高考数学基础+提高分类题组训练

高中数学(2011)第一轮复习专题

第一章集合

第一节集合的含义、表示及基本关系

A组

1.已知/={1,2},B={x\x&A},则集合4与5的关系为.

解析：由集合8={x|xG/}知，8={1,2}.答案：A=B

2.若。用adR},则实数。的取值范围是.

解析：由题意知，fWa有解，故a20.答案：“20

3.已知集合力=在『=/一21一1,x£R},集合8={x|-2Wx<8},则集合“与

B的关系是.

解析：y=x2-2x-1=(x-I)2-2^-2,'.A={y}y^-2],:.B坛A.

答案：B呈A

4.(2009年高考广东卷改编)己知全集：/=氏则正确表示集合"={-1,0,1}和汽

1(.1

解析：由N={x|/+x=0},得2{-1,0},则N呈A1.答案：②

5.(2010年苏、锡、常、镇四市调查)已知集合4=*,>5},集合8=任.>。},

若命题“xez”是命题“xGB”的充分不必要条件，则实数。的取值范围是

解析：命题“工£力"是命题"xGB”的充分不必要条件，・,•力B,a<5.

答案：a<5

6.(原创题)已知相£4,〃£3,且集合4={冲;=2。,。£2},8=",=2。+1,。£2},

又C={Mx=4o+l,Q£Z},判断根+〃属于哪一个集合？

解：J设机=2。],4/1又,：nGB,，设〃=2。2+1，

/.w+勿=2(a1+。2)+1，而0+:・m+nGB.

B组

1.设。，，都是非零实数，尸6+6+儡可能取的值组成的集合是.

解析：分四种情况：(1)47>0且b>0-,(2)a>0且b<0-,(3)a<0且b>0;(4)a<0

且b<0,讨论得y=3或y=-1.答案：{3,—1}

2.已知集合/={-1,3,2机-1},集合8={3,»?}.若8=4则实数m=______.

解析：•.,BGZ,显然那2#-1且)工3,故M=2m-1,即(%-1)2=0,...加

=1.答案：1

3.设尸，。为两个非空实数集合，定义集合。+。={“+旬。6尸，6G。},若产

={0,2,5},0={1,2,6},则P+。中元素的个数是个.

解析：依次分别取a=0,2,5;b=1,2,6,并分别求和，注意到集合元素的互

异，性，.♦.尸+。={1,2,6,3,4,8,7,11}.答案：8

4.已知集合{小2=1},集合N={x|ax=1},若NM,那么a的值是.

解析：M={x|x=1或x=-l},NM,所以N=。时，4=0;当aWO时，x

=：=1或-1,...a=1或-1.答案：0,1,—1

5.满足{1}呆/={1,2,3}的集合4的个数是个.

解析:/中一定有元素1,所以/有{1,2},{1,3},{1,2,3}.答案:3

6.已知集合4={小=。+：,a£Z},8={小=a一g,bGZ},C={x|x=|+7,

ceZ},则/、B、C之间的关系是.

解析：用列举法寻找规律.答案：A^B=C

7.集合/={x|,|W4,xGR},8=体<3},则“集=3”是“a>5”的.

解析：结合数轴若/=8台024,故“ANB”是“a>5”的必要但不充分条

件.答案：必要不充分条件

8.(2010年江苏启东模拟)设集合M={m|m=2",n€N,且加〈500},则〃中所

有元素的和为.

解析：V2"<500,...〃=0,l,2,3,4,5,6,7,8".M中所有元素的和S=1+2+2?

+…+2^=511.答案：511

9.(2009年高考北京卷)设4是整数集的一个非空子集，对于上G4如果上一14

4,且左+1M,那么称％是/的一个“孤立元”.给定S={1,2,3,4,5,6,7,8},由

S的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有个.

解析：依题可知，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”，这

三个元素一定是相连的三个数.故这样的集合共有6个.答案：6

10.已知4={x,xy,lg(xy)},B={0,[r|,y],且4=5,试求x,y的值.

解：由lg&y)知，xy>0,故x#0,9#0,于是由/=8得1g(盯)=0,中=1.

.\A={x,l,0},B={0,|x|,：}.

于是必有网=1,：=xWl,故工=-1,从而y=-l.

11.已知集合力={xp—3x—10W0},

(1)若B={x\m+l^x^2m-l}9求实数加的取值范围;

(2)若416,B={x|m-6WxW2m-l},求实数m的取值范围；

(3)若4=8,8=3加-6WxW2加一1},求实数〃7的取值范围.

解：由4={A#2-3X-10W0},得4={x|-2WxW5},

・•・①若8=0,则〃?+1>2加-1,即机<2,此时满足8c4

加+1W2/%-1,

②若BW。，贝卜一2W/W+1,解得2WmW3.

、2〃?-1W5.

由①②得，加的取值范围是(-8,3].

2m-1>m-6,m>-5,

(2)若/=8,则依题意应有“％-6乏-2,

解得故3WmW4,

2m-125.”23.

・・・团的取值范围是[3,4].

[m-6=-2,

(3)若4=8,则必有彳解得加£0.,即不存在加值使得4=3.

[2m-1=5,

12.已知集合Z={XH-3X+2W0},■8={x|x2—(a+l)x+aW0}.

(1)若力是8的真子集，求”的取值范围；

(2)若8是工的子集，求。的取值范围；

(3)若4=8,求a的取值范围.

解：由X2-3X+2W0,即Q-l)Q-2)W0,得1WXW2,故4={X|1WXW2},

而集合B={x|(x-l)(x-a)WO},

(1)若T是4的真子集,即/B,则此时8={x|lWxW°},故a>2.

(2)若8是/的子集，即8G/,由数轴可知lWaW2.

1G2

(3)若)=8,则必有a=2

第二节集合的基本运算

A组

1.(2009年高考浙江卷改编)设U=R,/={小>0},B={小>1},则/C[津=.

解析：[或={x|xWl},C[宓={x|0〈xWl}.答案：{x|0QcWl}

2.(2009年高考全国卷I改编)设集合/={4,5,7,9},8={3,4,7,8,9},全集U=

4U8,则集合(：心08)中的元素共有个.

解析:4-5={4,7,9},ZU8={3,4,5,7,8,9},[-(13)={3,5,8}.答案：3

3.已知集合M={0,1,2},N={x|x=2a,a^M},则集合MCN=.

解析:由题意知,N={0,2,4},故A/nN={0,2}.答案：{0,2}

4.(原创题)设4,8是非空集合，定义/⑧8={x|xG/U8且逐已知/

={x|0WxW2},8={y[y20}，则/⑧8=.

解析：JU5=[0,+8),,4CIS=[0,2],所以/⑧5=(2,+°°).

答案：(2,+°°)

5.(2009年高考湖南卷)某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓

球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人

数为.------------------

解析：设两项运动都喜欢的人数为x,画出韦恩图

得到方程15-x+x+10-x+8=30=x=3,...喜爱篮球运动但(jg

不喜爱乒乓球运动的人数为15-3=12(人).答案：128

6.(2010年浙江嘉兴质检)已知集合/={x|x>l},集

合B={X|/MWXW/«+3}.

(1)当m=-1时，求/AB,AUB；

(2)若8=4,求朋的取值范围.

解：⑴当勿=-1时，8={X|-1WA<2},.."06={*|"后2},4UB=

Ul^-l).(2)若比4则R>1,即m的取值范围为(1,+8)

B组

1.若集合A7={xGR|-3vx〈l},N={xGZ|-lWxW2},贝ljA/CN=.

解析：因为集合％={-1,0,1,2},所以A/CN={-1,0}.答案：{-1,0}

2.已知全集。={-1,0,1,2},集合/={-1,2},3={0,2},则.

解析：CM={0,1}，故(Cu/)C8={0}.答案:{0}

3.(2010年济南市高三模拟)若全集U=R,集合M={x|-2WxW2},N={xp

-3xW0},则网=.

解析：根据已知得A/n((uN)={x\-2^x^2}n{x[x<0或x>3}={x\-

2Wx<0}.答案：{x|-2Wx<0}

4.集合/={3,k)g2〃},B={a,h},若/fC8={2},则4U8=.

解析:由NC8={2}得log2a=2,：.a=4,从而6=2,U8={2,3,4}.

答案：{2,3,4}

5.(2009年高考江西卷改编)已知全集U=4U8中有m个元素，([〃)□([2)中

有〃个元素.若ZA8非空，则NAB的元素个数为.

解析：UB中有机个元素，---一■

•••([WOUCQBMCM/CB)中有〃个元素，.•./nB中有八

〃?-〃个元素.答案：m-n4(I«

6.(2009年高考重庆卷)设"={〃|〃是小于9的正整数},A\

={〃G是奇数}，8=是3的倍数},则((X4U8)—'

解析：[/={123,4,5,6,7,8},={1,3,5,7}>5={3,6},：.A^B={1,3,5,6,7},

得[忒/08)={2,4,8}.答案：{2,4,8}

X

7.定义/®8={z|z=xy+「，xGA,y&B}.设集合Z={0,2},8={1,2},C={1},

则集合(N®8)®C的所有元素之和为.

解析：由题意可求中所含的元素有0,4,5,则(Z®8)®C中所含的元素有

0,8,10,故所有元素之和为18.答案：18

8.若集合{(x,y)|x+y—2=0且x—2y+4=0}{(x,y)[y=3x+6},则b=.

x+y-2=0,fx=O,

解析：由)3点(0,2)在y=3x+b上，：.b=2.

[x-2y+4=0.\y=2.'

9.设全集/={2,3,a2+2a-3},A={2,|a+l|},O={5},M={x\x=\o^\a\},

则集合M的所有子集是_______.

解析：V^U(C//4)=AA{2,3,d+2a-3}={2,5,\a+1|},.\|a+1|=3,且

2

a+2a-3=5,解得〃=-4或a=2,'.M={log22,log2|-4|}={1,2}.

答案:。，⑴,{2},{1,2}

10.设集合力=&|?-3工+2=0},5={x|x2+2(67+l)x+(t/2-5)=0}.

(1)若NA8={2},求实数。的值；

(2)若NU8=4求实数a的取值范围.

解：由f-3x+2=0得x=1或x=2,故集合4={1,2}.

(1)V/4A5={2},代入8中的方程，得J+4。+3=00a=-1或

67=-3;当a=-1时，8={》卜2-4=0}={-2,2},满足条件；当a=-3时，2

={x\x2-4x+4=0}={2},满足条件；综上，”的值为-1或-3.

⑵对于集合8,A=4(a+I)2-4(a2-5)=8(0+3)."：AUB=A,：.B^A,

①当AO,即a<-3时，8=0满足条件；应)当A=0,即q=-3时，B={2}

满足条件；③当△>(),即心-3时，8="={1,2}才能满足条件，贝I由根与系数

的关系得

1+2=~2(a+1)

<’2矛盾.综上，〃的取值范围是aW-3.

,lX2=a2-5

2=7,

11.已知函数/(x)=的定义域为集合4函数8(工)=3(一/+2X+,〃)

的定义域为集合B.

(1)当m—3时，

(2)若208=国一求实数％的值.

解：A={x\-l<x<5}.

(1)当相=3时，S={x|-1<x<3},则(R8={x|xW-1或x=3},

.../。((权户{x|3WxW5}.

(2)"：A={x|-1<XW5},ACyB={x\-l<x<4},

.•.有-4?+2X4+“7=0,解得m=8,此时8={x|-2<x<4},符合题意.

12.已知集合/="《11|亦2—3》+2=0}.

(1)若4=0,求实数。的取值范围；

(2)若N是单元素集，求。的值及集合4

(3)求集合〃=仞611020}.

解：(1〃是空集，即方程以2_3x+2=0无解.

2

若4=0,方程有一解x=?不合题意.

若QWO,要方程ox?-3x+2=0无解，贝)|A=9-8Q<0,则。堞

O

9

综上可知，若4=0,则4的取值范围应为

0

77

(2)当a=0时，方程ox?-3x+2=0只有一才艮工=§,4={§}符合题意.

9

当时，贝"△=9-80=0,即〃时，

O

方程有两个相等的实数根则％={$.

综上可知，当Q=0时，^={|}；当Q=1时，A={-}.

(3)当。=0时，/={|}#。.当时，要使方程有实数根，

9

贝)|A=9-8Q20,即

O

99

综上可知，<7的取值汜围是aWg,即A/={qCRM/。}=MaWg}

第二章函数

第一节对函数的进一步认识

A组

1.（2009年高考江西卷改编）函数丁="-的定义域为

[-x2-3%+420,

解析：…=>x£[-4,0）0（0,1]

IxWO,p

答案：[-4,0）U（0,l]2-7\

2.（2010年绍兴第一次质检）如图，函数Xx）的图象是曲线/

段OAB,其中点O,48的坐标分别为（0,0）,（1,2）,（3,1）,\■---[….・…二>^

则.火志）的值等于.,；i

解析：由图象知人3）=1,<磊）=/（1）=2.答案：2

3。xWl,

3.（2009年高考北京卷）已知函数於）=若危）=2,贝i」x=________.

—X,x>l.

解析：依题意得xWl时，3'=2,/.x=log32;

当x>l时，-x=2,x=-2（舍去）.故x=log32.答案：log.。

4.（2010年黄冈市高三质检）函数f{1,也L{1,也}满

足m）]>i的这样的函数个数有________个­[''

解析：如图.答赛：1

5.（原创题）由等式》3+&7+。2才+<73=。+1）3+仇（x+1）2+\\?

/>2（x+l）+63定义一个映射大幻，S，的）=（"，岳，3），则

火2,1,-1）=.

3232

解析:由题意知x+2x+x-1=（x+I）+b\（x+I）+h2（x+1）+济,

令X=-1得：-1=Z>3；

_]=]+仇+⑦+仇

再令x=0与1得,

-3=8+4b\+2b2+63

解得b\=-1,b2=0.

答案：(一1,0,-1)

1+-X(x>l)，

⑴求知一启T"讥^一2）]}的值;

6.已知函数外）=<

x2+\(TWxWl),

2+3(.X<—1).

3

(2)求/(3x-l)；(3)若/(。)=5，求a.

解：段)为分段函数，应分段求解.

⑴-啦！]=1-(72+1)=-巾<T,：.式-小)=

13

--

+2-

又二*-2)=-1,./[/(-2)]=/-1)=2,.-./{/[A-2)]}=2-

213x

(2)若3x-1>1,即x>-z,J(3x-1)=1+------7=------7；

3八/3x-13x-1

32+

若-lW3x-1W1,即OWxW],/(3x-l)=(3x-1)2+19.V6X2;

若3x-lv-1,即x〈O,/3x-1)=2(3x-l)+3=6x+1.

(号

A/(3x-1)=S2mvv?\

9Qx-6Ax+2(OWxWR,

<6x+1(x<0).

3

(3)Vy(6f)=2>・,・a>l或一IWaWl.

i3

当4>1时，有1+,=2，，。=2；

当一iWaWl时，a2+1=1,.・・。=土乎.

.*.(7=2或土坐.

B组

1

1.（2010年广东江门质检）函数y=rg（2x—1）的定义域是.

y)3x—2

解析：由析-2>0,2x-1>0,得x>1•.答案：{x|x>|}

—2x+l,(x<—1),

3

2.(2010年山东枣庄模拟)函数外)=[-3,(—lWx<2),则/(/(/仿)+5))=_.

2x—l,(x>2),

解析：；-lw|<2,/./|)+5=-3+5=2,；-lW2W2,-3,

.•次-3)=(-2)X(-3)+1=7.答案:7

3.定义在区间(一1,1)上的函数兀0满足2*x)—4—x)=lg(x+l),则危)的解析式

为.

解析：I,对任意的xG(-1,1),有

由“(X)-./(-x)=lg(x+1),6)

'i)2X-x)-J(x)=lg(-x+1),②

①X2+②消去*-x),得3/(x)=21g(x+l)+lg(-x+1),

•\/(x)=]lg(x+l)+3lg(l-x)，(-1<X<1).

答案:Xx)=|lg(x+l)+1lg(l—X),(—1<X<1)

4.设函数y=/(x)满足/(x+l)=/(x)+l,则函数y=/(x)与y=x图象交点的个数可

能是个，

解析：由加+1)=-)+1可得")=丸0)+172)=/(0)+2,<3)=10)+3,…

本题中如果/(0)=0,那么y=/(x)和y=x有无数个交点；若/(0)W0,则、=於)

和y=x有零个交点.答案：0或无数

2(x>0)

5.设函数於)=，/々a，若{—4)寸0),{_2)=_2,则/(x)

[x-\-bx~rc(xWO)

的解析式为人r)=,关于x的方程外)=x的解的个数为个.

解析：由题意得

J16-4Z>+c=c]b=4

[4-26+c=-2\c=2'

2(x>0)

・7/a)=421•

卜2+4x+2(xWO)

由数形结合得./(x)=x的解的个数有3个.

〜I2Q>°)

答案.3

[X2+4X+2(XWO)

6.设函数./(x)=logM(a>0,aWl),函数g(x)=-f+fcc+c,若火2+巾)一忌

+l)=T，g(x)的图象过点44,-5)及8(-2,-5),则。=,函数<蛉)]

的定义域为.

答案：2(-1,3)

%2—4x+6,x20

7.(2009年高考天津卷改编)设函数<x)=,，则不等式加0刁(1)

x+6,x<0

的解集是.

解析：由已知，函数先增后减再增，当x20,.危)次1)=3时，令段)=3,

解得x=1,x=3.故/)次1)的解集为0Wx〈l或x>3.

当x<0,x+6=3时，x=-3,故於)刁⑴=3,解得-3<x<0或x>3.

综上，/(x)》⑴的解集为{x|-3<r〈l或x>3}.答案：国一3《<1或x>3}

8.(2009年高考山东卷)定义在R上的函数<x)满足小)=

log2(4—x),xWO,

则火3)的值为

/(x-2),x>0,

解析：..贝3)=#2)-川)，又寅2)=川)-{0)，.7/(3)=-<0)，••7(0)=log24

=2,.../(3)=-2.答案：一2

9.有一个有进水管和出水管的容器，每单位时间进水量是一定的，设从某时刻

开始，5分钟内只进水，不出水，在随后的15分钟内既进水，又出水，得到时

间x与容器中的水量y之间关系如图.再随后，只放水不进水，水放完为止，则

这段时间内(即x220),y与x之间函数的函数关系是.

，升)

35

20

0520*(分钟)

出水速度为升/分钟，则由题意得

解析：设进水速度为at升/分钟，

[5^]=20[<7|=4

，得，则y=35-3(x-20),得y=-3x+95,又

[5<?i+15((?|-a2)=35[念=3

因为水放完为止，所以时间为xW学,

又知x220,故解析式为y=-3x+

95(20WxW当■).答案：y=—3x+95(20WxW?

10.函数y(x)="\/(l—6?)/+3(1—a)x+6.

(1)若7(x)的定义域为R,求实数a的取值范围；

(2)若/(x)的定义域为求实数。的值.

解：(1)①若1-o2=0,即。=±1,

(i)若a=1时，同=乖,定义域为R,符合题意；

(ii)当a=-]时，,次x)=<6x+6,定义域为[-1,+°°),不合题意.

②若1-dW0,则g(x)=(l-a2)x2+3(1-a)x+6为二次函数.

由题意知g(x)》O对xGR恒成立，

_fl-a2>0,>1-l<a<l,

・[△WO,1)(1la+5)^0,

.由①②可得

(2)由题意知，不等式(1-/.2+3(]_q)x+6》0的解集为[-2,1],显然1-

dW0且-2」是方程(1+-〃耳+6=0的两个根.

「1-Ao,

ra<-1或。>1,

a1。<_五或。>[

<A=[3(1-«)]2-24(l-a2)>0

11.已知於+2)=/(x)(xGR),并且当xW[-1,1]时,危)=一d+1,求当xG[2A

-1,2什1](成2)时、外)的解析式.

解：由/(x+2)=/(x),可推知<x)是以2为周期的周期函数.当xG[2A-l,2左

+1]时，2k-KW2k+I,-lWx-2左Wl..；/(x-2A)=-(x-2左y+1.

又<x)=J(x-2)=/x-4)=—=>(x-2k),

•••7(x)=-(x-2左y+1,x^[2k-i,2k+1],—

12.在2008年11月4II珠海航展上，中国自主研制的ARJ21支线客机备受关

注，接到了包括美国在内的多国订单.某工厂有216名工人接受了生产1000件

该支线客机某零部件的总任务，已知每件零件由4个C型装置和3个H型装置

配套组成，每个工人每小时能加工6个C型装置或3个H型装置.现将工人分

成两组同时开始加工，每组分别加工一种装置，设加工C型装置的工人有x位，

他们加工完C型装置所需时间为g(x),其余工人加工完H型装置所需时间为

h(x).(单位:h,时间可不为整数)

(1)写出g(x),〃(x)的解析式；

(2)写出这216名工人完成总任务的时间加0的解析式；

(3)应怎样分组，才能使完成总任务的时间最少？

解：(1)g(x)=2；OO(0<X<216,xGN"),〃(x)=(0<x<216,xGNj.

「2000)*

3.(0<xW86,x^N).

(2&)={„(3)分另I为86、130或87、129.

——(876216,x£N*).

1216-x

第二节函数的单调性

A组

1.(2009年高考福建卷改编)下列函数人X)中，满足“对任意即，工22(0,+8),

当X1〈X2时，都有加j)刁口2)”的是-

©/(•«)=7(2yw=(x-l)2颤x)=e'(?y(x)=ln(x+l)

解析：♦.,对任意的X|,X26(0,+8),当X|<X2

时，都有兀V|)次X2)，二危)在(0,+8)上为减函数.答

案：①

2.函数,火x)(xeR)的图象如右图所示，则函数g(x)

=/(logM(0V<7<1)的单调减区间是.

解析：*.*0<a<I,^=唾小为减函数，.-.10&户6[0,时，g(x)为减函数.

由0Wlo&x<3gWxWl.答案：[g,1](或(g,1))

3.函数y=«r_4+115-3x的值域是•

解析：令x=4+sin%,ad[0,与，y=sina+黄cosa=2sin(a+j),1WyW2.

答案：[1,2]

4.已知函数<x)=|e'+自(aCR)在区间[0,1]上单调递增，则实数a的取值范围

解析：当a<0,且e'+含0时，只需满足e°+/20即可，则-l〈cz<0;当

。=0时，./(x)=|e']=e”符合题意；当a>0时，/(x)=e"+*则满足/，。)=炉-]

20在x£[0,l]上恒成立.只需满足成立即可，故&W1,综上-iWaWL

答案：一IWaWl

5.(原创题汝I果对于函数於)定义域内任意的x,都有｛为常数)，称“

为/(X)的下界，下界〃中的最大值叫做<x)的下确界，下列函数中，有下确界的

所有函数是.

1(x>0)

①次x)=sinx；颔x)=lgr：@*x)=e"；刨x)=<。。=。)

.—1(x<—1)

解析：•.•sinx》T,=sinx的下确界为-1,即.危)=sinr是有下确界

的函数；=Igx的值域为(-8,+co),/./(x)=Igr没有下确界；=ev

的值域为(0,+8),.・.加)=6，的下确界为0,即火x)=e’是有下确界的函数；

1(x>0)1(x>0)

=(x=。)的下确界为-0(x=0)是有下确界的

1(x<-l)1(x<-1)

函数.答案：①③④

6.已知函数大圻=¥,g(x)=x—1.

(1)若存在xCR使7(x)v"g(x),求实数6的取值范围；

(2)设尸口)=危)一机g(x)+L〃?一/，且尸(x)|在［0,1］上单调递增，求实数m

的取值范围.

22

解:(l)3xeR,Ax)<b-g(x)xGR,x-bx+b<0A=(-Z>)-4b>0b<0

或b>4.(2)F(x)=x2-mx+1-m2,A=/w2-4(1-m2)=5m2-4,

①当AWO即-2乎WniW2用时，则必需

30

答T

②当A>0即m<-邛^或时，设方程F（x）=0的根为Xi,X2（X［<X2）^若

m

万21,则jqWo.

加22.

尸(0)=1一/W0

777

若'WO,则工240,

m1八

*7^0-lW/w<-弓W综上所述：-1WznWO或

z

风0)=1-毋20

B组

1.（2010年山东东营模拟）下列函数中，单调增区间是（-8,0］的是.

①尸一:②y=—（x—1）@y=x2—2®y=—|x|

解析：由函数y=-同的图象可知其增区间为（-8,0］.答案：④

2.若函数<x）=log2（x2—赤+3。）在区间［2,+8）上是增函数，则实数。的取值

范围是.

解析：4^g（x）=x2-ax+3a,由题知g（x）在［2,+8）上是增函数，且g（2）>0.

.*2,.

:W2.••一4<aW4.答案：一4VqW4

4-2。+3。>0,

3.若函数"）=x+f（a>0）在《，+8）上是单调增函数，则实数。的取值范围

解析：：小）=n+个（4>0）在（如，+8）上为增函数，.•.,<4，记

答案：（0，击］

4.（2009年高考陕西卷改编）定义在R上的偶函数/（x）,对任意为，应《［0,+

8）8WX2）,有叁虫也<0,则下列结论正确的是_______.

X2~X\

0A3)<A-2)<A1)②/(1)勺(一2)饮3)

@/(-2)<Al)</(3)@A3)<Al)<A-2)

解析：由已先吃二曲)<0,得<x)在xG[O,+8)上单调递减，由偶函数性

工2一%

质得｛2)=4-2),即人3)。-2削).答案:①

a(x<0),

5.(2010年陕西西安模拟)已知函数加)=、,、满足对任意

(。一3)%+4。(x30)

⑶’都有咋等<。成立,则”的取值范围是—

0<<7<1,

解析：由题意知，y(x)为减函数，所以，。-3<0,解得OvaW/

.a^(a-3)X0+4a,

6.(2010年宁夏石嘴山模拟)函数外)的图象是如下图

所示的折线段。/8,点A的坐标为(1,2),点B的坐标

为(3,0),定义函数g(x)=/(xMx—l),则函数g(x)的最

大值为.

|2x(x-1)(OWx〈l),

解析：g(x)=j(_x+3)(x-l)(1&W3),

当OWx〈l时，最大值为0;当1WXW3时，

在x=2取得最大值1.答案：1

7.(2010年安徽合肥模拟)已知定义域在[—1,1]上的函数歹=/)的值域为[—2,0],

则函数y=/(cos")的值域是.

解析：'/cos\[xG[-1,1],函数y=.危)的值域为[-2,0],=/(cos市)的值

域为[-2,0].答案：[-2,0]

8.已知人x)=logy+2,xG[l,9],则函数尸质行十府)的最大值是.

解析：•/函数y=[/(x)]2+/(f)的定义域为

1WXW9,

/.xG[l,3],令logjx=3/G[O,1],

1W/W9,

.\y=(/+2)2+2/+2=(/+3)2-3,当，=1时，％ax=13.答案：13

9.若函数危尸卜猷人十戏科)，在区间(0,I)内恒有负x)>0,则大x)的单

调递增区间为.

解析：令〃=Z，+x,当xe(o,1)时，蚱(0,1),而此时/(x)>0恒成立，...Ov/VL

〃=2(x+H，则减区间为(-8,而必然有2；1?+%>0,即x>0或x<

-；.・・・加)的单调递增区间为(-8,-1).答案：(一8,­1)

10.试讨论函数y=2(log|x)2—21og1x+l的单调性.

解：易知函数的定义域为(0,+8).如果令u=g(x)=log^x,y=fiu)=2w2

-2〃+1,那么原函数y=/[g(x)]是由g(x)与/(〃)复合而成的复合函数，而u=log^

x在x0(0,+8)内是减函数，y=2z/-2〃+1=2(〃在〃£(-8,；)上是

减函数，在〃£(3，+8)上是增函数.又〃年，即10羲<；,得坐；

得0av乎.由此，从下表讨论复合函数y=/[g(x)]的单调性：

单调性

函数(0,冬(察+8)

U=log^x

/(〃)=2--2〃+1

\L

y=2(log|x)2-21og^x+1、/

故函数y=2(log|x)2-21og1x+1在区间(0,乎)上单调递减，在区间(乎，+°°)

上单调递增.

11.(2010年广西河池模拟)已知定义在区间(0,+8)上的函数加)满足心!)=加])

x2

-fixi),且当x>l时，7(x)<0.

(1)求/(I)的值；(2)判断大x)的单调性；(3)若<3)=-1,解不等式义凶)〈一2.

解：⑴令X|=X2>0,代入得式1)=加)_"i)=0,故;(1)=0.

e

(2)任取X],x2(0>+8),且xi>X2，则”>1，由于当x>l时，y(.r)<0,

所以磴)即/3)-左2)<0，因此加)依应)，

所以函数/(X)在区间(0,+8)上是单调递减函数.

(3)由心)=Xx,)-寅X2)得淤)=X9)-X3),而｛3)=-1,所以X9)=-2.

A2J

由于函数段)在区间(0,+8)上是单调递减函数，

由人,1)勺(9)，得凶>9,・・.x>9或-9.因此不等式的解集为｛邓>9或xv-9｝.

x~+ax+h

12.已知：y(x)=log3-------------,x£(o,+°°),是否存在实数a,b,使作)同时

满足下列三个条件：(1)在(0,1］上是减函数,(2)在［1,+8)上是增函数,(3)/(x)

的最小值是1.若存在，求出。、6；若不存在，说明理由.

解：・・•加)在。1］上是减函数，［1,+8)上是增函数，・・・工=1时，儿；)最小，

1+a+bc,

log3-----j-----=1.即。+6=2.

、r一门一~cxJ+g+〃X2+ax2+b.「、

设0<X］<MW1,则fix\)>/(x).即---------->----------恒成JL.

2X］X2

由此得(DGi)>o恒成立.

X\X2

又•.”1一工2<0，为必>0，.,.修应一6<0恒成立，

设1W%3<必，则Xx3)<人工4)恒成立.~~①<0恒成立.

*/^3-X4<0,X3X4>0,.\x3X4〉b恒成立.，力这1.由b21且bWT可知b=1,

・・・。=1.，存在久b,使.危)同时满足三个条件.

第三节函数的性质

A组

1.设偶函数/［x)=k>&|x-6|在(一8,0)上单调递增，则负。+1)与<6+2)的大小

关系为.

解析：由危)为偶函数，知6=0,.\/(x)=k)&M，又|x)在(-8,0)上单调

递增，所以0<a<l,l<a+1<2,则/(x)在(0,+8)上单调递减，所以4°+1)次6

+2).答案：大。+1)次6+2)

2.(2010年广东三校模拟)定义在R上的函数/)既是奇函数又是以2为周期的

周期函数，则.火1)+<4)+贝7)等于.

解析：7(x)为奇函数，且xCR,所以*0)=0,由周期为2可知，<4)=0,.犬7)

=川)，又由"+2)=外)，令x=-I得火1)=/(-1)=一式1尸初1)=0,所以11)

+<4)+M=0.答案：0

3.(2009年高考山东