河北中考数学复习 第3讲

第7页第3讲分式1.(2023，河北)假设a＝2b≠0，那么eq\f(a2－b2,a2－ab)的值为〔eq\f(3,2)〕.【解析】∵a＝2b≠0，∴原式＝eq\f(4b2－b2,4b2－2b2)＝eq\f(3,2).2.(2023，河北)假设eq\f(3－2x,x－1)＝()＋eq\f(1,x－1)，那么()中的数是(B)A.－1 B.－2 C.－3 D.任意实数【解析】eq\f(3－2x,x－1)－eq\f(1,x－1)＝eq\f(2－2x,x－1)＝－2.3.(2023，河北)老师设计了接力游戏，用合作的方式完成分式化简．规那么是每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成化简．过程如下图．第3题图接力中，自己负责的一步出现错误的选项是(D)A.只有乙 B.甲和丁 C.乙和丙 D.乙和丁【解析】eq\f(x2－2x,x－1)÷eq\f(x2,1－x)＝eq\f(x2－2x,x－1)·eq\f(1－x,x2)＝eq\f(x2－2x,x－1)·eq\f(－〔x－1〕,x2)，乙错误.eq\f(x2－2x,x－1)·eq\f(x－1,x2)＝eq\f(x〔x－2〕,x－1)·eq\f(x－1,x2)＝eq\f(x－2,x)，丁错误．分式的概念例1(2023，唐山路北区二模)假设分式eq\f(x2－1,x－1)的值为0，那么x的值为(C)A.0 B.1 C.－1 D.±1【解析】分式值为0的条件是x2－1＝0且x－1≠0.解得x＝－1.针对训练1(2023，石家庄质检)假设分式eq\f(1,x－1)有意义，那么x的取值范围是(B)A.x＝1 B.x≠1 C.x＝0 D.x≠0【解析】分式有意义的条件是分母不等于0，即x－1≠0，∴x≠1.针对训练2(2023，定西)假设分式eq\f(x2－4,x)的值为0，那么x的值是(A)A.2或－2 B.2 C.－2 D.0【解析】由题意，得x2－4＝0且x≠0.解得x＝2或－2.分式的根本性质、通分与约分例2(2023，合肥模拟)假设x，y的值均扩大为原来的2倍，那么以下分式的值保持不变的是(A)A.eq\f(3x,2y) B.eq\f(3x,2y2) C.eq\f(3x2,2y) D.eq\f(3x3,2y2)【解析】根据分式的根本性质，可知假设x，y的值均扩大为原来的2倍，A.eq\f(6x,4y)＝eq\f(3x,2y).B.eq\f(6x,8y2)＝eq\f(3x,4y2)≠eq\f(3x,2y2).C.eq\f(12x2,4y)＝eq\f(3x2,y)≠eq\f(3x2,2y).D.eq\f(24x3,8y2)＝eq\f(3x3,y2)≠eq\f(3x3,2y2).例3(2023，邵阳模拟)以下分式中，是最简分式的是(C)A.eq\f(a－b,b－a) B.eq\f(a3＋a,4a2) C.eq\f(a2＋b2,a＋b) D.eq\f(1－a,－a2＋2a－1)【解析】∵eq\f(a－b,b－a)＝－1，∴选项A不符合要求．∵eq\f(a3＋a,4a2)＝eq\f(a2＋1,4a)，∴选项B不符合要求．∵eq\f(a2＋b2,a＋b)不能化简，是最简分式，∴选项C符合要求．∵eq\f(1－a,－a2＋2a－1)＝eq\f(－〔a－1〕,－〔a2－2a＋1〕)＝eq\f(a－1,〔a－1〕2)＝eq\f(1,a－1)，∴选项D不符合要求.针对训练3(导学号5892921)假设x，y的值均扩大为原来的3倍，那么以下分式的值保持不变的是(D)A.eq\f(2＋x,x－y) B.eq\f(2y,x2) C.eq\f(2y3,3x2) D.eq\f(2y2,〔x－y〕2)【解析】根据分式的根本性质，可知假设x，y的值均扩大为原来的3倍，A.eq\f(2＋3x,3x－3y)≠eq\f(2＋x,x－y).B.eq\f(6y,9x2)≠eq\f(2y,x2).C.eq\f(54y3,27x2)≠eq\f(2y3,3x2).D.eq\f(18y2,9〔x－y〕2)＝eq\f(2y2,〔x－y〕2).分式的运算例4(2023，安顺)先化简，再求值：eq\f(8,x2－4x＋4)÷eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x2,x－2)－x－2))，其中|x|＝2.【思路分析】先化简括号内的式子，再根据分式的除法进行计算即可化简原式，然后将x＝－2代入化简后的式子即可解答此题．解：原式＝eq\f(8,〔x－2〕2)÷eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(x2,x－2)－\f(〔x＋2〕〔x－2〕,x－2)))＝eq\f(8,〔x－2〕2)÷eq\f(x2－x2＋4,x－2)＝eq\f(8,〔x－2〕2)·eq\f(x－2,4)＝eq\f(2,x－2).∵eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x))＝2，∴x＝±2.当x＝2时，原式没有意义．当x＝－2时，原式＝eq\f(2,－2－2)＝－eq\f(1,2).针对训练4(2023，石家庄43中模拟)如图，请你阅读小明和小红两名同学的解题过程．计算：eq\f(3,x－1)＋eq\f(x－3,1－x2).小明的解法：原式＝eq\f(3〔x＋1〕,〔x＋1〕〔x－1〕)－eq\f(x－3,〔x＋1〕〔x－1〕)＝eq\f(3x＋3－x－3,〔x＋1〕〔x－1〕)＝eq\f(2x,〔x＋1〕〔x－1〕).小红的解法：原式＝eq\f(－3〔x＋1〕,〔x＋1〕〔1－x〕)＋eq\f(x－3,〔1＋x〕〔1－x〕)＝－3(x＋1)＋x－3＝－3x－3＋x－3＝－2x－6.训练4题图以下表达正确的选项是(D)A.只有小明的正确 B.只有小红的正确C.小明、小红都正确 D.小明、小红都不正确【解析】小明错在第二步，分子做减法时，最后一项符号错；小红错在第二步，丢了分母.针对训练5(2023，武威)计算：eq\f(b,a2－b2)÷eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,a－b)－1)).【思路分析】先把小括号内的分式通分，再按照分式的减法和分式除法法那么进行化简即可．解：原式＝eq\f(b,〔a＋b〕〔a－b〕)÷eq\f(a－a＋b,a－b)＝eq\f(b,〔a＋b〕〔a－b〕)·eq\f(a－b,b)＝eq\f(1,a＋b).一、选择题1.(2023，武汉)假设分式eq\f(1,x＋2)在实数范围内有意义，那么实数x的取值范围是(D)A.x＞－2 B.x＜－2 C.x＝－2 D.x≠－2【解析】由题意，得x＋2≠0.解得x≠－2.2.(2023，唐山丰南区一模)要使式子eq\f(5x,\r(x＋2))有意义，那么x的取值范围是(B)A.x≠2 B.x＞－2 C.x＜－2 D.x≠－2【解析】由题意，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\r(x＋2)≠0，,x＋2≥0.))解得x>－2.3.(2023，廊坊安次区一模)假设分式eq\f(x－2,x－1)的值为0，那么x的值为(B)A.1或2 B.2 C.1 D.0【解析】由题意，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－2＝0，,x－1≠0.))解得x＝2.4.(2023，唐山路南区二模)假设分式eq\f(2ab,a＋b)中的a，b的值同时扩大为原来的3倍，那么分式的值(B)A.不变 B.扩大为原来的3倍C.扩大为原来的6倍 D.扩大为原来的9倍【解析】eq\f(2·3a·3b,3a＋3b)＝eq\f(18ab,3〔a＋b〕)＝eq\f(3·2ab,a＋b).5.(2023，威海)化简(a－1)÷eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)－1))·a的结果是(A)A.－a2 B.1 C.a2 D.－1【解析】(a－1)÷eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)－1))·a＝(a－1)·eq\f(a,1－a)·a＝－a2.6.(2023，廊坊安次区一模)假设分式eq\f(x2,x－1)eq\x()eq\f(x,x－1)的运算结果为x，那么在“eq\x()〞中添加的运算符号为(D)A.＋ B.－ C.＋或× D.－或÷【解析】eq\f(x2,x－1)－eq\f(x,x－1)＝eq\f(x2－x,x－1)＝eq\f(x〔x－1〕,x－1)＝x.eq\f(x2,x－1)÷eq\f(x,x－1)＝eq\f(x2,x－1)·eq\f(x－1,x)＝x.7.(2023，石家庄40中二模)假设eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,a2－4)＋\f(1,2－a)))·w＝1，那么w等于(D)A.a＋2(a≠－2) B.－a＋2(a≠2)C.a－2(a≠2) D.－a－2(a≠±2)【解析】∵eq\f(4,a2－4)＋eq\f(1,2－a)＝－eq\f(1,a＋2)，∴w＝1÷eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,a＋2)))＝－a－2(a≠±2)．8.(2023，石家庄长安区一模)计算eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)－\f(a,b)))÷eq\f(a＋b,a)的结果为(D)A.eq\f(1,b) B.eq\f(a＋b,b) C.b D.－eq\f(a－b,b)【解析】原式＝eq\f(b2－a2,ab)·eq\f(a,a＋b)＝eq\f(b－a,b)＝－eq\f(a－b,b).9.(2023，石家庄桥西区一模)以下运算结果是x＋1的是(D)A.eq\f(x2＋1,x＋1) B.eq\f(1－x2,x＋1) C.eq\f(x－1,x2－1) D.eq\f(x2,x－1)＋eq\f(1,1－x)【解析】eq\f(x2＋1,x＋1)是最简分式.eq\f(1－x2,x＋1)＝1－x.eq\f(x－1,x2－1)＝eq\f(1,x＋1).eq\f(x2,x－1)＋eq\f(1,1－x)＝eq\f(x2－1,x－1)＝x＋1.10.(2023，南充，导学号5892921)eq\f(1,x)－eq\f(1,y)＝3，那么代数式eq\f(2x＋3xy－2y,x－xy－y)的值是(D)A.－eq\f(7,2) B.－eq\f(11,2) C.eq\f(9,2) D.eq\f(3,4)【解析】条件转化为y－x＝3xy，那么原式＝eq\f(2〔x－y〕＋3xy,x－y－xy)＝eq\f(－6xy＋3xy,－3xy－xy)＝eq\f(－3xy,－4xy)＝eq\f(3,4).二、填空题11.(2023，咸宁)如果分式eq\f(1,x－2)有意义，那么实数x的取值范围是x≠2.【解析】由题意，得x－2≠0.∴x≠2.12.分式eq\f(1,2ab)，eq\f(2ab,a2－b2)，eq\f(3a,b－a)的最简公分母是2ab(a＋b)(a－b)．【解析】三个分母分别是2ab，a2－b2＝(a－b)(a＋b)，b－a＝－(a－b)，所以最简公分母是2ab(a＋b)(a－b)．13.(2023，沈阳)化简：eq\f(2a,a2－4)－eq\f(1,a－2)＝〔eq\f(1,a＋2)〕.【解析】eq\f(2a,a2－4)－eq\f(1,a－2)＝eq\f(2a－〔a＋2〕,〔a＋2〕〔a－2〕)＝eq\f(1,a＋2).三、解答题14.(2023，唐山路北区一模)先化简，再求值：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋1－\f(3,x－1)))÷eq\f(x2－4x＋4,x－1)，其中x满足方程x2＋x－6＝0.【思路分析】整式与分式的加减法，把整式看作分母为1，与分式通分即可；x的取值要满足原分式有意义的条件．解：原式＝eq\f(〔x＋1〕〔x－1〕－3,x－1)÷eq\f(〔x－2〕2,x－1)＝eq\f(〔x＋2〕〔x－2〕,x－1)·eq\f(x－1,〔x－2〕2)＝eq\f(x＋2,x－2).解方程x2＋x－6＝0，得x1＝2，x2＝－3.当x＝2时，原式的分母为0，原式没有意义．当x＝－3时，原式＝eq\f(－3＋2,－3－2)＝eq\f(1,5).15.(2023，石家庄43中三模)如图，书上有这样一道题：第15题图减号后面的分式被墨迹污损了，查答案得知化简结果为eq\f(1,x＋2).(1)求被墨迹污损的分式；(2)假设x＝eq\r(2)－1，求被墨迹污损的分式的值.【思路分析】(1)根据逆运算求污损局部．(2)代入求值．解：(1)设被墨迹污损的分式为X.根据题意，得X＝eq\f(x2－2x＋1,x2－1)÷eq\f(x2－x,x＋1)－eq\f(1,x＋2)＝eq\f(〔x－1〕2,〔x＋1〕〔x－1〕)·eq\f(x＋1,x〔x－1〕)－eq\f(1,x＋2)＝eq\f(1,x)－eq\f(1,x＋2)＝eq\f(2,x〔x＋2〕).(2)当x＝eq\r(2)－1时，原式＝eq\f(2,〔\r(2)－1〕〔\r(2)＋1〕)＝2.1.假设a2－ab＝0(b≠0)，那么eq\f(a,a＋b)的值为(C)A.0 B.eq\f(1,2) C.0或eq\f(1,2) D.1或2【解析】由得a(a－b)＝0，∴a＝0或a＝b，代入eq\f(a,a＋b)可得．2.ab＝－1，a＋b＝2，那么eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)＝－6.【解析】eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)＝eq\f(b2＋a2,ab)＝eq\f(〔a＋b〕2－2ab,ab)，将条件代入可得．3.(2023，黄冈)假设a－eq\f(1,a)＝eq\r(6)，那么a2＋eq\f(1,a2)的值为8.【解析】把条件代入式子eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(1,a)))2＝a2＋eq\f(1,a2)－2，可以求得a2＋eq\f(1,a2)＝8.4.(导学号5892921)【探索】(1)假设eq\f(3x＋4,x＋1)＝3＋eq\f(m,x＋1)，那么m＝1；(2)假设eq\f(5x－3,x＋2)＝5＋eq\f(m,x＋2)，那么m＝－13.【总结】假设eq\f(ax＋b,x＋c)＝a＋eq\f(m,x＋c)(其中a，b，c为常数)，那么m＝b－ac.【应用】利用上述结论解决：假设代数式eq\f(4x－3,x－1)的值为整数，求满足