2022-2023学年北师大版九年级数学上学期专项讲练1.11正方形的性质与判定（巩固篇练习）

专题LU正方形的性质与判定（巩固篇）（专项练习）

一、单选题

类型一、据正方形性质求角的大小'线段的长及面积

1.如图，在正方形A8C。中，点E在BC边上，连接AE,点G、F分别在。C、A8上,

FGLAE,NR4E=25。，则NFGO的度数为（）

A尸B

DG

A.75°B.65°C.125°D.115°

2.如图，正方形纸片A8CZ）的边长为15,E、尸分别是C£＞、A。边上的点，连接AE,

把正方形纸片沿B尸折叠，使点A落在4E上的一点G,若CE=7,则GE的长为（）

3.如图，以用的各边为边分别向外作正方形，N8AC=90,连接。G,点”

为DG的中点，连接HB,HN,若要求出AHBN的面积，只需知道（）

A.AABC的面积B.正方形的面积

C.正方形ACFG的面积D.正方形3NMC的面积

类型二、据正方形性质进行证明

4.如图，在正方形ABC。中，点。是对角线AC的中点，点E是边BC上的一个动点,

OELOF,交边AB于点F,点G,”分别是点E,F关于直线AC的对称点，点E从点C运

动到点B时，图中阴影部分面积的大小变化是（）

A.先增大后减小B.先减小后增大

C.一直不变D.不确定

5.如图，在边长为2近的正方形ABCD中，E,尸分别是边AB,BC的中点，连接CE,

DF,G,〃分别是CE,。尸的中点，连接GH,则GH的长为（）

A.夜B.1C.2

6.如图，E,F是正方形ABC。的边BC上两个动点，BE=CF.连接AE,BO交于点

G,连接CG,。尸交于点M.若正方形的边长为1,则线段的最小值是（）

正-l口后7

2,2

类型三、添加一个条件使四边形成正方形

7.已知四边形ABC。是平行四边形，下列结论:①当AB=8C时，它是菱形;②当ACLB。

时，它是菱形；③当NABC=90。时，它是矩形；④当AC=B。时，它是正方形，其中错误

的有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

8.如图，在反映特殊四边形之间关系的知识结构图中，①②③④表示需要添加的条件,

则下列描述错误的是（）

A.①表示有一个角是直角B.②表示有一组邻边相等

C.③表示四个角都相等D.④表示对角线相等

9.如图，AC,BD是四边形ABCD对角线，点E,F分别是AD,BC的中点，点M,

N分别是AC,BD的中点，连接EM,MF,NE,要使四边形EMFN为正方形，则需要添

A.AB=CD,ABVCDB.AB=CD,AD=BC

C.AB=CD,ACLBDD.AB=CD,AD//BC

类型四、据正方形性质与判定求角的大小'线段的长及面积

10.如图，在正方形纸片ABC。上，E是AQ上一点（不与点A,。重合）.将纸片沿

BE折叠，使点A落在点A处，延长E4交8于点F,则（）

A.40°B.45°C.50°D.不是定值

11.如图，正方形ABC。的顶点A,8的坐标分别为（1,1）,（3,1）,若正方形ABC。

第1次沿x轴翻折，第2次沿），轴翻折，第3次沿x轴翻折，第4次沿y轴翻折，第5次沿

X轴翻折，…则第2021次翻折后点C对应点的坐标为（）

12.如图，矩形ABC£>中，AC交8。于点O,且48=24,BC=10,将AC绕点C顺时针

旋转90。至CE.连接AE,且尸、G分别为AE、EC的中点，则四边形OFGC的面积是（）

A.100B.144C.169D.225

类型五、据正方形性质与判定进行证明

13.如图.已知正方形ABC。的边长为12,BE=EC,将正方形的边CQ沿QE折叠到

DF,延长EF交A8于G,连接。G.现有如下3个结论；①AG+EC=GE；®ZG£>E=45°；

③△BGE的周长是24.其中正确的个数为（）

A.0B.1C.2D.3

14.如图，四边形A8CO中，AB=BC=\3,BE±AD,ZABC=ZADC=90P,AE=5,

则。C的长是（)

B

C

AED

A.12B.8C.7D.6

15.如图，在正方形ABC。中，点E在对角线80上，连接AE,EF_LAE于点、E,交

OC于点尸，连接AF,已知BC=4,DE=3日则AAEF的面积为（）

A.4B.5C.10D.5夜

类型六、中点四边形

16.如图，已知点E、F、G、，分别是四边形A8C。的边AB、BC、CD、D4的中点,

顺次连接E、F、G、H得到四边形EFGH,我们把四边形EFGH叫做四边形A8C。的“中点

四边形若四边形ABCO是矩形，则矩形ABC。的“中点四边形”一定是（）

A.平行四边形B.矩形C.菱形D.正方形

17.如图，点&G、”分别为四边形A8CO的四边AB、BC、CD.D4的中点，则

关于四边形EFGH,下列说法正确的为（）

C

A.一定不是平行四边形

B.一定不是中心对称图形

C.当AC=B。时，它是轴对称图形

D.当时，它是矩形

18.如图，点E、F、G、H分别是四边形ABC。边A8、BC、CD、D4的中点，则下列

说法：

①若AC=BZ）,则四边形EFG”为矩形；

②若4CL8。，则四边形EFGH为菱形；

③若四边形EFG"是平行四边形，则AC与BD互相平分；

其中正确的个数是（）

A.0B.1C.2D.3

类型七、正方形的综合问题

19.如图，矩形纸片488瓜8=4,8。=8,点忆"分别在矩形的边小＞、8c上，将

矩形纸片沿直线MN折叠，使点C落在矩形的边AZ）上,记为点P,点。落在G处,连接PC,

交MN于点Q,连接CM.下列结论成立的是（）

B.MN=PC

C.MN1PCD.△CQN的面积最大值为6

20.如图，矩形A8CD的边C。上有一点E,NDEA=67.5。,EF±AB,垂足为F,将

△AFE绕点尸顺时针旋转，点E恰好落在点B处，点A落在Eb上的点G处.下列结论：①

BGLAE；②EG=⁡③盖乂匹一=当且；④若M为BG中点，则△（?取为

3四边形BCEG7

等腰直角三角形；⑤8、G、0三点共线.正确的个数是（）

A.5B.4C.3D.2

21.如图，在四边形A88中，AD//BC,ZfiCD=90°,AB=BC+AD,ADAC=45°.E

若C£>=4,则BC的长为（)

C.1D-I

二、填空题

类型一、据正方形性质求角的大小、线段的长及面积

22.如图，以正五边形ABCCE的对角线BE为边，作正方形BEFG,使点A落在正方

形BEFG内，则/ABG的度数为

如图，在正方形中，连接对角线、。相交于点点尸是正方

23.A3CDAB=6fAC3O,

PD

形边上或对角线上的一点，若左=2,则”=

24.如图，正方形的边长为4,点E、F分别在AB和4）上，CE=CF=5,则△CEF的

面积为.

类型二、据正方形性质进行证明

25.如图，已知：PA=2,PB=4,以AB为边作正方形ABCQ,使P、。两点落在直

线A8的两侧.当ZA/>8=45。时，则的长为.

D

26.如图，在AA8C中，NACB=90。，4c=8,BC=1,以斜边A8为边向外作正方形

ABDE,即垂直于CA的延长线于凡连接CE,则CE的长为.

27.如图，正方形A8C。边长为4,点E在边。C上运动（不含端点），以AE

为边作等腰直角三角形AEF,连接。P.

下面有四个说法：

①当£）E=1时，AF=V34;

②当£>£=2时，点8,D,E共线；

③当。E=|时，三角形AT厅与三角形且产面积相等；

④当。时，AE>是ZE4F的角平分线.

所有正确说法的序号是.

类型三、添加一个条件使四边形成正方形

28.如图，E、尸、G、H分别是AB、BC、CD、D4的中点.要使四边形EFGH是正方

形，BD、AC应满足的条件是.

29.已知在四边形ABCD中，ZA=ZB=ZC=90°,若使四边形ABC。是正方形，则还

需加上一个条件：.

30.如图，DABCO的对角线AC与8。相交于点O,且AC_LBO,下列条件：①

NBAO=90。：®AB=BCx®AC=BD,④A8=CD中，任选一个，能使得为正

方形的有__________（填序号）.

B

类型四、据正方形性质与判定求角的大小'线段的长及面积

31.如图，四边形A8CD中=ND4B=N8CO=90。.则NACB=

32.如图，直线/过正方形A8CO的顶点B,点A,C到直线/的距离分别是。和b,且

满足：V^T+收-2|=0,则正方形ABC。的边长是,面积是

D

B

33.图(1)是一张矩形纸片，将其依次按图(2)、图(3)的方式折叠，AE与恰

好重合.

(1)如图(3),折痕AM与EF交于点G,则/AGO=.

图⑴图⑵图⑶

(2)若AOFG的面积为S,则矩形ABCD的面积为.

类型五、据正方形性质与判定进行证明

34.如图，E,尸分别是正方形488的边CO,AD上的点，且CE=OF,AE与BF

相交于。.下列结论：®AE=BF-,©AEVBF-.®AD=OE；®S^AOB=SmiilKDEOF.其中

正确的有

I)

HC

35.长方形A8CO中，AB=3,BC=4,点E是BC边上一点，连接AE,把NB沿AE

折叠，当ACEB'为直角三角形时，BE的长为—.

正方形OLBC的边长为5,点B到QN的距离是4,则

(1)正方形OA8C的对角线的长=；(2)点8到OM的距离=

(3)点A到。M的距离=

类型六、中点四边形

37.如图，点A、B、C为平面内不在同一直线上的三点.点。为平面内一个动点.线

段A8,BC,CD,D4的中点分别为M、N、P、Q.在点。的运动过程中，有下列结论：

①存在无数个中点四边形MNPQ是平行四边形；

②存在无数个中点四边形MNPQ是菱形

③存在无数个中点四边形MNP。是矩形

④存在无数个中点四边形MNPQ是正方形

所有正确结论的序号是

•A

*B

*C

38.如图，点A,B,C为平面内不在同一直线上的三点，点。为平面内一个动点，线

段AB,BC,CD,D4的中点分别为例，N,P,Q,在点。的运动过程中，有下列结论：

①存在无数个中点四边形MNPQ是平行四边形；

②存在无数个中点四边形MNPQ是菱形；

③存在无数个中点四边形MNPQ是矩形；

④中点四边形MNP。不可能是正方形；

所有结论正确的序号是.

A

B

C

39.四边形的对角线AC,8。交点。，点M,MR。分别为边AB,BC,8,D4的中

点.有下列四个推断，

①对于任意四边形A8C。，四边形MNPQ都是平行四边形；

②若四边形ABCD是平行四边形，则与NQ交于点。；

③若四边形458是矩形，则四边形MNPQ也是矩形；

④若四边形MNPQ是正方形，则四边形A8CD也一定是正方形.

所有正确推断的序号是.

40.如图，正方形纸片ABC。中，对角线AC、BD交于点O,折叠正方形纸片A8CZ),

使落在上，点A恰好与8。上的点尸重合，展开后折痕OE分别交A8、AC于点E、

G,连结GF,给出下列结论：①NAOG=22.5。；②券=2；③=$△0c。；④四边形AEFG

AE

是菱形；⑤8E=2OG；⑥若以惭=1,则正方形ABC。的面积是6+4及，其中正确的结论

个数为个.

类型七、正方形的综合问题

41.如图，已知正方形ABCD,点M是边BA延长线上的动点（不与点4重合），且

AM<AB,由平移得到，若过点E作E"_LAC,H为垂足，则有以下结论:

①点M位置变化，使得N0〃C=6O。时，2BE=DM；②无论点M运动到何处，都有

DM=41HM：③在点例的运动过程中，四边形CEAQ可能成为菱形；④无论点M运动到

何处，NCHW一定大于135。以上结论正确的有（把所有正确结论的序号都填上）.

42.如图，在矩形ABCD中，AB=6,AD=8,E、F分别为A3、CO边上的点，且

EF//BC,G为EF上一点,且GF=2,M.N分别为G。、EC的中点，则MV=.

三、解答题

43.如图，在正方形A8CO外取一点应连接AE,BE,DE,过点A作AE的垂线交

DE于点、P,若/1E=AP=1,PB=旧.

(1)求证：

(2)求证：BELDE；

(3)求正方形ABCD的面积.

44.如图，四边形ABCO是正方形，E,尸是对角线AC上的两点，且=

(1)求证：四边形3EDF是菱形；

(2)若AC=8,AE=2,求四边形8EQF的周长.

45.如图，在四边形ABC。中，AD//BC,对角线AC_LB。，垂足为E,点尸是8c延

长线上的点，且

(1)求证：AD=CFi

(2)当点C为B尸中点时，求证：四边形ABC。是菱形；

(3)在(2)的条件下，当△BDF满足什么条件时，四边形ABC。是正方形？(不必说明

理由)

46.如图，在四边形A3CO中，ZABE=9Qo,AB"CD,AB=BC=6,点、E为BC边上一

点，且N£W=45。，ED=5,求比的面积.(采用补形法解决)

47.如图，在正方形A88中，点P在边8c上(异于点B,C),作线段AP的垂直平分

线分别交A8,CD,8D,AP于点M,N,Q,〃，

(1)补全图形；

(2)证明：AP=MN；

(3)用等式表示线段"Q,MN之间的数量关系，并证明你的结论

48.如图，四边形ABCO中，AC^m,BD=n,且ACJ.BO,顺次连接四边形ABCZJ各

边中点，得到四边形48/G。/,再顺次连接四边形A/8/C/Q各边中点，得到四边形

A2B2C2D2...,如此进行下去，得到四边形

(1)四边形A/B/C/。是形；

⑵四边形A2B2c2D2是形；

(3)四边形A5B5CSD5的周长是

(4)四边形AnBnCnDn的面积是

49.如图，在平行四边形ABC。中，对角线AC,BD交于点O,G为C£＞边中点.。尸〃AC

交BG延长线于点F,且BF=2AB,BF交AC于点、E,连接OE,CF.

(1)求证，四边形CFDE是矩形；

(2)若四边形CFDE是正方形，且BC=8,求AB的长.

参考答案

1.D

【分析】

根据条件信息及三角形内角和定理求出NAFO=65。，再根据矩形及平行线的性质得出

ZAFG=ZCGF,利用平角等于180。即可求解.

解：如图：

由FG1.AE,则乙4。尸=90。，

又・.・NA4E=25。，

由三角形内角和定理：ZAFO=90°-ZBAE=65°,

根据正方形的性质：AB//DC,

ZAFG=ZCGF=65°,

・•./FGB=180°-ZCGF=115°,

故选：D.

【点拨】本题考查了正方形的性质，三角形内角和定理、平行线的性质，解题的关键是

是掌握平行线的性质，通过转化的思想进行求解.

2.B

【分析】

由折叠及轴对称的性质可知，△A5Fg△GBR8/垂直平分AG,先证△A8尸且△D4E,

推出Ab的长，再利用勾股定理求出3F的长，最后再切/中利用面积法可求出A”的

长，可进一步求出AG的长，GE的长.

解：・・•四边形48c。为正方形，

：.AB=AD=\5fZBAD=ZD=9f}0t

VCE=7,

ADE=15-7=8,

由折叠及轴对称的性质可知，AABF部4GBF,8/垂直平分AG,

：.BF1.AE,AH=GH,

：.NBAH+NABH=90。,

又・・•/物4H=90。，

,NABH=NFAH,

在△43尸与4D4E中

NBAF=NADE

<AB=AD

ZABF=^DAE

：.AABF^^DAE(ASA),

；.AF=DE=8,BF=AE,

在心△ABb中，

BF=JA1+AU=7225+64=17,

A15x8=17AH,

.•・A氏国,

17

・——240

.•AU=lAn=-------

17

AE=BF=\Jf

24049

GE=AE-AG=17------=—

1717

故选：B.

【点拨】本题考查正方形的性质，轴对称的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理,

面积法求线段的长度等，解题关键是能灵活运用正方形的性质和轴对称的性质.

3.B

【分析】

如图，延长HA交3c于点尸，交MN于点Q,可得ADAG且△BAC,AABN沿LEBC,

利用全等三角形的性质以及平行线间的距离相等等性质将阴影部分的面积转化即可.

解：如图，延长"A交BC于点P,交于点Q,连接CE、AN.

由题意可得：AB=AD,ZDAG=ZBAC,AC=AG,

：.^DAG^/\BAC(SAS),

/.Z2=Z4,

由题意可得：BE=AB,ZEBC=ZABN=90°+ZABC,BN=BC

:./\ABN学A.EBC(SAS),

•••点，为DG的中点，NDAG=90。,

.*.Z1=Z2.

VZ1+Z3=9O°,

AZ3+Z4=90°,

：.HA±BC,

.・.BN〃HQ,

S阴影=S.ABN•

:4ABN妾/\EBC,

,•J*ABN一°*EBC•

,:BEHCD,

♦•S.EBC=S.EBA=/S正方形/WO，

S阴影=­S正方形E5AD，

故选：B.

【点拨】此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键是利用全等

三角形以及平行线间的距离相等等性质，将阴影部分的面积进行转换.

4.C

【分析】

连接30,证明△/。^^△石。。，同理得到△〃0。出△G0C,即可得到答案.

解：连接3D

・・•四边形A3C。是正方形，

・・・/8OC=90。，ZfBO=ZECO=45°,

N30E+NE0090。，

ROELOF,

：.ZBOE+/FOB=90°,

・•・/FOB=Z£OC,

在4FOB和^EOC,

/FOB=NEOC

<OB=OC,

ZFBO=/ECO

AAFOB^AEOC,

同理，△“OOg/XGOC,

，图中阴影部分的面积=△ABD的面积=；x正方形ABCD的面积.

,阴影部分面积的大小一直不变.

故选：C.

【点拨】本题考查的是正方形的性质、全等三角形的判定和性质，掌握正方形的性质、

全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键.

5.B

【分析】

连接CH并延长交4。于P,连接PE,根据正方形的性质得到乙4=90。，AD//BC,AB

=">=8C=20,根据全等三角形的性质得到PD=CF=应，根据勾股定理和三角形的

中位线定理即可得到结论.

解：连接C4并延长交4。于P,连接PE,

,•,四边形ABCO是正方形，

.♦./A=90。，AD//BC,AB=AD=BC=2近,

VE,F分别是边A8,8c的中点，

,AE=CF=-x2y/2=y/2,

2

'.'AD//BC,

：.ZDPH=ZFCH,

是QF中点，

：.DH=FH,

在△尸。〃与△CF"中,

NDPH=Z.FCH

<NDHP=NFHC,

DH=FH

:.△PDH^ACFH(AAS),

：.PD=CF=^2,

：.AP=AD-PD=V2，

PE=^]AP2+AE2=J(0y+(&)2=2，

•.•点G,H分别是EC,PC的中点，

：.GH=^-EP=\.

2

故选B.

【点拨】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握

正方形的性质，全等三角形的判定和性质.

6.D

【分析】

先证明尸(SAS),由全等三角形的性质得出N8AE=NCO凡证明

△ABG04CBG(SAS),由全等三角形的性质得出NBAG=NBCG,取CO的中点0,连接

OB、OF,则。/=CO=/C£>=，，由勾股定理求出08的长，当。、M、8三点共线时，

8M的长度最小，则可求出答案.

解：如图，在正方形ABC。中，AB=AD=CB,NEBA=NFCD,NABG=NCBG,

在AA8E和AOC尸中,

AB=CD

"NEBA=ZFCD,

BE=CF

AABf^ADCF(.SAS),

:.NBAE=NCDF,

在"BG和ACBG中，

AB=BC

<ZABG=NCBG,

BG=BG

.•.△A8G丝△C3G(SAS),

：.ZBAG=ZBCG,

:.NCDF=NBCG,

,/NDCM+NBCG=ZFCD=90°,

：.ZCDF+ZDCM=90°,

：.ZDMC=180°-90°=90°,

取CO的中点。，连接08、OF,

则OF=CO=^CD=^,

在RtA«OC中，OB=sJCB2+OC2=+(；)2=y，

根据三角形的三边关系，OF+BM>OB,

...当0、M、8三点共线时，8M的长度最小，

.•.8用的最小值=08-0/;'=1-!=避二1.

222

故选：D.

【点拨】本题主要考查了直角三角形的性质，勾股定理，正方形的性质，全等三角形的

判定与性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键.

7.A

【分析】

根据矩形、菱形、正方形的判定可以判断题目中的各个小题的结论是否正确，从而可以

解答本题.

解：••・四边形ABCQ是平行四边形，

A、当4?=3c时，它是菱形，选项不符合题意，

B、当时，它是菱形，选项不符合题意，

C、当NAfiC=90。时，它是矩形，选项不符合题意，

D、当4。=瓦》时一，它是矩形，不一定是正方形，选项符合题意，

故选：A.

【点拨】本题考查正方形、菱形、矩形的判定，解答本题的关键是熟练掌握矩形、菱形、

正方形的判定定理.

8.C

【分析】

根据特殊四边形的判定方法判断即可.

解：：有一个角是平行四边形是矩形，

①表示有一个角是直角是正确的；

••济的描述正确，不符合题意；

•••有一组邻边相等的平行四边形是菱形，

二②表示有一组邻边相等是正确的；

•••8的描述正确，不符合题意；

V四个角都相等的四边形是矩形，

③表示四个角都相等是错误的；

••.C的描述错误，符合题意；

•.•对角线相等的菱形是正方形，

.••④表示对角线相等是正确的；

的描述正确，不符合题意；

故选C

【点拨】本题考查了特殊四边形的判定，熟练掌握特殊四边形的各种判定方法是解题的

关键.

9.A

【分析】

证出硒、NF、FM、ME分别是△A3。、公BCD、^ABC.AACO的中位线，得出

EN//AB//FM,MEHCDHNF,EN=3AB=FM,ME=gcD=NF,证出四边形为平行四

边形，当=时，EN=FM=ME=NF,得出平行四边形£MRV是菱形；当时，

EN_LME,则ZMEN=90。，即可得出菱形RW/W是正方形.

解：•••点E,F分别是A。，BC的中点，点M,N分别是AC,的中点,

:.EN、NF、FM、ME分别是△AB。、公BCD、AABC、八48的中位线，

EN//AB//FM,ME//CD//NF,EN=-AB=FM,ME=-CD=NF,

22

四边形EMFN为平行四边形，

当AB=C。时，EN=FM=ME=NF,

,平行四边形fiWW是菱形；

当AB_LC£)时，EN±ME,

则NMEN=90°,

菱形MV是正方形；

故选：A.

【点拨】本题考查了正方形的判定、平行四边形的判定、菱形的判定以及三角形中位线

定理；熟练掌握三角形中位线定理是解题的关键.

10.B

【分析】

由折叠可得/ABE=/A'BE,由题意可证RsBCFgRMBA'F,可得/CBF=/FBA',即

可求NEBF的值.

解：•••四边形ABCD是正方形

；.AB=BC,ZABC=90°

♦.•折叠

.,.AB=A'B,ZABE=ZA'BE

.,.A'B=BC,且BF=BF

.".RtABCF^RtABA'F(HL)

/.ZA'BF=ZCBF

•/ZABE+ZA'BE+ZA'BF+ZCBF=90°

ZEBF=45°

故选B.

【点拨】本题考查了折叠问题，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练运用这

些性质解决问题是本题的关键.

II.A

【分析】

由A,8的坐标分别为（1,1）,（3,1）,四边形ABC。是正方形，可得点C对应点的

坐标，再求出第1次翻折、第2次翻折、第3次翻折、第4次翻折后点C对应点的坐标，

然后根据规律即可得经过第2021次翻折后点C对应点的坐标.

解：8的坐标分别为（1,1）,（3,1）

."8=2

•.•四边形A8CD是正方形

：.BC=AB=2

点坐标为（3,3）

.•.第1次翻折后点C对应点的坐标为（3,-3）,第2次翻折后点C对应点的坐标

为（-3,-3）,第3次翻折后点C对应点的坐标为（-3,3）,第4次翻折后点C对应点

的坐标为（3,3）,即翻折4次为一个周期.

72021^4=505......1

,经过第2021次翻折后点C对应点的坐标为（3,-3）.

故选：A.

【点拨】本题考查了正方形的性质和平面直角坐标系中坐标点的变换，属于规律性题目，

熟悉相关性质并在平面直角坐标系中找到规律是解题的关键.

12.C

【分析】

先根据矩形的性质、三角形中位线定理可得尸G//AC,FG=OC=13,再根据平行四边形

的判定可得四边形OFGC为平行四边形，然后根据旋转的性质可得AC=CE,NACE=90。，

从而可得OC=CG,最后根据正方形的判定可得四边形OFGC为正方形，由此即可得.

解：•••四边形A8CO为矩形，48=24,40=10,

:.BD=>]AB2+AD2=26,OC=-AC=-BD=13,

22

•/,G分别为的中点，

FG//AC,FG=-AC,CG=-EC,

22

:.FG=OC,

四边形OFGC为平行四边形，

又AC绕点C顺时针旋转90。，

AC=CE,ZACE=90°,

OC=CG,

，平行四边形OFGC为正方形，

，四边形OFGC的面积是OC?=13?=169,

故选：C.

【点拨】本题考查了矩形的性质、正方形的判定与性质、三角形中位线定理等知识点,

熟练掌握正方形的判定马性质是解题关键.

13.D

【分析】

由正方形的性质和折叠的性质可得，DF=DC=DA,Z.DFG-Z.A,进而

/?/△ADG^Rt^FDG,根据全等三角形的性质以及折叠的性质，可得到E8=EG,由此可得

△BGE的周长.

解：由折叠可知：CE=FE,DF=DC=DA,NDFE=NC=90°,

：.ZDFG=ZA=90°,

在/?/△ADG和RmFDG中，

[DG^DG

[DF=DA'

：.RtLADGQRtbFDG(HL),

；.AG=FG,

：.AG+EC=GF+EF=GE,

故①正确，

■:RtXADGQRtAFDG,

：.NADG=NFDG,

由折叠可知，ZCDE=ZFDE,

：.NGDE=NGDF+NEDF=、NADC=45°,

2

故②正确，

•••正方形的边长为12,

：.BE=EC=EF=6,

AG=FG=x,则£1G=x+6,BG=\2-x9

由勾股定理可得：EG?=BE?+BG?,

BP(X+6)2=62+(12-X)2,

解得：x=4,

：.AG=GF=4,8G=8,EG=10,

：./\BGE的周长=5E+EG+G8=6+10+8=24,

故③正确，

故选：D.

【点拨】本题主要考查折叠变换，正方形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，

能够熟练应用勾股定理是解决本题的关键.

14.C

【分析】

运用割补法把原四边形A8C0转化为正方形易证八钻£物VCB尸，由此可得

BE=DF,AE=CF,再由勾股定理可求出BE的长，进而可求出QC的长.

解：过3作交。。的延长线于r，如图所示：

\ZD=90°,

/.ZBE4=ZF=90°,BF//AD,

/FBE=90。,

••・四边形BED尸是矩形，

vZFBE=ZABC=90°,

・•・/FBE-ZEBC=ZABC-ZEBC,

即NABE=NFBC,

在八4的和VCB/叫」

/ABE=NFBC

<ZAEB=ZF,

AB=BC

/.△ABE^ACBF（A45）,

:.BE=BF,AE^CF=5,

•••4?=13,AE=5,

.­.BE=A/132-52=12-

;.CD=DF—CF=12—5=7,

故选：C.

【点拨】本题考查了求线段长，涉及正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定

理等知识点，正确作出图形的辅助线是解题的关键.

15.B

【分析】

过点E作MNJ_OC,根据。£=3立得出用曰）%=4设=3,则根据勾股定理，

算出AE的值，根据“AAS”证明AAME/AEN尸，得出E尸的长，算出三角形的面积即可.

解：过点E作MNLQC,交AB于点、M,交OC于点N,如图所示：

；四边形A8CD为正方形，

:.NBDC=NABD=45。,AB=BC=CD=AD=4,AB\\CD,

：.ZDEN=90°-45°=45°,

.DE3正°

・♦DN—EN——r=^—―T=^=3，

V2V2

・・•四边形AONM为矩形，

：.MN=AD=4fAM=DN=3,

；.ME=MN-EN=4-3=1,

2222

・，.AE=yjAM+ME=V3+1=V10»

VAE1EF,

・•・ZAEF=90°,

ZAEM+ZFEN=180°-90°=90°,

NFEN+NEFN=90。,

：.NAEM=/EFN,

ZAEM=NEFN

,：在△AME和△ENF中，ZAME=ZENF=90°,

AM=EN

：.△AME^A£NF（AAS）,

AE=EF=回,

S«A£F=万xx=5,故8正确.

故选：B.

【点拨】本本题主要考查了正方形性质的应用和三角形全等的判定和性质，以及勾股定

理的应用，正确作出辅助线是解题的关键.

16.C

【分析】

原四边形ABC。是矩形时，它的对角线相等，那么中点四边形EFGH是菱形（平行四

边形相邻的两边都相等）.

解：连接AC和8。

:H、G分别是A。、0c的中点，

是ADAC的中位线，

HG//AC,HG=\AC

2

同理，EFHAC,EH//FG//BD,EH=gnD.

••・四边形EFGH是平行四边形.

•.•四边形ABCO是矩形时，

AAC=BD,则”G=EF,

二平行四边形EFG”是菱形

故选：C.

【点拨】本题主要考查了矩形的性质和判定，菱形的性质和判定等知识点.

17.C

【分析】

先连接AC,BD,根据EF=HG=gAC,EH=FG=^BD,可得四边形MGH是平行四边

形可判断A,根据平行四边形是中心对称图形，四边形EFGH是平行四边形是中心对称图

形可判断B,当AC=8£＞时，EF=FG=GH=HE,此时四边形EFGH是菱形，据此可判断C,

只有时是矩形，当AC与8。不垂直时，不是矩形可判断D即可.

解：连接AC,BD交于O,AC交GF于M,DB交EF于N,如图：

点E、F、G、”分别为四边形ABCD的四边A&BC、CD、D4的中点,

:.EF=HG=^AC,EH=FG=；BD,EF〃AC,GF〃DB,

四边形EFGH是平行四边形，故选项A错误；

•••平行四边形是中心对称图形，

四边形EFG”是平行四边形，

四边形EFG”是中心对称图形，故选项B错误；

当AC=BO时，EF=FG=GH=HE,此时四边形EFGH是菱形,

菱形是轴对称图形，

菱形EFGH是轴对称图形，故选项C正确；

只有AC_L8。时NMON=90。，

,:GF〃DB,

：.AC±GF,

NOM尸=90°,

'：EF^AC,

J.BDLEF,

ZONF=90°,

：./NFM=360。-NMON-NOMF-ZONF=90°,

.••平行四边形G"E尸是矩形，

当AC与8。不垂直时，

,:GF〃DB,EF^AC,

二四边形ONFM为平行四边形，NMFN=NMON#90。,即/GFE/90。，

•••平行四边形G”EF不是矩形，故选项D错误.

故选：C.

【点拨】本题主要考查了中点四边形的运用，轴对称识别，中心对称识别，矩形判定，

三角形中位线性质解题时注意：平行四边形是中心对称图形.解决问题的关键是掌握三角形

中位线定理.

18.A

【分析】

根据一般四边形的中点四边形是平行四边形，得四边形EFG”是平行四边形，①当

AC=BDW\,EF=EH,四边形EFGH是菱形；②当AC_L8。时，ZHEF=90。,四边形EFGH

是矩形；③当四边形EFG4是平行四边形，则AC与BO不一定互相平分；故可以判断出正

确的个数，即可得.

解：•.•点E、F、G、〃分别是四边形A8C。边AB、BC、CD、D4的中点，

:.EH=；BD,EH//BD,FG=；BD,FG//BD,

EF=-AC,EFI/AC,HG=-AC,HG//AC,

22

:.EH=FG,EH//FG,

，四边形EFG”是平行四边形，

①当AC