选修2-3学案第1章计数原理习题课2排列与组合

习题课(二)课时目标1.利用排列、组合知识解决综合性的计数应用题.2.提高学生的应用意识和分析解决问题的能力．1．排列数公式：Aeq\o\al(m,n)＝________________________；组合数公式：Ceq\o\al(m,n)＝eq\f(A\o\al(m,n),A\o\al(m,m))＝____________________.2．解决计数应用题，可以通过对位置和元素的性质进行分类，对完成事情的步骤进行分步．一、选择题1．8人排成一排，其中甲、乙、丙三人不能相邻的排法有几种()A．Aeq\o\al(3,6)Aeq\o\al(5,5) B．Aeq\o\al(8,8)－Aeq\o\al(6,6)Aeq\o\al(3,3)C．Aeq\o\al(3,5)Aeq\o\al(3,3) D．Aeq\o\al(8,8)－Aeq\o\al(4,6)2．8名运动员参加男子100米的决赛，已知运动场有从内到外编号依次为1,2,3,4,5,6,7,8的八条跑道，若指定的3名运动员所在的跑道编号必须是三个连续数字(如：4,5,6)，则参加比赛的这8名运动员安排跑道的方式共有(A．360种 B．4320种 C．720种 D．2160种3．从正方体ABCD－A1B1C1D1的8个顶点中选取4个作为四面体的顶点，可得到的不同四面体的个数是(A．Ceq\o\al(4,8)－12 B．Ceq\o\al(4,8)－8C．Ceq\o\al(4,8)－6 D．Ceq\o\al(4,8)－44．从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少有甲型与乙型电视机各1台，则不同的取法共有()A．140种 B．84种 C．70种 D．35种5．6人被邀请参加一项活动，必须有人去，去几人自行决定．若最终有n个人去的方法是15种，则n的值为()A．2 B．4 C．2或4 D．2或二、填空题6．8名学生和2位老师站成一排合影，2位老师不相邻的排法种数为________．(用式子表示)7．现安排甲、乙、丙、丁、戌5名同学参加上海世博会志愿者服务活动，每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加．甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙丁戌都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是________．8．某校开设A类选修课3门，B类选修课4门，一位同学从中共选3门，若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有________种．三、解答题9．从6名运动员中选出4人参加4×100m的接力赛，如果甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，10．某次文艺晚会上共演出8个节目，其中2个唱歌、3个舞蹈、3个曲艺节目，求分别满足下列条件的排节目单的方法种数：(1)一个唱歌节目开头，另一个压台；(2)两个唱歌节目不相邻；(3)两个唱歌节目相邻且3个舞蹈节目不相邻．能力提升11．从集合{1,2,3，…，20}中任选出3个不同的数，使这3个数成等差数列，这样的等差数列可以有多少个？12．某晚会已定好节目单，其中小品3个，歌舞2个，相声2个．后来由于情况有变，需加上诗歌朗诵和快板两个节目，但不能改变原先节目的相对顺序，问节目演出的方式可能有多少种？1．解计数应用题，分类标准要统一，防止出现遗漏或重复．2．对同一问题可多角度考虑，深入分析，相互验证，提高解题能力．习题课(二)答案知识梳理1．n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)eq\f(n?n－1??n－2?…?n－m＋1?,m！)作业设计1．A[使用插空法，先排甲、乙、丙外的5人，共Aeq\o\al(5,5)种方法．然后在形成的6个空中插入甲、乙、丙共有Aeq\o\al(3,6)种方法．∴共有Aeq\o\al(3,6)×Aeq\o\al(5,5)种排法．]2．B[三个连续数字的可能情况是6种，被选中的运动员全排，剩下的5名运动员全排，所以这8名运动员安排跑道的方式共有6Aeq\o\al(3,3)Aeq\o\al(5,5)＝4320(种)．]3．A[在正方体中，6个面和6个对角面上的四个点不能构成四面体，所以一共有Ceq\o\al(4,8)－12.]4．C[分两类：(1)甲型1台，乙型2台：Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(2,5)；(2)甲型2台，乙型1台：Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(1,5).所以一共有Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(2,5)＋Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(1,5)＝70(种)．]5．C6．Aeq\o\al(8,8)Aeq\o\al(2,9)解析采用插空法，先排8名学生，共有Aeq\o\al(8,8)种方法；再在8名学生形成的9个空中排2位老师，有Aeq\o\al(2,9)种排法，∴共有排法：Aeq\o\al(8,8)×Aeq\o\al(2,9)种．7．126解析分类讨论：若有2人从事司机工作，则方案有Ceq\o\al(2,3)×Aeq\o\al(3,3)＝18(种)；若有1人从事司机工作，则方案有Ceq\o\al(1,3)×Ceq\o\al(2,4)×Aeq\o\al(3,3)＝108(种)，所以共有18＋108＝126(种)．8．30解析方法一可分两种互斥情况：A类选1门，B类选2门或A类选2门，B类选1门，共有Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(2,4)＋Ceq\o\al(2,3)Ceq\o\al(1,4)＝18＋12＝30(种)选法．方法二总共有Ceq\o\al(3,7)＝35(种)选法，减去只选A类的Ceq\o\al(3,3)＝1(种)，再减去只选B类的Ceq\o\al(3,4)＝4(种)，故有30种选法．9．解分两类：若乙跑第一棒，共有Aeq\o\al(3,5)＝60(种)；若乙不跑第一棒，则跑第一棒的选择有Ceq\o\al(1,4)种，此时跑第四棒的选择有Ceq\o\al(1,4)种，余下的第二、三棒则在剩下的四人中选两人跑，有Aeq\o\al(2,4)种，所以有Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(1,4)Aeq\o\al(2,4)＝192(种)．所以共有192＋60＝252(种)不同的参赛方法．10．解(1)先排唱歌节目有Aeq\o\al(2,2)种排法，再排其他节目有Aeq\o\al(6,6)种排法，所以共有Aeq\o\al(2,2)·Aeq\o\al(6,6)＝1440(种)排法．(2)先排3个舞蹈节目，3个曲艺节目有Aeq\o\al(6,6)种排法，再从其中7个空(包括两端)中选2个排唱歌节目，有Aeq\o\al(2,7)种插入方法，所以共有Aeq\o\al(6,6)·Aeq\o\al(2,7)＝30240(种)排法．(3)把2个相邻的唱歌节目看作一个元素，与3个曲艺节目排列共Aeq\o\al(4,4)种排法，再将3个舞蹈节目插入，共有Aeq\o\al(3,5)种插入法，最后将2个唱歌节目互换位置，有Aeq\o\al(2,2)种排法，由分步乘法计数原理，符合要求的排法有：Aeq\o\al(4,4)·Aeq\o\al(3,5)·Aeq\o\al(2,2)＝2880(种)．11．解设a、b、c∈N，且a、b、c成等差数列，则a＋c＝2b，即a＋c应是偶数．因此从1到20这20个数字中任选出三个数成等差数列，则第一个数与第三个数必同为偶数或同为奇数，而1到20这20个数字中有10个偶数和10个奇数．当第一个和第三个数选定后，中间数被唯一确定．因此，选法只有两类．(1)第一、三个数都是偶数，有Aeq\o\al(2,10)种选法；(2)第一、三个数都是奇数，有Aeq\o\al(2,10)种选法；于是，选出3个数成等差数列的个数为Aeq\o\al(2,10)＋Aeq\o\al(2,10)＝180(个)．12．解方法一若所有节目没有顺序要求，全部排列，则有Aeq\o\al(9,9)种排法；但是原先的节目已经定好