AB上运动，则CACB的最小值为（ ）A．100100 【答案】A

B．100 C．100 2100 D．100 2【详解】CACB(OAOCOBOC)OAOB(OAOB)OC0100(OAOB)OC要使CACB最小，即(OAOB)OC最大而|OAOB|10 2为定值，|OC|为定值10，只要(OAOB)与OC同向即可使(OAOBOC最大CACB的最小值为100100 2.62022··高三阶段练习若数列an等比数的（ ）

}满足a1

2,则rN*

pr

aapr

”是“{a为nA．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不分也不必要条件【答案】A【详解】不妨设r1，则a

aa

a2a， p

2

}为等比数列；故充分性成立p1 p1

p1 p a np反之若{an

为等比数列，不妨设公比为q

pr

aqpr=2qpr，aa1 p

a2qpr2 4qpr1当q 2时a aa，所以必要性不成立pr pr7．已知随机变量XYX8～（，2，且期望Y，又Y≥）=214【答案】C

，则p=（ 13

38

12【详解】Y~N且P(Y 3)

1，知3，所以EXE3，又2X~B(8,pEX8pp3.8．如图，将平面直角坐标系中的纵轴绕原点8．如图，将平面直角坐标系中的纵轴绕原点O顺时针旋转30后，构成一个斜坐标平面xOy．在此斜坐标平面xOy中，点P作两坐标轴的平行线，分别交两轴于MN两点，则M在Ox轴上表示的数为xN在Oyy．那么以原点O为圆心的单位圆在此斜坐标系下的方程为（）A．x2y2xy10B．x2y2xy10C．x2y2xy10D．x2y2xy10【答案】A【详解】设平面直角坐标系中的点为m,n，其对应斜坐标系中的点为x,y，1则mxycos60x1

y，nysin60

3y，2 2以原点O为圆心的单位圆在平面直角坐标系中的方程为：m2n21，3 1 2 23则x2y2 y 1，整理可得：x2y2xy10. 二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分）9．下列命题中正确的是（ ）xyRxyi2xy2若复数z，z满足z2z20，则zz 01 2 1 2 1 2若复数zz

z22若复数z满足z2，则zi的最大值为22【答案】AD【详解】A：由复数相等知：xyi22i，有xy2，正确；B：若z

1,z

i，有z2z20，错误；1 2 1 2i时，zCi时，z

21z2，错误；zxyiz12O：(x1)2y24zi

O1)2max2z

|OA|2max

，正确.下图是相关变量x,y的散点图，现对这两个变量进行线性相关分析，方案一：根据图中所有数据，得到线性回归方程：ˆbx

，相关系数为r

；方案二：剔除点(10,32)，根据1b2

1xa2

1，相关系数为r2

；则（ ）A．0rr1 2

1 B．0r2

r1 C．1rr1 1

0 D．1r2

r01【答案】A【详解】由散点图分布图可变量x 和y成正相关，所以0r1

1,0r2

1，在剔除点(10,32)b2

xa2

的线性相关程度更强,r2

更接近1.所以0rr1 2

1.在平面直角坐标系中，已知圆K:xk2yk

k2，其中k0，则（ ）2A．圆K过定点 B．圆K的圆心在定直线上 C．圆K与定直线相切 D．圆K与定圆相切BC【详解】对于A选项，圆K的方程可化为x2y22k

xy

3k22

0，x2y20 xy若圆K过定点，则xy0 ，可得k0

，矛盾，A错； 3k202 313k 313k384 33对于C选项，圆心到直线y 的距离为d 33636 22故直线y 3与圆K相切，同理可知，直线y 3与圆K也相切对；对于D选项，设定圆的圆心为a,b，半径为r，设k0，aak2bk2

r

k，化简得222 3k22a2b 2rka2b2r20， 2由二次函数的性质可知，关于k的二次函数f3k2 2ra2b2r2在2ak2ak2bk2

r

2k，化简可得22 3k22a2b 2rka2b2r20， 2由二次函数的性质可知，关于k的二次函数g3k22b 2ra2b2r2在2k0时的值不可能恒为零，舍去.同理可知，当k0时，不存在定圆与圆K相切，D错.1（江苏省泰州中学2021-2022学年高三上学期12月月考数学试题）已知三棱柱ABCAB

A

2,AB2 3，D是B

的中点，点P是线段AD上的动111 1 11 1点，则下列结论正确的是（ ）ABC

外接球的表面积为20π112 71 2 7若直线PB与底面ABC所成角为则sinθ的取值范围为2, 7 AP2AP

所成的角为1 1 43BCAPAPEP－BCE的体积的最小值32【答案】ABDABCBABCAB

外接球，11 11133因为ABC外接圆的半径r 2 2，且33

2ABCAB

外接球的3半径为R，设正三棱柱的高为h＝AA1

12，

111则由R2

h25 2r2R5

，故其表面积为4R220，故A正确； BC的中点FDFDAADFABC，1所以当点PA重合时，

，sinBAA

1AAA112AAA111 1 1 4 2，DFDB2322DFDB2322222 7当点P与D重合时，最大为DBF，sin 7 ，所以sin[127，故B正确；2 7将正三棱柱补成如图所示的直四棱柱，则GAP()APBC所成的角，121AGBC4，AP2 ，21∵GAC 60,∠CAD30，∴GAD90，∴GP

23222=4，11 11 1所以cosGAP

，即GAP4 4

，故C错；因VPABC

123

(23)223PBCE的体积最小，则三棱锥EABC的4体积最大，设BC的中点为F，作出截面如图所示，AP，∴AP⊥EF，∴EAF为直径的圆上，∴点E到底面ABC距离的最大值为1AF1 3233，2 2 2 2 ∴三棱锥PBCE的体积的最小值为

13 (23)2 3，故D正确；333 2 4 233三、填空题（4520）2，则aaaaa2，则aaaaaa1 5 9 n1【答案】4

3 7 11aaa 1 1【详解】因为a3

aq2,a1

aq2,a5

aq2，故9

1 5 aaa

q24.3 7 11若圆锥曲线x2

y2

1

，则 .【答案】4

5 1【详解：若x2 y2 1表示椭圆，则50，得1，5 14

10设离心率为e，则e2

5

，解得1或4，两解均不合题意；若x2

y2

1表示双曲线，则510，得15，5 1设离心率为e，则e2

45

，得1（舍去）或4.已知函数f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数且满足f(x)g(x)2xx，若关于x的方程2|x2022|f(x2022)220有唯一的实数解，则实数的值.【答案】1或12【详解】因为函数f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，所以fxfx,gxgx，g00，f(xg(x)2xxf0g01f01，令hx2

fx22，则hx2

fx222

fx22hx，所以函数hx为偶函数，则函数hx关于y轴对称，则函数hx20222|x2022|f(x2022)22关于x2022对称，因为关于x的方程2|x2022|f(x2022)220有唯一的实数解，所以h20220，即1f0220，即1220，解得1或1.21fxsinx,R)f

0f(x)在上是单调函数，4

28 7则的最大值【答案】7

f0

,

【详解】由

4

，且f(x)在28 7

上是单调函数，易得：28＜4＜7， 且f40，可得当x( ,)时与x( , )均单调， 28 4 4 7可得T

- =

，T

，同理T

-=

，T ，4 4 28 14 7 4 7 4 28 7综上可得：T

2，即：7

222

，可得7，故的最大值是7，四、解答题（670171012分）据工作人员介绍，某个摩天轮直径125米，逆时针方向匀速运行一周约需30分钟低点P处坐上摩天轮（点P与地面的距离忽略不计）试将游客甲离地面的距离表示为坐上摩天轮的时间t的函数；若游客乙在甲后的7.5分钟也在点P的垂直距离首次达到最大？【答案(1)h125125cost,t 0；(2)15分.2 2 15 4125 【解析】(1)圆的半径为r钟的匀速圆周运动，

米，游客甲绕原点按逆时针方向作角速度为 弧度分2 30 15设经过t分钟后甲到达Q，则POQ t，15由三角函数定义知点Qy

1252

sint22则其离地面的距离为h125125sin

125 125

t,t022 2 15 2 2 152(2)可知游客乙离地面的距离ht125125sin

t7.5125125sint，2 2 15其中时间t表示游客甲坐上摩天轮的时间.

22 2 15则甲乙的垂直距离为hht125cos

t125sin

t125 2sin

t ，2 15 2 15 2

15 4当t15 4

2k2

,

，即t

4530k,4

时，甲乙离地面距离达到最大45 45 15所以t 即游客乙坐上摩天轮t7.5 7.5 分钟后甲乙的垂直距离首次达到最4 4 4大.如图，四棱锥SABCD中，ABSABCDE是BS的中点.SD//ACE；ABSABCDAB2120，求三棱锥EASD.【答案】(1)证明见解析；(2)12(1)：连接BD

BDO，连接OE，ABCD是菱形，所以点O是BD的中点，E是BSOE是三角形BDSSD//OE又因为SDACEOEACE，所以SD//ACE.(2)ABCD是菱形，且120，所以ABD1ABC60，2ABAD，所以△ABDAB的中点F，连接SFDFAB，又平面ABS平面ABCD，DF平面ABCD，平面ABS 平面ABCDAB，所以DF面ABS，3在等边△ABD中，DFBDsinABD2sin60 ，3又由ASB的面积S△ASE

1SASEsinASE323

3，所以2V V

1

DF1 3

1.EADS

D

3

3 2 2.a的值，并根据直方图估计该市全体高中学生的测试分数的中位数和平均数（同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表，结果保留一位小数；(2)将频率作为概率，若从该市全体高中学生中抽取4人，记这490XX.【答案】(1)a0.02，中位数为74.3，平均数为74.5；(2)分布列答案见解析，数学期望为2.5(1测试分数位于50,60的频数为40.01100.1抽取个数为：40.1

40，∴测试分数位于80,9040101448，a设由直方图估计分数的中位数为t，则有：t700.0350.50.10.25，解得：t74.3，估计平均数为：550.1650.25750.35850.2950.155100.25200.35300.2400.174.5.

8100.02.4090分的频率为：4

1，∴X0,1,2,3,4，

B4,1，40 10

10即PXiCi1i94i（i0,1,2,3,4）, 10410 10∴X的分布列为：X01234P0.65610.29160.04860.00360.0001∵X B4,1，∴EX412.已知Sn

10为数列an

10 5的前na1

3，

n1

14a.n求数列n

的通项公式；的前n项和T．n①bSn

aan2a1

；②bn

n nn2n210n1324n22 aa .2 n1

n1

n n1n T1n

1 1 n(1)an22n1；(2)选①，

；选②，T .n 3

n

n 9 n32【解析】(1)由a1

3，

n1

14an

S2

14a1

12S2

aa1

3a2

11，解得：a28；当n2时，Sn

14a

n1

，则an1

n1

1Sn

14an

4a ，n1a 2a2a2a ，n1 n n n1数列an1

2an

是以a2

2a1a

2为首项，2为公比的等比数列，aa 2a 22n12n

n1 n 1，n1 na a

2n 2n1数列 n是以13为首项，1为公差的等差数列，2n 20an 311n2，a2n1

n22n1；(2)若选①，由得：S 4a122n11，n1 na 4

n4

1 1b

n2

，n S 1a

22n1n32n

2n2n

2n1

n2

n3T

n11

n11 1

1 1

1

1 1n 203 4 4 225 225 236 2n12 2n3 1

1 1

1 ；203 2n

n3 3

n3若选②，由

n2n210n1324n2 n2n210n13 n 1 1

n22n3224n

n22n32nn2

n321 1 1 1 1 1 1 1 1当n为偶数时，T

n 32 42 42 52 52 62

n

n2

n221 1 1 1 1；n32 2 n32 n32 1

当n为奇数时，Tn

Tn1

a n1

n4

9 n32 n42 9 n32；1 n 综上所述：T nN.n 9 n32已知双曲线C:x2a2

y2b2

1a0,b0的右焦点为F2,0，点F到C的渐近线的距离为1.C.3若直线l1

CPl1

与直线l2

:x

2交于点Q，问x轴上是否存在定点M，使得MPMQ？若存在，求出M点坐标；若不存在，请说明理由.【答案】(1)x23

y21；(2)存在定点M(1)由题意，双曲线Cx2a2

y2b2

1a0,b0的渐近线方程为bxay0，又由双曲线C的右焦点为F2,0，可得c2，所以F2,0到渐近线的距离a2b2a2b2

2bb1，c所以a2

c2b2

3，所以C的方程为 y21.x23x2(2)由题意易知直线l1

的斜率存在，设其方程为ykxm， 联立l1

Cy，得21x26kmx3m230，3k210因为直线l与C的右支相切，所以 （双曲线右支上的点需满足的条件）1 km0 36k2m21221 m21

m21

0，得m23k21，则m0，设切点Px,y

，则x

6km

，ykxm3k2

mm22

1，1 1 1

23k21

m 1 1

m m m设Qxy

，因为Q是直线l

与直线l

的交点，所以x

3，

km，32 2 1 2 2 2 2 23假设x轴上存在定点Mx

,0，使得MPMQ，MPMPMQ则 x,yx

x,

xxxxyy1 0 1

2 0

1 0 2 0 12xx

y

xx,

x29k

3k1x

3 3k 12 12

0 1 1

2m

02 m 03x2 x13kx213

22x13kx

2x2x

13k，0 2 0 m 0 2

0 m

0

2 m故存在x02，使得MPMQ0，即MPMQ，x轴上存在定点M，使得MPMQ.22．已知函数fxx223x1ln1mx，gxx22xa1alnx4. mx mx当m2fx在的单调区间；当a8m0,x0

fx0

gm1成立，求实数a.（ln2