2023届河北省高三上学期阶段性检测（二）数学试题

18/1919/19/2023届河北省高三上学期阶段性检测（二）数学试题一、单选题1．复数在复平面内对应的点在（????）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【分析】根据复数的四则运算法则化简后，即可确定复数在复平面内对应的点的坐标，进而判断其所在象限.【详解】解：，则复数在复平面内对应的点的坐标为，位于第四象限，故选：D.2．设集合，若，则（????）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据补集性质,转化再求补集即可.【详解】因为,所以,又因为所以.故选:.3．以斜边长为2的等腰直角三角形一直角边为轴，旋转一周形成的几何体的表面积为（????）A． B． C． D．【答案】C【分析】由题意可得所形成的几何体为圆锥，圆锥的高和底面半径均为，母线长为2，从而可求出其表面积【详解】由题意可得所形成的几何体为圆锥，圆锥的高和底面半径均为，母线长为2，所以圆锥的表面积为．故选：.4．已知，则在上的投影向量是（????）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据在上的投影向量是计算即可解决.【详解】由题知，，所以，设与夹角为，所以在上的投影向量是，故选：B5．2022中国（南昌）国际大健康产业大会暨博览会将于11月25日-27日正式举办，此次博览会将围绕医疗器械、生物医药、中医中药、国际医养、医疗美容、健康生活六大板块，搭建政、商、学、医、研，产的高端对话与合作平台，推动健康产业资源要素相互赋能．博览会某日将举办六大板块为主旨的六场报告会，其中上午四场，下午两场，要求中医中药排在上午前两场中任意一场，医疗美容和健康生活排在下午，则不同安排种数是（????）A．24 B．96 C．144 D．192【答案】A【分析】根据排列的知识求得正确答案.【详解】依题意可知，不同安排种数是种.故选：A6．已知函数（且）对于任意的实数，都有成立，则a的取值范围是（????）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据函数的单调性列不等式，从而求得的取值范围.【详解】由于对于任意的实数，都有成立，所以在上单调递减.所以，解得，所以的取值范围是.故选：D7．如图，线段所在直线与平面平行，平面上的动点P满足，则点P的轨迹为（????）A．圆 B．椭圆 C．双曲线的一部分 D．抛物线的一部分【答案】C【分析】根据题意作出截面，即可分析动点P的轨迹.【详解】解：如图，将平面竖直放置，以AB为轴作圆锥，使母线与轴线的夹角为，又线段所在直线与平面平行，则点P的轨迹如图所示，为双曲线的一支，故选：C.8．已知函数，则（????）A．在定义域内单调递减 B．有无数个极值点C．只有一个零点 D．为周期函数【答案】C【分析】先求函数的导数,再根据导数研究函数性质分别逐项判断即可【详解】因为函数,所以,所以在定义域内单调递增,故选项错误;因为在定义域内单调递增,所以无极值点,故选项错误;因为在定义域内单调递增,所以不是周期函数,故选项错误;因为在定义域内单调递增,且,所以只有一个零点,故选项正确;故选:二、多选题9．已知直线和平面，下列选项能得到成立的充分条件是（????）A． B． C． D．【答案】BD【分析】根据线面及面面的位置关系结合面面垂直的判定定理逐项分析即得.【详解】对于A，若，则与可能平行也可能相交，故A错误；对于B，若，则，故B正确；对于C，若，则与不一定垂直，故C错误；对于D，由，可知在平面内必存在直线与平行，又，则，进而可得，故D正确.故选：BD.10．如图是函数的图象的一部分，则（????）A．的图象关于直线对称．B．图象至少向左移个单位得到一奇函数图象C．将函数图象上各点横坐标变为原来的（纵坐标不变），再将所得图象向右平移个单位长度，可得函数的图象D．在区间单调递减【答案】ACD【分析】根据图象求得的解析式，结合三角函数的对称性、图象变换、奇偶性、单调性等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】由图可知，，且，，由于，所以，则，，根据图象可知，在区间上，的函数值两次取得，且第二次是，所以，，所以.A选项，，所以的图象关于直线对称，A选项正确.B选项，图象向左移个单位得到.此函数不是奇函数，所以B选项错误.C选项，将函数图象上各点横坐标变为原来的（纵坐标不变）得，再将所得图象向右平移个单位长度，得，所以C选项正确.D选项，，所以在区间单调递减，D选项正确.故选：ACD11．过抛物线的焦点F的直线与抛物线交于A、B两点，过A、B分别做抛物线C准线的垂线，垂足为，线段的中点为M，线段的中点为N，则（????）A． B．C．以为直径的圆与y轴相切 D．以为直径的圆与y轴相切【答案】AC【分析】结合抛物线的定义、梯形的中位线等知识判断AB选项的正确性.结合抛物线的定义、圆的知识判断CD选项的正确性.【详解】依题意可知是直角梯形的中位线，，且，所以三角形是直角三角形，所以，A选项正确.由于与不一定相等，所以与不一定相等，所以三角形不一定是直角三角形，所以B选项错误.设是的中点，过作轴，垂足为，设，，根据抛物线的定义可知，由于，所以，所以以为直径的圆与y轴相切，C选项正确.同理可证得以为直径的圆与轴相切，所以以为直径的圆与y轴不一定相切，D选项错误.故选：AC12．已知函数，为的导函数，则（????）A．方程只有一个实根 B．的最小值为C．函数的值域为 D．函数为偶函数【答案】BC【分析】由零点存在定理可知方程不止一个实根；利用的正负，求出的单调性，进而求得的最小值；利用分离常数法，求得，根据指数函数及不等式的性质即可求出函数的值域；，而不符合偶函数的定义.【详解】解：对于A，方程，即，显然是方程的一个根，令，由于，，根据零点存在定理可知，函数在上有一个零点，因此方程不只有一个实根，A选项错误；对于B，，则，，令，即，解得，当时，，所以在上单调递减，当时，，所以在上单调递增，因此的最小值为，B选项正确；对于C，，，则，所以函数的值域为，C选项正确；对于D，而，所以函数不是偶函数，D选项错误；故选：BC.三、填空题13．的展开式中的系数为___________．【答案】35【分析】根据三项展开式的通项写出含有的项，即可得出系数.【详解】解：展开式中含有的项为：①，②，的展开式中的系数为，故答案为：35.14．过双曲线的右焦点作直线交双曲线于A，B两点，若，则这条直线可以是___________（写出一个即可）．【答案】（任选一个即可）.【分析】利用韦达定理表示弦长即可求解.【详解】设直线方程为，，联立得，因为直线交双曲线于A，B两点，所以，所以所以，即解得，所以这条直线为:.即，故答案为:（任选一个即可）.15．已知，则的最小值为___________．【答案】【分析】根据已知条件变形，再应用基本不等式求最小值即可.【详解】则，当且仅当时，等号成立．，∴最小为，此时．故答案为:.16．若数列满足且，则___________．【答案】5【分析】根据题意得到，进而利用等比中项法判断为等比数列，即可求解.【详解】∵∴得∴为等比数列，设公比为，∴，因为，所以（舍去）则．故答案为:5.四、解答题17．在中，角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，且．(1)求A的值；(2)若的面积为，求a的最小值．【答案】(1)；(2).【分析】（1）根据三角恒等变换可得，然后根据正弦定理及余弦定理结合条件即得；（2）根据三角形面积公式可得，然后根据余弦定理及基本不等式即得.【详解】（1）由，可得所以整理得：，由正弦定理得：，∴，∵A为内角，∴；（2）由，得，所以，∵，∴，当且仅当时，符号成立，∴，又，∴，即a的最小值为．18．数列的前n项和为，且．(1)求数列的通项公式；(2)若数列满足，求数列的前n项和．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用“退一作差”法求得.（2）先求得，然后求得，进而求得，利用裂项求和法求得.【详解】（1）由，当时，，，∴，，时上式也符合，∴，（2）∵数列是等差数列，∴，得：，当，且时，，∴（），当时，，∴,,∴时，，当时，.∴.19．利用生物活体或其代谢产物针对农业有害生物进行杀灭或抑制的生物农药，以其对人畜安全，对生态环境影响小等优势，在病虫害综合防治中的地位和作用显得愈来愈重要．江南大学一团队成功研发出性能优良的桉树精，填补了全球生物农药在极端环境下起效的技术空白．为了研究猕猴桃树使用该农药后某项指标值的相关性，研究人员从猕猴桃种植区一万多棵树中，随机抽取了120棵用药果树和80棵未用药果树，对这200棵果树某项指标值进行测量后，按分组，得到该项指标值频率分布直方图．并发现用药果树中该项指标值不小于60的有80棵．(1)填写下面的列联表，判断是否有95%的把握认为“果树用药与指标值不小于60有关”；指标值小于60指标值不小于60合计用药果树没用药果树合计(2)用药后果树中该项指标值不小于60认为农药对猕猴桃细菌性溃疡病有效，以用药的120棵树对溃疡病有效的频率做为果树用药后有效的概率．若从猕猴桃种植区所有用药果树中随机抽取4棵，求所抽四棵树中用药后有效果树棵数的分布列及期望．附：，其中．0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828【答案】(1)列联表见解析，有(2)分布列见解析，【分析】(1)完成联表,计算后与临界值表比较即可;(2)根据二项分布计算概率列分布列求期望即可.【详解】（1）由频率分布直方图可知，样本中指标值不小于60的棵数为，则标值小于60的果树棵数为80．所以列联表如下：指标值小于60指标值不小于60合计用药果树4080120没用药果树404080合计80120200．所以有95%的把握认为“果树用药与指标值不小于60有关”．（2）用药后有效的概率，由题可知，，∴，所以X的分布列为：X01234P所以．所抽四棵树中用药后有效果树棵数的期望为．20．如图矩形中，，沿对角线将折起，使点A折到点P位置，若，三棱锥的外接球表面积为．(1)求证：平面平面；(2)求平面与平面夹角的余弦值；(3)M为的中点，点N在边界及内部运动，若直线与直线与平面所成角相等，求点N轨迹的长度．【答案】(1)证明见解析(2)(3)【分析】（1）由已知可得外接球半径为2，过P点作，利用各边关系可证为，即可得到平面，进而证得面面垂直；（2）建立空间直角坐标系，分别求出平面和平面的法向量，根据面面夹角公式求解即可；（3）设N为，由题意可知，即可解出点N的轨迹方程为，进而求的轨迹的长度.【详解】（1）证明：设O为矩形对角线的中点，∴．即．∴O为三棱锥外接球的球心．又∵三棱锥外接球表面积为，∴外接球半径为2．即．过P点作，垂足为E，过点C作，垂足为F，则，，，，∴而，在中，满足∴为直角三角形，∵，，∴平面．又∵平面，∴平面平面．（2）以E为坐标原点，所在直线分别为x轴、z轴，以平面内过E且垂直于的直线为y轴，建立如图所示的空间直角坐标系．可知：且设平面的法向量为，得，取，则，设平面的法向量为，得，取，则设平面与平面夹角为，则所以平面与平面夹角余弦值为是．（3）由（2）中空间直角坐标系可设N为，，，，取平面法向量为．∵直线与直线与平面所成角相等，∴得：整理得：，即∵N点在边及其内部，∴N的轨迹为圆落在边及内部的部分．∴轨迹长度为半径为1的圆周长为．得∴N点轨迹长度为．21．在平面直角坐标系中，动点与定点的距离和到定直线的距离的比是常数，点M的轨迹为曲线E．(1)求E的方程；(2)直线l交曲线E于P，Q两点，交x轴于N点，交y轴于R点，若，若，求点N的坐标．【答案】(1)(2)【分析】(1)根据点到直线距离和两点间距离公式依题意计算即可.(2)根据已知把用两根和及两根积表示,计算即可.【详解】（1）由题意，点到距离为，到的距离为，∴化简得：即（2）法一：由题意，l斜率一定存在，设其斜率为k，设N点坐标，直线l方程为，由消去y得：令设点的坐标分别为则由，得∴同理由，得∵，得，得将得∴N点坐标为法二：由题意，设l方程为，则N为由得令设坐标分别为则由，得同理，由，得由，得，且得∴N点坐标为22．若函数（其中e是自然对数的底数，a为常数且）．(1)当时，求方程的根的个数；(2)若函数有两个极值点，且，求的最小值．【答案】(1)只有一个(2)2【分析】（1）利用导数讨论函数的单调性