2022-2023学年北师大版九年级数学上学期专项讲练1.12正方形的性质与判定（拓展篇练习）

专题1.12正方形的性质与判定（拓展篇）（专项练习）

一、单选题

类型一、正方形折叠问题

1.如图，正方形ABC。中AB=6,点E在CZ）上，且C£>=3OE,将沿AE对折

至AAFE，延长边EF交边BC于点G,连接AG、CF.下列结论:①^ABG^AFG；®BG=CG；

③AG〃CF,、④5"，cc=3；©DE2+BG2=EG2.其中正确结论的个数是（）个

C.4D.5

2.如图，在正方形ABCD中，对角线AC,8。交于点0,折叠正方形48C。，使AB

边落在4c上，点8落在点”处，折痕AE交BC于点E,交8。于点F,连接尸从下列结

论：①AO=DF；②四边形尸为菱形；③工=丘-1；④密皿=翌.其中正确的结

AD^AACEAC

论有（）

A.4个B.3个C.2个D.1个

3.如图，正方形纸片45co的边长为12,点尸是AO上一点，将ACD尸沿CP折叠,

点。落在点G处，连接DG并延长交A8于点E.若AE=5,则GE的长为（)

4.如图，将正方形纸片A8C。沿EF折叠，使点5落在AO边的点尸处（不与点A,点

。重合），点C落在G点处，PG交DC于点H,连接BP,BH.BH交EF于点、M,连接PM.下

R5

列结论：①PB平分NAPG；②PH=AP+CH；®BM=—BP,④若8E=-，AP=\,则S凝彩

23

BEPM=^,其中正确结论的序号是（）

A.①②③④B.①②③C.①③④D.①②④

类型二、正方形重叠部分面积问题

5.如图，三个边长均为2的正方形重叠在一起，M、N是其中两个正方形对角线的

6.如图.边长为1的两个正方形互相重合，按住其中一个不动，将另一个绕顶点A顺

时针旋转45。，则这两个正方形重叠部分的面积是（)

R'

A.|B.且C.1-2D.72-1

233

7.将"个边长都为的正方形按如图所示的方法摆放，点A/,A2,…，A〃分别是正

方形对角线的交点，则〃个正方形重叠形成的重叠部分的面积和为（）

8.如图，边长为6的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为Si

和S2,比较，与S2的大小（）

A.Si>S2B.S尸S2C.Si<S2D.不能确定

类型三、正方形最值问题

9.如图，正方形A8CO的周长为24,尸为对角线AC上的一个动点，E是的中点,

则P£+P£>的最小值为（）

A.3石B.36C.6D.5

10.如图，正方形A8C£＞的边长是2,/D4c的平分线交C£＞于点E,若点P,。分别

是A。和AE上的动点，则。Q+PQ的最小值为（）

3

A.6B.272C.-D.2

11.如图，正方形ABCD边长为4,点E是C。边上一点，且NABE=75。.P是对角线

上一动点，贝+的最小值为（）

A.4B.4&C.77°D.五+限

2

12.如图，矩形ABC£＞中，AB=2,BC=4,P,。分别是8C,A8上的两个动点，

AE=\,△4EQ沿EQ翻折形成AFEQ,连接尸尸，PD,则PF+PQ的最小值是（）

A.5B.4C.20D.2行

类型四、平直直角坐标系中的正方形问题

13.如图，将正方形0ABe放在平面直角坐标系中，。是原点，点A的坐标为（1,6）,

则点C的坐标为（)

A.（-1,-⑸B.（5-1）C.（-1,6）

D.（-73,1）

14.在平面直角坐标系中，正方形ABC£＞的位置如图所示，点4的坐标为（0,2）,点

8的坐标为（-3,0）,则点C到y轴的距离是（）

A.6B.5C.4D.3

15.如图①，正方形ABCD在直角坐标系中，其中AB边在y轴上，其余各边均与坐标

轴平行，直线/：y=x-l沿y轴的正方向以每秒1个单位的速度平移，在平移的过程中，该直

线被正方形ABC。的边所截得的线段长为机（米），平移的时间为1（秒），他与r的函数图

象如图②所示，则图②中匕的值为（）

A.3&B.5A/2C.6夜D.10夜

16.如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD为正方形，点A的坐标为（0,2）,点8

的坐标为（4,0）,点E为对角线的交点，点F与点E关于），轴对称，则点尸的坐标为（)

类型五、正方形的旋转问题

17.已知正方形O8CD在平面直角坐标系中的位置如图所示M为边上一点，且点

M的坐标为（〃，b）.将正方形。BCQ绕原点。顺时针旋转，每秒旋转45。，则旋转2022

C.(-/?,a)D.(-a,-b)

18.如图，正方形OA8C中，点C（0,4）,点。为AB边上一个动点，连接CQ,点尸为

8的中点，绕点。将线段。尸顺时针旋转90。得到线段。Q,连接BQ,当点。在射线03

).

,10

D.41

19.如图，在平面直角坐标系中，点4,B的坐标分别为（0,4）,（4,0）,将线段AB

绕点B顺时针旋转60。至BC的位置，点4的对应点为点C,则点C的坐标为（)

B.(2+26,2+26)

C.(46,4百)D.卜痒2,4百-2)

20.如图，正方形OABC的两边OA,OC分别在x轴、y轴上，点。（5,3）在边A8

上，以点C为旋转中心，把ACDB逆时针旋转90。,则旋转后点。的对应点。的坐标是（）

,10)C.(3,10)D.(-5,7)

二、填空题

类型一、正方形折叠问题

21.如图，将边长为4的正方形纸片ABCQ折叠，使得点A落在边CD的中点E处，折

痕为FG,点F、G分别在边A。、BC上,则折痕FG的长度为.

22.如图1,将正方形纸片ABC。对折，使AB与C。重合，折痕为ER如图2,展开

后再折叠一次，使点C与点E重合，折痕为G”，点8的对应点为点M,EM交AB于N.若

AQ=8,则折痕GH的长度为

23.如图，已知正方形ABC£>,点E是BC边上一点，将△ABE沿直线AE折叠，点2

落在尸处，连接B尸并延长，与的平分线相交于点H,与AE,CZ）分别相交于点G,

M,连接HC,DH,DF,若A8=3,BE4则。H=

24.如图，已知正方形ABCZ）的边长为6,E为边AB上一点且AE长为1,P为射线BC

上一点.把AEBP沿EP折叠，点B落在点9处.若点8,到直线40的距离为3,则BP长

为.

类型二、正方形重叠部分面积问题

25.如图，正方形A8CO的对角线AC、8。相交于点。，点。又是正方形A/C0的一

个顶点，而且这两个正方形的边长相等.设两个正方形重合部分的面积为，，正方形"8

的面积为邑，通过探索，我们发现：无论正方形AgG。绕点。怎样转动，始终有H=

AD

26.如图，正方形ABC。的对角线交于。点，点。是正方形EFG。的一个顶点，正方形

ABCD和正方形EFGO的边长分别为2cm和2.5c”?，两个正方形重叠的面积是.

27.如图所示，将五个边长都为1cm的正方形按如图所示摆放，其中点A、B、C、D

分别是正方形对角线的交点、如果有n个这样大小的正方形这样摆放，则阴影面积的总和是

28.用四块大正方形地砖和一块小正方形地砖拼成如图所示的实线图案，每块大正方形

地砖的面积为m小正方形地砖的面积为b,依次连接四块大正方形地砖的中心得到正方形

（用含a,b的代数式表示）.

类型三、正方形最值问题

29.如图，E,F是正方形ABCQ的边AQ上两个动点，满足AE=DF.连接CF交

于点G,连接BE交AG于点H.若正方形的边长为4,则线段长度的最小值是

30.如图，在矩形ABCD中，线段EF在AB边上，以EF为边在矩形A8CQ内部作正

方形EFGH,连接AH,CG.若AB=1(),AD=6,EF=4,则A/7+CG的最小值为.

31.如图，正方形ABC。的边长为2挺cm,动点E、尸分别从点4、C同时出发，者|似

0.5cm/s的速度分别沿AB、CO向终点B、。移动，当点E到达点8时，运动停止，过点8

作直线EF的垂线BG,垂足为点G,连接4G,则AG长的最小值为cm.

点E、尸分别为49、AB上一点，且A£=",连接

BE、CF,则BE+CF的最小值是

BC

类型四、平直直角坐标系中的正方形问题

33.如图，在平面直角坐标系xOr中，正方形A8C3的顶点A坐标为(3,0),顶点8的

横坐标为-1,点E是的中点，则侧OE=

34.将正方形40cB和正方形4/CG8/按如图所示方式放置，点A(0,1)和点4在

直线y=x+l上，点C和点G在x轴上，若平移直线y=x+l至经过点姑，则直线向右平移

的距离为一.

A(4,3),B(4,-3).将AOAB与正方形A3CD组成的图

形绕点。逆时针旋转,每次旋转90,则第2022次旋转结束时，点C的坐标是.

36.如图，在平面直角坐标系中有一边长为1的正方形。ABC,边04、OC分别在x

轴、

y轴上，如果以对角线OB为边作第二个正方形OBBC,再以对角线08/为边作第三个

正方形0B42c2,照此规律作下去，则点&022的坐标为

类型五、正方形的旋转问题

37.如图，点E在正方形A8CD的边CD上，将△AOE绕点A顺时针旋转90。到△ABF

的位置，连接E凡过点A作EF的垂线，垂足为点H,与BC交于点G.若8G=3,CG=2,

则CE的长为.

38.如图，正方形OABC的边长为2,将正方形OWC绕点。顺时针旋转a。得到正方

形OA'8'C',连接8C,当点A恰好落在直线8C'上时，线段BC'的长度是

39.如图，点尸是边长为1的正方形A2C。的对角线AC上的一个动点，点E是3c中

点，连接PE,并将PE绕点尸逆时针旋转120。得到PF,连接EF,则EF的最小值是.

A

40.如图，正方形ABC。和即△CEF,AB=10,CE=CF=6,连接BF,DE,在ACEF

绕点C旋转过程中，当NCZ)£最大时，SABCF=—.

三、解答题

41.如图，在正方形ABCD中，E为AB的中点，连接CE,将ACBE沿CE对折，得到

△CGE,延长EG交CD的延长线于点H.

⑴求证：AHCE是等腰三角形.

(2)若43=4,求HD的长度.

HDC

42.一位同学拿了两块45。的三角尺AAWK、AABC做了一个探究活动，将△MNK的

直角顶点〃放在AABC的斜边43的中点处，设AC=8C=a.

(1)如图1,两个三角尺的重叠部分为“四，则重叠部分的面积为

(2)将图1中的&WNK绕顶点M逆时针旋转45。，得到图2,此时重叠部分的面积为

(3)如果将ZXMNK继续绕顶点“逆时针旋到如图3所示，猜想此时重叠部分的面积

为多少？并加以验证.

43.如图，正方形ABC。中，点E是边AO上的动点(不与点4,。重合)，连结BE,

CE.

(1)试问是否存在某个点E使EB平分NAEC?若存在，请证明；若不存在，请说明理由；

(2)若△8EC周长的最小值为4,求此时4E的长.

参考答案

1.B

【分析】

先根据正方形的性质可得BC=CD=AD=AB=6,ZB=ZBCD=ZD=90°,再根据折叠

的性质可得AF=AD=6,EF=DE=2,ZAFE=ZD=90。，从而可得

AB=AF,ZAFG=90°=ZB,然后利用直角三角形全等的判定定理即可判断①；先根据全等

三角形的性质可得BG=FG,N4GB=NAGF,设8G=FG=X(X>0),则

CG=6-x,EG=2+x,再在RfaCEG中，利用勾股定理求出工的值，由此即可判断②；先

根据等腰三角形的性质可得ZGCF=ZGFC,再根据三角形的内角和定理可得

2NGC/+NCG尸=180。，根据平角的定义可得2ZAGB+/CGB=180。，从而可得

NGCF=ZAGB,然后根据平行线的判定即可判断③；根据线段的长度可得F方G==3,再根

EU5

3

据三角形的面积公式可得S»cc=：S-C£C，由此即可判断④；根据线段的长度分别求出EG。

和DE2+BG，的值，由此即可判断⑤.

解：•••四边形ABCO是正方形，且AB=6,

BC=CD=AD=AB=6,ZB=ZBCD=ZD=90°,

­.CD=3DE,

;.DE=2,CE=CD-DE=4,

由折叠的性质得：AF=AD=6,EF=DE=2,ZAFE=ZD=90°,

AB=AF,ZAFG=90°=NB,

[AG=AG

在Rt^ABG和Rtz\AFG中，”，

[AB-AF

Rt△ABG=Rt^AFG(HL),结论①正确；

BG=FG/AGB=ZAGF,

设3G=FG=x(x>0),则CG=BC-BG=6-x,EG=EF+/?G=2+x,

在中，CG2+CE2=EG2.BP(6-x)2+42=(2+x)2,

解得x=3,

/.BG=FG=x=3,CG=6—x=3,

.-.FG=BG=CG,结论②正确；

:"GCF=NGFC,

:.ZGCF+4GFC+ZCGF=2ZGCF+ZCGF=180°,

又­/ZAGB+ZAGF+ZCGF=2ZAGB+ZCGF=180°,

・"GCF=ZAGB,

.-.AGIICF,结论③正确；

・.・CE=4,CG=3,

S=—CE-CG=-x4x3=6,

RAZtCEC22

・.・EF=2,FG=3,

FG3

•••___一_，

EG5

31R

■■■S.FGC=gSRMEG=二33,结论④错误；

•：EG=EF+FG=5,

EG2=25,

DE=2,BG=3,

DE2+BG2=22+32=13EG2.结论⑤错误：

综上，正确结论的个数是3个，

故选：B.

【点拨】本题考查了正方形的性质、折叠的性质、直角三角形全等的判定定理与性质、

勾股定理等知识点，熟练掌握正方形的性质和折叠的性质是解题关键.

2.A

【分析】

①利用折叠的性质得出N54E=NE4〃=22.5。，进而得出ND4F=67.5。，利用三角形

内角和得出NAFD=67.5。，从而证明AD=Df；②根据折叠得出BF=FH,只

要再证明BE=B尸就能得出BE/7F是菱形；③由题意得FH=5E,根据角度得到AOm为

等腰直角三角形，得出阳与。尸的数量关系，以及AD与。尸的数量关系，最后根据等量关

系进行比例化简即可：④利用角平分线的性质得出EB=EH,再利用三角形面积公式得出

SJBE_AB

S.ACEAC

解：①；在正方形纸片A8C。中，折叠正方形纸片A8C/),使A8落在AC上，点8恰

好与AC上的点”重合,

二.ZBAE=ZEAH=-ZBAC=22.5°,

2

：.ZDAF=67.5°f

■:ZAFD=ZBAF+ZABF=67.5°,

ZDAF=ZDFA

AD=DF,

故①正确;

②•・,在正方形纸片ABC。中，折叠正方形纸片ABCO,使"落在AC上，点8恰

好与AC上的点”重合，

:.BE=EH,BF=FH,

又；AD//BC,

ZDAF=NBEF,

又•:ZAFD^ZBFE,

,ZBFE=NBEF,

：.BE=EH=FB=BH,

四边形8EHF是菱形，故②正确；

③；在正方形纸片A8CO中，折叠正方形纸片A8CD,使48落在AC上，点8恰

好与AC上的点H重合，

/.FB=FH,ZABF=ZAHO=45°,NR?4=90°,

二A。”为等腰宜角三角形，

0&

所

2一-2FB,

加

变

立

2-2-2OB=向FO+FB)=V2(y-F//+FH)=(1+&)FH，

FHFH=V2-1,

"AD~(l+V2)F/7

故③正确;

④・・♦在正方形纸片A3CO中，折叠正方形纸片A3CD,使A3落在AC上，点8恰

好与AC上的点”重合，

:"ABE^AEH,

EB=EH,

c—A3,BE,n

•S.ABE_2AB

c1AC

MACE-ACEH.

2

故④正确；

综上所述①②③④正确；

故答案为：①②③④.

【点拨】本题考查了正方形的性质、菱形的判定、折叠的性质，勾股定理等等，解题的

关键是根据折叠的性质得出边角相等.

3.C

【分析】

由“ASA”可证△ADE^/\DCF,可得AE=DF=5,进而利用三角形的面积公式可求DO的

长，即可求解.

解：设CF与OE交于点0,

•.•将△CQF沿CF折叠，点。落在点G处，

AGO=DO,CFLDG,

•••四边形A8CD是正方形，

.■.AD=CD,ZZADC=90°=ZFOD,NCDF=90。,

•••/CFD+NFCA900=NCFD+/ADE,

ZADE=ZFCD,

•••在AAPE和AOC尸中,

ZA=ZADC

<AD=CD

ZADE=ZDCF

.^ADE=：^DCF(ASA),

：.AE=DF=5,

•/AE=5,AD=[2,

DE=dAD?+AE。=J25+144=13>

•••CFVDG,NCDF=90。,

S=-CDxDF=-CFxOD,

△cncF22

—xl2x5=—xODxl3,

22

•■DO=—=GO>

13

；.EG=13-2x以竺

1313

故答案为：C

【点拨】本题考查了翻折变换，正方形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，证明

△AOE四△OCF是解题的关键.

4.B

【分析】

根据折叠的性质，NEPG=/EBC=90：EB=EP，从而得到NEPB=NEBP,根据直

角三角形两锐角互余，得到NA尸B=即可判定①；过点8作8QLPH,利用全等三

角形的判定与性质，得到CH=0H,AP=PQ,即可判定②；通过证明&BMP为等腰直角三

角形，即可判定③；根据S四边初期M=S△曲+$△.，求得对应三角形的面积，即可判定④.

解：由题意可得：NEPG=NEBC=9Q°,EB=EP,

NEPG=NEPB+ZBPG=90.4EPB=/EBP，

，/EBP+NBPG=9(T,

由题意可得：^EBP+APB=180-zfA=180-90=90',

ZAPB=ZBPG,

...PB平分/APG；①正确；

过点8作8QJ_P〃，如下图:

，ZBQP=ZA=90

在“IPb和△。依中，

ZA=Z.BQP

<NAPB=ZQPB

BP=BP

.・.“PB丝△。尸8(AAS)

:.AP=PQ,AB=BQ

•・•四边形A8C。为正方形

:.AB=BC=BQ,

又「BH=BH

：.Rt.BC”=RSBQH(HL),

:.CH=QH

：,PH=PQ+QH=AP+CH,②正确；

由折叠的性质可得：EF是P3的中垂线，

JPM=BM

由题意可得：ABAP^BQP,LBCH必BQH,

:.NABP=NPBQ,NCBH=NQBH,

・•・/PBQ+/QBH=/ABP+/CBH=gZABC=45°,

N尸6M=45°,

NBPM=NPBM=45。，

・•・△觊沪为等腰直角三角形，

:,BM-PM'BP"即24”=3产，

：.BM=^BP,③正确；

2

若8E=|,AP=1,则PE=BE=g,

在RMAPE中，AE?+AP2=PE?

AAE=^(1)2-12=,AB=AE+BE=3,

PB=Y]AP2+AB2=M-

BM=—BP=y/5，

2

S四边形BO>M=S&BEP+$△&"/»=5"BExAP+—xBM~,④错误,

故选B,

【点拨】此题考查了正方形与折叠问题，涉及了折叠的性质，正方形的性质，直角三角

形的性质，垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，勾股

定理等知识，综合性比较性，解题的关键是灵活运用相关性质进行求解.

5.B

【分析】

连接AN,ON,易证AWE^ADNF,那么可得阴影部分的面积与正方形面积的关系,

同理得出另两个正方形的阴影部分面积与正方形面积的关系，从而得出答案.

•.・三个边长均为2的正方形重叠在一起，M、N是其中两个正方形对角线的交点,

ZANE+ZEND=90°,NDNF+ZEND=90°,

;.ZANE=ZDNF,

•••四边形ABC。是正方形，

Z.EAN=4FDN=45°,AN=DN

在AANE和ADNF中

Z.EAN=NFDN

<AN=DN

2ANE=NDNF

:./^ANE=ADNF(ASA)f

•••两个正方形阴影部分ENFD的面积=；5侬粉®s，

同理另外两个正方形阴影部分的面积也是:S正方捌BCD，

二$用彩部分=5$正方彩='x2x2=2.

故选：B.

【点拨】本题主要考查了正方形的性质及全等三角形的综合,把阴影部分进行合理转移,

得出两个正方形阴影部分ENFD的面积是正方形面积的:是解决本题的难点•

4

6.D

【分析】

根据旋转的性质及正方形的性质分别求得与△C0E的面积，从而不难求得重叠

部分的面积.

解：，.绕顶点A顺时针旋转45。，

:./D'CE=45。,

/.CD，=DE,

•・•EDUAC,

・•・NC£>'E=90。，

•AC=-=>/2»

，CD，=C-1,

正方形重叠部分的面积是:Xlxl-；x（夜-=及-1.

故选：D.

【点拨】本题综合考查了三角形的面积求法、正方形的性质、旋转的性质等知识点的应

用，主要培养学生综合运用性质进行推理的能力.

7.B

【分析】

根据题意可得，阴影部分的面积是正方形的面积的《，已知两个正方形可得到个阴影

部分，则”个这样的正方形重叠部分即为--1阴影部分的和.

解：由题意可得阴影部分面积等于正方形面积的!，即是!，

44

5个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为：x4,

4

"个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为gx（n-1）=^cm2.

44

故选:B.

【点拨】考查了正方形的性质，解决本题的关键是得到”个这样的正方形重叠部分（阴

影部分）的面积和的计算方法，难点是求得一个阴影部分的面积.

8.C

解：如图，

CD

设正方形Si的边长为x,

VAANH和AHDG都为等腰直角三角形，

；.AN=NH,DH=DG,ZANH=ZD=90°,

...sin/CAB=sin45°=^=孝，即AH=&NH,同理可得：NH=HG=V^GD,

AH=0NH=2HD,又AD=AH+HD=6,

HD=-=2,

3

.,.HG2=22+22,即HG=20；

的面积为HG2=8；

VZMAO=ZMOA=45O,

，AM=MO,

VMO=MN,

；.AM=MB,

r.M为AB的中点，

；.S2的边长为3,

.\S2的面积为3x3=9,

，Sivs2.

故选c.

9.A

【分析】

由于点8与。关于4c对称，所以连接BE,与4c的交点即为P点.此时PE+&A8E最

小，而BE是直角ACBE的斜边，利用勾股定理即可得出结果；

解：如图，连接BE,设8E与AC交于点产，

♦.•四边形ABCO是正方形，

...点B与。关于AC对称，

：.P'D=P'B,

：.P'D+P'E=P'B+P'E=BE最小.

即P在AC与BE的交点上时，PC+PE最小，即为BE的长度.

♦.•正方形A8CD的周长为24

.,.直角△CBE中，ZBCE=90。，BC=6,CE=gCD=3,

BE=y/62+32=345-

故选A.

【点拨】本题题考查了轴对称中的最短路线问题，要灵活运用正方形的性质、对称性是

解决此类问题的重要方法，找出P点位置是解题的关键

10.A

【分析】

过。作AE的垂线交AE于凡交4c于再过。作A产，AO,由角平分线的性质可

得出。'是。关于AE的对称点，进而可知。7仰为DQ+PQ的最小值.

解：作。关于4E的对称点再过。作。于产，

"：DD'±AE,

：.ZAFD=ZAFD',

'：AF=AF,NDAE=NCAE,

：./\DAF^/\D'AF,

：.D'是D关于AE的对称点，AD'=AD=2,

.•.O'」即为DQ+PQ的最小值，

:四边形ABC。是正方形，

^DAD'=45°,

：.AP'=P'D',

.•.在RtA中，

P'D'2+AP'2=AD'2,AD'2=4,

"：AP'=P'D',

2P'D'2=AD'2,即2FLH

：.P'D'=y/2，

即。。+PQ的最小值为夜，故A正确.

故选：A.

【点拨】本题考查了正方形的性质以及角平分线的性质和全等三角形的判定和性质和轴

对称-最短路线问题，根据题意作出辅助线是解答此题的关键.

11.D

【分析】

连接AC，作PGJL8E,证明当AP+；8P取最小值时，A,P,G三点共线，且AG_L8E,

此时最小值为AG,再利用勾股定理，30。所对的直角边等于斜边的一半即可求出结果.

解：连接AC,作PG上BE

AD

ABC。是正方形目.边长为4,

AZABO=45°,AC1BD,AO=2叵,

,/ZABE=15°,

：.NPBG=30。,

PG=-BP,

2

.•.当取最小值时，A,P,G三点共线，且AGJ.BE,此时最小值为4G,

VZABE=75°,AGA.BE,

/BAG=15°,

ZBAO=45°,

：.ZPAO=3Q°,

设OP=h,则AP=2〃，.•"2+(2&『=(2b)2,解得：b=呼，

设PG=a,则8P=2a,

BO―2V2»；•2。+/?=2>/^，解得：a=\f2

•••AG=AP+PG^2b+a=>/2+y/6,

故选：D

【点拨】本题考查正方形的性质，动点问题，勾股定理，3()。所对的直角边等于斜边的

一半，解题的关键是证明当AP+：BP取最小值时，4,P,G三点共线，且AGL3E,此时

最小值为4G.

12.B

【分析】

作点。关于BC的对称点。，连接「。，ED',证得OP=P。，PD+PF=PD'+PF,

又EF=EA=2是定值，即可推出当E、F,P、)四点共线时，PF+PO定值最小，最小值=E0-EF

即可得出结果.

解：作点。关于8C的对称点。连接尸D,ED',如图所示:

：.DE=AD-A£=BC-AE=3,E>O'=2DC=2A3=4,

ED'=dDE?+DD'2=732+42=5，

在APC£>和APCD中，

CD=CD'

,NPCQ=NPCO'=90°,

PC=PC

.•.△PCD空APCD(SAS),

:.DP=PD、

:.PD+PF=Piy+PF,

•.•所=E4=1是定值，

当E、尸、P、少四点共线时，尸尸+PD定值最小，最小值=5-1=4,

.•.PF+PZ)的最小值为4,

故选：B

【点拨】本题考查翻折变换、矩形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，

解题的关键是学会利用轴对称，根据两点之间线段最短解决最短问题.

13.D

【分析】

首先作ADLx轴于。，北上工轴于七，利用“一线三垂直”模型证明即

可求出点C的坐标.

解：如图所示，作AOLx轴于O,CElxttTE,则/OEC=N4DO=90。,

，NCOE+NECO=90。,

,-'A的坐标为（1,百），

'.AD=-ji,OD=\,

:四边形OABC为正方形，

：.OA=OC,NAOC=90。，

ZAOD+ZCOE=90°,

：.ZAOD=ZOCE,

在人。。和中，

'NADO=NOEC

■:"NA。。=NOCE

OA=CO

：./\AOD=^OCE（AAS）,

：.OE=AD=S，CE=OD=],

：.C（-73，1）,

故选：D.

【点拨】本题主要考查了正方形的性质、坐标与图形的综合以及全等三角形的性质与判

定，熟练掌握三角形的性质，证出全等三角形是解题的关键.

14.B

【分析】

过点C作CELx轴于点E,则点C到y轴的距离为OE,通过证明△C5E=MAO得到

BE=OA,利用点A,B的坐标可求。4,。8的长，则结论可求.

解：过点C作CE_Lx轴于点E,如图，

则点c到y轴的距离为OE.

••,点A的坐标为(0.2),点B的坐标为(-3,0),

/.OA=2>OB—3.

CEJ_x轴，

:./CEB=90。.

:.ZECB+ZEBC=90°.

・・•四边形ABC。是正方形，

.•.BC=AB,ZCBA=90°.

.\ZEBC+ZABO=90°.

:.ZECB=ZABO.

在ACBE和MAO中，

/ECB=/OBA

<NCEB=ZBOA=90°,

CB=BA

:.\CBE^\BAO(AAS).

:.EB=OA=2.

:.OE=OB+BE=3+2=5.

・••点c到y轴的距离是5.

故选：B.

【点拨】本题主要考查了图形的坐标与性质，正方形的性质，三角形全等的判定与性质，

利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键.

15.B

【分析】

连接AC,根据直线与坐标轴的交点得出直线与AC平行，因此当直线向上平移到A点

时被正方形A8CO的边所截得的线段长最大由图②可知此时行5,由速度求出A8

的长再根据勾股定理即可解答;

解：如图连接4C,

由y=x-1可得，当户0时，尸-I,当产0时，户1,

二直线与坐标轴构成的三角形是等腰直角三角形，

直线与x轴的夹角是45。，

:正方形A8CD中，AO〃8C〃x轴，乙4c8=45。，

.•.直线/与AC平行，

当直线向上平移到A点时被正方形ABCD的边所截得的线段长最大h=AC,

由图②可知，当。=5时，直线平移到A点，

1x5=5米

■"心疹米，

故选：B.

【点拨】本题考查了一次函数的平移，等腰三角形的判定和性质，正方形的性质，勾股

定理，根据题意弄懂图象所表达的含义是解题关键.

16.D

【分析】

过点。作。4，）,轴于一〃，根据正方形的性质得到AQ=A8,ZDAB=90°,DE=BE,

根据余角的性质得到/4。丹=NBA。，根据全等三角形的性质得到A”=O8=4,DH=OA

=2,求得E（3,3）,于是得到答案.

解：；点A的坐标为（0,2）,点8的坐标为（4,0）,

：.OA=2,OB=4,

过。作CHLy轴于从如图,

・・•四边形ABC。是正方形，

：.AD=ABfZPAB=90°,DE=BE,

丁ZAHD=NAOB=90°,

・•・ZDAH+ZAHD=NA”O+N3AO=90。，

；・NADH=/BAO,

:.XADHQABAO（AA5）,

：.AH=0B=4,DH=0A=2,

：.0H=6,

：.D（2,6）,

•・,点E是8。的中点，点5的坐标为（4,0）,

.•.点E的坐标是（下，等），

：.E（3,3）,

•••点F与点£关于y轴对称，

点F的坐标为（-3,3）,

故选：D.

【点拨】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，关于），轴对称的点的坐

标，正确的作出辅助线是解题的关键.

17.C

【分析】

先确定此时点例对应的位置即点所在的位置，如图，过点用'分别作例EJ_x

轴于点E,M/J_x轴于点F,证明△M'OF丝△OME,得到M户=OE=a,OF=ME=b,

由此求解即可.

解：；正方形03CD绕原点O顺时针旋转，每秒旋转45。，

二旋转8秒恰好旋转360。.

72022-8=252.......6,

旋转2022秒，即点M旋转了252圈后，又旋转了6次.

V6X45°=270°,

•••此时点M对应的位置即点M'所在的位置，

如图，过点例，分别作轴于点£,ATFLx轴于点F,

ZM'FO=ZOEM=90°,

：.ZEOM+ZEMO^90°,

•••四边形OBCZ)是正方形，

ZBOD=90°,

：.ZFOM'+ZMOE=90°,

/M'OF=NOME,

由旋转的性质可知0M=0M',

：.^M'OF^/\OME(AAS),

：点M的坐标为(a,h),

：.M'F=OE=a,OF=ME=b,

又点M'在第二象限，

旋转2022秒后，点M的坐标为(-b,a).

【点拨】本题主要考查了点坐标规律的探索，旋转的性质，全等三角形的性质与判定,

正方形的性质，正确找到旋转2022秒后点M的位置是解题的关键.

18.C

【分析】

如图，过户作PN_LOA,交x轴于点N,过。作QE，x轴于E,过。作平行于x轴的直

线交尸N于M,交QE于F,交y轴于G,则。P=£»Q,?PDQ90?,证明VPOM/VOQF,设

。(4,/),再求解Q的坐标，再代入直线0B的解析式即MJ-.

解：如图，过户作交x轴于点N,过。作轴于E,过。作平行于x轴

的宜线交PN千M,交QE于F,交y轴于G,则DP=DQ,?PDQ90?,

\?PDM?DQF,

\VPDM尔DQF,

\PM=DF,QF=MD,

■：正方形O48C中，点C(0,4),

\OC=OA=AB=3C=4,

设£>(4j),而点P为C。的中点，

'噌芳，

4+14-t4-fI

\PM=---/=——=DF,QF=MD=2,QE=2+