理论力学第六章运动学基础

第六章运动学基础1.运动学的主要内容

运动学是从几何观点描述物体的机械运动,只阐明运动过程的几何特征及其各运动的要素之间的关系,而不涉及运动的物理原因。运动学的任务是：研究物体在空间的位置随时间变化的几何性质。如：（1）、物体机械运动规律的描述方法；

（2）、物体运动形式及有关特征；（3）、点的轨迹、速度、加速度，刚体的角速度、角加速度，以及相互间的关系等。（1）几个概念参考体

机械运动表现为物体在空间的位置随时间的变动。物体的位置只能相对地描述，只能说出一个物体相对于另一个物体的位置。这后一物体被作为确定前一物体位置的参考体。参考系

固连于参考体上的任何一组坐标系，称为参考坐标系或参考系。（2）运动学研究内容

建立物体的运动方程分析点的运动速度、加速度和刚体的角速度、角加速度等

研究物体运动的分解与合成规律

运动学的主要内容2.

运动学模型及其运动形式(1)

运动学模型

研究卫星轨道时，卫星可以看作一个点。

研究卫星运动姿态时，卫星不再是一点，而应看作刚体。曲线运动——最一般的情形为三维变速曲线运动（2）点的运动形式点的运动可分为直线运动和曲线运动。

点的运动形式（3）刚体的运动形式平移—刚体运动过程中，其上的任意直线始终平行于这一直线的初始位置。定轴转动—刚体运动过程中，其上（或其延展部分）有一直线始终保持不动。平面运动—刚体运动过程中，其上各点到某一固定平面的距离始终保持不变。定点运动—刚体运动过程中，其上某一点始终保持不动。一般运动—自由刚体在空间的运动。引论

学习运动学除了为学习动力学打基础外，另一方面又有其独立的意义，为分析机构的运动打好基础。3.

学习运动学目的运动物体单个物体，如子弹、保龄球机构，如曲柄连杆机构本章内容：1机构运动简图2点的运动3刚体基本运动机械—能完成一定机械运动的装置1.多个实体的组合2.各实体间具有确定的相对运动机构3.能进行能量转换或完成有效的机械功机器机器必然包含一个以上的机构6.1机构运动简图机构传递运动；机器进行能量交换或利用机械能作功。构件与运动副机构必须有一个固定件，至少有一个主动件固定件主动件从动件—支承运动构件的构件组成机构的各相对运动实体–构件—驱动力作用的构件—随主动件运动而运动的构件两构件组成有确定相对运动的可动联接—运动副高副—通过点、线接触低副—通过面接触移动副转动副构件与运动副ABCDE固定件主动件从动件—支承运动构件的构件组成机构的各相对运动实体–构件—驱动力作用的构件—随主动件运动而运动的构件两构件组成有确定相对运动的可动联接—运动副高副—通过点、线接触低副—通过面接触移动副转动副构件与运动副6.2点的运动xzyOrr´rP描述点的运动的矢量法位置矢量为变矢量

r=r(t)---点的运动方程PP´点P在运动过程中，其位置矢量的端点描绘出一条连续曲线----位矢端图(运动轨迹)点的速度与加速度xzyOr(t)r(t＋t)vt瞬时:矢径

r(t)

r(t)＝r(t＋t)－r(t)速度:位移:t＋t瞬时:矢径

r(t＋t)

或r(t)＋

r(t)描述点的运动的矢量法方向沿轨迹切线方向，指向点的运动方向。

PP´r点的速度与加速度t瞬时:速度

v(t)

v(t)＝v(t＋

t)－v(t)点在t瞬时的加速度：t时间间隔内速度的改变量v´t＋t瞬时:速度v(t＋

t)

或v(t)＋

v(t)xzyO显然，速度v和加速度a也都是变矢量。r´P´v´

vPrv描述点的运动的矢量法点的速度与加速度xzyOyxzjikravP

不受约束的点在空间有3个自由度，在直角坐标系中，点在空间的位置由3个方程确定：x=f1(t)y=f2(t)z=f3(t)描述点的运动的直角坐标法点的速度与加速度xzyOyxzjikravP描述点的运动的直角坐标法在Oxyz定参考系中:

点的速度矢量在直角坐标轴上的投影等于点的相应坐标对时间的一阶导数。点的速度与加速度xzyOyxzjikravP描述点的运动的直角坐标法

点的加速度矢量在直角坐标轴上的投影等于点的相应坐标对时间的二阶导数。点的速度与加速度描述点的运动的弧坐标表示法

条件：点的轨迹已知+-O原点：O点的速度与加速度描述点的运动的弧坐标表示法原点：O运动方程:

条件：点的轨迹已知弧坐标：

s=s(t)Ps+-O点的速度与加速度描述点的运动的弧坐标表示法弧坐标中的速度表示：其中:运动轨迹在P点处的切向单位矢量

点的速度在切线轴上的投影等于弧坐标对时间的一阶导数。点的速度与加速度描述点的运动的弧坐标表示法弧坐标中的速度表示：几点讨论

若则，即点沿着s+的方向运动；反之点沿着s－的方向运动；中v和分别表示速度的大小与方向。点的速度与加速度描述点的运动的弧坐标表示法弧坐标中的加速度表示：根据加速度的定义以及弧坐标中速度的表达式点的速度与加速度描述点的运动的弧坐标表示法弧坐标中的加速度表示：n´´

当0时，

的极限方向垂直于，亦即n方向。PP's/2点的速度与加速度其中：描述点的运动的弧坐标表示法弧坐标中的加速度表示：n´´PP's/2点的速度与加速度描述点的运动的弧坐标表示法弧坐标中的加速度表示：点的速度与加速度描述点的运动的弧坐标表示法弧坐标中的加速度表示：切向加速度:表示速度矢量大小的变化率；法向加速度:表示速度矢量方向的变化率；点的速度与加速度描述点的运动的弧坐标表示法弧坐标中的加速度表示：

点沿着一螺旋线自外向内运动。点所走过的弧长与时间的一次方成正比。请判断点的运动性质：(A)越跑越快；(C)加速度越来越大；(D)加速度越来越小。(B)越跑越慢；讨论1：点的速度与加速度描述点的运动的弧坐标表示法弧坐标中的加速度表示：讨论2：点作曲线运动。请读者判断：在图示瞬时，图中所示的几种速度与加速度的可能性。如有可能，点的运动性质如何。

点的速度与加速度变矢量法－结果简明，具有概括性，且与坐标选择无关。对于实际问题需将变矢量及其导数表示成标量及其导数的形式。直角坐标法－实际问题中，一种广泛应用的方法。弧坐标法－应用于运动轨迹已知的情形，其最大特点是将速度矢量大小的变化率和方向变化率区分开来，使得数学表达式的含义更加清晰。描述点运动的三种方法比较点的速度与加速度例题1椭圆规机构求：P点的运动方程、速度、加速度。1、建立固定参考系Oxy；2、将所考察的点置于坐标系中的一般位置；3、根据已知的约束条件列写点的运动方程。点的速度与加速度例题1椭圆规机构求：P点的运动方程、速度、加速度。解：P点的运动方程：点的速度与加速度例题1椭圆规机构求：P点的运动方程、速度、加速度。解：P点的运动方程：从中消去t得到P点的轨迹方程点的速度与加速度例题1椭圆规机构求：P点的运动方程、速度、加速度。解：P点的运动方程：P点的速度：P点的加速度：

例6-2列车沿半径为R=800m的圆弧轨道作匀加速运动。如初速度为零，经过2min后，速度到达54km/h。求列车起点和未点的加速度。已知：R=800m=常数，解：1列车作曲线加速运动，取弧坐标如上图②①已知：R=800m=常数，解：由点M的运动方程，得

例6-3已知点的运动方程为x=2sin4tm，y=2cos4tm，z=4tm。求：点运动轨迹的曲率半径。解：M点作曲线运动，取直角坐标系如图。求：M点的运动方程、速度和加速度。例6-4求：M点的运动方程、速度和加速度。

平动和定轴转动是刚体的两种最简单、最基本的运动；以后可以看到，刚体的更复杂的运动可以看成是由这两种运动的合成。因此，这两种运动称为刚体的基本运动。

6.3刚体的基本运动

在运动过程中，刚体上任意一条直线的方位都保持不变。具有这种特征的刚体运动，称为刚体的平行移动，简称为平移。一、刚体平移的定义平动二、平移的特点

1.当刚体作平移时，刚体上所有各点的轨迹形状相同，并且位置平行。证明：A1B1A2B2

2.当刚体作平移时，同一瞬时，刚体上各点的速度相等，各点的加速度也相等。刚体作平移时的特点1可由图说明。刚体作平移时的特点2可证明如下：AOrBrABxzyvBvAA上式再对时间t求导一次，即得

故

或

即，在每一瞬时，平移刚体内任意两点的速度和加速度分别相等。AOrBrABxzyvBvAA1B1A2B2刚体平移时，刚体内任一线段AB的长度和方向都保持不变。因而

AB为刚体上任意一矢量，则有A

平移刚体上各点的速度平移的特点

平移刚体上各点的加速度平移的特点应该注意，平移刚体内的点，不一定沿直线运动，也不一定保持在平面内运动，它的轨迹可以是任意的空间曲线。由上述刚体平移的特点可见，当刚体作平移时，只须给出刚体内任意一点的运动，就可以完全确定整个刚体的运动。这样，刚体平移问题就可看为点的运动问题来处理。

平移的特点如果平移刚体内各点的轨迹都是平面曲线或直线，则这些特殊情形称为平面平移或直线平移。

综上所述，可以得出刚体平移的几个主要结论：

刚体上的各点具有形状相同的运动轨迹。

刚体上的各点在某一瞬时具有相同的速度和加速度。

刚体平移时的运动分析可以简化为其上任意一点的运动分析。平移的特点在图示机构中，已知：O1A=O2B=l，O1O2=AB，AC=0.5BC。O1A，O2B与三角板铰接，O1A匀角速度ω

转动。ABO1O2φllMωC试问：(1).三角板ABC作什么运动？其角速度等于多少？(2).三角板BC边中点M的速度和加速度各为多少？

思考题

思考题ABO1O2φllMωCvBvMvM=vB=rωaM=aB=rω2l答：(1).因为三角板ABC作平移运动，所以其角速度等于零。

思考题

(2).三角板ABC作平移运动，点M与点B有相同的速度和加速度。

例5荡木用两条等长的钢索平行吊起，如图所示。钢索长为长l，长度单位为m。当荡木摆动时钢索的摆动规律为，其中t为时间，单位为s；转角φ0的单位为rad。试求当t=0和t=2s时，荡木的中点M的速度和加速度。OABO1O2φll（+）M解：由于两条钢索O1A和O2B的长度相等，并且相互平行，于是荡木AB在运动中始终平行于直线O1O2，故荡木作平移。为求中点M的速度和加速度，只需求出A点（或B点）的速度和加速度即可。点A在圆弧上运动，圆弧的半径为l。如以最低点O为起点，规定弧坐标s向右为正，则A点的运动方程为将上式对时间求导，得A点的速度再求一次导，得A点的切向加速度代入t=0和t=2，就可求得这两瞬时A点的速度和加速度，亦即点M在这两瞬时的速度和加速度。计算结果列表如下：A点的法向加速度00φ02（铅直向上）0

（水平向右）00an(m·s－2)at(m·s－2)v(m·s－1)φ(rad)t(s)

OABO1O2φll（+）M例题6-5当刚体运动时，如其上（或其延展部分）有一条直线始终保持不动，这种运动称为刚体的定轴转动。

该固定不动的直线称为转轴。

当刚体作定轴转动时，转动轴以外的各点都分别在垂直于转轴的平面内作圆周运动，圆心在该平面与转轴之交点上。

二、刚体定轴转动的特点一、刚体的定轴转动定轴转动这就是刚体的定轴转动运动方程。如已知这个方程，则刚体在任一瞬时的位置就可以确定。

刚体的位置可由角φ完全确定。角φ也称为角坐标，当刚体转动时，角坐标φ随时间t而变化，因而可表示为时间t的单值连续函数三、转动规律1、转动方程（1）、角速度的大小表示刚体在该瞬时转动的快慢，即单位时间内转角的变化。

转角φ对时间的导数，称为刚体的角速度，以ω表示。故有2.角速度（2）、当转角φ随时间而增大时，ω为正值，反之为负值，这样，角速度的正负号确定了刚体转动的方向。

α和ω正负相同，则角速度的绝对值随时间而增大，即刚体作加速转动；反之，两者正负不同，则角速度的绝对值随时间而减小，即刚体作减速转动。

角速度ω对时间的导数，称为角加速度，以α表示，故有它表示单位时间内角速度的变化。3.角加速度

其中积分常数φ0

和ω0

是在初瞬时刚体的转角φ和角速度ω之值。

匀变速转动公式刚体内在平行于转轴z的任一直线上，各点具有相等的速度和相等的加速度，又各点的轨迹为同样大小的圆周，其圆心都在转轴z上。1.定轴转动刚体内各点的速度定轴转动刚体内各点的速度和加速度

由于点M绕点O作圆周运动，用自然法表示。点M的弧坐标

s=Rφ，式中的s和φ取相同的正负号。对时间求导数，得xsyRMOvM0φω考虑到故有定轴转动刚体内M点的速度速度即定轴转动刚体内任一点的速度，等于该点的转动半径与刚体角速度的乘积。xsyRMOvM0φω

式中v与ω两者正负相同，故速度是沿着点M的轨迹圆周的切线，指向转动前进的一方。速度在任一瞬时，定轴转动刚体内各点的速度与各点的转动半径成正比。速度即，定轴转动刚体内任一点的切向加速度，等于该点的转动半径与刚体角加速度的乘积。式中α和at具有相同的正负号。点M的加速度包含两部分：切向分量和法向分量。或OaMvanθatαω

切向加速度2.定轴转动刚体内各点的加速度不难看出，当α和ω正负相同时，切向加速度at和速度v有相同的指向，这相当于加速转动；当α和ω正负不相同时，则at与v有相反的指向，这相当于减速转动。

OaMvanθatαωOaMvanθatαω加速度即，定轴转动刚体内任一点的法向加速度，等于该点转动半径与刚体角速度平方的乘积。法向加速an恒向轨迹的曲率中心即圆心O，因此也称为向心加速度。

法向加速度OaMvanθatαω或加速度

总加速度它与半径MO的夹角θ（恒取正值）可按下式求出或

显然，当刚体作加速转动时，加速度a偏向转动前进的一方；当减速转动时，加速度a偏向相反的一方；当匀速转动时a指向轴心O。

OaMvanθatαω加速度

但是，总加速度a与转动半径所成的偏角，却与转动半径无关，即在任一瞬时，定轴转动刚体内各点的加速度对其转动半径的偏角θ都相同。

由上式可见，在任一瞬时，定轴转动刚体内各点的切向加速度、法向加速度和总加速的大小都与各点的转动半径成正比。加速度

加速度的分布规律

例6

滑轮的半径r=0.2m，可绕水平轴O转动，轮缘上缠有不可伸长的细绳，绳的一端挂有物体A（如图）。已知滑轮绕轴O的转动规律φ=0.15t3，其中t以s计，φ

以rad计。试求t=2s时轮缘上M点和物体A的速度和加速度。

AOαωM解：首先根据滑轮的转动规律φ=0.15t3，求得它的角速度和角加速度代入t=2s，得轮缘上M点上在

t=2s

时的速度为vMAOαωM轮缘上M点在t=2s时的加速度的两个分量vM总加速度aM

的大小和方向atanaMφ例题6-6AOαωM因为物体A与轮缘上M点的运动不同，前者作直线平移，而后者随滑轮作圆周运动，因此，两者的速度和加速度都不完全相同。由于细绳不能伸长，物体A与M点的速度大小相等，A的加速度与M点切向加速度的大小也相等，于是有vMatana它们的方向铅直向下。vAaA例题6-6

例6-7搅拌机如图所示，已知O1A＝O2B＝R，O1O2＝AB，杆O1A以不变转速nr/min。试分析BAM构件上M点的轨迹、速度和加速度。解：因为构件BAM作平移,所以M轨迹与A相同。A的轨迹为

M的轨迹 速度 加速度 xyvAvMaAaMx1y1例6-8如图所示，曲柄CB以匀角速度0绕C轴转动，其转动方程为＝0t，通过滑块B带动摇杆OA绕O转动，设OC＝h，CB＝r，求摇杆的转动方程。解：以C为原点，x、y轴分别如图示，则对于B：在图示中：又＝0t 摇杆的转动方程为xy例6-9一偏心圆盘凸轮机构如图示。圆盘C的半径为R，偏心距为e。设凸轮以匀角速度绕O轴转动，求导板AB的运动方程、速度和加速度。解：如图建立坐标系则圆盘C沿y向的运动方程为yC＝esin而导板的运动与圆盘Cy向运动相同，所以导板运动方程、速度、加速度分别为

例6-10图为减速器，轴Ⅰ为主动轴，与电动机相联。已知电动机转速n＝1450rpm，各齿轮的齿数z1＝14，z2＝42，z3＝20，z4＝36。求减速器的总传动比i13及轴Ⅲ的转速。解：各齿轮作定轴转动，为定轴轮系的传动问题轴Ⅰ与Ⅱ的传动比为轴Ⅱ与Ⅲ的传动比为从轴Ⅰ至轴Ⅲ的总传动比为轴Ⅲ的转向如图所示。传动系统的总传动比等于各级传动比的连乘积，它等于轮系中所有从动轮（这里指轮2及轮4）齿数的连乘积与所有主动轮（这里指轮1及3）齿数的连乘积之比。

沿刚体的转轴z画出一个矢量ω=ωk（其中k为轴z的单位矢），ω称为刚体的角速度矢。

角速度矢

定轴转动刚体的角速度矢ω被认为是滑动矢量，可以从转轴上的任一点画出。它的作用线表示出转轴的位置，而它的模则以某一比例表示出角速度ω的绝对值。ω的指向由右手规定决定。1.

用矢量表示角速度与角加速度用矢积表示刚体上点的速度与加速度

同样，可以用矢量α=αk

表示刚体的角加速度，它也是滑动矢量，沿转轴z画出。它的大小表示角加速度的模，它的指向则决定于α的正负。

角加速度矢

定轴转动刚体内任一点M的速度v的大小为。由于，因而根据矢积的定义，矢积ω×r

的模也等于，它的方向也与速度v的方向一致，故有矢积表达式θ定轴转动刚体内任一点的速度，可以由刚体的角速度矢与该点的矢径的矢积来表示。2.

用矢积表示刚体上点的速度

将上式左右两边对时间求矢导数。左端的导数为点M的加速度，而右端的导数为式中第一个矢积α×r的模为O13.

用矢积表示刚体上点的加速度速度的矢积表达式逐项分析

这矢积垂直由转轴z和转动半径O1M决定的平面

OO1M，它的指向与图中自点O

画出的矢量一致。可见，矢积α×r

按大小和方向都与点M的切向加速度at相同。故有矢积表达式O1矢积表示加速度

这矢积同时垂直于