2022年高考艺术生专用数学讲义-第23讲正（余）弦定理（学生版）

第23讲正（余）弦定理

1、正弦定理

在三角形中，每一条边与对角正弦的比值相等，相等的比值等于三角形外接圆直径

关系式：A43C的内角A8,C的对边分别为a,b,c。

满足：三=/_=，一=2乙其中2r为三角形外接圆直径。

sinAsinBsine

2、余弦定理。

内容：在三角形中，一条边的平方等于另外两条边的平方和减去二倍两边乘积再乘以夹角余弦。

关系式：AABC的内角的对边分别为名仇c。

满足：®a2=b2+c2-2bccosA；®b~=a2+c2-2accosB：®c2=a2+b2-2abcosC»

3、余弦定理推导式。

关系式：AABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c、。

-+C2-a2„na2+c2-b2「a2+b2-c2

满足：①cosA=-----------；®cosB------------；（3）cosC=-----------。

2bclaclab

4、三角形面积公式。

内容：三角形的面积等于两条边与夹角正弦的乘积的一半。

关系式：AABC的内角48,C的对边分别为a,b,c。

满足：S..——i>csinA=—acsin5=-a/jsinCo

MlinCr222

题型一：正弦定理

1.（2021•河南高二月考（文））在AABC中，角A,8,C的对边分别为a,"c,已知C=?,c=2石⑦=2,

则8=（）

TZ717171

A.-B.-C.-D.一

6432

2.（2021•全国高一课时练习）在“LBC中，角A,8,C的对边分别为“，b,c.若a=6，b=g,A=%

则角3=（）

A冗c冗〃冗-5兀-兀-2兀

A.-B.-C.—或"T-D.一或—

636633

3.（2021•全国高一课时练习）在AA3C中，a,4c分别是内角C的对边，则下列等式正确的是（）

A.a=bcosC-^-ccosBB.a=bcosC-ccosB

C.a=bsinC+csinBD.a=bsinC-csinB

4.（2021•全国图一单元测试）已知AABC中，内角A3,。所对的边分别〃也c,若。=1,b=2,sinA=-,

6

则sinB=（）

2151

A.-B.-C.-D.-

3362

5.（2021•重庆垫江第五中学校）在AABC中，内角A,B,C所对的边分别是a,0,c,已知a=7,c=5,则吗

sine

的值是（）

A.-B.-C.+—D.—

571212

6.（2021・日照神州天立高级中学有限责任公司高一月考）在AABC中，ZA=30°,a边的长度为1,则该

三角形外接圆的半径为（）

A.1B.gC.2D.3

7.（2021•江苏沐阳•高一期中）”8C的内角4,B,C的对边分别为a,A,c.若A=60。，a=百，则

a+b+c/、

-------------------------=（）

sinA+sin8+sinC

A.。B.2C.y/3D.—

22

8.（2021•河北邯郸・高一期中）已知“"，c分别为A/WC三个内角A,B,C的对边，且a-〃cosC=®sinC,

△ABC的外接圆半径为2.则b=（）

A.73B.2C.2拒D.4

9.（2021•南昌市豫章中学高二开学考试（理））在AABC中，若sinA:sinB:sinC=5:7:8,贝曙43。三角

形的最大角与最小角的和是（）

A.90B.120C.135D.150

10.（2021•北京市延庆区教育科学研究中心高二期末）在“ABC中，角A,B,C所对的边分别为。，b,J

若a=2b,sinB=—，则()

4

71c人冗—p.21

A.A=—B.A=—或AA=——

333

「•A6

C.sinA=——

3

TT

11.（2021♦福建福州•）在AABC中，a=5,6=8,A=-,则此三角形（）

6

A.有两解B.有一解C.无解D.解的个数不确定

12.（2021•江苏镇江,高一期中）在AABC中，角A,B,C所对的边分别为a,6,c,3=30。，a=6，c=3,

a+b

则()

sinA+sinB

D.近

A.2B-ic.2^3

2

题型二：余弦定理

1.（2021•河南新郑•高二月考（文））在4至。中，Afi=4,AC=l,A=^,plljBC=（）

A.2A/3B.76C.V13D.5

2.（2021•全国高一课时练习）在AA8C中，a,O,c分别为角A,8,C的对边，若。=60，a=5,b=S,

则八钻。的周长为（）

A.20B.30C.40D.25

3.（2021,全国高一课时练习）在MBC中，角A比C的对边分别为反c,若a?一高+源=出,,则sinC

的值为（）

A.IB.—C.巫D.立

2223

4.（2021•江西九江一中高一月考）在AABC中，内角A8,C所对的边分别为a,6,c,若a?+尸-他;。？,

则。=（）

A.B.&C—D.空

6433

5.（2021•河北高三月考）在AA8C中，ZA,SB,NC的对边分别为。，b,c,ZB=135°,b=岳,c=6,

贝l]a=（）

A.2B.y/bC.3D.26

6.（2021•梁河县第一中学高二开学考试）△ABC中，角A,B,C所对的边分别为44c,若a=V7,6=3,c=2,

则A=（）

A.30°B.45°C.60,D.90

27r

7.（2021洋州县第二中学高二期末）已知AABC的角AB,C,所对的边分别为4仇c"=",a=l,B=y,

则。=（）

A.6B.2C.>/3D.3

8.（2021•徐闻县第一中学高一期中）在AABC中，已知/=从+儿+°2,则角人为（）

7tit2nn兀一42九

A.-B.-C.一D.一或一

36333

9.（2021云南省南涧县第一中学高一月考）在AABC中，内角A,B,C所对的边分别为c.若。=2亚，

c=l,4=45。，贝lja=（）

A.1B.2C.y/2D.y/5

10.（2021•晋中市新一双语学校（文））在三角形ABC中，Afi=5,AC=7,BC=8,则ZABC大小为

)

2TR

A.TB.-CHD.

636

TT

11.（2021•河北邢台•)△A8C的内角A,B,。的对边分别为“，b,c,若4=4,b=2&,C=-

6

则，e=()

A.6B.2C.3D.4

12.（2021•江苏通州•高一期中）在A4BC中，NACB=工，AC=J5，3C=3,则AB等于（）

6

A.>/3B.3C.V21D.21

13.（2021•河南高三月考（理））已知锐角三角形的三边长分别为2,5,，"，则实数"?的取值范围是（）

A.（3,7）B.（而回）

C.（夜1,7）D.（3,729）

14.（2021嚏国高二课时练习）已知。也。是A/WC三边长，若满足（a+A—c）（a+A+c）=昉，则NC=（）

A.120B.150C.60"D.90,

题型三：面积公式

1.（2021•四川新都•高三月考（文））在AABC中，ZB=y,AB=2,BC边上的中线AD的长度为26,

则的面积为（）

A.2+B.45/3C.12D.8石

34

2.（2021•黑龙江哈尔滨•哈师大附中高三月考（理））已知A4BC,COSA=W，COS8=W，BC=4,则AABC

的面积为（）

A.5B.6C.10D.12

3.（2021•安徽镜湖•芜湖一中高三月考（理））已知中，角A、B、C所对的边分别为。、b、c,

且a=2,C=45°,accosB=b2+becosA,则AA3C的面积为（）

A.B.1C.2D.4

4.（2021•全国高一课时练习）ZVLBC的三个内角A,B,C的对边分别是a,0,c,若AABC的面积是66,

B=y,a=2c,则〃=（）

A.2B.4C.6D.8

5.（2021•云南玉溪•（文））在4M。中，ZABC=150°,力是线段AC上的点，NDBC=60°,若AABC

的面积为百，则80的最大值是（）

A.亚B.3

C.1D.y/2

22

6.（2021•黑龙江大庆实验中学）在AA8C中，内角A,B,C的对边分别为。、6、。，若A=60。，b=2,

S*ABC=26则“的值为（）

A.2GB.2C.4D.272

7.（2021•全国高三专题练习）过x轴上一点P向圆C:/+（y-2）2=l作圆的切线，切点为A,8,则△PAB

面积的最小值是（）

A3石R373

C.A/3D.36

4