2022-2023学年北师大版九年级数学上学期专项讲练1.6矩形的性质与判定（基础篇练习）

专题1.6矩形的性质与判定（基础篇）（专项练习）

一、单选题

类型一、利用矩形的性质求线段'角度及面积

1.如图，在矩形ABCD中，对角线AC、8。相交于。点，若N4CB=28。，则NAO5的

度数为（)

A.42°B.52°C.46°D.56°

2.如图，在矩形ABCQ中，EF是对角线AC的垂直平分线，分别交A8,CD于点E,

F,若AB=8,AO=4,则EF的长为()

A.4B.8C.石D.2百

3.如图，矩形A8C。中，对角线AC,8。相交于点E,BF//AC,CF//BD,若四边形

8EC尸面积为1,则矩形A8CQ的面积为（）

A.1B.2C.4D.8

类型二、利用矩形的性质和判定证明

4.如果矩形的一边与对角线的夹角为50。,则两条对角线相交所成的锐角的度数为

()

A.60°B.70°C.80°D.90°

5.如图，已知点O是矩形ABC。的对称中心，且AB>AO.点E从点A出发沿AB向

点B运动，移动到点B停止，延长EO交CD于点F,则四边形AECF的形状不可能是（）

C.矩形D.正方形

6.如图，四边形A6c。是矩形，E是CO边延长线上一点，下是BE上一点,

ZFED=NFDE,ZDFB=ZDBF,ZDBC=24°,则NER4的度数是（）

A.7°B.21°C.22°D.24°

类型三直角三角形斜边上中线问题

7.如图，aNBC中，NABC=90。，点。是斜边4c的中点，AC=10,则。8=（）

C.8D.10

8.如图，在RtAABC中，NABC=90。，防是AC边上的中线，。E是A45C的中位线,

若OE=6,贝DBF的长为（）

A\

aEC

A.6B.4C.3D.5

9.如图，DE为4ABC的中位线，点F在。E上，且/AEB=90。.若AB=7,BC=\\,

则EF的长为（）

D.2

类型四、添加一个条件构成矩形

10.在口A8CD中，下列判断不正确的是（）

A.若A8=BC,则%BCD是菱形

B.若4CLB。，则cABC。是矩形

C.若AC平分NBA。，则。ABC。是菱形

D.若AC=BO,则aABCQ是矩形

11.如图，平行四边形ABC。的对角线AC,8。相交于点0,添加下列条件仍不能判

断四边形ABC。是矩形的是（）

B.AB=AD

B.C.0A=0DD.ZABC+ZADC=180°

12.如图，在四边形ABCD中，AD//BC,AD^BC,添加下列条件不能判定四边形

A8CQ为菱形的是（)

AD

B

A.BDLACB.BC=CDC.AC^BDD.AABD=NCBD

类型五'证明四边形是矩形

13.如图，点。为矩形48co的对称中心，点E从点A出发沿AB向点8运动，移动到

点B停止，延长E。交C。于点F,则四边形AECF形状的变化依次为（）

A.平行四边形一菱形一平行四边形-矩形B.平行四边形一正方形一平行四边形

-矩形

C.平行四边形-正方形-菱形一矩形D.平行四边形一菱形-正方形一矩形

14.下列命题，为真命题的是（)

A.三个角是直角的四边形是矩形B.对角线相等的四边形是矩形

C.三条边相等的四边形是菱形D.对角线互相垂直的四边形是菱形

15.如图，在中，AB=AC,点、D,E分别为边BC,AC的中点，延长OE至点

F,且EF=DE,则四边形AQCF一定是（)

B.菱形

C.正方形D.矩形

类型六、利用矩形的性质与判定求线段'角度及面积

16.矩形ABCD中，48=2,4。=1,点M在边上，若AM平分NOMB,则DM的

长是（)

L3L

C.道—-D.2-百

2

17.如图，矩形ABC。中，A8=2,AO=1,点用在边C。上，若AM平分NOM8,则

0M的长是（）

D.>/3-1

18.如图，在矩形488中，AB=2,AD=4,E为CD的中点，射线AE交8c的延长线

于点F，P为BC上一点、,当/B4E=/D4E时，PF的长为（）

类型一、利用矩形的性质求线段、角度及面积

19.如图，四边形ABC。是个活动框架，对角线AC、BD是两根皮筋.如果扭动这个

框架（8C位置不变），当扭动到N4BC=90。时四边形4BCZ7是个矩形，AC和8。相交于点

0.如果四边形ODOC为菱形，则NA'C8='

20.如图，在矩形ABCQ中，对角线AC、8。相交于点O,若48=60。，4）=4

,则AB的长为

21.如图，点尸是矩形4BCD的对角线AC上一点，过点P作E尸〃8C,分别交A3、

则图中阴影部分的面积为

类型二、利用矩形的性质和判定证明

22.如图，E,尸是矩形ABCD的边A。和BC上的两点，连接BE,DF,BD,请添加

（填一个即可）.

23.如图，在矩形A8C。中，AB=Sa,BC=4a,若点E是边AO上一点,点F是矩形内

一点，ZBCF=30°,则EF+；C尸的最小值是

24.如图，点E是矩形A8CO边40上一点，点尸，G,H分别是BE,CE的中点,

类型三直角三角形斜边上中线问题

25.如图，在RdABC中，N4CB=90。，根据尺规作图的痕迹判断以下结论正确的是

①NDBC=NBDC②AE=BE③CD=；AB@ZBAE^ZACD

26.如图，在△ABC中，点。，E分别是边AB,AC的中点，点尸是线段OE上的一点、

连接A凡BF,ZAFB=90°,且4B=8,BC=\4,则E尸的长是.

27.如图，1BC中，D,E分别是A8,AC的中点，尸是OE延长线上的一点，且

ZAFC=90°,若AC=6,8c=10,则的长为.

类型四、添加一个条件构成矩形

28.如图所示，顺次连接四边形48。各边中点得到四边形EFG”，要使四边形EFG”

为矩形，应添加的条件是一；要使四边形EFGH为菱形,应添加的条件是一（只填序号）.备

选答案：®AB//CD；②AC=BD；®ACLBD；@AB=DC.

D

E

C

A/\

GB

29.△他C中，延长54至。使得筋=AQ,延长C4至E使得AC=AE,当AA5C满

足条件时，四边形8CE应是矩形.

30.如图，的对角线交于点O,请你添加一个条件，使QABCD是矩形，这个

条件可以是：_（图中不再添加其他的点或线，只需写出一个条件即可）.

类型五、证明四边形是矩形

31.四边形438中，AC、BD交于O,给出条件①0A=OC,O8=。。；②

AB=CD,AC=BD.③。4=O3=OC=O£＞；@AB±BC,AC=BD.其中能推得四边形

ABC。是矩形的是（填序号）.

32.如图，已知直角三角形A6C,NABC=90。，小明想做一个以A3、8c为边的矩形,

于是进行了以下操作：

（1）测量得出AC的中点E；

（2）连接8E并延长到O,使得ED=BE；

（3）连接AD和OC.则四边形ABCD即为所求的矩形.理由是.

33.如图，ABUCD,PM、PN、QW、QN分别为角平分线，则四边形加QV是

B

C

类型六、利用矩形的性质与判定求线段、角度及面积

34.在矩形A8C。中，AB=4,BC=3,过点A作/D4C的角平分线交8c的延长线于

点H,取A4的中点P,连接BP,则SaA8P=—.

35.如图，过矩形ABCD的对角线BO上一点K分别作矩形两边的平行线MN与PQ,

那么图中矩形4WKP的面积耳与矩形QCNK的面积S2的大小关系是H邑；(填“>”

或或”=

36.如图，在RtAABC中，NC=90。，AC=6,BC=2,点尸是AB边上的一点(异于A,

B两点)，过点P分别作4C,BC边的垂线，垂足分别为M,N,连接例M则MN的最小值

是.

三、解答题

37.如图，矩形A8CD的对角线AC、8。相交于点O,BE//AC,CE//DB.

(1)求证：四边形0BEC是菱形；

(2)若A£>=4,AB=2,求菱形0BEC的面积.

38.如图，矩形A8CD的对角线AC、8。相交于点0,过点8作研〃。4,且8P=。4,

连接转，求证：四边形A0BP是菱形.

39.如图1,在AABC中，AB=AC,垂直平分AB,BEVAC,垂足为E.

(1)求NBAC的度数;

(2)如图2,若AF_L2C,垂足为凡连接E凡求NE/C的度数.

40.如图，在平行四边形A8CC中，对角线AC、BO交于点O,E、尸是AC上两点,

且AE=CF,连接BE、ED、DF、FB得四边形

(1)求证：四边形8即尸是平行四边形.

(2)当EF、3。满足条件时，四边形BECF是矩形.(不必、可明).

41.如图，已知平行四边形A8CZ)中，是8。上的两点，且BM=ZW,AC=2OM.

(1)求证：四边形AMCN是矩形;

⑵若NBAO=135。，8=2,ABLAC,求四边形ABCO的面积.

42.阅读下列材料，并解答其后的问题：

我们知道，三角形的中位线平行于第一边，且等于第三边的一半，我们还知道，三角形

的三条中位线可以将三角形分成四个全等的一角形，如图1,若D、E、F分别是AABC三边

的中点，则有£)E〃3C,且DF='BCQADF.DBE.FEC.EFD

2

(1)在图1中，若的面积为15,则ADE尸的面积为；

(2)在图2中，己知E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点，求证：四边形

EFGH是平行四边形;

(3)如图3中，已知E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点,

AC=4,BD=5t则四边形EFGH的面积为.

参考答案

1.D

【分析】

根据矩形的对角线互相平分且相等可得OB=OC,再根据等边对等角可得N08C=NAC8,

然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解.

解：；矩形488的对角线AC,80相交于点0,

：.OB=OC,

；.NO8C=NACB=28°,

二N4O8=NO8C+NAC8=28°+28°=56°.

故选：D.

【点拨】本题考查了矩形的性质，等边对等角的性质以及三角形的一个外角等于与它不

相邻的两个内角的和的性质，熟记各性质是解题的关键.

2.D

【分析】

连接CE,设EF交AC丁点0,根据矩形的性质和EF是AC的垂直平分线，可得

OA=OC=^AC=245,EC=AE,OA=OC,再由勾股定理可得AE=CE=5,从而得到0E=6，

再由△AOEg/XCOF,可得OF=OE,即可求解.

解：如图，连接CE,设£尸交AC于点0,

在矩形A8CO中，BC=AD=4,AB=CD=8,ZB=ZADC=90°,AB//CD,

AC=y/AD2+CD2=4A/5，

/.OA=OC=-AC=245,

2

是AC的垂直平分线，

；.EC=AE,OA^OC,

设EC=AE=x,则BE=AB-AE=S-x,

在即△£BC中，BE?+BC2=CE2,

,\x2=42+(8-x)2,解得：x=5,

：.AE=CE=5t

9：EFLAC,

OE=5

♦：AB〃CD,

：.ZOCF=ZOAE,4AEO=ZCFO,

•：OA=OC,

・,.AAOE^ACOF,

:.OF=OE,

・'EF=2OE=245,

故选：D.

【点拨】本题主要考查了矩形的性质、线段垂直平分线的性质、勾股定理、全等三角形

的判定和性质，熟练掌握以上相关知识是解题的关键.

3.B

【分析】

先证得四边形8ECF是菱形，得到△8EC的面积为:，再利用矩形的性质即可求解.

解：'：BF//AC,CF//BD,

，四边形BECF是平行四边形，

:四边形ABC。是矩形，

：.AE=CE,BE=DE,AC=BD,

:.AE=BE=EC,

四边形8EC尸是菱形:

/.S^BEC=SABFC=；S四边形BECF=g,

・・•四边形ABC。是矩形，

二矩形ABCD的面积为4x；=2,

故选：B.

【点拨】本题考查了菱形的判定与性质、矩形的性质，熟练掌握矩形的性质和菱形的判

定与性质是解决问题的关键.

4.C

【分析】

先画出简单的图形，因为矩形两对角线相等且互相平分，又有•角的度数，可由三角形

内角和求解角的度数.

解：如图，

•.•矩形两对角线相等且互相平分，一边与对角线的夹角为50。，即NOA8=50。,

OB=OA,

:.另一角NOBA=NOAB=50°,

由三角形内角和可得两条对角线相交所成的锐角的度数即180°-50°-50°=

80°.

故选C.

【点拨】本题考查了矩形、等腰三角形的性质，以及三角形内角和定理.

5.D

【分析】

根据矩形的性质，可得四边形AEC尸形状的变化情况，由此可得结论.

解：；四边形A8c3是矩形

/.AO-CO,CD//AB

；.NOAE=NOCF

:NAOE=NCOF

/.AAOE^/\COF(.ASA)

：.OE=OF

，四边形AECF是平行四边形

当四边形AECF是菱形，

当点E和点8重:合时，四边形AECF是矩形

可知四边形AEC尸形状的变化依次为平行四边形t菱形一平行四边形一矩形，不

可能是正方形，

故选：D.

【点拨】考查了全等三角形的判定和性质、矩形的性质，平行四边形的判定，菱形的判

定，根据EF与AC的关系即可求解.

6.C

【分析】

设据矩形的性质以及已知条件求得/3Z)C,根据三角形外角的性质求得

4BDC=3a,从而求得NEBA

解：设NEBA=a,

•••四边形ABC。是矩形

AB//CD,ZC=90°

/.ZBDC=90°-NDBC=90°-24°=66°

•••£是8边延长线上一点，

AB//CE

NEBA=NBEC=a

NFED=NFDE,

ZDFB=ZFED+ZFDE=2a

ZDFB=ZDBF=2a,

NBDC=/DBF+AE=3a

:.?>a=66°

a=22°

即NEBA=22°

故选C

【点拨】

本题考查了矩形的性质，三角形的外角性质，根据三角形的外角性质求解是解题的关键.

7.A

【分析】

根据直角三角形斜边上的中线的性质解答即可.

解：心△ABC中，/ABC=90。，点0是斜边AC的中点，AC=10,

则0B=^AC=5,

故选：A.

【点拨】本题考查了直角三角形斜边上的中线的性质，在直角三角形中，斜边上的中线

等于斜边的一半.掌握直角三角形斜边上的中线的性质是解题的关键.

8.A

【分析】

根据三角形中位线定理求出AC,再根据直角三角形斜边上的中线的性质解答即可.

解：是AABC的中位线，DE=6,

：.AC=2DE=\2,

在RdABC中，ZABC=90°,8尸是AC边上的中线，

则BF=yAC=6,

故选：A.

【点拨】本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形斜边上的中线的性质，掌握三角

形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键.

9.D

【分析】

根据三角形中位线定理求出DE,根据直角三角形的性质求出DF,结合图形计算，得

到答案.

解：•.♦£>£：为AABC的中位线，

:.DE=-BC=5.5,

2

在心小bB中，。是A8的中点，

:.DF=-AB=3.5,

2

:.EF=DE—DF=2,

故选：D.

【点拨】本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的中线，解题的关键是掌握三角

形的中位线等于第三边的一半、直角三角形的性质.

10.B

【分析】

根据菱形的判定方法和矩形的判定方法逐个判定即可.

解：•.•在。48CD中，AB=BC,

...eABC。是菱形，选项A正确，不符合题意；

；在QA8CC中，ACLBD,

.•.□ABCD是菱形，选项B错误，符合题意；

•.•在。48c。中，AD//BC,

：.ZBCA^ZDAC,

：AC平分NBA。，

：.ZBAC^ZDAC,

：.ZBCA^ZBAC,

：.AB=BC,

..."ABC。是菱形，选项C正确，不符合题意；

;在。ABCD中，AC^BD,

...0A8CD是矩形，选项D正确，不符合题意；

故选:B.

BC

【点拨】本题考查了平行四边形的性质、菱形的判定方法以及矩形的判定方法，熟练学

握矩形和菱形的判定方法是解决本题的关键.

11.B

【分析】

由勾股定理的逆定理证得NA8C=90。，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形可判断

A；根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形可判断B

；根据对角线相等的平行四边形是矩形可判断c；根据有一个角是直角的平行四边形是

矩形可判断D.

解：4."：AB2+BC2^AC2,

：.ZABC=90°,

•••□ABC。为矩形，故本选项不符合题意；

B."：AB=AD,

18co为菱形，故本选项符合题意；

C.•.•四边形ABCQ是平行四边形，

A0A=0C,0B=0D,

■:OA^OD,

：.AC=BD,

."ABCZ)是矩形，故本选项不符合题意；

D：四边形A8C。是平行四边形，

ZABC=ZADC,

；NA8C+NAOC=180。，

ZABC=ZADC=90°,

...“1BC。为矩形，故本选项不符合题意；

故选：B.

【点拨】本题考查了矩形的判定定理，勾股定理的逆定理，平行四边形的性质，熟练掌

握矩形的判定方法是解决问题的关健.

12.C

【分析】

根据菱形的定义及其判定、矩形的判定对各选项逐一判断即可得.

解：vAD//BC,AD=BC,

四边形"CQ是平行四边形，

当8。_LAC或BC=8时，均可判定平行四边形ABCD是菱形；

当ZAB£>=NC8£)时，

由AD//BC知NCBD=NADB,

;.NABD=/ADB,

：.AB=AD-

・•.平行四边形A8CD是菱形;

当AC=3。时，判定平行四边形A8C。是矩形;

故选：C.

【点拨】本题主要考查菱形的判定、矩形的判定、平行四边形的判定与性质等知识，熟

练掌握菱形的判定和矩形的判定是解题的关键.

13.A

【分析】

连接AC,可证得四边形AECF是平行四边形，然后根据AE与CE的数量关系，即可求

解.

:点。为矩形A8CO的对称中心，

：.OA=OC,

在矩形ABC。中，AB//CD,

工ZOCF=ZOAE,ZOFC=ZOEA,

AAOE^ACOF,

：.AE=CF,

四边形AECF是平行四边形，

...当AEVCE时，四边形4ECF是平行四边形，

当AE=CE时，四边形AECF是菱形，

当时，四边形4ECF是平行四边形，

当点E到达点B时，四边形AEC尸是矩形；

四边形AECF形状的变化依次为

故选：平行四边形一菱形一平行四边形-矩形.

故选：A

【点拨】本题主要考查了矩形的性质和判定，菱形的判定，熟练掌握矩形的性质和判定,

菱形的判定定理是解题的关键.

14.A

【分析】

根据矩形和菱形的判定定理依次判断结论是否成立即可.

解：A、正确，三个角是直角的四边形是矩形，是真命题，符合题意；

B、错误，对角线相等的平行四边形是矩形，不符合题意；

C、错误，四条边相等的四边形是菱形，不符合题意：

D、错误，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，不符合题意；

故选：A.

【点拨】本题主要考查了矩形和菱形的判定，熟悉掌握图形的判定特点是解题的关键.

15.D

【分析】

由AB=AC,点。为8c的中点，可证明NA£>C=90°（等腰三角形三线合一）；再由题

意E为AC的中点，EF=DE,根据对角线相互平分的四边形是平行四边形，可证明四边形

ADCF是平行四边形，结合ZADC=900可证明四边形ADCF是矩形.

解：=点。为的中点，

AAD±BC,B[JZAZX;=90°,

♦.♦£为AC的中点，

AE=CE,

又•:DE=FE,

四边形ADC尸是平行四边形,

又：ZADC=90°,

四边形ADCF是矩形.

故选：D

【点拨】本题主要考查了矩形的判定，解题关键是熟练掌握矩形的判定条件.

16.D

【分析】

根据题意由矩形的性质得出C氏A8=2,AB//CD,BC=AD=\,NC=90。，由平行线的性

质得出再由角平分线证出得出MB=4B=2,由勾股定理求

出CAf,即可得出DW的长.

解：：四边形4BCO是矩形,

：.CD=AB=2fAB//CD,BC=AD=lfZC=90°,

TAM平分NDMB,

・•.ZAMD=ZAMB,

：.ZBAM=ZAMBf

/.BM=AB=2,

”={MB。-BC?=V22-l2=x/3，

:.DM=CD-CM=2-6

故选：D.

【点拨】本题考查矩形的性质和等腰三角形的判定以及平行线的性质和勾股定理；熟练

掌握矩形的性质，证明是解决问题的关键.

17.A

【分析】

由矩形的性质得出CZ)=A8=2,ABHCD,BC=AD=1,ZC=90°,由平行线的性质

得出再由角平分线证出得出M8=AB=2,由勾股定理

求出CM,即可得出。M的长.

解：：四边形A8CO是矩形，

：.CD=AB=2,ABHCD,BC=AD=l,ZC=90°,

：.ZBAM=ZAMD,

平分NQMB,

NAMD=NAMB,

：.ZBAM=ZAMB,

：.BM=AB=2,

CM=《MB?-BC。=6-

Z.DM=CD-CM=2->/3;

故选：A.

【点拨】本题考查了矩形的性质、等腰三角形的判定、平行线的性质、勾股定理：熟练

掌握矩形的性质，证明历8=AB是解决问题的关键.

18.D

【分析】

根据矩形的性质结合等角对等边，进而得出CF的长，再利用勾股定理得出AP的长.

解：'JAD//BC,

:.NDAE=NF,

又：/雨后:/%尽

：.ZPAE=ZF,

：.PA=PF,

ZDAE=ZF

在^ADE和△FCE中，-^ADE=NFCE,

DE=EC

：.AAD£^AFC£(A4S)

；.CF=AO=4,

设CP=x,FA=PF=x+4,BP=4-x,

在直角△4BP中，

22+(4-x)2=(x+4)2,

解得：x=J,

4

17

...AP的长为：—.

4

故选：D.

【点拨】此题主要考查了矩形的性质以及勾股定理等知识，正确得出FC的长是解题关

键.

19.30

【分析】

先证明△OCD'是等边三角形，得到NOCO=60。，再由四边形A'BCD是矩形，得到

NBCD=90°,则ZACB=NBCD'-ZOCD'=30°.

解：：四边形ODOC为菱形，

：.OC=OD'=CD,

•.•在扭动过程中，co的长度是不会发生变化的，

CD'=CD,

二CD'=OC=OD',

△oc。'是等边二角形,

，ZOCD,=60°,

•.•四边形ABC。是矩形，

NBCD'=90。,

：.ZACB=ZBCD'-ZOCD'=30°,

故答案为：30.

【点拨】本题主要考查了矩形的性质，菱形的性质，等边三角形的性质与判定，熟知菱

形的性质和矩形的性质是解题的关键.

20.46

【分析】

由条件可求得AAOB为等边三角形，则可求得AC的长，在mAABC中，由勾股定理可

求得8c的长.

解：,••四边形ABC。为矩形，

-**AO=OC=DO»AB=CD,

•・•NAQD=60。，

为等边三角形，

:.AO=OC=OB=AD=4,

・•.AC=8,

在R〃A£)C中，由勾股定理可求得£)c==46，

AB=CD=&6

故答案为：4G.

【点拨】本题主要考查矩形的性质，勾股定理，等边三角形的性质与判定，掌握矩形的

对角线相等且互相平分是解题的关键.

21.12

【分析】

作尸于M,交BC于N,根据矩形的性质可得SAPE8=SAPF£＞即可求解.

解：作RW_LA。于M,交8c于M

则有四边形AEPM,四边形OFPM,四边形CFPM四边形3EPN都是矩形，

：.S^ADC=S^ABC,S^AMP=S^AEP,S/BE=SAPBN,ShPFD=S^PDM,

SAPFC=S&PCN,

S矩形PEBN=S矩形-，

.,.SA£）FP=SAP8E=Tx2x6=6,

S阴=6+6=12,

故答案为：12.

【点拨】本题主要考查矩形的性质、三角形的面积，解决本题的关键是要熟练掌握矩形

的性质.

22.ED=FB（答案不唯一）

【分析】

根据矩形的性质可得AD〃BC,所以/4OB=NC8O,添加ED=F8,利用SAS即可使

△BEDm丛DFB.

解：：四边形A8C。是矩形，

J.AD//BC,

：.ZADB=ZCBD,

所以添加ED=FB,

利用SAS即可使ABE。丝△OFB.

故答案为：ED=FB（答案不唯一）.

【点拨】此题考查矩形的性质，全等三角形的判定，解题的关键是熟练掌握矩形的性质.

23.3a

【分析】

作辅助线，先根据直角三角形30度角的性质可知：CF=P/7,得GH的长是EF+《CF

22

的最小值，从而得结论.

解：过尸作G”〃CD,交A。于G,BC于H,如图：

;四边形A8C。是矩形，

；.ND=/BCD=90。,AD//BC,

J.GHLAD,ZCHF=90°,

'：N8C尸=30。，

：.FH=-CF,

2

：点E是边A。上一点，

：.EF+-CF=EF+FH,

2

即EF+；CF的最小值是GH,

,：ZGHC=ZBCD=ZD=90°,

四边形OGHC是矩形，

：.GH^CD=AB^3a,

即EF+gc/的最小值是3a；

故答案为：3a.

【点拨】本题考查了矩形的判定和性质，平行线的性质，直角三角形30度角的性质等

知识，解题关键是确定的最小值是GH.

24.6

【分析】

由矩形的性质及直角三角形斜边上的中线的性质可求解8E=24尸=12,再利用三角形中

位线定理可求解.

解：在矩形A8C。中，ZBAD=90°,

■:尸为BE的中点,AF=6,

：.BE=2AF=}2.

,：G,〃分别为8C,EC的中点，

GH=^BE=6,

故答案为6.

【点拨】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，求解5E的长是解题的关键.再

根据中位线定理求出GH.

25.②③④

【分析】

根据尺规作图的痕迹可得，QE垂直平分48,再根据线段垂直平分线的性质以及直角三

角形斜边上中线的性质，即可得出结论.

解：根据尺规作图的痕迹可得，OE垂直平分A8,

为AB的中点，AE=BE,

：.CD=^AB=AD=BD,

：.ZDBC=ZDCB,ZA=ZACD,

综上所述，①选项错误，②③④选项都正确，

故答案为：②③④.

【点拨】本题主要考查了基本作图以及直角三角形斜边上中线的性质，在直角三角形中，

斜边上的中线等于斜边的一半.

26.3

【分析】

根据三角形中位线定理和直角三角形斜边上的中线的性质即可得到结论.

解：..•点。，E分别是边AB,AC的中点，

：.DE^48c的中位线，

VBC=14,

；.OE=g8C=7,

；乙4尸8=90°,48=8,

：.DF=AB=4,

：.EF=DE-DF=7-4=3,

故答案为：3.

【点拨】本题考查了三角形中位线定理、直角三角形的性质，熟练掌握三角形中位线定

理是解题的关键.

27.8

【分析】

根据三角形中位线定理求出3E,根据直角三角形的性质求出FE,结合图形计算，得

到答案.

解：•••点拉，点E分别是48,AC的中点，

.••。£是4A8C的中位线，

:.DE=；BC=5(cm),

在4△AFC中，点E是AC的中点，

.,.FE=^AC=3(cm),

：.DF^DE+EF=5+3S(cm),

故答案为8.

【点拨】本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质，掌握三角形的中位线平

行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键.

28.③②

【分析】

先证四边形EFG”是平行四边形，要使四边形EFG4为矩形，需要/EFG=90。，即

ACYBD-,当AC=8D,可判断四边形EFG”为菱形.

解：依题意得，四边形ER7H是由四边形A8C。各边中点连接而成，

连接AC、BD,

人

:匕

：E、尸、G、，分别是C£＞、DA,AB、BC的中点，

J.EF//AC//HG,EH//BD//FG,

四边形EFGH是平行四边形，

要使四边形EFGH为矩形，

根据矩形的判定：有一个角为直角的平行四边形是矩形，

故当AC_L5O时，/EFG=/EHG=90。时，四边形EFGH为矩形；

要使四边形EFGH为菱形，

根据矩形的判定：有一组邻边相等的平行四边形是菱形，即EF=EH,

而EH=；BD,

：.AC=BD.

故当AC=BD时，平行四边形EFGH为菱形

故答案为：③；②.

【点拨】本题考查了矩形和菱形的判定定理：有一个角为直角的平行四边形是矩形，邻

边相等的平行四边形是菱形.也考查了平行四边形的判定以及三角形中位线的性质.

29.AB=AC

【分析】

根据题意作出图形，结合矩形的判定定理即可求得.

解：如图，AABC中，延长至。使得/隹=A£),延长C4至E使得AC=AE,

ED

u_______________________:

BC

当3Z)=EC时，四边形3cOE是矩形

AB=AD,AC=AE

：.AB=AC

故答案为：AB=AC

【点拨】本题考查了矩形的性质与判定定理，掌握矩形的性质与判定定理是解题的关键.

30.AC=BD

【分析】

根据矩形的判定定理在平行四边形的条件下，加上对角线相等，或者有一个角是直角即

可

解：•••四边形A8CO是平行四边形

若AC=3O

则四边形4BCO是矩形

故答案为：AC^BD（答案不唯一）

【点拨】本题考查/矩形的判定定理，掌握矩形的判定定理是解题的关键.

31.③

【分析】

由矩形的判定、平行四边形的判定与性质分别对各个选项进行判断即可.

解：®'：AO=CO,BO=DO,

；•四边形A8CO是平行四边形，不符合题意：

②•.,43=C£>,AC=8Q,

•••不能判定四边形A8CO是矩形，不符合题意；

③；0A=08=0C=0Z）,

四边形ABCD是平行四边形，

：.AC^BD,

平行四边形A8CO是矩形，符合题意：

@ABVBC,AC=BD,

不能推出四边形ABC。是矩形，不符合题意；

故答案为：③.

【点拨】本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质等知识；熟练掌握矩形的判

定、平行四边形的判定与性质是解题的关键.

32.有一个角是直角的平行四边形为矩形.

【分析】

先证四边形题是平行四边形，再由NABC=90。，即可得出结论.

解：是AC的中点，

AE=CE,

•・・ED=BE,

二四边形ABC。是平行四边形，

又♦.•ZABC=90°,

二平行四边形ABC。为矩形，

故答案为：有一个角是宜角的平行四边形为矩形.

【点拨】先证四边形ABD是平行四边形，再由Z4BC=90°,即可得出结论.

33.矩形

【分析】

首先根据角平分线的性质证明NMPQ+/MPQ=90。，再证明四边形PMQN是平行四边

形，然后根据有一个角是直角的平行四边形是矩形进行判定.

解：•.•/，〃、PN分别平分NAP。，ZBPQ,

：.ZMPQ=yZAPQ,/NPQ=yZBPQ,

'：N4P0+N8PQ=18O。，

NMPQ+NNPQ=90。,即NNPM=90。,

'：AB//CD,

：.NAPQ=NPQD,

：QN平分/P0。，

NPQN=NPQD,

：.ZMPQ=ZNQP,

J.PM//QN,

同理QMHPN,

四边形PMQV是平行四边形，

,：ZNPM=90°,

...四边形PMQN是矩形.

故答案为：矩形.

【点拨】此题主要考查了矩形的判定和平行线的性质，解题关键是根据角平分线和平行

线的性质得出90。角和平行四边形.

34.8

【分析】

由勾股定理可得4c=5,根据角平分线的性质可证即AC=C”

=5,则可求LAB”的值，由P是中点，可得SMBP的值.

解：•••四边形48C。是矩形，

.,.AD//BC,ZABC=90°,

；A8=4,8c=3,

；・AC=yjAB2+BC2=5,

YA”平分NDAC,

：.ZDAH=ZCAHf

■:AD"BC,

：.ZDAH=ZHt

：.4H=4CAH,

：.AC=CH=5,

•：BH=BC+CH,

:.BH=8,

SAABH=IABxBH=1x4x8=16,

TP是A〃的中点

：.SAABP=^SAABH=S；

故答案为：8.

【点拨】此题主要考查矩形的性质与判定综合，解题的关键是矩形的性质及勾股定理的

应用.

35.=

【分析】

根据矩形的性质，可知△A8D的面积等于△CC8的面积，AMBK的面积等于aOKB的面

积，APKO的面积等于ANQK的面积，再根据等量关系即可求解.

解：；四边形488是矩形，四边形M8QK是矩形，四边形PKNO是矩形，

...△48。的面积的面积，△M8K的面积4QKB的面积，NK。的面积

的面积，

△43。的面积-AMBK的面积-△PKQ的面积=A88的面积-AQKB的面积=ZiM)K

的面积，

Sl=S2.

故答案为：=

【点拨】本题考查了矩形的性质，解题的关键是得到AAB。的面积等于ACQB的面积，

△M3K的面积等于△QK3的面积，4PKD的面积等于ANDK的面积.

36.2^##-7io

55

【分析】

首先证明四边形PMCN是矩形，推出MN=PC,根据垂线段最短即可解决问题:

解：如图，连接PC.

•,AB—不6?+2、=2Vfo,

VPA/1AC,PNtBC,

：.ZPMC二ZPNC=ZC=90°,

・•・四边形PMCN是矩形，

:.MN二PC,

，当PCLA8时,PC的值最小,

.......-HH[/±ACxBC6x23\fl0

此N时MN的最小值=PC=-------=—7==——,

AB25/105

故答案为：迎.

5

【点拨】本题考查矩形的判定和性质、垂线段最短、勾股定理等知识，解题的关键是学

会用转化的思想思考问题.

37.(1)见分析；(2)4

【分析】

(1)先由已知条件证明四边形。BEC是平行四边形，再由矩形的性质得出OB=OC,

由菱形的判定方法即可得出结论：

(2)先求出LOBC=；S励"8CD=2,即可求解.

解：⑴'：BE//AC,CE//DB,

四边形08EC是平行四边形,

•••四边形ABC。是矩形，

OC=^AC,OB=^BD,AC=BD,

：.OB=OC,

•••四边形OBEC是菱形：

(2)'：AD=4,AB=2,

**•S矩形ABCD=4x2=3,

*••SAOBC=-S矩形ABCD=2,

，菱形OBEC的面积=2Sz/MC=4.

【点拨】本题考查了矩形的性质、平行四边形的判定、菱形的判定；熟练掌握矩形的性

质，并能进行推理论证是解决问题的关键.

38.见分析

【分析】

由已知条件B尸〃。4