广东省广州市2023届高三年级上册学期8月阶段测试数学试题（含答案解析）

广东省广州市2023届高三上学期8月阶段测试数学试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.若全集U={1,2,3,4,5,6,7,8,9},A={1,2,3,5},B={1,2,4,6,7,8},贝I]

喇n（u6=（）

A.0B.{3,4,5,6,789}C.{9}D.{1,2}

2.已知x>0,y>0,成等差数列，x,c,d,y成等比数列，则史过的最小值

cd

是

A.0B.1C.2D.4

3.记P：“方程（加一1）父+（3-山）丁=1表示椭圆，，，9：“函数〃x）=gx3+W-2）x2+x无

极值”，则p是夕的（）

A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不

必要条件

4.2008年北京奥运会游泳中心（水立方）的设计灵感来于威尔・弗兰泡沫，威尔♦弗兰泡

沫是对开尔文胞体的改进，开尔文体是一种多面体，它由正六边形和正方形围成（其中

每一个顶点处有一个正方形和两个正六边形），已知该多面体共有24个顶点，且棱长

为I,则该多面体表面积是（）

开尔文胞体

A.9岛6B.9>/3+8C.126+6D.1273+8

5.四名同学各掷骰子五次，分别记录每次骰子出现的点数.根据四名同学的统计结

果，可以判断出一定没有出现点数6的是（）.

A.平均数为3,中位数为2B.中位数为3,众数为2

C.平均数为2,方差为2.4D.中位数为3,方差为2.8

6.(l+x)2+(l+xY+…+(l+x)9的展开式中/的系数是()

A.45B.84C.120D.210

7.若空间中经过定点。的三个平面夕，/两两垂直，过另一定点A作直线/与这

三个平面的夹角都相等，过定点A作平面3和这三个平面所夹的锐二面角都相等.记所

作直线/的条数为机，所作平面b的个数为〃，则加+〃=()

A.4B.8C.12D.16

0.4

8.设。=lnLl,b=e01-1,c=tan0.1,d=—,则()

TV

A.a<b<c<dB.a<c<b<dC.a<b<d<cD.a<c<d<b

二、多选题

9.18世纪末期，挪威测量学家威塞尔首次利用坐标平面上的点来表示复数，使复数

及其运算具有了几何意义，例如|z|=|OZ|,也即复数z的模的几何意义为z对应的点z

到原点的距离.下列说法正确的是()

A.若上|=1,则2=±1或z=±i

B.复数6+5i与-3+4i分别对应向量方与面，则向量丽对应的复数为9+i

C.若点Z的坐标为(-14)，则I对应的点在第三象限

D.若复数z满足14|z|40,则复数z对应的点所构成的图形面积为7

10.若/⑺外出况+卬X，则下列说法正确的有()

A./(x)的最小正周期是兀

B.方程x=-］是/(x)的一条对称轴

C./(力的值域为口,贬］

D.3a,b>0,对VxeR都满足/(x+a)+/(a-x)=»,(a,6是实常数)

11.已知抛物线V=2px上的四点A(2,2),B,C,P,直线AB,AC是圆

〃：(x-2)?+y2=i的两条切线，直线P。、PR与圆M分别切于点。、R,则下列说法

正确的有()

A.当劣弧QR的弧长最短时，cosNQPR=-gB.当劣弧QR的弧长最短时，

cosNQPR=g

C.直线BC的方程为x+2y+l=oD.直线8c的方程为3x+6y+4=0

12.已知函数及其导函数/'(x)的定义域均为R,对任意的x,yeR,恒有

/(x+y)+/(x—y)=2/(x>/(y),则下列说法正确的有()

A./(0)=1B.7'(X)必为奇函数

120231

C./(x)+/(O)>OD.若/⑴=；，则

三、填空题

13.已知向量1,方满足向=忖=1,=则忸-6卜.

14.若角a的终边经过点P(sin70°,cos70°),JiLtana+tan2a+ZMtana-tan2a=>/3>

则实数.=.

15.已知随机变量4服从正态分布N(4,/)，且尸(岁<6)=5尸偌<2),则

P(2<&<6)=.

16.折纸是我国民间的一种传统手工艺术，明德小学在课后延时服务中聘请了民间艺

术传人给同学们教授折纸.课堂上，老师给每位同学发了一张长为10cm,宽为8cm的

矩形纸片，要求大家将纸片沿一条直线折叠.若折痕(线段)将纸片分为面积比为1:3

的两部分，则折痕长度的取值范围是cm.

四、解答题

17.已知集合4=卜卜=2〃-1/eN*},8={x|x=3",〃eN*},将A与B中的所有元素

按从小到大的顺序排列构成数列{q}(若有相同元素，按重复方式计入排列)为1,

3,3,5,7,9,9,11,….，设数列{%}的前〃项和为5“.

⑴若4“=27,求m的值；

(2)求先的值.

18.某校所在省市高考采用新高考模式，学生按“3+1+2”模式选科参加高考：“3”为全

国统一高考的语文、数学、外语3门必考科目；“1”由考生在物理、历史2门中选考1门

科目；“2”由考生在思想政治、地理、化学、生物学4门中选考2门科目.

(1)为摸清该校本届考生的选科意愿，从本届750位学生中随机抽样调查了100位学

生，得到如下部分数据分布:

选物理方向选历史方向合计

男生3040

女生

合计50100

请在答题卡的本题表格中填好上表中余下的5个空，并判断是否有99.9%的把握认为

该校“学生选科的方向”与“学生的性别”有关；

(2)记己选物理方向的甲、乙两同学在“4选2”的选科中所选的相同的选科门数为求

4的分布列及数学期望.

7---------——--------------------------r，n=a+b+C+d

(a+/?)(c+d)(a+c)(Z?+d)

P[K20.100.050.0250.0100.0050.001

k,2.7063.8415.0246.6357.87910.828

19.在△43c中，设角A,B,C所对的边分别为“，b,c,且满足(a+b)b=c2.

⑴求证：C=2B；

4+4人

⑵求的最小值.

bcosB

20.如图，在直三棱柱48C-ABG中，平面ABC,侧面A/A88/.

(1)求证：AB1BC；

(II)若直线AC与平面4BC所成的角为仇二面角4-8C-4的大小为小试判断6

与9的大小关系，并予以证明.

H

21.设〃x)=e“sinx.

⑴求，(力在[-],句上的极值;

(2)若对Vax,e[O,句，x产&,都有“*厂4切+”>0成立,求实数”的取值范围.

X-x2

22

22.已知双曲线r："l(",6>0),经过双曲线「上的点4(2,1)作互相垂直的直

线AM、AN分别交双曲线「于M、N两点.设线段AM、AN的中点分别为B、C,直线。民

OC(0为坐标原点)的斜率都存在且它们的乘积为

4

(1)求双曲线「的方程；

(2)过点A作45_LMN(。为垂足)，请问：是否存在定点瓦使得为定值？若存

在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由.

参考答案:

1.c

【分析】求出熟={4,6,7,8,9},m={3,5,9},根据集合的交集运算即可求得答案.

【详解】由题意可得瘩A={46,7,8,9},胆={3,5,9},

故（瘵4）n（uB）={9},

故选：C

2.D

【详解】解：:"，a,b,y成等差数列，x,c,d,y成等比数列

根据等差数列和等比数列的性质可知：a+b=x+y,cd=xy,

（a+b）2（x+»>（2而>

cdxyxy

当且仅当x=y时取“=”，

3.B

【分析】先利用?命题和9命题各自推出〃，的范围，接着利用小集合推出大集合得到答案

m-\>0

【详解】由〃可得<3-/H>0,解得1cm<3且加工2,

m-\

所以"的取值范围为{邮<加<3且加工2}

由9：“函数/（力=；丁+（，”2）/+》无极值，，可得/，（司=》2+2（加一2卜+1

结合开口向上，可得抛物线与x轴最多一个交点，

所以△=«机一2）2-4W0,解得

所以用的取值范围为{w[l</n<3}

因为{冲<〃?<3且初w2}u{同14a43}

所以。是《的充分不必要条件

故选：B

4.C

【分析】由已知得最多有6个正方形，最少有4个正六边形，1个正六边形与3个正方形

相连，所以该多面体有6个正方形，正六边形有8个，分别求得正方形和正六边形的面积

答案第1页，共20页

可得答案.

【详解】棱长为1的正方形的面积为1X1=1,正六边形的面积为6x'xlxlx3=地，

222

又正方形有4个顶点，正六边形有6个顶点，该多面体共有24个顶点，所以最多有6个正

方形，最少有4个正六边形，1个正六边形与3个正方形相连，

所以该多面体有6个正方形，正六边形有6x4+3=8个，

所以该多面体的表面积为8、地+6=126+6,

2

故选：C.

5.C

【分析】根据题意举出反例，即可得出正确选项.

【详解】解：对于A,当投掷骰子出现结果为1,1,2,5,6时，满足平均数为3,中位

数为2,可以出现点数6,故A错误；

对于B,当投掷骰子出现结果为2,2,3,4,6时，满足中位数为3,众数为2,可以出现

点数6,故B错误；

对于C,若平均数为2,且出现6点，则方差$2>"(6-2)2=3.2>2.4,

,平均数为2,方差为2.4时，一定没有出现点数6,故C正确；

对于。，当投掷骰子出现结果为1,2,3,3,6时，满足中位数为3,

平均数为：x=1(1+2+3+3+6)=3

方差为(1-3)2+(2-3)2+(3-3)2+(3-3)2+(6-3)2J=2.8,可以出现点

数6,故。错误.

故选：C.

6.C

【分析】利用二项展开式的通项公式，组合数的性质，求得含公项的系数.

【详解】解：(1+x)~+(1+X)，+…+(1+X)'的展开式中，

含V项的系数为C；+C；+C：+…+C；=C：°=120,

故选：C.

7.B

【分析】根据正方体的对称性可知，正方体的四条对角线满足与三个平面a,夕，7所成

角都相等，将不过A点的三条对角线平移到过A即可求出机=4,过4分别作与正四面体

答案第2页，共20页

四个面平行的平面即可，根据题意可求出"=4,即可得出答案.

【详解】将a,4，7放入正方体OBCD-A8CI。，根据对称性可知，对角线。G分别与

三个平面a,P，7所成角都相等，对角线BR分别与三个平面a,夕，/所成角都相

等，

因为平面BCJ/平面a,所以对角线8A分别与三个平面a,夕，，所成角都相等，同理

对角线线。,A。分别与三个平面a,p,7所成角都相等，

过点A分别作82，用3,AC,OG的平行线，则所作四条平行线分别与三个平面a,4，/

所成角都相等，所以机=4.

如下图，正方体的内接正四面体O-BC。的四个平面与a,夕，/所夹的锐二面角都相

等，所以过A分别作与正四面体。四个面平行的平面即可，所以〃=4.

故选：B.

8.B

【分析】观察4个数易得均与0.1有关，故考虑a(x)=ln(x+l),6(x)=e'-l,

c(x)=tanx,"(x)=&x在x=0.1时的大小关系，故利用作差法，分别构造相减的函数判

71

断单调性以及与0的大小关系即可.

【详解】设a(x)=ln(x+l),b(x)=e*-l,c(x)=tanx,J(x)=-x,易得

冗

4(0)=。(0)={0)=40).

444

设y=d(x)-Z?(x)=—x-e”+l,则令y=——e"=0有x=ln—,故y=d(x)-8(x)在

7T717F

答案第3页，共20页

-8,In上单调递增.

1010

55|>e,故10lng>l,即

①因为

ln->0.1,故d(O.l)-.0.1)>1(0)-匕(0)=0,即4>6

7T

②设>=8(%)-c(x)=eX-l-tanx,则y，=e”----ecosA-1设

cos~xcosx

/(x)=eAcos2x-\,则F'(x)=eA(cos2x-2sinx)=ex(-sin2x-2sinx+l).

设g(x)=x—sinx,则g'(x)=l—cosxN。，故g(x)=九一sinx为增函数，故

g(x)>g(。)=0,BPx>sinx.

故尸(x)Ze，(—x2-2x+l)=e[-(x+l『+2],当xe[0,0.1]时/(力>0,

〃x)=evcos2x-l为增函数，故〃x)Ze°cos20-l=0,故当x«0,0.1]时y=b(x)-c(x)为

增函数，故6(0.1)-c(0.1)>，(0)-c(0)=0,故b>c.

]1x4~sin~x

③设尸c(x)-a(上tanx-g+l),”不一高^而艰7P易得当xe(OQl)

时y'>o,c(o.1)-a(O.l)>c(0)-«(0)=0,即C>a.

综上

故选：B

【点睛】本题主要考查了构造函数求导根据单调性分析函数大小的问题，需要根据题中所

给的信息判断出需要构造的函数，再求导适当放缩分析函数的单调性，进而得出函数值的

大小即可.属于难题.

9.BCD

【分析】由复数的几何意义对四个选项依次判断即可.

【详解】对于选项A,设2=。+折，只需/+从=1即可，故错误；

对于选项B,,•,复数6+5i与-3+4i分别表示向量场与。月，

二表示向量丽的复数为6+5i-(-3+4i)=9+i,故正确；

对于选项C,点Z的坐标为(T，l),则［对应的点为(-1，-1)，在第三象限，故正确；

对于选项D,若复数z满足掇及，则复数z对应的点在以原点为圆心，内圆半径为1,

答案第4页，共20页

外圆半径为及的圆环上，故所构成的图形面积为2万-万=万，故正确;

故选：BCD.

10.BC

【分析】根据/卜+《=/(切，可判断A,根据"x-兀)寸■(》)可判断B,根据周期性以及三

角函数的性质可判断C,根据图象可判断D.

【详解】对A,因为/(x)=binx|+|cosx|,所以

sinf+cosfx+-^j=|cosx|+|sinx|^f(x),故是〃x)的一个周期，故最

小正周期是兀是错误的,

对B,因为/(x-7r)=|sin(x-7t)|+|cos(x-7t)|=|sinx|+|cosx|^/'(j;)故x=_］是〃x)的一

条对称轴是正确的,

7TTT

对C,当0,-时,/(x)=|sinx|+|cosx|=sinx+cosx=^sinx+—由xe0,-,则

x+pY，故sin(x+：)e等,1,因此夜］,由A知■是〃x)的周期，故

f(x)的值域为C正确，

对D,因为当xw(),］时，/(x)=|sinx|+|cosx|=sinx+cosx=V2sin^x+-^j,且g是f(x)

的周期，故画出/(x)的图象如图：

由图可知，/(*)没有对称中心，故不存在。也使得〃x+a)+/(a-x)=»,故D错误.

故选：BC

11.BD

【分析】对于AB选项，当劣弧最短时，即NQMR最小，NQPR最大,cos/QPR最小，

答案第5页，共20页

根据二倍角公式及三角函数可得cos"PR=l-两2『，设点P怪为J,求|PM『的最小值

\PM\

即可得解；对于CD选项，根据相切可得直线A8与AC的方程，进而可得点8与点C的坐

标，即可得直线8c.

【详解】由已知得抛物线V=2px过点A（2,2）,BP22=2px2,所以P=l,

即抛物线为V=2x,

对于AB选项，如图所示,

设点尸[苧，％）当劣弧QR的弧长最短时，NQMR最小，

又NQMR+NQOR5所以NQPR最大，即cos/QPR最小，

又8$/0「7?=8$2/0?例=1-2$抽2/。？〃=1-2-^~^,

一''\PM\

又圆M:（x-2y+y2=],所以圆心M（2,0）,半径r=|°M|=l,

2

cosNQP/?=l-

\PMf,

/2\2[

又|PM『=0-2+y；=（尤_2丫+3,

\274

所以当$=2时，归划一,取最小值为3,此时COSN0PR最小为1-（?=31,

所以A选项错误，B选项正确；

对于CD选项，设过点A作圆M切线的方程为y-2=Z（x-2）,即京一丫-2%+2=0,

,\2k-Q-2k+2\,「

所以4=I----=r=],解得k=土6,

J1+公

则直线A8的方程为：y—2=6(x—2),即丫=岛-26+2,

答案第6页，共20页

直线AC的方程为：y-2=—g(x—2),即丫=-百x+20+2,

联立直线AB与抛物线匕瓜-26+2,得>2一拽丫+速.4=0,

y=2x33

故2),尸手—4,巾=半—2,Bg一半苧-2,

JJI。7

直线BC的方程为y［苧-2)=-g［xJ|一竿］,即3x+6y+4=0,所以C选项错

误，D选项正确；

故选：BD.

12.BCD

【分析】赋值法求“0)的值，判断A；赋值法结合导数以及函数奇偶性的定义，判断B；

2023

赋值法结合换元法判断C;利用赋值法求得八〃),〃wN*的值有周期性，即可求得£”〃)的

n=l

值，判断D.

【详解】对于A,令x=y=o,则由/(x+y)+/(x—y)=2/(x)-/(y)可得

2/(0)=2/(0),

故/(0)=0或/(0)=1,故A错误；

对于B,当/(0)=0时，令y=0,则〃x)+/(x)=2/(x)令(0)=0,则于x)=0,

故/'(x)=0,函数/'(x)既是奇函数又是偶函数；

令x=0,则/(y)+/(-y)=2/(o>f(y),则r(y)—/'(—y)=2〃0)-_f(y),

当"0)=1时，/(y)—/'(—y)=2/'(y),则/'(—y)=—/'(y),yeR为奇函数，

综合以上可知/'(X)必为奇函数，B正确；

答案第7页，共20页

对于C,令x=y,贝Ij/(2x)+/(o)=2/2(x),故“2x)+/(O)ZO。

由于XGR,令f=2x,fwR,即/(f)+f(O)NO,即有〃x)+/(O)2O,故C正确;

对于D,若f(l)=g,令x=l,y=O,则/(1)+/(1)=2/(1>/(0),则/(0)=1,

故令x=y=l,则/(2)+八0)=2/⑴，即〃2)+1=！.・.〃2)=-；,

即〃)

令x=2,y=l,则/(3)+/(1)=2/(2>/(1),3+g=_/.•.A3)=-1,

即〃)；；

令x=3,y=l,则f(4)+f(2)=2〃3)•/⑴,4-=-1,"(4)=-,

令x=4,y=l,则/(5)+/(3)=2/(4>/(1),即〃5)_l=_g「/(5)=；,

令x=5,y=l,则/(6)+/(4)=2/⑸♦/⑴，即〃6)-g=g".f(6)=1,

令x=6,y=l,则/⑺+/(5)=2/(6)./⑴，即〃7)+g=1,;.〃7)=；,

L

由此可得/("),〃eN*的值有周期性，且6个为一周期，且

/(D+/(2)+/(3)+/(4)+/(5)+/(6)=0,

20231

故Z/(〃)=337x[/(1)+/(2)+/(3)+/(4)+/(5)+/(6)]+/(I)=-,故D正确，

n=\2

故选：BCD

【点睛】本题考查了抽象函数的奇偶性和特殊值以及求函数值的和的问题，涉及到导数问

题，综合性强，对思维能力要求高，解答的关键是利用赋值法确定A"),"eN*的周期性.

13.布

【分析】先根据无(6-6)=|求出力=一；，故求出忸-小求出忸叫

【详解】无(万一6)='|，所以1-£石='|,

因为向=卜|=1,所以1-&出='|,所以=

忸一=4a2-4a-b+b2=4+2+\=1,所以恢-5卜近

故答案为：不

14.6

答案第8页，共20页

cos70°

【分析】由题意可得角。是第一象限的角，且赤，根据诱导公式可得

a=20°+k-360°,keZ,不妨取，=20°,代入tana+tan2a+加tana•tan2a=百中利用两

角和的正切变形公式化简可求出〃?的值

【详解】因为角。的终边经过点P(sin70。,cos70。)，

”,cos70°cos(90°-20°)sin20°…

所以tana=---------=-------------------=----------=tan20

sin70°sin(90°-20°)cos20°

因为sin70。〉。，cos70°>0,

所以角。是第一象限的角，

所以。=20。+匕360。入2,

不妨取左=0,则a=20。,

所以tana+tan2tz+mtanatan2a

=tan200+tan40°+根tan20°tan40°

=tan(20°+40°)(l-tan20°-tan40°)4-mtan20°tan40°

=tan60°(1-tan20°-tan400)4-tan20°tan40°

=>/3(l-tan20°tan40°)+tan20°tan40°,

所以百(1一tan200-tan400)+mtan20°tan40°=G,

所以(帆-V3)tan20°tan40°=0,

所以〃?=6,

故答案为：百

⑸I

【分析】根据正态分布的对称性即可得到答案

【详解】因为随机变量4服从正态分布N(4,〃)，其对称轴方程为x=〃=4

设P«<2)=x,所以P(4<2)=Pe>6)=x

又P("6)=5P0<2)

・•.P(2<^<6)=4x

根据题意X+4x+X=l,=y

6

答案第9页，共20页

2

?.P(2<^<6)=4x=-

故答案为：f7

16.[8,2匈

【分析】由已知可确定S-分别在三种折叠方式下利用面积建立关于折痕的函数关系式,

根据二次函数和对勾函数的单调性可求得最值，由此可得结果.

【详解】由题意得：长方形纸片的面积为10x8=80(cmy,又\:$2=1：3,

22

/.S]=20cm,S2=60cm,

当折痕如下图MV所示时，

殳=2。

设AM=x,AN=y,则(04x410,解得Ay=40

5<JC<10

0<^<8

知22=/+/=/+”学N80,即MN24石，当且仅当x=2&U时取等号：

X

令，=fje[25,100],则/«)=/+一,

/⑺在[25,40]上单调递减，在[40,100]上单调递增，

又f(25)=89J(40)=80J(100)=116,故/⑴w[80,116],故MNe[4石,2月]；

当折痕如下图所示时,

答案第10页，共20页

-(x+y)x8=20

(x+y=5

设AM=x,ON=y,则・0<x<10,解得：

[0<x<5,

0<y<10

MN?=(x-y>+64=(2x-5)2+64,04x45,

当x=|时，MN2=(2x-5)2+64取得最小值64,

当x=0或5时，脑72=(2X-5)2+64取得最大值89,则MNe[8,廊]:

当折痕如下图所示时，

」(x+y)*10=20

2|-x+y=4

设AM=x,8N=y,则04x48,解得：八，,

0<x<4

04y48I

则MN2=(x-y)2+100=(2x-4)2+100,

令〃。)=(2》-4-+100,(04x44),则人㈤在［0,2］上单调递减,在［2,4］上单调递增,

又/1(2)=100,九(0)=〃(4)=116,故〃(X)G［100,116］,

MNe［10,2厉］;

综上所述：折痕长的取值范围为［8,2回］,

故答案为：［8,2>/29］

【点睛】关键点点睛：本题考查了函数的应用问题，涉及到求函数最值以及对勾函数二次

函数的性质问题，综合性强，计算量大，要注意分类讨论的思想方法.

17.⑴加=16或17

⑵2236

答案第11页，共20页

【分析】(1)当%=27时，确定此时｛4｝含有A中的元素以及含有8中的元素，即可得答

案；

(2)确定数列｛4｝中前50项中含有4中的元素以及含有8中的元素，分组求和，结合等

差数列的求和公式即可得答案.

(1)

因为%=27,所以数列｛4｝中前机项中含有A中的元素为1,3,5,7,9,27,共有

14项，

数列｛4｝中前加项中含有8中的元素为3,9,27,共有3项，

排列后为1，3,3,,5,7,9,9,…，27,27,29,

所以〃z=16或17.

(2)

因为2x50—1=99,34=81<99,35=243>99,

所以数列｛%｝中前50项中含有B中的元素为3,9,27,81共有4项，它们都是正奇数，

均属于A,

所以数列位,｝中前50项中含有A中的元素为1,3,5,7,9,27,29,79,81,

83,2x46—1=91,共有46项，

所以S50=46x(：+%)+(3+9+27+81)=2116+120=2236.

18.(1)填表答案见解析，有99.9%的把握认为该校“学生选科的方向”与“学生的性别”有关

(2)分布列见解析，数学期望：1

【分析】(1)根据题意即可填表，得到列联表，计算K?的值，即可得到结论；

(2)确定变量J的取值，计算每个值对应的概率，可得其分布列，根据期望的计算公式可

得答案.

(1)

根据题意可得列联表，如图：

选物理方向选历史方向合计

答案第12页，共20页

男生301040

女生204060

合计5050100

则片_1()0x(30x40-20x10)2_50

16.667>10.828,

八40x60x50x50

由于尸（六210.828）=0.001,故而有99.9%的把握认为该校“学生选科的方向”与“学生的性

别'’有关

（2）

g可能取值为。，L2,则叱。）=磊4HE”黑心

oC21

(或p(g=i)=i-p(g=o)-尸(一)")，^=2)=-^=-；

3C4c46

g分布列如下表：

012

2

P

636

121

所以E⑷=0XW+1X7+2XW=1.

636

19.(1)证明见解析

⑵46

【分析】（1）由己知及余弦定理可推出b=a-才cosC,利用正弦定理边化角结合两角和差

的正弦公式化简可得sinB=sin（C-B）,即可证明结论；

（2）利用（l）的结论将产W边化角，结合三角恒等变换可得产3=4COSB+」，

bcosBbcosBcos3

由基本不等式可求得答案.

(1)

答案第13页，共20页

证明：在△ABC中，由已知及余弦定理，得(〃+")/?=<?=/+从一？他cos。,

即/?=。-2/?cosC,

由正弦定理，WsinB=sinA-2sinBcosC,又A=;r-(B+C),

sinB=sin(B+C)-2sinBcosC=sinBcosC+cosBsinC-2sinBcosC

=cosBsinC—sinBcosC=sin(C-B).

V0<sinB=sin(C-B)9/.0<C-B<C<n,

VB+(C-B)=C<TT,:.B=C—B,故C=23.

(2)

由(1)C=28得3+C=38e(O㈤，；.cosBe(g,l),

由(1)a=b(l+2cosC),C=2R得"+4〃一5+2c°sC=5+2c°s28一5+2(2c°s28-1)

ftcosBcosBcosBcosB

QIO

=4cosB+------->2./4cosB--:-=4>/3,

cosBVcosB

当且仅当8=看€(05)时等号成立，

所以当B=g时，5片的最小值为4G.

6bcosB

20.(I)证明见解析.

(ID0<(P，证明见解析.

【详解】(I)证明：如右图，过点A在平面A/A8B/内作于。，则

由平面A/BC_L侧面A/ABB/,且平面A/BCR侧面A/AB8/=A4,得

A£»_L平面A/BC,又BCu平面A/BC,所以AOJ_BC.

答案第14页，共20页

因为三棱柱ABC—A/8Q是直三棱柱，贝IJA4」底面A8C,所以44」8c.

又A4nAO=A,从而BCJ_侧面4/A8B/,

又4Bu侧面A/ABMii^ABlBC.

（II）解法1：连接CQ,则由（I）知ZAC。是直线AC与平面A/BC所成的角，

NA%是二面角A1—BC—A的平面角，即"CO=ZABA,=<p,

4。AD

于是在用AADC中，sin6»=——，在R/&W8中，sin^=—,

ACAB

由AB<AC,得sinO<sin<p,又、<仇中吟,所以。<#.

解法2：由（1）知，以点B为坐标原点，以8C、84、所在的直线分x轴、y轴、z

轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

Z

设AA]=a,AC=b、AB=c,

则8(0,0,0),0(0,c,0),C(Ji-。2,00),A(0,c,a),

于是配=（物-凡0,0）闻Oqa）AC=""-，，〜，以鬲=（0,0,a）

设平面的一个法向量为”=（x，y，z）,则

cy+az=0,

得

\lb--c~x=O.

可取〃=（O,-a,c）,于是“觉.就〉。,衣与〃的夹角/为锐角，则夕与夕互为余角.

所以".夕.=必_夕贰M=C丽=市ac京，必伊B=AX丽JBA=77c/，

所以sin<=/:

、a+c

aca

于是由C<6,得人曰+°2.”2+c2，

答案第15页，共20页

jr

BPsin0<sin<p,又0<夕<所以。<*.

第(1)问证明线线垂直，一般先证线面垂直，再由线面垂直得线线垂直；第(2)问若用

传统方法一般来说要先作垂直，进而得直角三角形.若用向量方法，关键在求法向量.

21.(1)极小值为一理，极大值为理e?

2「2

Q)5，+8

[2刀)

【分析】(1)直接求导计算即可.

(2)将问题转化为/(毛)+应>/(玉)+公：，构造新函数g(x)=/(x)+加在[0,句上单调

递增即可，然后参变分离或者分类讨论都可以.

(1)

由(x)=eA(sinx+cosx)<0,xw]—万，句

得“X)的单调减区间是一肛，.兀,

同理，/(X)的单调增区间是-?，子.

(2)

由对称性，不妨设0<Xx<x2<TV,

则('")+4>0即为/(巧)+应>/(%,)+竭.

—

设g(x)=/(x)+双2,则g(x)在［0,句上单调递增,

故g'(X)=eA(sinx+cosx)+2axN。在［0,可上恒成立.

方法一：(含参讨论)

设A(x)=g'(x)=ev(sinx+cosx)+lax>0,

则/?(0)=l>0,/?(万)=-e"+2a;r20,解得〃2G.

答案第16页，共20页

〃'(x)=2(e'cosx+〃),“(0)=2(4+l)>0,"(")=2(々一6").

①当aNe"时，=2ev(cosx-sinx)，

Zv

故，当天£0,(时，［/7(x)］'=2e(cosx-sinx)>0，〃'G)递增；

当xe时，［/f(x)］=2e*(cosx-sinx)40,"(1)递减；

此时,”(x)Nmin{"(0),"(乃)}="(乃)=2(a—e")N0,力(工)=/(力在［0,乃］上单调递增,

故Mx)=g'(x)2g'(0)=l>0,符合条件.

②当三Wave"时，同①，当xw0,£时，〃'(可递增；当xe£,万时，l(x)递减；

2〃L4」14」

•.•/《；)>厅(0)=2(a+l)>0,〃)=2(a-e")<0,

.,•由连续函数零点存在性定理及单调性知，叫//(为)=0.

于是，当xe［0,x°)时，”(x)>0,/z(x)=g'(x)单调递增；

当XW(如司时,/Z(x)<0,/z(x)=g，(x)单调递减.

A(0)=l>0,/?(乃)=-e"+2〃万20,/.g,(x)=/z(x)>min^/z(0),/z(^)|>0,符一合条件.

「e'T、

综上，实数〃的取值范围是三,+8.

方法二：(参变分离)

由对称性，不妨设04玉<七4%，

则,小“'Z)+a>0即为/⑸+*>〃xj+axf.

占一芍

设g(X)=/(X)+加，则g(X)在［0,句上单调递增，

故g'(x)=e*(sinx+cosx)+2arW0在［0,句上恒成立.

g'(0)=l>0,,g'(x)=e'(sinx+cosx)+2m:N0在［0,句上恒成立

o-2“4叫sinx+cosx),以逐句

X

设力(x)=e'(sin：+8sx),俎0,句，则小)=叩3:也…x),小。团

答案第17页，共20页

设°(x)=2x-tanx—1,尢,

则d(x)=2——L，X€(O，U[,乃.

cosxV2Jy2_

由d(x)>0,xe(o,,得9(x)在(0/)，(弓，左上单调递增；

由S'(x)<0,“｛。仁>,,，得。(力在((弓｝("f',弓'上单调递减.

故xe(0,])时*)4°0=1^-2<0；

从而，(x)cosx=2xcosx-sinx-cosx<0,