2022-2023学年江苏八年级数学上学期压轴题练习07 勾股定理(含详解)

2022-2023学年苏科版数学八年级上册压轴题专题精选汇编

专题07勾股定理

考试时间：120分钟试卷满分：100分

姓名：班级：考号：

评卷人得分

一.选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）

1.（2分）（2021八上•南京期末）在RtMBC中，NB=90°,==2,AC^a.下列关

于a的四种说法：①a是无理数；②a可以用数轴上的一个点来表示；③a是8的算术平方根；④3＜。＜4.

其中，所有正确的说法的序号是（）

A.①②④B.②③④C.①②③D.①③④

2.（2分）（2021八上•嵩县期末）如图，已知钓鱼竿AC的长为10m，露在水面上的鱼线BC长为

6m，某钓鱼者想看看鱼钩上的情况,把鱼竿AC转动到AC'的位置，此时露在水面上的鱼线B'C'为

8m，则BB'的长为（）

3.（2分）（2021八上•嵩县期末）有一个边长为1的正方形，以它的一条边为斜边，向外作一个直角三

角形，再分别以直角三角形的两条直角边为边，向外各作一个正方形，称为第一次“生长”（如图1）；再分

别以这两个正方形的边为斜边，向外各自作一个直角三角形，然后分别以这两个直角三角形的直角边为边，

向外各作一个正方形，称为第二次“生长”（如图2）……如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你

算出“生长''了2021次后形成的图形中所有的正方形的面积和是（)

图1图2

A.1B.2020C.2021D.2022

4.（2分）（2021八上•宜宾期末）已知AABC中，NA、NB、NC所对的边分别是a、b、c,满足下列条件

的三角形中，不能判定AABC为直角三角形是的（)

A.ZA：ZB：ZC=3：4：5B.ZA=ZC-ZB

C.a：b：c=5：12：13D.ZA：ZB：ZC=1：2：3

5.（2分）（2021八上•长沙期末）如图，等边AABC中，D为AC中点，点P、Q分别为AB、AD上的点,

BP=AQ=4,QD=3,在BD上有一动点E,则PE+QE的最小值为（）

7B.8C.10D.12

6.（2分）（2021八上•江津期中）如图，等腰三角形ABC的底边BC长为3,面积是18,腰AC的垂直平

分线EF分别交AC,AB边于E,F点.若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则ACDM周长

的最小值为（）

B.8.5C.I0.5D.13.5

7.（2分）（2021八上•广州期中）如图，NAOB=20。，点M、N分别是边OA、OB上的定点，点P、Q分

别是边OB、OA上的动点，记NMPQ=a,ZPQN=/，当MP+PQ+QN最小时，则p-a的值为

)

B.20°C.40°D.60°

8.（2分）（2021八上•瑞安期中）如图，正方形ABCD的边长为6,点E在边CD上，且CD=3DE.将aADE

沿AE对折至aAFE,延长EF交边BC于点G,连接AG,CF.则下列结论：©AABG^AAFG；②NAGB+

ZAED=135°；③BG=CG；④SAEGC=SAAFE.其中正确的个数是（）

C.3D.4

BGC

9.（2分）（2021八上•平阳月考）如图，在AABC中，ZACB=90°,AC=8,BD±AB,BD=AB,DE±

BD交BC的延长线于点E,连结AE,延长AC交BD于点F.若四边形ECFD的面积为24,则AB的长

是（）

C.10D.12

10.（2分）（2021八上•崇川期末）如图，MBC中，AD1BC,垂足为D,AD=BC，P为

直线BC上方的一个动点，APBC的面积等于AABC的面积的-,则当PB+PC最小时，

2

A

/PBC的度数为（

A.30°B.45°C.60°D.90°

评卷人得分

二.填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）

11.（2分）（2021八上.南京期末）如图，在△ABC中，AB=20,AC=15,BC=7,则点A到BC的距

离是.

12.（2分）（2021八上.宜宾期末）如图所示的长方体中，长AB=5cm,宽BC=3cm,

高CD=6cm,一只蚂蚁从顶点A处沿长方体的表面爬行到点D处，它爬行的最短距离为.

/-------------71D

13.（2分）（2020八上.东海期末）根据教材第65页“思考”栏目可以得到这样一个结

论：如图，在RSABC中，NACB=90。，ZA=30°,则AB=2BC.请在这一结论的基础上继续思考：若

AC=2,点D是AB边上的动点，则CD+gAD的最小值为

2

14.（2分）（2021八上•诸暨期末）如图，等腰ABAC中，ZBAC=120°,BC=6,P为射线BA上的动点,

M为BC上一动点，则PM+CP的最小值为.

15.（2分）（2022八上•柯桥期末）如图，AB〃CD,AC平分/BAD,

BC

M

BD平分NADC,AC和BD交于点E,F,G分别是线段AB和线段AC上的动点，且AF=CG,若DE=1,

AB=2,则DF+DG的最小值为.

16.（2分）（2021八上•铁西月考）如图，矩形ABCD中，AB=9,

AD=12,点M在对角线BD上，点N为射线BC上一动点，连接MN,DN,且NDNM=NDBC,当ADMN

是等腰三角形时，线段BN的长为.

17.（2分）（2020八上•哪城期中）如图，AABC是等边三角形,

BCN

AD是BC边上的高，E是AC的中点，P是AD上的一个动点，当PC与PE的和最小时，则

NCPE的度数是

18.（2分）（2021八上•吉安期中）已知在Rt^ABC中，AB=AC=2,ABAC=90°，以AC为

一边在Rt^ABC外部作等腰直角三角形ACD,线段BD的长为.

19.（2分）（2020秋•雨花区校级期末）如图，在"BC中，CE平分/ACB,C/平分AABC的外角NACD

且EF平行BC交AC于若CM=^,则CEr+CF1的值为.

20.（2分）（2021八上•达州期中）如图，在RtAABC中，AB^AC,

ZBAC=90°,D、E为BC上两点，NDAE=45。,F为AABC外一点，且FB1BC,

FA±AE,则下列结论：①CE=BF；②BD、CE2=DE2；③5皿后=；AD•EF；④

CE2+BE2=2AE2，其中正确的是.

三.解答题（共7小题，满分60分）

21.（6分）（2021八上•鼓楼期末）如图，在AABC中，ZBAC=90°,AB=15,AC=20,AD1BC,

垂足为D.求AD,BD的长.

/「22.（6分）（2021八上•南京期末）滑撑杆在悬窗中应用广泛.如图，某款滑撑杆由滑

BDC

道。。，撑杆AB、BC组成，滑道OC固定在窗台上.悬窗关闭或打开过程中，撑杆AB、BC

的长度始终保持不变.当悬窗关闭时，如图①，此时点A与点O重合，撑杆AB、BC恰与滑道OC完

全重合；当悬窗完全打开时，如图②，此时撑杆AB与撑杆BC恰成直角，即ZB=90°,测量得

Q4=12cm,撑杆AB=15cm,求滑道OC的长度.

（2021八上■淳安期末）已知AABC的三边a=m2-1（m>l）,b=2m,c=m2+l.

（1）（3分）求证：AABC是直角三角形.

（2）（4分）利用第（1）题的结论，写出两个直角三角形的边长，要求它们的边长均为正整数.

24.（10分）（2021八上•驻马店期末）如图，一次函数y=x+2的图象分别与x轴和y轴交于C,A两点,

且与正比例函数y=kx的图象交于点B（-1,m）.

（2）（3分）点D是一次函数图象上的一点，且AOCD的面积是3,求点D的坐标；

（3）（4分）在x轴上是否存在点P,使得BP+AP的值最小，若存在，求出点P的坐标，若不存在，说

明理由.

25.（11分）（2021八上•宜宾期末）如图，已知长方形的边AD=8,AB=4,动点M从点A出发，以每秒

2个单位长度的速度沿A-D-A的路径匀速运动，同时:动点N从点C出发，沿C—B方向以每秒1个单

位长度的速度匀速运动，当其中一个动点到达终点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t秒.

（图一）

（图二）（1）（3分）如（图

-）,当运动时间为1秒时，求MN的长度;

（2）（4分）当0WS4时，直接写出AAMN为直角三角形时的运动时间t的值;

（3）（4分）如（图二），当4<tV8时，判断△AMN的形状，并说明理由.

26.（9分）（2021八上海曙期末）如图所示，AABC中，BA=BC,COA.AB于点。，AO=4,

BO=6.

(1)(3分)求BC,AC的长.

（2）（6分）若点D是射线OB上的一个动点，作DELAC于点E,连结OE.

①当点D在线段OB上时，若AAOE是以AO为腰的等腰三角形，请求出所有符合条件的OD

的长.

②设DE交直线BC于点尸，连结。尸，CD,若1：4,则CD的长为多

SAOBF：S^OCF=

少？（直接写出结果）.

27.（12分）（2022八上•西湖期末）如图，在AABC中，ZACB=90°,线段EF是由线段AB平移得到

的，点F在边BC上，以EF为边构造△£££>,使ED=DF，NEDF=90°，过点D作£>"_!_AE，垂

足为H,延长BF交DH于点G.

（1）（6分）如图①，若点D恰好在AC的延长线上，此时点A与点H重合，点C与点G重合.

①求证：AHDE”QFD.

②若BF=1，CF=3,求DF的长.

（2）（6分）如图②，将点F沿着BC边继续平移，此时△“DEgAGFD仍成立吗？若不成立，请说明理

由；若成立，连结AD,当点C与点F重合时，请直接写出AD与DH的数量关系.

2022-2023学年苏科版数学八年级上册压轴题专题精选汇编

专题07勾股定理

考试时间：120分钟试卷满分：100分

一.选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）

1.（2分）（2021八上•南京期末）在Rt^ABC中，ZB=90°,AB=BC=2，AC=a.下列关

于a的四种说法：①a是无理数；②a可以用数轴上的一个点来表示；③a是8的算术平方根：④3<a<4.

其中，所有正确的说法的序号是（）

A.①②④B.②③④C.①②③D.①③④

【答案】C

【完整解答】解：；R/AABC中，NB=90°,==2,AC^a,

-a=ylAB2+BC2=272>

①a=20是无理数，说法正确；

②a可以用数轴上的一个点来表示，说法正确：

③a是8的算术平方根，说法正确；

@V4<8<9,A2<272<3，即2Va<3,说法错误；

所以说法正确的有①②③.

故答案为：C.

【思路引导】利用勾股定理求出a的值，根据a的值，可对①作出判断；根据实数与数轴上的点成一一对应，

可对②作出判断；利用正数的算术平方根是正数，可对③作出判断；利用估算无理数的大小方法，可知

2<272<3.可对④作出判断，综上所述可得到正确说法的个数.

2.（2分）（2021八上•嵩县期末）如图，已知钓鱼竿AC的长为10m，露在水面上的鱼线BC长

为6m，某钓鱼者想看看鱼钩上的情况,把鱼竿AC转动到AC的位置，此时露在水面上的鱼线B'C

为8m，则BB'的长为（

A.ImB.2mC.3mD.4m

【答案】B

【完整解答】解：VAC=10m,BC=6m,ZABC=90°,

•••AB=^AC2-BC2=A/102-62=8m,

VAC^lOm,B'C'=8m,/AB'C'=90°,

7AC'2-5'C'2=V102-82=6in,

...BB，=AB-AB，=2m；

故答案为：B.

【思路引导】利用勾股定理求出AB的长，再利用勾股定理求出AB，的长；然后根据BB，=AB-AB，，代入计

算可求解.

3.（2分）（2021八上.嵩县期末）有一个边长为1的正方形，以它的一条边为斜边，向外作一个直角三角形，

再分别以直角三角形的两条直角边为边，向外各作一个正方形，称为第一次“生长”（如图1）；再分别以这

两个正方形的边为斜边，向外各自作一个直角三角形，然后分别以这两个直角三角形的直角边为边，向外

各作一个正方形，称为第二次“生长”（如图2）……如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你算出“生

长”了2021次后形成的图形中所有的正方形的面积和是（）

A.1B.2020C.2021D.2022【答案】D

【完整解答】解：如图，

由题意得：SA=1,

由勾股定理得：SB+SC=1,

则“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2,

同理可得：

“生长”了2次后形成的图形中所有的正方形面积和为3,

“生长”了3次后形成的图形中所有正方形的面积和为4,

“生长”了2021次后形成的图形中所有的正方形的面积和是2022,

故答案为：D.

【思路引导】利用勾股定理可证得SB+SC=1,可得到“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和

为2；“生长”了2次后形成的图形中所有的正方形面积和为3：“生长”了3次后形成的图形中所有正方形的

面积和为4......由此规律可得到“生长”了2021次后形成的图形中所有的正方形的面积和.

4.（2分）（2021八上•宜宾期末）已知AABC中，NA、NB、NC所对的边分别是a、b、c,满足下列条件

的三角形中，不能判定AABC为直角三角形是的（）

A.ZA：ZB：/C=3：4：5B.ZA=ZC-ZB

C.a：b：c=5：12：13D.ZA：ZB：ZC=1：2：3

【答案】A

【完整解答】解：A、•••ZA：ZB：NC=3：4：5,

.,.NC=---xl80°=5xl5°=75°,故A选项符合题意；

3+4+5

B、=则Z4+ZB=NC,

.-.ZA+ZJ?+ZC=2ZC=180°,,-.ZC=90°,故B选项不符合题意；C、va：b：c=5：12：13,

设a=5k,则b=\2k,c=13Z,

:.a2+b2=\69k2=c2,所以能构成直角三角形，故C选项不符合题意：

D、•••ZA：ZB：ZC=1：2：3,

3

,-.ZC=------x180°=90°,故D选项不符合题意.

1+2+3

故答案为：A.

【思路引导】根据三角形的内角和定理求出三角形中最大内角的度数，据此判断A、B、D；设a=5k,则

b=12k,c=13k,利用勾股定理逆定理可判断C.

5.（2分）（2021八上•长沙期末）如图，等边AABC中，D为AC中点，点P、Q分别为AB、AD上的点,

BP=AQ=4,QD=3,在BD上有一动点E,则PE+QE的最小值为（）

B.8C.10D.12

【答案】C

【完整解答】解：如图,

•/MBC是等边三角形,

BA-BC，

为AC中点，

/.BD1AC，

VAQ=4,QD=3,

,-.AD=DC=AQ+QD=l,

作点Q关于BD的对称点Q，,连接PQ，交BD于E,连接QE,此时PE+QE的值最小，最小值

PE+QE=PE+EQ'=PQ，,

；AQ=4,AD=DC=7,:.QD=DQ'=3,

.-.CQ'=BP=4,

,-.AP=AQ=\Q,

•.Z=60°,

：.^APQ是等边三角形，

PQ'=PA=10,

/.PE+QE的最小值为10.

故答案为：C.

【思路引导】作点Q关于BD的对称点Q，,连接PQ，交BD于E,连接QE,此时PE+QE的值最小，最小

值PE+QE=PE+EQ'=PQ，,进而判断AAPQ，是等边三角形，即可解决问题.

6.（2分）（2021八上•江津期中）如图，等腰三角形ABC的底边BC长为3,面积是18,腰AC的垂直平

分线EF分别交AC,AB边于E,F点.若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则ACDM周长

的最小值为（）

B.8.5C.10.5D.13.5

【完整解答】解：如图，连接AM、AD

：EF垂直平分线段AC

/.CM=AM

CM+MD=AM+MD>AD

即当A、M、D三点在一直线上且与AD重合时，CM+MD取得最小值，且最小值为线段AD的长

VACMD的周长=CM+MD+CD=AM+MD+AD；.Z\CMD的周长的最小值为AD+CD

：D为BC的中点，AB=AC

ACD=-BC=1.5,AD1BC

2

•*,^^ABC=­x3xAD=18

.\AD=12

，AD+CD=12+1.5=13.5

即ACDM周长的最小值为13.5

故答案为：D.

【思路引导】连接AM、AD,由线段垂直平分线的性质可得CM=AM,当A、M、D三点在一直线上且与

AD重合时，CM+MD取得最小值，且最小值为线段AD的长；根据等腰三角形三线合一的性质可得

CD=-BC=\.5,AD1BC,利用AABC的面积可求出AD的长，从而求出此时ACDM的周长即可.

2

7.（2分）（2021八上.广州期中）如图，/AOB=20。，点M、N分别是边OA、OB上的定点，点P、Q分

别是边OB、OA上的动点，记NMPQ=a,ZPQN=B,当MP+PQ+QN最小时，贝ij（3-a的值为

)

A

B.20°C.40°D.60°

【答案】C

【完整解答】如图，作M关于OB的对称点M，，作N关于OA的对称点N，，连接MN，，交OA于点Q,

交OB于点P,则MP+PQ+QN最小,

VZMPM,+ZMPQ=180°,ZOPM=ZOPM,,NOPM+/OPM'=

1

ZMPM,NMPQ=a,.\ZOPM=-(180°-a),

VZ1=ZO+ZOPM,

11

；.N1=2O°+-(l80°-a)=H0°--a,

VZ2=Z3,N2+N3+NMQN=180°,ZPQN=p,

.♦.N3=；(l80°-p),

.♦.NMQP=N3=；(180°-p),

在APMQ中，Zl+ZMPQ+ZMQP=180°,

即110°-；a+a+；(l80°-p)=180°,

.*.p-a=40°,

故答案为：C.

【思路引导】作M关于OB的对称点M，，作N关于OA的对称点N，，连接MN，，交OA，点Q,交OB

于点P,则MP+PQ+QN最小，得出NOPM=/OPM，，ZOPM=-（180°-a）,根据三角形的外角性质和平

2

角的定义即可得出答案。

8.（2分）（2021八上•瑞安期中）如图，正方形ABCD的边长为6,点E在边CD上，且CD=3DE.将AADE

沿AE对折至AAFE,延长EF交边BC于点G,连接AG,CF.则下列结论：©AABG^AAFG；②NAGB+

ZAED=135°；③BG=CG；④SAEGC=SAAFE.其中正确的个数是（）

【答案】D

【完整解答】解：由题意可求得DE=2,CE=4,AB=BC=AD=6,

,将AADE沿AE对折至AAFE,ZAFE=ZADE=ZABG=90°,AF=AD=AB,EF=DE=2

在RtAABG和RtAAFG中

AB=AF

AG=AG'

.•.Rl/kABG也RSAFG(HL),

.,.①正确；

；.BG=GF,ZBGA=ZFGA,

设BG=GF=x,则CG=6-x,在RsEGC中，EG=x+2,CG=6-x,CE=4,

(x+2)2—(6-x)2+42,

解得x=3,

，BG=CG=3,

...③正确；

在五边形ABGED中,

ZBGE+ZGED=540°-90°-90°-90。=270。，

即2/AGB+2NAED=270°,

；./AGB+/AED=135°,

②正确；

1111

VSEGC=—GGCE=—x3x4=6,SAFE=—AF«EF=—x6x2=6,

A22A22

，SAEGC=SAAFE,

.•.④正确；

故答案为：D.

【思路引导】易得DE=2,CE=4,AB=BC=AD=6,由折叠的性质得/AFE=/ADE=NABG=9（）。，

AF=AD=AB,EF=DE=2,证RsABG丝RtziAFG,据此判断①；由全等三角形的性质得BG=GF,ZBGA

=ZFGA,设BG=GF=x,则CG=6-x,EG=x+2,CG=6-x,CE=4,由勾股定理可得x,据此判断③；

由正五边形内角和可得/BGE+/GED=270。，据此判断②；根据三角形的面积公式求出SAEGC,SAAFE,据

此判断④.

9.（2分）（2021八上•平阳月考）如图，在AABC中，ZACB=90°,AC=8,BD±AB,BD=AB,DE

±BD交BC的延长线于点E,连结AE,延长AC交BD于点F.若四边形ECFD的面积为24,则AB的

长是（）

A.3B.8C.10D.12

【答案】C

【完整解答】ft?：VED1BD,AB1BD,

，ED〃AB,

，ZDEB=ZABC.

在AABF和ABDE中，

ZBDE=乙ABF

乙BED=/.ABC»

BD=AB

/.△ABF^ABDE,

•'.SAABF=SABDE>

SAABF-SABCF=SABDE-SABCF,

，SAABC=S四边形ECFD=24,

1

二一ACxBC=24,

2

ABC-6,

AB=y]AC2+BC2=A/62+82=10

故答案为：10.

【思路引导】利用AAS证明^ABF丝4BDE,得出SAABF=SABDE,然后根据面积的和差关系求出SAABC=S四

边形ECFD=24,再根据三角形面积公式求出BC长，最后根据勾股定理求AB长即可.

10.（2分）（2021八上•崇川期末）如图，AABC中，ADA.BC,垂足为D,AD^BC，P为

直线BC上方的一个动点，APBC的面积等于MBC的面积的-，则当PB+PC最小时，

2

D.90°

【答案】B

【完整解答】解：YSAPBC=-SAABC,AD±BC，

2

:.P在与BC平行，且到BC的距离为-AD的直线I上，如图,

2

作点B关于直线1的对称点B1,连接BC交1于P,

则PB=PB\此时点P到B、C两点距离之和最小,

作PMJ_BC于M,则BB'=2PM=AD,

VAD1BC,AD=BC,

；.BB，=BC,BB1BC,

...△BBC是等腰直角三角形,

二/B'=45°,

VPB=PB',

.♦・NPBB'=NB'=45。，

ZPBC=90°-45°=45°；

故答案为：B.【思路引导】P在与BC平行，且到BC的距离为』AD的直线1上，如图，作点B关于直线

2

1的对称点B',连接BC交1于P,此时P到B、C两点距离之和最小，作PMLBC于M,则BB'=2PM=

AD,进而得到ABBC是等腰直角三角形，据此解答即可.

填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）

II.（2分）（2021八上.南京期末）如图，在AABC中，AB=20,AC=15,BC=7,则点A到BC的距

离是.

【答案】12

【完整解答】解：过A作AD±BC交BC的延长线于D,

AAB2-BD2=AD2=AC2-CD2,

VAB=20,AC=I5,BC=7,

-（7+CD）2=152-CD2,

，CD=9,

二"）=&52-92=12，

，点A到BC的距离是12；

故答案为：12.

【思路引导】过A作ADLBC交BC的延长线于D,根据勾股定理可得AB?-BD2=AD2=AC2-CD2,据

此建立方程，求出CD,从而求出AD.

12.（2分）（2021八上•宜宾期末）如图所示的长方体中，长AB=5cm,宽BC=3cm,高CD=6cm,一

D

只蚂蚊从顶点A处沿长方体的表面爬行到点D处，它爬行的最短距离为

C

【答案】10cm

【完整解答】解：如图，蚂蚁从前面与右侧面经过时，连接AD

由题意得：AC=8,C£>=6,

如图，蚂蚁从前面与上面经过时，连接AD

由题意得:43=5,30=6+3=9,

B

D

AD=J52+92=痴2如图,蚂蚁从左面与上面经过时，连接AD

由题意得：AG=3,QG=6+5=11,

AD=J32+1F=Jj而而10=而5<71^<>/^3,

所以蚂蚊爬行的最短距离为10cm.

故答案为：10cm.

【思路引导】蚂蚁从前面与右侧面经过时，连接AD,由题意得AC=8,CD=6,利用勾股定理可得AD；

蚂蚁从前面与上面经过时，连接AD,由题意得AB=5,BD=9,利用勾股定理求出AD：蚂蚁从左面与上面

经过时，连接AD,由题意得AG=3,DG=I1,利用勾股定理求出AD,然后进行比较即可得到最短距离.

13.（2分）（2020八上•东海期末）根据教材第65页“思考”栏目可以得到这样一个结论：如图，在R2ABC

中，NACB=90。，NA=30。，则AB=2BC.请在这一结论的基础上继续思考：若AC=2,点D是AB边上

的动点，则CD+-AD的最小值为

2

【完整解答】解：作射线AG,使得NBAG=30。,

过D作DELAG于E,过C作CFLAG于F

G，

1

，DE=-AD,

2

I

ACD+-AD=CD+DE>CF,

2

VZCAG=ZCAB+ZBAG=60°,AC=2,

NACF=30°,

，AF=1,

；.CF=VAC2-AF2=V3，

ACD+-AD的最小值为y/3.

2

故答案为：y/3.

【思路引导】作射线AG,使得/BAG=30。，过D作DELAG于E,过C作CFLAG于F,利用含30°

角的直角三角形的性质可得DE=-AD,从而得出CD+工AD=CD+DE>CF,可知CD+-AD的最小

222

值即为此时CF的长，利用勾股定理求出CF即可.

14.（2分）（2021八上•诸暨期末）如图，等腰ABAC中，ZBAC-12O0,BC=6,P为射线BA上的动点,

M为BC上一动点，则PM+CP的最小值为.

【答案】3百

C

【完整解答】解：作点C关于AB的对称点D,交BA的延长线于点E,过点D作DMLBC于点M,交

AB于点P,

D

则PM+CP=PM+DP=DM的值最小,

VAB=AC,/BAC=120°,

.,.ZB=30°,

I

.\CE=-BC=3,ZDCM=60°,

2

，CD=2CE=6,ND=30°,

1

；.CM=-CD=3,

2

•••DM=462—32=3A

.•.PM+CP的最小值为3百.

故答案为：3G.

【思路引导】作点C关于AB的对称点D,交BA的延长线于点E,过点D作DMLBC于点M,交AB于

点P,根据垂线段最短得出PM+CP的最小值为DM的长，根据等腰三角形的性质得出/B=30。，从而得出

CD=2CE=6,ZD=30°,CM=-CD=3,根据勾股定理得出DM=3.即可得出答案.

2

15.（2分）（2022八上♦柯桥期末）如图，AB〃CD,AC平分/BAD,BD平分NADC,AC和BD交于点E,

F,G分别是线段AB和线段AC上的动点，且AF=CG,若DE=1,AB=2,则DF+DG的最小值为.

【答案】2拒

【完整解答】解：连接BC,

：AC平分/BAD,BD平分/ADC,AB〃CD,

AZDAC=ZBAC,ZADB=ZCDB,ZAED=180°-180°4-2=90°,

VAB//CD,

AZDCA=ZBAC,

AZDCA=ZDAC,

ADA=DC,

同理：DA=BA,

ADC=AB,

・.・AB〃CD,

・・・四边形ABCD是平行四边形，

■:DA二DC,

・・・四边形ABCD是菱形.

如图.在AC上取点B,使AB三AB,连接FB)作点D关于AB的对称点D)连接DF、DD,.

D'作BH_LCD于点H,作BM_LDD于点M.

.\DF=DF,

VAF=CG,ZBAF=ZDCG,AB'=AB=CD,

AABAF^DCG(SAS),.'.B'F=DG,

ADF+DG=DF+B'F,

・••当B、F、D三点在同一直线上时，DF+DG=DF+BF取最小值为BD.

VDE=1,AD=AB=2,

AZDAE=30°,ZADE=60°,

，AC=AD=2V3，CB'=26-2,

AB'H=yB'C=V3-1.CH=百B'H=3-6,

ADH=DC-CH=2-（3-73）=百T，

•.•四边形DHB，M是矩形

.•.DM=B'H=G-I,MBr=DH=73-1，

；.DM=DD'-DM=&AD-DM=2g-（百-1）=73+1,

•••DB=siMB'2+MD'2=7（V3-1）2+（V3+1）2=2>/2.

即DF+DG的最小值为2V2.

故答案为：2yli-

【思路引导】连接BC,根据角平分线的概念可得/DAC=/BAC,NADB=/CDB,根据平行线的性质可

得/DCA=/BAC,推出DA=DC,同理可得DA=BA,进而推出四边形ABCD是菱形，在AC上取点B,

使AB'=AB,连接FBI作点D关于AB的对称点D，，连接DF、DD',作BHLCD于点H,作BM_LDD'

于点M,证明aBAF验ADCG,得到BF=DG,则DF+DG=DF+BF取最小值为BD,利用三角函数的概念

可得AC,进而求出CB\BH、CH、DH,根据矩形的性质可得DM=BH=6-1,MB，=DH=GT，则

D'M=DD'-DM=V3+h然后利用勾股定理求出DB即可.

16.（2分）（2021八上•铁西月考）如图，矩形ABCD中，AB=9,AD=12,点M在对角线BD上，点

N为射线BC上一动点，连接MN,DN,且NDNM=NDBC,当△DMN是等腰三角形时，线段BN的长

【完整解答】解：①如图1中,

当NM二ND时,

AZNDM=ZNMD,

VZMND=ZCBD,

AZBDN=ZBND,

・♦・BD=BN=y/BC^CD1=V122+92T5；

此时M与B重合,

・•・BC=CN=12,

・・・BN=24；

当MN=MD时，I.ZNDM=ZMND,

/.ZNDM=ZMND=ZCBD,

・・・BN=DN,

设BN=DN=x,

在RtADNC中，DN2=CN2+CD2,

/.x2=(12-x)2+92,

75

x=——,

8

75

综上，当△DMN是等腰三角形时，线段BN的长为15或24或一.

8

故答案为：15或24或

O

【思路引导】分三种情况：①当NM=ND时，②当DM=DN时，③当MN=MD时，根据等腰三角形的性质

及勾股定理分别求解即可.

17.（2分）（2020八上•哪城期中）如图，AABC是等边三角形，AD是8C边上的高，E是AC的

上的一个动点，当PC与PE的和最小时，则NCPE的度数是.

A

BnC，公•士.

D【答案]60°

，【工完整解答】解：如连接BE,与AD交于点P,此时PE+PC最小，

,△ABC是等边三角形，AD1BC,，PC=PB,

BD

：.PE+PC=PB+PE二BE,

即BE就是PE+PC的最小值，

「△ABC是等边三角形，

・・・ZBCE=60°,

VBA=BC,AE=EC,

・・・BEJ_AC,

・・・ZBEC=90°,

・・•ZEBC=30°,

VPB=PC,

/.ZPCB=ZPBC=30°,

JZCPE=ZPBC+ZPCB=60°,

故答案为:60°.

【思路引导】如连接BE,与AD交于点P,此时PE+PC最小，利用等边三角形的性质可证得PC=PB,由

此可推出PE+PC=BE,即可得到BE就是PE+PC的最小值：利用等边三角形的性质可得到NBCE=60。，利

用等腰三角形的性质可得到BE,AC,可求出NBEC、/EBC的度数，由PB=PC,利用等边对等角可求出

/PCB和/PBC的度数，根据/CPE=/PBC+NPCB,代入计算求出NCPE的度数.

18.（2分）（2021八上•吉安期中）已知在Rt^ABC中，AB=AC=2，ZBAC=90°，以AC为

一边在RtAABC外部作等腰直角三角形ACD,线段BD的长为.

【答案】2行或或4.

【完整解答】分三种情况讨论：

如解图，以A为直角顶点，向外作等腰宜角三角形

vZZMC=90°，且AD^AC，

..BD=BA+AD=2+2=4：

如解图，以C为直角顶点，向外作等腰直角三角形

BC的延长线于点E，

是等腰百角：.角形，ZACD=90°,

：.ZDCE=45°,CO=AC=2，

又'.DEICE，

ZDEC^90°，

.1.ZCDE=45°

,rp_nr_DC_2^2_r-

在RSBAC中，BC=\lAB2+AC2=272，

:.BE=BC+CE=3>/2，

BD=yjBE2+DE2=275；

如解图，以AC为斜边，向外作等腰直角三角形ADC，

\-ZADC=90°,AD=DC，ft4c=2,

...40=。。=华=述=后，

722

又•.•△ABC,AADC是等腰直角三角形，

.­.ZACB=ZACD=45°,

.•"CD=90。，

在RMABC中，BC=y]AB2+AC2=242,:.BD=dBC?+CD?=715.

综上所述，BD的长为4或2石或JI6.

故答案为：4