（新教材）新素养人教A版高中数学必修第二册学案8.6.18.6.2第2课时直线与平面所成的角直线与平面垂直的性质定理

第2课时直线与平面所成的角、直线与平面垂直的性质定理考点学习目标核心素养直线与平面所成的角了解直线和平面所成的角的含义，并知道其求法直观想象、逻辑推理、数学运算直线与平面垂直的性质理解直线和平面垂直的性质定理，并能用文字、符号和图形语言描述定理，能应用线面垂直的性质定理解决有关的垂直问题直观想象、逻辑推理问题导学预习教材P151－P155的内容，思考以下问题：1．直线与平面所成的角的定义是什么？2．直线与平面所成的角的范围是什么？3．直线与平面垂直的性质定理的内容是什么？4．如何求直线到平面的距离？5．如何求两个平行平面间的距离？1．直线与平面所成的角(1)定义：如图，一条直线PA和一个平面α相交，但不与这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的交点A叫做斜足．过斜线上斜足以外的一点P向平面α引垂线PO，过垂足O和斜足A的直线AO叫做斜线在这个平面上的射影．平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角．(2)规定：一条直线垂直于平面，称它们所成的角是90°；一条直线和平面平行，或在平面内，称它们所成的角是0°.(3)范围：直线与平面所成的角θ的取值范围是0°≤θ≤90°．■名师点拨把握定义应注意两点：①斜线上不同于斜足的点P的选取是任意的；②斜线在平面上的射影是过斜足和垂足的一条直线而不是线段．2．直线与平面垂直的性质定理文字语言垂直于同一个平面的两条直线平行符号语言eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a⊥α,b⊥α))?a∥b图形语言作用①线面垂直?线线平行②作平行线■名师点拨(1)直线与平面垂直的性质定理给出了判定两条直线平行的另一种方法．(2)定理揭示了空间中“平行”与“垂直”关系的内在联系，提供了“垂直”与“平行”关系转化的依据．3.线面距与面面距(1)一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫做这条直线到这个平面的距离．(2)如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离都相等，我们把它叫做这两个平行平面间的距离．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)如果直线l与平面α所成的角为60°，且m?α，则直线l与m所成的角也是60°.()(2)若直线a∥平面α，直线b⊥平面α，则直线b⊥直线a.()(3)若直线a⊥平面α，直线a⊥直线b，则直线b∥平面α.()答案：(1)×(2)√(3)×下列命题：①垂直于同一条直线的两个平面互相平行；②垂直于同一个平面的两条直线互相平行；③一条直线在平面内，另一条直线与这个平面垂直，则这两条直线互相垂直．其中正确的个数是()A．0 B．1C．2 D．3答案：D若两直线a与b异面，则过a且与b垂直的平面()A．有且只有一个B．可能存在也可能不存在C．有无数多个D．一定不存在解析：选B.当a⊥b时，这样的平面存在，当a和b不垂直时，这样的平面不存在．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，(1)直线A1B与平面ABCD所成的角是________；(2)直线A1B与平面ABC1D1所成的角是________；(3)直线A1B与平面AB1C1D所成的角是________．解析：(1)由已知知∠A1BA为A1B与平面ABCD所成的角，∠A1BA＝45°.(2)连接A1D，AD1，BC1，交点为O，则易证A1D⊥平面ABC1D1，所以A1B在平面ABC1D1内的射影为OB，所以A1B与平面ABC1D1所成的角为∠A1BO，因为A1O＝eq\f(1,2)A1B，所以∠A1BO＝30°.(3)因为A1B⊥AB1，A1B⊥B1C1，又因为AB1∩B1C1＝B1，所以A1B⊥平面AB1C1D，即A1B与平面AB1C1D所成的角为90°.答案：(1)45°(2)30°(3)90°直线与平面所成的角在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是棱DD1的中点，求直线BE与平面ABB1A1所成的角的正弦值．【解】取AA1的中点M，连接EM，BM.因为E是DD1的中点，四边形ADD1A1为正方形，所以EM∥AD.又在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AD⊥平面ABB1A1，所以EM⊥平面ABB1A1，从而BM为直线BE在平面ABB1A1内的射影，∠EBM即为直线BE与平面ABB1A1所成的角．设正方体的棱长为2，则EM＝AD＝2，BE＝eq\r(22＋22＋12)＝3.于是在Rt△BEM中，sin∠EBM＝eq\f(EM,BE)＝eq\f(2,3)，即直线BE与平面ABB1A1所成的角的正弦值为eq\f(2,3).eq\a\vs4\al()如图所示，在Rt△BMC中，斜边BM＝5，它在平面ABC上的射影AB的长为4，∠MBC＝60°，求直线MC与平面CAB所成的角的正弦值．解：由题意知，A是M在平面ABC内的射影，所以MA⊥平面ABC，所以MC在平面CAB内的射影为AC.所以∠MCA即为直线MC与平面CAB所成的角．又因为在Rt△MBC中，BM＝5，∠MBC＝60°，所以MC＝BMsin∠MBC＝5sin60°＝5×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(5\r(3),2).在Rt△MAB中，MA＝eq\r(MB2－AB2)＝eq\r(52－42)＝3.在Rt△MAC中，sin∠MCA＝eq\f(MA,MC)＝eq\f(3,\f(5\r(3),2))＝eq\f(2\r(3),5).即直线MC与平面CAB所成的角的正弦值为eq\f(2\r(3),5).线面垂直的性质定理的应用如图，已知正方体A1C.(1)求证：A1C⊥B1D1；(2)M，N分别为B1D1与C1D上的点，且MN⊥B1D1，MN⊥C1D，求证：MN∥A1C.【证明】(1)如图，连接A1C1.因为CC1⊥平面A1B1C1D1，B1D1?平面A1B1C1D1，所以CC1⊥B1D1.因为四边形A1B1C1D1是正方形，所以A1C1⊥B1D1.又因为CC1∩A1C1＝C1，所以B1D1⊥平面A1C1C.又因为A1C?平面A1C1C，所以B1D1⊥A1C.(2)如图，连接B1A，AD1.因为B1C1eq\o(\s\do3(═),\s\up3(∥))AD，所以四边形ADC1B1为平行四边形，所以C1D∥AB1，因为MN⊥C1D，所以MN⊥AB1.又因为MN⊥B1D1，AB1∩B1D1＝B1，所以MN⊥平面AB1D1.由(1)知A1C⊥B1D1.同理可得A1C⊥AB1.又因为AB1∩B1D1＝B1，所以A1C⊥平面AB1D1.所以A1C∥MN.eq\a\vs4\al()(1)若已知一条直线和某个平面垂直，证明这条直线和另一条直线平行，可考虑利用线面垂直的性质定理，证明另一条直线和这个平面垂直，证明时注意利用正方形、平行四边形及三角形中位线的有关性质．(2)直线与平面垂直的其他性质①如果一条直线和一个平面垂直，则这条直线和这个平面内任一条直线垂直；②若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面；③若l⊥α于A，AP⊥l，则AP?α；④垂直于同一条直线的两个平面平行；⑤如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个，则它必垂直于另一个平面．如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M是AB上一点，N是A1C的中点，MN⊥平面A1DC.求证：(1)MN∥AD1；(2)M是AB的中点．证明：(1)因为四边形ADD1A1为正方形，所以AD1⊥A1D.又因为CD⊥平面ADD1A1，所以CD⊥AD1.因为A1D∩CD＝D，所以AD1⊥平面A1DC.又因为MN⊥平面A1DC，所以MN∥AD1.(2)如图，连接ON，在△A1DC中，A1O＝OD，A1N＝NC，所以ONeq\o(\s\do3(═),\s\up3(∥))eq\f(1,2)CD.因为CDeq\o(\s\do3(═),\s\up3(∥))AB，所以ON∥AM.又因为MN∥OA，所以四边形AMNO为平行四边形．所以ON＝AM.因为ON＝eq\f(1,2)AB，所以AM＝eq\f(1,2)AB.所以M是AB的中点．求点到平面的距离如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．(1)证明：PB∥平面AEC；(2)设AP＝1，AD＝eq\r(3)，三棱锥P-ABD的体积V＝eq\f(\r(3),4)，求A到平面PBC的距离．【解】(1)证明：如图，设BD与AC的交点为O，连接EO.因为四边形ABCD为矩形，所以点O为BD的中点．又点E为PD的中点，所以EO∥PB.因为EO?平面AEC，PB?平面AEC，所以PB∥平面AEC.(2)V＝eq\f(1,6)AP·AB·AD＝eq\f(\r(3),6)AB.由V＝eq\f(\r(3),4)，可得AB＝eq\f(3,2).作AH⊥PB于点H.由题设知BC⊥平面PAB，所以BC⊥AH，故AH⊥平面PBC，即AH的长就是点A到平面PBC的距离．因为PB＝eq\r(AP2＋AB2)＝eq\f(\r(13),2)，所以AH＝eq\f(AP·AB,PB)＝eq\f(3\r(13),13)，所以点A到平面PBC的距离为eq\f(3\r(13),13).eq\a\vs4\al()从平面外一点作一个平面的垂线，这个点与垂足间的距离就是这个点到这个平面的距离．当该点到已知平面的垂线不易作出时，可利用线面平行、面面平行的性质转化为与已知平面等距离的点作垂线，然后计算，也可以利用等换法转换求解．已知在△ABC中，AC＝BC＝1，AB＝eq\r(2).S是△ABC所在平面外一点，SA＝SB＝2，SC＝eq\r(5)，点P是SC的中点，求点P到平面ABC的距离．解：法一：如图，连接PA，PB，易知SA⊥AC，BC⊥AC.分别取AB，AC的中点E，F，连接PE，EF，PF，则EF∥BC，PF∥SA.所以EF⊥AC，PF⊥AC.因为PF∩EF＝F，所以AC⊥平面PEF，所以PE⊥AC.易证△SAC≌△SBC，所以PA＝PB.又E是AB的中点，所以PE⊥AB.因为AB∩AC＝A，所以PE⊥平面ABC.从而PE的长就是点P到平面ABC的距离．因为P是SC的中点，所以在Rt△APE中，AP＝eq\f(1,2)SC＝eq\f(\r(5),2)，AE＝eq\f(1,2)AB＝eq\f(\r(2),2)，所以PE＝eq\r(AP2－AE2)＝eq\r(\f(5,4)－\f(1,2))＝eq\f(\r(3),2)，即点P到平面ABC的距离为eq\f(\r(3),2).法二：如图，过点A作BC的平行线，过点B作AC的平行线，两直线交于点D.因为AC＝BC＝1，AB＝eq\r(2)，所以AC⊥BC.所以四边形ADBC为正方形，连接SD.易知AC⊥SA，又AC⊥AD，SA∩AD＝A，所以AC⊥平面SDA，所以AC⊥SD.易知BC⊥SB，又BC⊥BD，SB∩BD＝B，所以BC⊥平面SDB，所以BC⊥SD.因为BC∩AC＝C，所以SD⊥平面ADBC.所以SD的长即点S到平面ABC的距离，在Rt△SAD中，易得SD＝eq\r(3).因为点P为SC的中点，故点P到平面ABC的距离为eq\f(1,2)SD＝eq\f(\r(3),2).1．若斜线段AB是它在平面α内射影长的2倍，则AB与平面α所成角的大小为()A．60° B．45°C．30° D．90°解析：选A.斜线段、垂线段以及射影构成直角三角形．如图所示，∠ABO即是斜线段与平面所成的角．又AB＝2BO，所以cos∠ABO＝eq\f(OB,AB)＝eq\f(1,2)，所以∠ABO＝60°.2．已知PA⊥矩形ABCD所在的平面，则下列结论中不正确的是()A．PB⊥BC B．PD⊥CDC．PD⊥BD D．PA⊥BD解析：选C.PA⊥平面ABCD?PA⊥BD，D正确；eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(PA⊥平面ABCD?PA⊥BC,ABCD为矩形?AB⊥BC))?BC⊥平面PAB?BC⊥PB.故A正确；同理B正确；C不正确．3.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，M是棱DD1的中点，则过M且与直线AB和B1C1都垂直的直线有()A．1条 B．2条C．3条 D．无数条解析：选A.显然DD1是满足条件的一条，如果还有一条l满足条件，则l⊥B1C1，l⊥AB.又AB∥C1D1，则l⊥C1D1.又B1C1∩C1D1＝C1，所以l⊥平面B1C1D1.同理DD1⊥平面B1C1D1，则l∥DD1.又l与DD1都过M，这是不可能的，因此只有DD1一条满足条件．4.如图，已知AD⊥AB，AD⊥AC，AE⊥BC交BC于点E，D是FG的中点，AF＝AG，EF＝EG.求证：BC∥FG.证明：连接DE.因为AD⊥AB，AD⊥AC，所以AD⊥平面ABC.又BC?平面ABC，所以AD⊥BC.又AE⊥BC，所以BC⊥平面ADE.因为AF＝AG，D为FG的中点，所以AD⊥FG.同理ED⊥FG.又AD∩ED＝D，所以FG⊥平面ADE.所以BC∥FG.[A基础达标]1．下列说法中正确的是()①过平面外一点有且只有一条直线和已知平面垂直；②过直线外一点有且只有一个平面和已知直线垂直；③过平面外一点可作无数条直线与已知平面平行；④过直线外一点只可作一条直线与已知直线垂直．A．①②③ B．①③④C．②③ D．②③④解析：选A.由线面垂直的性质及线面平行的性质知①②③正确；④错，过直线外一点作平面与直线垂直，则平面内过这一点的所有直线都与该直线垂直．2．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P是线段BC1上任意一点，则下列结论中正确的是()A．AD1⊥DP B．AP⊥B1CC．AC1⊥DP D．A1P⊥B1C解析：选B.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，因为B1C⊥BC1，B1C⊥AB，BC1∩AB＝B，所以B1C⊥平面ABC1D1，因为点P是线段BC1上任意一点，所以AP⊥B1C.故选B.3．下列命题正确的是()①eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a∥b,a⊥α))?b⊥α； ②eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a⊥α,b⊥α))?a∥b；③eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a⊥α,a⊥b))?b∥α； ④eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a∥α,a⊥b))?b⊥α.A．①② B．①②③C．②③④ D．①④解析：选A.对于命题①，a⊥α，则a垂直于平面α内的任意两条相交直线，又因为a∥b，所以b也垂直于平面α内的任意两条相交直线，所以b⊥α，①正确；由线面垂直的性质定理可知a∥b，所以②正确；因为a⊥α，当a⊥b时，则b可能在平面α内，也可能与平面α平行，所以③错误；当a∥α，a⊥b时，b与平面α的三种位置都有可能出现，所以④错误．4.如图，设平面α∩平面β＝PQ，EG⊥平面α，FH⊥平面α，垂足分别为G，H.为使PQ⊥GH，则需增加的一个条件是()A．EF⊥平面αB．EF⊥平面βC．PQ⊥GED．PQ⊥FH解析：选B.因为EG⊥平面α，PQ?平面α，所以EG⊥PQ.若EF⊥平面β，则由PQ?平面β，得EF⊥PQ.又EG与EF为相交直线，所以PQ⊥平面EFHG，所以PQ⊥GH，故选B.5．已知点P是△ABC所在平面外一点，且PA＝PB＝PC，则点P在平面ABC上的射影一定是△ABC的()A．内心B．外心C．垂心D．重心解析：选B.如图所示，设点P在平面ABC上的射影为O，连接OA，OB，OC.所以PO⊥平面ABC.因为PA＝PB＝PC，且∠POA＝∠POB＝∠POC＝90°，所以△PAO≌△PBO≌△PCO，所以AO＝BO＝CO.即点O到三角形三个顶点的距离相等，所以点O为△ABC的外心．6．等腰直角三角形ABC的斜边AB在平面α内，若AC与α所成的角为30°，则斜边上的中线CM与α所成的角为________．解析：如图，设C在平面α内的射影为点O，连接AO，MO，则∠CAO＝30°，∠CMO就是CM与α所成的角．设AC＝BC＝1，则AB＝eq\r(2)，所以CM＝eq\f(\r(2),2)，CO＝eq\f(1,2)，所以sin∠CMO＝eq\f(CO,CM)＝eq\f(\r(2),2)，所以∠CMO＝45°.答案：45°7．如图所示，PO⊥平面ABC，BO⊥AC，在图中与AC垂直的直线有______条．解析：因为PO⊥平面ABC，AC?平面ABC，所以PO⊥AC.又AC⊥BO，PO∩BO＝O，所以AC⊥平面PBD，所以PBD内的4条直线PB，PD，PO，BD都与AC垂直，所以图中共有4条直线与AC垂直．答案：48．在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，PA⊥平面ABC，PA＝8，则点P到BC的距离是________．解析：如图所示，作PD⊥BC于点D，连接AD.因为PA⊥平面ABC，所以PA⊥BC.又PD∩PA＝P，所以CB⊥平面PAD，所以AD⊥BC.在△ACD中，AC＝5，CD＝3，所以AD＝4.在Rt△PAD中，PA＝8，AD＝4，所以PD＝eq\r(82＋42)＝4eq\r(5).答案：4eq\r(5)9．如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1.(1)求证：AB1⊥平面A1BC1；(2)若D为B1C1的中点，求AD与平面A1B1C1所成角的正弦值．解：(1)证明：由题意知四边形AA1B1B是正方形，所以AB1⊥BA1.由AA1⊥平面A1B1C1得AA1⊥A1C1.又因为A1C1⊥A1B1，AA1∩A1B1＝A1，所以A1C1⊥平面AA1B1B，又因为AB1?平面AA1B1B，所以A1C1⊥AB1，又因为BA1∩A1C1＝A1，所以AB1⊥平面A1BC1.(2)连接A1D.设AB＝AC＝AA1＝1，因为AA1⊥平面A1B1C1，所以∠A1DA是AD与平面A1B1C1所成的角．在等腰直角三角形A1B1C1中，D为斜边的中点，所以A1D＝eq\f(1,2)B1C1＝eq\f(\r(2),2).在Rt△A1DA中，AD＝eq\r(A1D2＋A1A2)＝eq\f(\r(6),2).所以sin∠A1DA＝eq\f(A1A,AD)＝eq\f(\r(6),3)，即AD与平面A1B1C1所成角的正弦值为eq\f(\r(6),3).10.如图，已知四棱锥S-ABCD中ABCD为矩形，SA⊥平面AC，AE⊥SB于点E，EF⊥SC于点F.(1)求证：AF⊥SC；(2)若平面AEF交SD于点G，求证：AG⊥SD.证明：(1)因为SA⊥平面AC，BC?平面AC，所以SA⊥BC.因为四边形ABCD为矩形，所以AB⊥BC.又因为SA∩AB＝A，所以BC⊥平面SAB.所以BC⊥AE.又SB⊥AE，BC∩SB＝B，所以AE⊥平面SBC.又因为SC?平面SBC，所以AE⊥SC.又EF⊥SC，EF∩AE＝E，所以SC⊥平面AEF.因为AF?平面AEF，所以AF⊥SC.(2)因为SA⊥平面AC，所以SA⊥DC.又AD⊥DC，AD∩SA＝A，所以DC⊥平面SAD.又AG?平面SAD，所以DC⊥AG.又由(1)有SC⊥平面AEF，AG?平面AEF，所以SC⊥AG.又SC∩DC＝C，所以AG⊥平面SDC.因为SD?平面SDC，所以AG⊥SD.[B能力提升]11．如图所示，PA⊥平面ABC，△ABC中BC⊥AC，∠PBA＝θ1，∠PBC＝θ2，∠ABC＝θ3.则下列关系一定成立的是()A．cosθ1cosθ2＝cosθ3 B．cosθ1cosθ3＝cosθ2C．sinθ1sinθ2＝sinθ3 D．sinθ1sinθ3＝sinθ2解析：选B.eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(PA⊥平面ABC,BC?平面ABC))eq\a\vs4\al(?)eq\a\vs4\al(\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(PA⊥BC,AC⊥BC,PA∩AC＝A)))?BC⊥平面PAC?BC⊥PC，所以cosθ1＝eq\f(AB,PB)，cosθ2＝eq\f(BC,PB)，cosθ3＝eq\f(BC,AB).则有cosθ1cosθ3＝cosθ2.12.如图，Rt△ABC所在平面外一点S，且SA＝SB＝