2022年河南省许昌平顶山两市高考数学三模试卷含解析

2022年高考数学模拟试卷注意事项：2B2B一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。设复数z满足zA．x22y1

zz1，z在复平面内对应的点的坐标为x,y则（ ）2B．y22x1C．x22y1已知奇函数

fxR

D．y22x1f(m)f(n2)mn满足不等式组f(mn1)0f(m)0

，则2mn的最小值为（ ）A．-4 B．-2

C．0 D．4 f(x)sin24

x 3

xcos4 4

x，则f(1)f(2)...f(2020)的值等于（ ）A．2018

B．1009 C．1010ln(x1),x0

D．2020已知函数f(x)1 ，若mn,且f(m)f(n)，则nm的取值范围为（ ）2x1,x0A．[32ln2,2) B．[32ln2,2] C．[e1,2) D．[e1,2]ln(2x),x 1,f(x)x21,x

若f(x)axa 0恒成立，则实数a的取值范围是（ ）A．A． 2

B．[0,1] ) D．[0,2]在等差数列

4,

8，则a

（）n 2 4 7A．8 B．12 C．14 D．10欧拉公式为eixcosxisinxi虚数单位是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，数学中的天桥e3i表示的复数位于复平面中的（ ）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限已知数列n

}为等比数列，若a a a6 7

26，且aa5 9

36，则111aaa6 7 aaa

（ ）A．1318

B．13或19 C．13 D．1318 36 9 69．已知集合AB{x|2x2}，则A B等于（ ）．2 ．2,1,0,1,2} ．2,,0,1,2,3．2方程2(x1)sinx10在区间内的所有解之和等于( )A．4 B．6 C．8 pxR使sinx1x成立．则为（）2xR,sinx

1x均成立2xR,sinx

1x均成立2xR使sinx

1x成立2

xR使sinx

1x成立2已知集合

），则A x|x2 1,B x|3x1 A B，则RA．{x|x0}

B．{x|0 x C．{x|x0}

D．{x|x 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。过直线4x3y100Px2y2

1的两条切线切点分别为A，B则PAPB的最小值是 .若函数f(x)2x2a4xa在区间(2,)上有且仅有一个零点，则实数a的取值范围有 .

2,n2k1,kN已知数列a

的前n

,a1,

2,a

n

,则满足2019S

3000的正整n n 1数m的所有取值为 ．

2 n2

2a,n2k,kN mn已知数列n

满足a1

2a23

nan

2nan

．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12分）在三棱锥 中， 为棱 的中点，(I)证明：(II)求直线

；与平面 所成角的正弦值.OP1OF，经18（12分）已知F是抛物线C:y22pxp0的焦点，点P在xOP1OF，经4过点P且垂直于x轴的直线与抛物线C交于A、B两点，且AB8.求抛物线C的方程；直线l与抛物线CMN两点，若OMON64F到直线l的最大距离.AB AB19（12分）ABC的内角,B,C的对边分别为a,b,c，若2sin2

2cos2 2cosAcosB2 2CACB 38（CACB 38（2）若c4,

，求的周长20（12分）已知在ABC中，角A，

C的对边分别为abccosBcosCb c

sinA33sinC求b的值；若cosB 3sinB2，求面积的最大.21（12分）已知抛物线＝2p（＞，焦点F到准线的距离为，抛物线E上的两个动点（x）和（x2，2，其中x1x2且x1x＝1．线段AB的垂直平分线与x轴交于点．E的方程；求△ABC面积的最大值．22（10分）在平面直角坐标系B两点.

xt中，直线l的参数方程为y

(t为参数，直线l与曲线C:x2y21交于求AB的长；在以O为极点轴的正半轴为极轴建立的极坐标系中设点P的极坐标为2 2,3求点P到线段AB中点M 4 4的距离.参考答案125601．B【解析】根据共轭复数定义及复数模的求法，代入化简即可求解.【详解】z在复平面内对应的点的坐标为x,y，则zxyi，zxyi，zz∵z2x2x2y2

1

x1，y22x1.【点睛】本题考查复数对应点坐标的几何意义，复数模的求法及共轭复数的概念，属于基础题.2．B【解析】根据函数的奇偶性和单调性得到可行域，画出可行域和目标函数，根据目标函数的几何意义平移得到答案.【详解】奇函数fx是

R上的减函数，则

f00

m2n，且mn1m0

，画出可行域和目标函数，z2mn，即n2mz，z表示直线与y轴截距的相反数，根据平移得到：当直线过点0,2，即m0.n2时，z2mn有最小值为2.故选：B.【点睛】本题考查了函数的单调性和奇偶性，线性规划问题，意在考查学生的综合应用能力，画出图像是解题的关键.3．C【解析】首先，根据二倍角公式和辅助角公式化简函数解析式，根据所求函数的周期性，得到其周期为4，然后借助于三角函数的周期性确定其值即可．【详解】解：f(x)sin24

x 3sin4

xcos x．41(1cosx) 3sinx2 2 2 2 1sin( x ) ，2 6 2f(x)

1sin( x ) 2 6 22f(x)的周期为T 4，2f1

，f21，f31 3，f40，2 2f1f2f3f42．ff2 f2020505ff2f3f450521010故选：C【点睛】中档题．4．A【解析】分析：作出函数fx的图象，利用消元法转化为关于n的函数，构造函数求得函数的导数，利用导数研究函数的单调性与最值，即可得到结论.fx的图象，如图所示，若mnfmf(n，则当ln(x1)1x1exe1，则满足0ne1,2m0，则ln(n1)

1m1mln(n1)2，则nmn22ln(n1)，2设hnn22ln(n1),0ne1，则hn1 2

n1，n1 n1hn0，解得1ne1hn0，解得0n1，n1时，函数hn取得最小值h122ln(11)32ln2，n0h022ln12；ne1h1e122ln(e11)e12，所以32ln2h(n2，即nm的取值范围是[32ln2,2)A.中档试题.5．D【解析】由f(x)axa 0恒成立，等价于yf(x)|的图像在ya(x1)的图像的上方，然后作出两个函数的图像，利用数形结合的方法求解答.【详解】ln(2x),x 因为f(x)x21,x1,

由f(x) a(x1)恒成立分别作出yf(x)|及ya(x1)的图象由图知当a0时，不符合题意，只须考a 0的情形，当ya(x1)与yf(x)(x 1)图象相切于(1,0)时，由导数几何意义，此a(x2故选：D

1)| 2，故0 a 2.x1【点睛】此题考查的是函数中恒成立问题，利用了数形结合的思想，属于难题.6．C【解析】aa2

分别用a1

和d的形式表示，然后求解出a1

d的值即可表示a.7【详解】设等差数列

的首项为a，公差为d，n 1ad4,则由a 4，a 8，得1

2，d2，2 4 a1

8, 1所以a7

a6d14．故选C．1【点睛】本题考查等差数列的基本量的求解，难度较易.已知等差数列的任意两项的值，可通过构建a1

和d.7．A【解析】3计算ei3

cosisin1 i，得到答案.33 3 2 23【详解】

3i 13根据题意eixcosxisinx，故e3 A.

isin i.3 3 2 2【点睛】本题考查了复数的计算，意在考查学生的计算能力和理解能力.8．A【解析】根据等比数列的性质可得aa5 9

aa6

a27

36，通分化简即可.【详解】由题意，数列a

为等比数列，则a

aa a2

36，n 5

6 8 7又a6a7

26aa6 8

26a，6，76，1 1 1 a

a

a

36

a

a 36

26a8所以，a a a 786 7 8

7aaa6 7 8

7 6 8 36a7

7 736a736

26

3626

a2

3626

36 26a 13777 7 7 77736a

7 .36a 36a 36a 187故选：A.

7 7 7【点睛】本题考查了等比数列的性质，考查了推理能力与运算能力，属于基础题.9．A【解析】进行交集的运算即可．【详解】A{0，1，2，3}，B{x|x 2}，A B{0，12}A．【点睛】本题主要考查了列举法、描述法的定义，考查了交集的定义及运算，考查了计算能力，属于基础题．10．C【解析】画出函数ysin和y 1 的图像，ysin和y 1

均关于点.2(x1) 2(x1)【详解】2(x1)sinx10，验证知x1不成立，故sinx 1 ，2(x1)画出函数ysin和y 1 的图像，2(x1)易知：ysin和y 1 均关于点中心对称，图像共有8个交点，2(x1)故所有解之和等于428C.【点睛】本题考查了方程解的问题，意在考查学生的计算能力和应用能力，确定函数关于点1,0中心对称是解题的关键.11．A【解析】试题分析：原命题为特称命题，故其否定为全称命题，即pxR,sinxx．2考点：全称命题.12．DBR先求出集合A，B，再求集合B的补集，然后求A【详解】Ax|1 xBx|x0}，所以A故选：D

B{x|x .R【点睛】此题考查的是集合的并集、补集运算，属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。313．2【解析】PAPBPAxAPO，进而表示cos，由图像观察可知POd 进而求出x的范围，再用x,的式子表示PAPB，整理后利用换元法与双勾函数求出最小.Ol【详解】x由题可知，PAPB，设PAx,APO，由切线的性质可知PO x21，则xx21cosx21

,cos2

x2x21PO

Ol

2，则

2x

x

（舍去）40304030104232x2133因为PAPBPAPBcosAPOx2cos2x2

2cos21

x2

x21 2 2x2

2x212

2 2x21 x2 x2 x2 2 x21 3 x21 x21 x21 x21 x21令tx21,t4PAPBt23，由双勾函数单调性可知其在区间4,上单调递增，所以tPBmin

42334 23故答案为：2【点睛】本题考查在以直线与圆的位置关系为背景下求向量数量积的最值问题，应用函数形式表示所求式子，进而利用分析函数单调性或基本不等式求得最值，属于较难题.14a0a12【解析】f(x2x2a

4x

的零点2x2a

4xa

4a，x121

0，从而可得4a04aa0或a1.2【详解】f(x2x2a

4x

在区间(2,方程2x2a

4xa

在区间(2,)的根，所以|x2a|2|xa|，x1

4a，x2

0，f(x)2x2a

4x

在区间(2,)上有且仅有一个零点，04a，即a0a1.2【点睛】15．20,21【解析】由题意知数列a值检验即可.

奇数项和偶数项分别为等差数列和等比数列,则根据n为奇数和n为偶数分别算出求和公式,代入数n【详解】n解:由题意知数列an

的奇数项构成公差为2的等差数列,偶数项构成公比为2的等比数列, k 则 [112(k

12;S2k

2kk222 12[112(k2kS 2k 2 12

2k1k22.当k10时, S19当k11时, S

10221122,S2022167,S

10222146.24215.21 22由此可知,满足2019Sm3000的正整数m的所有取值为20,21.故答案为:20,21【点睛】本题考查等差数列与等比数列通项与求和公式,是综合题,分清奇数项和偶数项是解题的关键.2,n116．a 2n11nnn

,n2【解析】项和转化可得na n

2n12n1(n2)，讨论n1是否满足，分段表示即得解【详解】n1时，由已知，可得a1

2，∵a2a1 3

nan

2n，①故a2a1 3

n

2n1n2，②由①-②得na n

2n

2n1，∴a n

2n1n ．显然当n1时不满足上式，2,n1∴a 2n11nnn

,n2

2,n12n11nn

,n2【点睛】Sa.n n三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。证明见解析；(II)【解析】过作【详解】

于，连接于

，根据勾股定理得平面 ，故

，为直线

得到与平面

平面 ，得到证明.所成角，计算夹角得到答(I)过作 于，连接 ，根据角度的垂直关系易知：， ， ，故 ，， .根据余弦定理： ，解得 ，故 ，故 ， ，，故平面，平面，故 .(II)过点作 于，平面 ， 平面，故，，，故 平面 ，故

为直线 与平面

所成角，，根据余弦定理： ，故 .【点睛】本题考查了线线垂直，线面夹角，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.18（）y

16x（）4.【解析】求得点PABAB8p的值，进而可得出抛物线的方程；Mx

，Nx,

，设lxmyn，将直线l的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，1 1 2 2结合OMON64求得n的值，可得出直线lF到直线l的最大距离.【详解】Fp,0，又OP

1OF，所以点Pp,0，则直线AB的方程为xp.22xp

x

4p xp8 8

8 88p p

8 ，解得

或 ，所以AB p8.y22px

y

p yp2 2

2 2故抛物线C的方程为y2

16x；设l

xmy

y216x，联立 有y216my16n0，xmynMx

，Nx,

y

16n

x

yy 12

n2.1 1 2 2 1 2

12 256所以OMONxxy

n216n64，解得n8.12 12所以直线lxmy8，恒过点.F4,0，故当直线lxF到直线l的最大距离为4.【点睛】本题考查抛物线方程的求解，同时也考查了抛物线中最值问题的求解，涉及韦达定理设而不求法的应用，考查运算求解能力，属于中等题.19（）C6（）11【解析】利用二倍角公式将式子化简成1cosAB1cosAB2cosAcosB可求解.利用余弦定理可得c2a2b2ab16

CACB 38a2b2CACB 38从而可求周长.【详解】1由题2sin2AB2cos2AB2cosAcosB2 21cosAB1cosAB2cosAcosB22cosAB22cosC1解得cosC1，所以C6022c2a2b2ab16，再由CACB2a2b2ab38解得：a2b227,ab11所以49,ab的周长为11【点睛】3 34本题主要考查了余弦定理解三角形、两角和与差的余弦公式、需熟记公式，属于基础题3 34320．(1)b3

;(2) .【解析】cosB（）在式子

cosC

3sinA中运用正弦、余弦定理后可得b

3（2）由cosB 3siB2经三角3B3S1acsinB

b c 3sinC，然后运用余弦定理可得3a2c2ac2acacacac3，故得3 3．3 32 4a2c2b2详解：(1)由题意及正、余弦定理得

a2b2c2 3a，整理得

2a2 3a，

2abc 2abc 2abc 3∴b3（2）由题意得cosB 3sinB2sinB2，∴sin(B+6

6 6=1，∵B0,，∴B，6 2∴B.3由余弦定理得b2a2c22accosB，∴3a2c2ac2acacac，3ac3，当且仅当ac3

时等号成立．∴S

1acsinB13 ．33 32 2 2 433 33 34∴3 34（）正、余弦定理经常与三角形的面积综合在一起考查，解题时要注意整体代换的应用，如余弦定理中常用的a2c2

(ac)22ac，这样自然地与三角形的面积公式结合在一起．（2）运用基本不等式求最值时，要注意等号成立的条件，在解题中必须要注明．14 721（）＝6（） ．14 73【解析】根据抛物线定义，写出焦点坐标和准线方程，列方程即可得解；|AB|.【详解】抛物线＝2p（＞，焦点6x；

p，0）x2

p3p＝3y2＝2设线段AB的中点为（x，，则

xx 1 22，xx020yy

yy yy 2 1 2

6 3y 1

2，k

xx

y2 y2 yy y，0 2 AB 2 1

2 1

1 2 06 6ABy﹣y0

y0﹣，①3可得x＝5，y＝0是①的一个解，所以AB的垂直平分线与x轴的交点C为定点，3 y且点（，，由①可得直线AB的方程为﹣y （x﹣，即x 0﹣y）+2 ②0 y 3 000代入y2＝6x可得y2＝2y0（y﹣y0）+12，即y2﹣2y0y+2y2＝0 由题意y1，y2是方程③的两个实根，且y1≠y2，030 0 0 所以△＝1y2﹣1（2y2﹣12）＝﹣1y2+18＞0，解得﹣2 y＜2 ，30 0 0