《作业推荐》-等比数列及其通项公式综合篇-解析版

《作业推荐》一等比数列及其通项公式综合篇一、单选题（共40分）值」的=1%=的+出+…+4_1+1 a7=1.已知数列 满足， 邛之工），则（）A.31 B.32 C.63 D.64【答案】D【解析】【分析】、。 /=叼+出+…+0„-1+1 =。！+的+…4”2+1根据尼之2时，由 ，得 两式相减得:i1fl= [%}TOC\o"1-5"\h\z,得到数列是等比数列，再利用通项公式求解 .【详解】一1三力+3+…+ +1得 ，Er—20-1两式相减得： ，£11—1又因为 ，{%}所以数列 时等比数列.叼三"q6三64所以 .故选：D【点睛】本题主要考查数列的通项公式和前 n项和公式，还考查了运算求解的能力，属于中档题.{%} ii+l妇+3a£+S _.数列是等差数列，若， ， 构成公比为可的等比数列，则q—（ ）A.1B.2C「D.3【答案】A【解析】分析：利用等差数列的通项公式和等比数例的定义进行求解.详解:后详解:后1千2d+3)由题可知解得d=-1,的+3 0.1—2+3二口二 = =1口1+1 Oj+1故答案为A.点睛：本题主要考查等差数列的通项公式和等比数列的定义，属于基础题..下列四种说法：0①等比数列的某一项可以为②等比数列的公比取值范围是犷二犷二atab③若 ，则，，仁成等比数列;1④若一个常数列是等比数列，则这个数列的公比是 ；其中正确说法的个数为()A； B.- C- D-【答案】B【解析】【分析】根据等比数列的概念，判断①②④的真假；根据等比中项的概念判断③的真假【详解】从第二项起，每一项与前一项之比均为同一非零常数的数列，称为等比数列；所以，等比数列任一项不能为0,且公比也不为0,故①②错误；若一个常数列是等比数列，则

=°(?=1，所以，故④正确;a=h=c=d-ac若 满足，但ahc,,不成等比数列；故③错误故选B【点睛】本题主要考查与等比数列相关的命题的真假判断， 熟记等比数列的概念与等比中项的概念即可，属于基础题型..设国E"二则"数列I%］为等比数列”是“数列总公为等比数列”的（）A.充分非必要条件 B.必要非充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】由题意看命题数列也」是等比数列与命题值非是等比数列是否能互推，然后根据必要条件、充分条件和充要条件的定义进行判断.【详解】若数列［口」是等比数列 ，•,,0/=哈土二数列83是等比数列，"数列脱｝是等比数列，%=±匹尹,二/不是等比数列，二数列是等比数列是数列g容是等比数列的充分不必要条件，故选A.【点睛】此题主要考查必要条件、充分条件和充要条件的定义，是一道基础题 ,解题时要注意等比数列的性质的灵活运用.5.设等比数列小。的公比为%则下列结论正确的是（ ）A.数列I4%一1｝是公比为1的等比数列B.数列1%+/+/是公比为1的等比数列

c.数列3Tl一口计J是公比为q的等比数列{一}一D.数列」是公比为彳的等比数列【解析】【分析】根据等比数列的定义，逐项分析即可【详解】乎乎=铲5之④ q2 r_L对于A,由知其公比为 的等比数列，对于B,若早二-1时，+即+11项中有0,不是等比数列，对于C,若时，数列{七一%，」项中有0,不是等比数列，对宁一产_工— %十工 ?宁一产_工— %十工 ?于D,■,所以数列5是公比为。的等比数列，故选D.【点睛】本题主要考查了等比数列的概念，等比数列的判定，属于中档题6.数列一中，已知+［二35ftp7t>2nEN*6.数列一中，已知A.等差数列C.A.等差数列C.从第二项起为等差数列B.等比数列D.从第二项起为等比数列【解析】品=1 =1 品=1 =1 14-由 ，得 ，又由 ，得一=2 %二1.%打一小”2511T=0,解得，（…,旦…广—且口—小虫且从第项起是以为公比的等比数列，故选D.n>7}rt=从第项起是以为公比的等比数列，故选D.一，时，上式不成立，故数列S3的二Ljr=-（匹N"） /=.若数列-中， - ，则（）A.-D.-【解析】分析：由详解:%A.-D.-【解析】分析：由详解:%=1-^+1=一2/（口巨产）二手；-2 1可得 是公比为一,首项为1的等比数列，进而可得结果是等比数列，公比为 一首项为属于点睛：本题主要考查等比数列的定义及通项公式，意在考查基础知识掌握的熟练程度简单题.属于1口/口］『 伍I=2% /+1=2+/.如果数列满足=1,当7T为奇数时， ；为偶数时， ，则下列结论成立的是（）A.该数列的奇数项成等比数列，偶数项成等差数列B.该数列的奇数项成等差数列，偶数项成等比数列C.该数列的奇数项各项分别加4后构成等比数列D.该数列的偶数项各项分别加4后构成等比数列【答案】D【解析】【分析】【详解】试题分析：根据条件，此数列的前几项是 1二二工810202264……，观察前几项，就可知此数列的奇数项不是等比数列，也不是等差数列，偶数项也不是等差数列，也不是等比数列，奇数项各项加4后是……也不构成等比数列，所以都不正确，当用为偶数时，『-1是奇数，所以代入上式对U=2Ml=3?+%）=4一20,两边同时加4后得到■十4a.+4二七凡+』），等价于———=2,所以当旌为偶数时，各项加4后成为等比数列.— 咒考点：1.数列的递推公式；2.分段数列；3.等比数列的定义.二、填空题（共25分）的十电=2叼斗瓯=16.设等比数列 满足 ， ，则的前8项和为.【答案】?：:【解析】【分析】心=中=8/=2根据等比数列的定义可得 二，即 ，进而Se=（oi+3+3+3+〔典+aj+3+说=（fli+值力（1+<?2+q，+/），代入求解即可.【详解】dj+a2=2a；+aa=16 =B=2设公比为R由, , ,可得…，所以，则h-（叼4%）+（%4%）+05+%）+（叼+%）=（值14n妙+妙+力=30,故答案为:30【点睛】本题考查等比数列的定义的应用，考查分组求和的思想的应用.晦脸】一］脸％二1 震.已知数列9史｝满足 ，则-=.【答案】4【解析】【分析】TOC\o"1-5"\h\zI。取斯T一］。段/=1。由与苫=1 答"=2 「］根据对数的运算性质得 "，可得F,即数列I/>是以2为公比的等比数列，代入等比数列的通项公式化简可得值 ^【详解】】口段％+1-log2afl=logs-=^1 —=2因为 “一，所以J,即数列｛$｝是以2为公比的等比数列，

aa-l-fli _-2_Aa LTT：所以-一■ .故答案为：4.【点睛】本题考查等比数列的定义和通项公式以及对数的运算性质， 熟练运用相应的公式即可， 属于基础题.XVfn\ 任1=23n¥/ia+0二£词0E用酢).已知函数八»三尸+工，数列箱/满足 ， - ，则汽1司1。的值为 【答案】6【解析】【分析】1 r“ILi"11 1号二Z根据r(幻为递增函数可得 5,，再根据横」为等比数列，可求得， ，最后由roo的表达式可求得 -.【详解】因为函数f8因为函数f8=2H+工为递增函数fg+i）=f［：的）SEN酢），且 2%+工二产di-23)19所以 ，又b二2019所以数列稹,是首项为 ，公比为」的等比数列,所以一=所以一=2B19.2-B13=2所以一」--「, '.故答案为：」【点睛】本题考查了函数的单调性，等比数列的通项公式，属于中档题{4JSeN,) 的=1%5H二"口20"二.已知数列 满足： ， ，则【答案】

【解析】【分析】Q七 &} n先求出的值，然后利用定义得出数列 的偶数项成公比为2的等比数列，然后利用等比数列的通项公式可求出 的值.【详解】花1=1 汉？=2个%■ \ ^1^2=2由可得出一=20n0n+1=" %-1Q=2*1=2由 ，得出所以，数列 的奇数项和偶数项均是公比为 2的等比数列，1100SA32013=112x21CDB=2X2im=210°\故答案为【点睛】本题考查等比数列的定义，解题的关键就是等比数列定义的应用， 并确定出首项和公比，结TOC\o"1-5"\h\z合等比数列通项公式求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题 ^31=1%“=提（祝€内隔）打.=（北一入）（：+1）伽£N*）13.数列也力满足： ，" ，若 '》1=-^ fhI n,且数列出4的单调递增数列，则实数总的取值范围为【答案］（-8,Z）【解析】【分析】{%}叼=1/由题意，数列 满足TOC\o"1-5"\h\z+1 =~~a~7（忸 WN。 ——= — +1{%}叼=1/由题意，数列 满足*o-1-2% / a. «5 ,取倒数可得F75—+1=2（-+1） -+1 口+1即脸，利用等比数列的通项公式可得5 ，代入得-一,再利用数列的单调性，即可求解.【详解】由题意，数列田满足％”=急，取倒数可得乙彳+1,即占+』2贮+】），所{-+1) -+t=2n以数列〜 表示首项为2,公比为2的等比数列，所以/旌X=5—2加：+1)=5—222所以TOC\o"1-5"\h\z电} 7 \ 41因为数列 是单调递增数列，所以当陀32时， ，(?t-2A)211>(71-1-2X)即 飞噌 U<| X<1当花=1时， 、因此工.【点睛】本题主要考查了等比数列的定义的通项公式， 以及数列的递推关系式，数列的单调性等知识点的综合应用，其中解答中根据等比数列的定义和递推关系式， 合理利用数列的单调性， 列出相应的不等式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题 ^三、解答题(共25分){$} 5“比工=2 =12.已知等差数列 的前几项和为，且，回}(1)若数列 中存在连续三项的和为54,求这三项的中间项对应的项数;a5at+l5*(2)若， ， 成等比数列，求该数列的公比q.【答案】(1)9 (2)【解析】【分析】at=2 =12(1)由和求出等差数列的通项公式，再利用等差中项的性质即可得到答案;a3aSr4-l5jt(2)由等差数列的通项公式和前 口项和公式分别表示出 、和，再由等比中项的性质求出参数与再求出公比即可【详解】

（1）设数列的公差为乙由题意知c1fl=242(n—1)=2n所以' ,设满足条件的连续三项的中间项为由等差中项的性质，得3%=54,由等差中项的性质，得3%=54,所以〜m=9,故所求的中间项对应的项数为 9.L(2f-ZJ!}f? 2i=——-71-+71(2)由(1)可得又二K+A所以ttg=2X3=6/+工-2（fc+1）TOC\o"1-5"\h\z又 ， ，片十1三色兄 （浙+2）?=6（Jc24卜）由已知可得 ，即 ，A2—fc—2=0整理得 ，汗解得出=—1（舍去）或记=2.Q&件44. （此时， ，分别为为6,6,6,故公比好1.【点睛】本题主要考查求等差数列通项公式、等差数列前 号项和公式、等差中项等比中项的应用，属于基础题.{4}又三2售一4.已知数列 满足 严双).£1.tZgQ』£1.tZgQ』(1)计算，，，并写出-1%与的关系;-2］ {ar}十!1Tl+2十!1Tl+2；(2)证明见解析,42比1=1%=q^3=-【答案】（1） , ；2G【解析】【分析】(1)代入国=、陞=2和陀=丐,计算得到-,一，［通过‘1 -'，得到"1与的关系；■讨十工1 , r qi1支0 -1-1 相_?-J 在I—上 -上}(2)根据(1)中所得与的关系，得到/工 1并求出 的值，从而得到是等比数列，写出其通项，再得到 的通项.【详解】(1)由已知可得，- 51=2—5(Zi=1n=［时，，即」，?鼠=2n—0ft由S2-4-的=ai?鼠=2n—0ft由）,得5“H=2（月+1）-/H

%+i=2两式相减，得一“ ” 1勿-2=T(2)证明：由(1)得？(/+1一力=%-2,且 ，1叫一2} aH・♦•数列 是等比数列，公比为，首项为一工,an-2=-lx(lf=-所以 ，，I+2【点睛】本题考查根据证明数列为等比5n^n-本题考查根据证明数列为等比和的关系求递推关系，通过递推关系构造法求数列通项,数列，属于简单题.16.设数列箱另，他』满足:森工二4TIEN*写出数列出公的前三项;证明：数列Su,bj为常数列，并用%征值+16.设数列箱另，他』满足:森工二4TIEN*写出数列出公的前三项;证明：数列Su,bj为常数列，并用%征值+1表不；证明：数列仙挣是等比数列，并求数列{%}的通项公式.【答案】(1)SC 仃一n ~~zZ~(2)证明见解析,dr(3)证明见解析,【解析】【分析】(1)利用递推关系式直接求解即可【解析】【分析】(1)利用递推关系式直接求解即可b(2)由,什1=TTT +/r整理化简得 ，从而可证出结论.(3)首先由递推关系式证出口刃.1+2_(%+2)二三一1二司，再由对数的运算性质以及等比数列的定义即可证出.利用【详解】(1)flu(3)首先由递推关系式证出口刃.1+2_(%+2)二三一1二司，再由对数的运算性质以及等比数列的定义即可证出.利用【详解】(1)fluBC-02=—8A41，，(2)证明:a•熊}为常数列%%=4 ©=辛=半4,即 ，・二 ：工(3)臼二+升工叼_许一町二今二十4一4%n加上隹=一工是以山3为首项，2为公比的等比数歹U,।嚷".一寰=34"5若【点睛】本题考查了由数列的递推关系式研究数列的性质、等比数列的定义，属于中档题{4}厮十］三54伊6川。«3=117.已知数列 满足 ，且tZ10Tt(1)求及；K二logj"(2)设{占」 5力求数列的前n项和的=9%=弓)… 5力=孚(1) , ；⑵ -【解析】【分析】

%% - Q1%TOC\o"1-5"\h\z（1）由3,,得到数列｛）是公比为3的等比数列，进而可求得 -和•；b=3-九（2）由（1）知”一，根据等差数列的定义，得到数列｛瓦J是首项为2,公差为一1的等差数列，再利用等差数列的求和公式，即可求解 ^【详解】工工书-1 :（1）由题意，可知N,且，则数列｛｝是公比为“的等比数列，1三的,仁产-1 口1=9 =9x又由 于，解得， ■%=W幽4= =3-n(2)由(1)知=-1i>i=2又由 ，且，所以数列他金是首项为2,公差为-1的等差数列,