2022年江西省江西师大附中高考数学五模试卷含解析

2021-2022高考数学模拟试卷注意事项：2B2．作答2B一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．已知函数fxcosxsin2x，下列结论不正确的是（ ）A．yfx的图像关于点,0中心对称B．yfx既是奇函数，又是周期函数Cyfxx2

对称 D．yfx的最大值是32过抛物线C的焦点且与C的对称轴垂直的直线l与C交于AB|AB4P为CABP的面积为（ ）A．1 B．2 C．4 D．8S

是等差数列a

的前n

aS，a

6S

（ ）n n 3 1 2 4 5A．5 B．10

C．15

D．20n2n2个数填入nn方格中，使得每行、每列、每条对角线上nf(n)为nf(3)15f(10)（ ）A．55 B．500 C．505 D．5050若izsinA．第一象限 B．第二象限

icos 的共轭复数z在复平面内对应的点位于（ ）3 3C．第三象限 D．第四象限将函数f(x)=sin3x- 3cos3x+1的图象向左平

个单位长度，得到函数g(x)的图象，给出下列关于g(x)的结论：6②它的最小正周期为311

5对称；9；③它的图象关于点( ，1)对称；18④它在[

， ]上单调递增.3 9其中所有正确结论的编号是（ ）A．①② B．②③ C．①②④ D．②③④3xAxZA．{﹣1，0，1，2，3}

x

0}，B＝{y∈N|y＝x﹣1，x∈A}，则A∪B＝（ ）B．{﹣1，0，1，2} C．{0，1，2}D．{x﹣1≤x≤2}2x

n n若

的二项式展开式中二项式系数的和为32，则正整数x

的值为（ ）A．7 B．6 C．5 D．4BC是单位圆O上不同的三点，线段OCAB交于圆内一点M，若OCmOAnOB,(m0,n0),mn2，则AOB的最小值为（ ）6

C．3 2a a a

D．31已知数列a，1 a1

，2

，…，

nan1

是首项为8，公比为2得等比数列，则a3等于（ ）A．64已知角

B．32 C．2 D．4的顶点与坐标原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P(3,4)，则

的4tan2 4 值为（ ）A．24

B．17

C．24 D．177 31 7 31已知集合A xylgsinx 9x2 ，则f(x)cos2xA的值域为（ ） 3

3

1

2 A．2

B．1,2

C．1,2

D． 2,2

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。6ABCDABCDMBCPDCC

，所在平面内的动点，且满足11 1 1 1 1APDMPC，则三棱锥PBCD的体积的最大值.已知等差数列n

n

n，若Sn3

6,S6

8，则S9

.12个正方形所组成，如图所示今想用长方形瓷砖铺满地面，已知每一块长方形瓷砖可以覆盖两块相邻的正方形，即 或 ，则用6块瓷砖铺满房间地面的方法种.16F(3,0)

(3,0)为双曲线C

y2

0,b0)的左、右焦点，双曲线CP满足1 2 a2 b2|PF1

2|PF2

|，则b的最大值为 ．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12分）已知函数fxalxb(a,b为实数)的图像在点1,f处的切线方程为yx1.abfx的单调区间；gxfx1g

gx

(x

x)xx

2.x 1 2 1 2 1 218（12分）已知数列

nS

，且满足2S

(nN)．求数列n

n 1的通项公式；

n n n 记ba2，若数列的取值范围．n n n1,1 (0,1)分别变换为点9,2，1,1 (0,1)分别变换为点9,2，3,4242M；M的特征值．20（12分）在ABC中，角，C的对边分别为，，，且bsin(AB)csinB；

AC.23若ABC的面积为 ，周长为8，求b.321（12分）已知函数fxx2ax11，aR.当a4fx的值域；x0

fx0

ax0

1，求实数a的取值范围. ：22（10分已知椭圆C x ：

y2

1ab0F

2,1在椭圆C

4，a2 b2

1 2 1 2O为坐标原点，直线l与直线OMAB两点MAMBxDE.求椭圆C的标准方程；ODOE为定值.参考答案125601、D【解析】通过三角函数的对称性以及周期性，函数的最值判断选项的正误即可得到结果．【详解】A:fxx)sinxcosxsin2xf(x)，正确；B:f(xcos(x)sin2(xcosxsin2xf(x，为奇函数，周期函数，正确；C:f(x)cos(x)sin2(x)cosxsin2xf(x)，正确；D：y2sinxcos2x2sinx2sin3x，令tsinxtg2t3gt26t2t[1，1]，则33gt033

gt0 g

, 33t 时333 3

，1t33333

或1t 时3

，即 在 3 3上单调递增，在

33和3

3,1上单调递减；3 3且g 3

，g10，y g

，故D错误．33 93

max 3 9 24 334 3 4 334 3故选：D．【点睛】2、C【解析】设抛物线的解析式y2

2pxp0)Fp,0xxp

，这样可设A点坐标为22 22 p,2，代入抛物线方程可求得p，而P到直线AB的距离为p，从而可求得三角形面积． 2 2【详解】设抛物线的解析式y2

2px(p0)，则焦点为Fp,0，对称轴为x轴，准线为xp， 22 22∵直线lAB是l与C的交点，又ABx轴，∴可设A点坐标为p,2，y2

2 22px，解得p2，PPABABD|DP

p p2，p22p2∴S 1|DP||AB|1244.ABP 2 2故应选C.【点睛】A点坐标，从而求得参数p般．3、C【解析】利用等差通项，设出a

和dS即可1 5【详解】令a

1d，则

32da

aa

d，

3d6，∴

3，d3，n 1 1 2

1 1 1 1 1∴S5310315.5【点睛】本题考查等差数列的求和问题，属于基础题4、C【解析】

123n2因为幻方的每行、每列、每条对角线上的数的和相等，可得f(n) ，即得解.n【详解】因为幻方的每行、每列、每条对角线上的数的和相等，所以n阶幻方对角线上数的和f(n)就等于每行（或每列）的数的和，又n阶幻方有n行（或n列，123n2因此，f(n) ，n12399100于是f(10)10

505．故选：C【点睛】5、B【解析】由共轭复数的定义得到z，通过三角函数值的正负，以及复数的几何意义即得解【详解】zsin

2icos2，3 3因为sin2

0，cos

10，33 2 3 23所以z在复平面内对应的点位于第二象限．故选：B【点睛】6、B【解析】yAsinωxφg(x)的解析式，再利用正弦函数的对称性、单调区间等相关性质求解即可.【详解】3f(x)=sin3x-3

cos3x+1=2sin(3x)+1yAsinωxφ图象的平移变换公式知，3g(x)=2sin

x ]+1=2sin x

，其最小正周期为T

2，故②正确；[3(+)-(3+ 6 3 6 3[3(+)-(3+ k 令3x+ =kπ+ ，得x= + (k∈Z)，所以x= 不是对称轴，故①错误；6 2 3 9 k

9令3x+ =kπ，得x= - (k∈Z)，取k=2，得x= ，故函数g(x)的图象关于点( ，1)对称，故③正确；6 3 18 18 18

2k 2k

10

13

16

19令2kπ- ≤3x+ ≤2kπ+ 得 - ≤x≤ + ，取k=2，得 ≤x≤

，取k=3，得 ≤x≤ ，2 6 2故④错误；故选：B

3 9 3 9 9 9 9 9【点睛】yAsinωxφ属于中档题、常考题型7、A【解析】解出集合A和B即可求得两个集合的并集.【详解】A{xZ

xx

0}{x∈Z|﹣2＜x≤3}＝{﹣1，0，1，2，3}，B＝{y∈N|y＝x﹣1，x∈A}＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，∴A∪B＝{﹣2，﹣1，0，1，2，3}．故选：A．【点睛】此题考查求集合的并集，关键在于准确求解不等式，根据描述法表示的集合，准确写出集合中的元素.8、C【解析】由二项式系数性质，(ab)n的展开式中所有二项式系数和为2n计算．【详解】2x

2 nx的二项展开式中二项式系数和为2nx

n5．故选：C．【点睛】9、D【解析】由题意得1m2n22mncosAOB，再利用基本不等式即可求解．【详解】将OCmOAnOB平方得1m2n22mncosAOB，1m2n2 1(mn)22mn 3 3 1cosAOB

2mn

2mn

2mn1

mn2( 2

12（当且仅当mn1时等号成立，0AOB，AOB的最小值为2，3故选：D．【点睛】本题主要考查平面向量数量积的应用，考查基本不等式的应用，属于中档题．10、A【解析】根据题意依次计算得到答案.【详解】

8，

a24，故a

32

a32，a

64.1 a1故选：A.

2 a 32【点睛】本题考查了数列值的计算，意在考查学生的计算能力.11、B【解析】tan【详解】

tan24.3 7∵角P(3,4)tan

4，tan

2tan

24. tantan

3 1tan2 7241

4 7 17∴tan244

1tantan

124

.314 7B.【点睛】本题考查了三角函数定义，和差公式，意在考查学生的计算能力.12、A【解析】A0,3fx2sin2x2sinx1，令tg2t21由二次函数的性质即可得值域.【详解】由sinx0 0x39x20

A

，fxcos2x

2sin2x2sinx1

t，

x0,3，tg2t21g在0,1

上递增，在1,1g1,g13

，所以 2

2

2 2 g 3，即fx的值域为 3

2 2 故选A【点睛】本题考查了二次不等式的解法、二次函数最值的求法，换元法要注意新变量的范围，属于中档题3452013、123【解析】RtADPRtMCPPD2PCPPOCD于OOP最值，根据勾股定理得出3h23x248x1440x6.【详解】6ABCDABCD中，11 1 1MBCPDCCD1 1

所在平面内的动点，且满足APDMPC，又ADPMCP90，∴RtADP与RtMCP相似AD ∴

2，即PD2PC，MC PCPPOCD于ODOxPOh，∴x2h22 6x2h2，化简得：3h23x248x144，0x6，x63h236h

23，在正方体中PO平面ABCD .

max三棱锥PBCD体积的最大值为11662 312 33 2【点睛】1442【解析】由S，SS，SS成等差数列，代入S 6,S 8可得S 的值.3 6 3 9 6 3 6 9【详解】解：由等差数列的性质可得：S，S S，S S成等差数列，3 6 3 9 6可得：2(S6

S)SS3 3

SS6

6,S6

8，可得：S 42，9故答案为：42.【点睛】本题主要考查等差数列前n项和的性质，相对不难.15、11【解析】将图形中左侧的两列瓷砖的形状先确定，再由此进行分类，在每一类里面又分按两种形状的瓷砖的数量进行分类，在其中会有相同元素的排列问题，需用到“缩倍法”.采用分类计数原理，求得总的方法数.【详解】先贴如图这块瓷砖，然后再贴剩下的部分，按如下分类：5个 ：5!1，5!3个 ，2个 ：4!4，3!1个 ，4个 ：3!3，2!左侧两列如图贴砖，然后贴剩下的部分：3个 ：3!1，3!1个 ，2个 ：2!2，综上，一共有1431211（种故答案为：11.【点睛】本题考查了分类计数原理，排列问题，其中涉及到相同元素的排列，用到了“缩倍法”的思想.属于中档题.1216、5【解析】Pxy，由|PF1

|2|PF2

|可得(x3)2y24[(x3)2y2]，整理得(x5)2y216，即点P在以(5,0) 为圆心，4F2到双曲线C的渐近线的距离为bC的渐近线与圆(x5)2y216取得最大值，此时b4，解得b12．3 5 5三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1) a1,b0 ;函数fx的单调递减区间为0,1，单调递增区间为1,;(2)详见解析.ee ee 【解析】试题分析（由题得fxa1lxfx在点1,fa,b的值，fx的解析式，即可求解函数的单调区间；（2）由（1）得gxlnx

根据由gx

gx

，整理得

x2

lnx2

0，x 1 2x 1

xx x12 1设2t(t1)，转化为函数u(t)t 的最值，即可作出证.x t1试题解析：（1）由题得，函数fx的定义域为， xalnx，因为曲线fx在点1,f1处的切线方程为yx1， a，所以fal1b

解得a1,b0.0，令 x1lnx0，得x1，e当0x

1时，hx0，fx在区间0,1内单调递减；e ee x1时，hx0，fx在区间1内单调递增.e ee 所以函数fx的单调递减区间为0,1，单调递增区间为1.ee ee （2）由（1）得，gxfx1lnx1.由gx

gx

(x

xxx)，得lnxx

x1lnx

1 x-x，即2

ln 20.1 2 1 2

1 x 2 x1

xx x1 2 1要证 ，需证xx

x2-x

x x x x 2ln 2，即证2 1 11 2 xx x11 2 1

x x x1 2 1x x 设x2t(t1)，则要证2 12ln 2，等价于证：tx x

2lnt(t1).x x x x t1 1 2 1u(t)t12lntt

u't1

1

1120 t2 t ut在区间1,内单调递增，utu0,t12lntxxt 1 2

2.18（1）a n(nN)（2）n 【解析】项和转换可得na

aa，继而得到naa

an1a

11，可得解；n1

n n1 1代入可得bn

n2，由数列n

22n

，令cn

22n

，可证明cn

为递增数列，即c1

，即得解【详解】（1）∵2Sn

n1a，n∴2S 2a ，n1 n1∴2a 2a 1a，n1 n1 n即na

a，∴

a n，n1a a

n n1 na∴n n1 11，n n1 1∴a n(nN)．n （2）bn

3n

n2．b bn1

n1n2nn2=2·3n（2n+．∵数列bn

为递增数列，∴2

10，即

23n2n1．令c n

22n1，cc即n1cn

23n12n16n312n3 22n3．∴．n

为递增数列，∴c1

2，即的取值范围为．【点睛】.3 33 19（1）M 2（2）1或64 4 【解析】c d设Ma b，根据变换可得关于c d 求出特征多项式，再解方程，即可得答案；【详解】

a b

a b 9

a b0

3（1）设M ，则

14，

2，c d

d 2

c d 4 a1b9

2 2 41

a3 3

3c d2

b

3 即 2

，解得 2，则M

2． 3b

c4

4 4d

2 d4

324324（2）Mf(f(f(0，可得1或6．

4

(3)(24)6276，【点睛】本题考查矩阵的求解、矩阵M的特征值，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查运算求解能力.20（1）B【解析】

π）b133 4

ACB；通过正弦定理和内角和定理化简bsin(AB)csinB；2

，再通过二倍角公式即可求出8bb的值.【详解】由三角形内角和定理及诱导公式，得bsinCccosB，2结合正弦定理，得sinBcosB，2由0

Bπ

及二倍角公式，得sinB

1，2 2 2 2即B

π π，故B ；2 6 3由题设，得1acsinB 3，从而ac4，2由余弦定理，得b2a2c22accosB，即b2ac212，又abc8，所以b28b212，13解得b .4【点睛】本题综合考查了正余弦定理，倍角公式，三角形面积公式，属于基础题.21（）9,（）,3. 4【解析】将a4yfxyfx的及解析式变形为分段函数，利用二次函数的基本性质yfx的值域；由参变量分离法得出a

x21

xx1x1

0,2

内有解，分

x

x1,2讨论，求得函数x21x1x1yx1x1【详解】当a4

x

x24x3,x1x24x11 .x24x5,x1当x1时，fxx221,；当x1时，fxx2299,.yfx的值域为9,；fxax1x2ax11ax1，a

x21

xx1x1

0,2

内有解x

x21a

x21

x211,0 当 时，