2017考研数学高数强化讲义

考2017考研数学高数强化课程配套讲义 引言 第三讲微分方 第四讲多元函数微分 第五讲二重积 第六讲无穷级 引言第一讲：极limf(xA00，当0

xx0时，f(xA0【注x6种情形xx,0xx0xxxxx0limxa0,N0，当nNxan 若limf(xA(A唯一若limf(xA(xK

f(x)K(会证会用若limf(xA0xf(xxf(x0，则若存在limfxi【例1】证明：若单调数列xn的某一子数列xn收敛于A，则该数列xn必收敛iA【分析】不妨设xn单调增x1x2xni0N0，当niNxnAi又xn单调nN，总存在ninni1xnxnxn1xnAxnAxn1A

xnA.证 (x31)sin(x21)2(x21)

i【解】函数定义域为(,x31sinlim 1()2x0+x 1(x31 1( x0x2

x3

sinx不x(x2x3x(x2

sinx不f(x)理----若f(x)在[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上有计算法---若f(x)在(ab)内连续limf

f(x)在(a,b)内有界

f 【例3】若limf(x)f(x0)1，则f(x)在xx

2(xx02【分析】由已知f(xf(x0)00(xx0

f(xf(x0)f(xx

处取极大值0 0判断类型（ ,0,,,0,10lim1cosxcos2xcos 【解】1cosxcosxcosxcos2xcosxcos2xcosxcos2xIlim1cosx1；Ilimcosx(1cos2x)2 Ilimcosxcos2x(1cos3x)9I7 lime

x0A

xn

m B分子项数少 1t原式limet

t t t t t【注x,exx设0，证limxlnx0 【分析】0 简单：x设置分母有原则，简单因式才下放lim limxlnx lnxlim

1

limx x0xx0x 【注x,exx>>lnx(lim[4x2xln(21)2ln2

有分母，则“

没有分母，创造分母，再]原式x1 ln(2t)2ln]tt lim

124ln(2t)124ln(2t)lim(1

)limsin3x

lim(sinxx)(sin2xxsinxx2)13x0 sin3 lim

x)(0

ab(abab(ab)(aaa

(x x (x x x xx原式 lim(2xtanx2)sin【注】u(x)vx)evx)lnulimsinxln(2xtanx2

limln(2xtanx21

22xsec22xtan 2 原式 ex0tanx22xe20limxlnx00lim(xsinx)sinx limsintln(tsint令tx0原式lim(tsint)sint x(11x

xx2ln(1【正解】原式 1lim xx2ln(1

limxx2ln(11t1limtln(1t) xt 1即原式e2

lim

lim【注1】原式lim

2ln(1xx2ln(1 2ln(1

lim

【注2】lim lim lim lim x0(1cosx)(1cos x01cosxx01cos 2x01cos【例1】求lim(111 【解】记x为连limx(x1)x( limxln(1limx(x1)x( xx2 xx2 e0 由归结原则，原式1【例2】lim(12n3n)nsin【解】记x为连xx

limln(12x3x

2xln23xln3123 lim(1lim(1

3xsinxexxsin ex1cos 不（罗比达法则失效 ln(12x3x ln(12x3x ln(12x3x 2xln23xln x lim lim lim xx ln3)xsinxexxsinx xsinx ex12 由归结原则，原式3时，1

ln(1x)x（Ⅱ）设x11)(12

n，求limx nf(b)f(a)f()(b a记f(t)ln(1t)在[0,x]上用拉氏ln(1x) 1

x，其中0 1

ln(1x) 1 ln(1n2)ln(1n2 其中n2i

n n

n)

n(ni i i11 nn

n(n2i 2i

n n2

n2 n21， limln

1lim

ne2n xnfx单增且有上界x收敛，也即limx 单减且有下界 n【例（Ⅰ）设f(xlnx1，求f(x)的最小值x（Ⅱ）设x满足lnx

1，证明limx存在，并求此极限

n【分（Ⅰ）f(x110x 0x1，f(x)0；x1f(x)0fminf(1)（Ⅱ）由（Ⅰ）lnxn

1lnx11与lnx 1相减110x xx xx

由lnx11lnx111lnexx x

，由单调有界准则知limx存在 nlnA110 1并记limxnA1 lnA

lnAA10A1

【例1f(x)xaln(1x)bxsinxg(xkx3，当x0时f(x)~g(x，【分析】泰勒 【分析】泰勒 ln(1x)x

x2x3o(x

sinxxx3o(x3

故f(x)xa(x o(x))bx(x o(x (1a)x(ba)x2ax3o(x3 1a ag(x)kx3 b 0b k 2xln(1x)sint2dtcxk为等价无穷小量(x0)，求ck f(xxsint2dt~tdt1x2g(xxln(1x~x xln(1x)sint 11 1f[g(x)]

dt~ ()x 22 c1,k48x0,f(x~axmg(x~ fg、a、b均不等0，则f[g(x)]~abmxmnlimf[g(x)]limf[g(x)][g(x)]mx0abm x0 [bxn 0x0,f(x)~g(xfg连续不等于00f(t)dt~0

0f(t)dtf(x)x0x0

无定义点①只讨论分段点(未必间断xxx【例1】f(x) 【分析】x1xxxxx(x1)lnx(x1)ln

exlnx

xlnxlnx(x1)lnxx

exlnx xln xlnlimf(x（作业）x1limf(x)1limf(x)1

2 x(x2【例2f(x)sin

,x x(x1),xx 第二讲：一元函微积③应用物理(一、二经济(三

F(x)

x F(x)F(xx 0函数 xf(xx0处可导f(xx0处导数存在f(x0A(x2sin x1F(x

xx

，求F(x)分段点用导数定【分析】段点用导数10 limxsin1 20x0，F(x)2xsin1x2cos1(1 2xsin1cos1，xF(x

x2】设0f(x在[,f(0)1limln(12x)2xf(x) 【分析】ln(12x)2x 2

)2x2xo(x原式

2x2x22xf(x)o(x2 2x(f(x)1)20lim lim lim lim 2limf(x)f(0)202f(0)20f(0) x3（Ⅰ）f(0)0f(0)存在xf1f2f(n 求limxn（Ⅱ）求lim(sin

sin

...sinn【定理】若limg(x)A，则g(x)A(x),lim(x) x)f(0)f(0)limf(0x)f(0)f(0)x)f(0)

f(0) f(x)f(0)x(x)于是f(

)f(0)

(i) 2n i ixnf(n2)f(n2)...f(n2)f(0)[n2n2 n2](n2)n ，lim2 ；lim(2)2ni1

n 记maxn20n2n2n2)n2 1i lim

)

limx1fn （Ⅱ）由（Ⅰ）令f(xsinx,f(0),f(0)1原式1f(01 【自练】求

1

2)....(1n 记x(11 2 n)lnxln(11)ln(12)....ln(1n 1 1令f ln(1x),f 0,f limln f lim e2 yf①②Axf(x0

xlimyAx0yf(xx0处可微 f(x)limf(x0x)f(x0) 【注】当x为自变量时，dx x，且当yf(x)时，dydeff(x)dxfyAxo(考：

xx

Axy(x0)xf(uyf(x2，当xx1处取x0.1时，y，则f(1)

yy(1)x0.1y(1)1f(1)(2)f(1)2xIF(xf(xF(xf(x在I上的一个原函数f(x)dxF(x)否则x0IF(x0f(x0F(x不是f(x)在I上的原函数10连续(有 30可去间断点(没有 50振荡间断点(可能有，也可能没有10连续函数必有原函数(考过证明xf(x在IF(xaf(x)dt(axIF(x)f(x)，xIx

f(x)A1

f(xAA1A222设xIF(xf(x，x0F(x0f(x0limF(x)A1,limF(x) limF(x)f(x0 xlimF(x)f(x0 x0 0limF(x)f(x00F(limF(x)f(x000 0F(x0不存在x2sin xF(x)

xx2xsin1cos1，xF(x)f(x)

xsincoslim2x 1sincos x0故，可F(x)F(x)f

连振荡间断1sin【例2】f(x)

xxlim1sin1x0为振荡间断点x0 baf(x)dx存在f(x在ab]上可积baf(x)dx存在ab]f(x在ab]上有界bf(x)在[ab]f(x)在[ab]上有界且只有有限个间断点af(x)dx存在x【注af(t)dt属于定积分范畴，故x为有限变量，即x不是无穷大x【例】在[1,2]上2,xf(x x1.x2xsin

2cos1

x②f(x)

x0

lim2xsin

2cos

x2sin1

xF(x)

x

x

f(x的原函数③f(x) x

2xcos1 ④f(x)

x

lim2xcos1sin1有界振荡 F(x)

x

xf(x的原函数xf(x)连续F(xxf(t)dt可 f(x)可积F(xaf(t)dt连cosx,xf(x xxF(x)0f(t)dtxf(xF(00过原点x【例F(x)0f(t)dt的图为（xf(xxf(t)dt可积f(x)可导fa10f(xf(x20f(xf(x30f(xF(x

xx

af(t)dt(a0)为偶函 F(x) f(t)dtut f(u)du f(u)du 又af(t)dt=af(t)dt0f(t) xf(t)dt40f(xF(xxaf(t)dt(a0)确定不了奇偶xxF(x0f(t)dt是（xF(xf(x若x0跳跃1个不可导 0可去处处可导，但F(x)f(x若 2f(xa0，则（ (A)adx0f(u)du确定不了奇偶 (B)0dxaf(u x (C)0dxaxf(u)du为奇函 (D)adxaxf(u)du偶函10可导f(x以T为周期f(x以T为周f(xTff(xT20f(x以TF(x

T

f(x)dx0 【证】F(xT) f(t)dtaf(t)dt fTF(xTF(x0f(t)dt 【预备定理】若f(x)可积，以T为周期，则 f(x)dx0f(x)dx，a为任意实数 【证】 f(x)dxaf(x)dx0f(x)dx f 其中 f(x)dxuxT0f(uT)du 因此： f(x)dx0f

f T 如：设f(x)可积的奇函数，以T为周期，则f(x在(0,内可导，则（

f(x)dx

f(x)dx 2f(x)dx2f(x在(0,f(x在(0,f(x在(0,f(x在(0,f(x在(0,f(x在(0,f(x在(0,f(x在(0,【分析】A选项xsin1(sin狗)=cos(狗(狗sinx21,(sinx2)cosx2 B(x)

1,(sin1)cos1(1 Df(x在有限区间(ab内有界，则f(x)在区间(ab内有界【证】f(xf(x0f()(xx0f(x)k,kf(x)f(x0)f()(xx0)f(x0)f()xx0f(x0)k(ba)M,M10两个任意，任意切分[ab，任意取高20n等分[ab b b limf(an

i)

f 取a0,b1limf() 0fn

nn

n n n 【例 ....2 2

nn n n n ni1nlimn2ni

11

dx limn

n i(i(

dx

ni1n

ni11i2n

01

01

01 30

n1 【例】求lim(bn1)bnsinb2nb1 n1 lim(bn1)bnsinb2nlimsinb2n(bnbn n bnbn：i0bn i1bnin1bbb因此，原式1sinxdxcos1cosb 求lim(bn1)bnsinbnb n1 lim(bn1)bnsinbnlimsinbn(bnbn)sinxdxcos1cos

n

2(1af(t)dtxf(t)dt1

fb10属于定积a

f(x)dx的范畴20求导2( f[(x)](x)f[1(x)f 1①求导xtx2 如 sintdt sin(xx)(2x1)sinx

tf(x2t2 1 10tf(xt)dtxtu2x2f(u)du20f1 20f(u)du 2f

)a

可积定积分b函 f(x)dxa为瑕点（limf(x)

1dx

dxln

1 p1收 1 p1收 dx ； dx p1发 0 p1发【例】设0，讨论1ln 0【分x0,f(x)x001时，取0，使

x

limxlnx1lnlim

limlnx小结：①大收②小发 【自练】设k0，讨论

x(lnx)k的敛散性一般题：求导规则、符高阶题1f(xcosxsinxx0

f(x记作f(2【解】lnf(xsinxlncosxf(x)cosxlncosxsinxsinx sin

f cossinxsin2f(x)cos

cosxlncosxcos

cosx0，cosx0，sinx1，cosxsinx0，cosxlncosx0x2xlim(sinx1)lncosxcos cos

f(x)lim

sinx1 x0x

x cos

x

x sin t t t limt1ln(1t

cos

sinxtlim(1t2)

lim(1t)

lim(1t)

1et1 e0lnx xlnx ln(x)

x 作业：x0

f(x)2yy(x由方程*x3y3xy10确定，求lim3yx3 【分析】写y(xy(0y(0xy(0)x2y(0)x3o(x3 x0,y(0)1;*式求导3x23y2yyxy0y(0)3【作y(00y(0y(x)11x26x3o(x3 3yx

3x26x3x3o(x3lim lim 26 3yx3sinxy6(0y

yn②yx3(x1x3...)x41x6 y6 ③唯一性

yf(xf(x)抽象展开

fnf(x)具体展

fn ③展开式具有唯一性xm前边的系数an

2x

，求yn0①y

yn2 12n

②y 3

1

23

3n1 ，其中3xyn ③唯一性 (1)n 5yxcos2xyn(n2)【分析】(uv)nunn (uv)nuvnC1uvn1C2uvn2 u(n)vCkukvnn kyxcos2xx1cos2xx1xcos xcos2xnx(cos2x)nC1(cos2x)(n1)x2ncos(2x

n)n2n1cos(2x

(n 其中(coskx)(n)kncos(kx2综述：凑微分法换元法分部积分法【分析】①对复杂主要部分求导ln(x 1x2) 若求导结果是被积函数剩余部分凑微分成功 dx dxln(x1x2 2ln(x1x2) 3 22(2x 2x12sint cos dt22(2x(2xdt11sindt

1(tant

2(sint1)2cos11)C 1

4sint4cos2 cos1x)dx,(xx【分析】③若②亦不成功，“举重若轻 tx I ln(1 111xt2 t2 t2 t211 1

11

ln(1 111lnt1 t t2 2t 1t1 t2 21 ex14I1

exexex texex

11 1Itdln1t2(1t2)(1t2)dt21t2dt21t2dtln1t2arctant 性态 0 ①x(xx),f(x0x(xx),f(x0 0 0 ②x(xx),f(x0x(xx),f(x0 0 2)f(xx0处n阶可导，f(x)f(x)...fn1(x) 为偶为偶数时，若

fn(x)0x极大值 f(xx0f(x变号f(xx0处n阶可导，f(x)f(x)...fn1(x)

(x0f(x0为曲线上的(0 当n为奇数时(x0,f(x0为拐点30渐近线找y(x)的无定义点或定义区间的端点x0计 (xx,xx

y(x)是否等于，若是xx0为铅垂，反之亦反

y(xAyA为水平limy(xlimy(x)是否等于非零常数alimy(xax是否等于常数b 是，则yaxb为斜渐近线40[a,

1.f(x0x 2.f(x)不x f(x0f(x1),f(a),f(b比较其值M(ab)求单侧【分析】x,11, x1x11lim 2y2x1x 2 21,0 01--0+--0+++f1,2 290y 令0x0(驻点)y8x4令0x1 1 ②积分（测度-长度、面积、体积bfafxb中值定理'' 方程根（等式证明1、中值定理

fx在[aa],a0f00I写出fx的带拉格朗日余项的一阶麦克劳 II明aa，使f3afxfxf0f0xf2mfxm则f2fxf0xf2 af代入afxdx

x2xdxamxdx

afx2dx

aMa ama3afxdxM m

fxdx 【例二fx在0,10,1内可f00,f1证明不同的，使

0,1,使f

+f f f证明：ff0f0 ,0, f f fff

2 f ff21,2

f1ff1 1 , f 1f f1

2f2f1

12 1f2 =

，f2f13

吗 fafb0f fx0fx单调0fx 若fx0有两个根，则fx=0至ABA则fx0至多1若fx=0至多0个则fn1x0至多k1个根若fnx=0至多k个【例】证明lnxex0

1cos2xdx0 【分析】 1cos2xdx 2sinxdxlnxex 0,记fxlnxex ①有x0,limlnxex22 limlnxex22 fx2

ex0fx0至多0个根fx0至多1fx0至多2个根34】fx、gx在ab上连续fx单调增0gxaa （II）aagtdtfxdxbfxgx x证明：（I）00dtgtdt1dtxx x（II）FxaagtdtfuduxfuguduFb a 则Fxfagtdtgxfxg gxfaxgtdtf aaxgtdtxaxgtdtaaaFx单调减，Fa0Fb第三讲微分方程概念及其应Fx,y,y,y ynn2变量可分离型dyfxydyfxy若gxhyhdygh【例】求ytanxy的通解y3tanxdytanxy3dyy

lny3lnsinxlnc1siny3 siny3c1令c=c sin siny sinx

齐次 dyfy yy xyuyxuyuxuuxufuxufuu dxfu xyylnyx解：dyylny，令yuyxuyuxu 于是uxuulnu dxulnu lnlnu1lnxlnc1lnu1c1xlnu1c1xcx ue1cx,回代 xy

axybxycxax0bxcxypxyq pxqx已yepxdxepxdxqxdx 【注】若pxdxlnxepxdxxxepxdx

y xqxdxx x xqx yy2xydyy2xydy y2x y2 1 y x x1xyxpyxqyypxyq

xxyyy xepydyepydyqydy 1dy 1 e

ydy elnyelnyydy 1y3y c 【例】ytanxy3yycotx3cotpxdxcotxdxlnsinxyelnsinxelnsinx3cotxdx

3sinxc sin

非线性：通解全部解①yfx,y 缺y干掉y,y，赶尽杀绝ypyppfx,②yfy,y 缺x决不允许x再出现，斩草除根ypypdpdpdydp dy dppfy,p【例】求2yyy2y2y01,y01的特解yp,ydpp2ydppp2y2pp2

p2y2p2

pyp12 1 2yp2 1 yp2pp p2 2y 22pp1 1 2yz2 z

1dy

1 1 ydyc1 yycp2y2c c10,p2y2ppydyyy1yye1dx

0dxc 2excc1y 1.ypyqy p p2 ①写2p p2 ②10 ce1xce2 2=0== cc 通 exccosxcsin通 y2y2y0①22201,2

12yexccosxcsin 2.（1）ypyqyexm 非齐 齐ypyqyexpmyexQxm一看：自由项中的 二算2pq0 0,1,2

或 2,y4yex2xyexAxByexAxBy4yex2xexAxB2Aex4exAxBex2xex3Ax2A3Bex2xA3A yex

2x132A3B 9 B 24012, y=ce2xc ce2xce2xex2x13 9 （2）ypyqyexpxcosxpxsin yexQ1xcosxQ2xsinx 拼一看：自由项中的 二算2pq0 y4y2cose0x2cos2x0sinye0xAcos2xBsin2x0240 ky2y2y2excos2x2【分析】y2y2y02220 y齐通exccosxcsin 2excos2x2ex1cosxexexcosx ①y2y2yex1yexAx0Aex1Aex2Aex2AexexA1y1②y2y2yexcosxex1cosx0sin2yexBcosxCsinxx12B0,C1y1exxsin yyy

12第四讲多元函数微分学概念-5y

fx,ylimfxfx0 【例】求limx2y2lnx2 ylimulnu0limx2y2lnx2y2 2

x2 limx

lnxyx0x0

2y2xylnxyx2

1x2y2

又0 1x2y2x2 x2 limfxyfx0y0yfxy在x0y0处连fx, limfx,y0fx0,y0 0 xfx, limfx0,yfx0,y00 0y y0可微性zfx①全增量zfx0xy0yfx0y0

Afx,y Bf zAxBy

③ zAxByo

0

x2x2y为 fx,ydxfx,yx0,y0 dzfx,ydxfx,ydyfdxf x2【例fxyx2

,x,y0, 0,x,y0,在点0,0处是否可微zf0x0yf00②f0,0limfx,0f0,00 xf0,0limf0,yf0,00y

y③zAxBy ox2y2x2

lim lim

x2

y

2

1若yxI

y2x，I

I不，所以不可zfx,yfx

,fx,y 求fx,y,fx, ③limfx,y?fx,yxx0xyy0

limfxy?fxy yy0

2逻辑关系：54 二．计算（多元微分法（1）【例】已知函数fuv具有二阶连续偏 zfxy,fx,y，求

zfxy,fxy1fxy,fxyfxy2

fxy,fx,y1fxy,fx,yfx,y fx,yfxy,fx,y1fxy,fx,yfx,y fxy,fx,yfx, z

f112,2f2,2f 【注】定下f1,2的规矩后，遵uu①fu,v,vvx,yffuf 2②fx,v,vvx,yff1f 21.zfxzfxy在点x0y0处 fxy0,fxy fxxx0,y0记fxyx0y0B

1 2vx,y2fx,

0,是A0B2AC

A0 问题提出:求目标函数ufxyzx,y,z在约束条

xyz0下的极值fx,y,z,,fx,y,zx,y,zx,y,zFxFxFzFFF⑶解之，得pixi,yizi,i1【例】已zzx,y由方x2y2zlnz2xy1确定zzxyz①求x

分别x,y求偏导2xzx2y2z1z2 2yzx2y2z1z2 xx令z02xz20 z代入xz 2yz2 y lnz220z1,xyz

P1,x②x2z2xz2xzx2y2z1z21z z2 z

yy2xz2yzx2y2z1zz1z z2 z

yy2z2yz2yzx2y2z1z21z z2 z zx z0,xy1,z1A3,B0,CB2AC4

9A2】求u

极大值点1,1极大值z1,11x211x21【分析】Fxy1x21y2x2y2xyF21x2xy0,令Fy21y2yx0 Fx2y2xy30,①变量的对称性法（xyxy②特殊取值试探法（0，如令0Fx0,Fy0中的消去xy关系F0本题中，①令yx2x2x230x1,y（1（2）②令2xy0x1,y2,满足（3，且2时，满足③令2yx0y1,x2,满足（3，且2时，满足于是u122,u20,u3u43umax第五讲二重积分 基础题 计算结构

fx,yfx,yfx,yd fx,yfx, fx,yfx,yfx,y

fx,ydxdy是 积值（数x2

fx,ydxdy y2

fy,Dxy:43 Dyx:43DxyDyx，称fxydxdyfyxdxdy x2y21x0,y【例】Ia1x2b1y2 Dx0,y1x21 【分析】Dxya1x2a1x2b11x21D

xya1y2b1x21y21yD

a 1D2I1Dab112Ia

【自练】Isinx3y3dDxDx

xyyxsinx3y3dyx

siny3x3dyd D2I0dxdy0ID Ifx,ydbdxy2xf D Ifx,ydddyx2yf D⑵极dIfx,yddr2frcos,rsin D 1 换 序【例1】1 fx,ydx1dx1-xfx,y 错序 fx,ydx2dx

fx, 1

1-换

2

frcos,rsinrdr序I=2rdr frcos,rsin arccosr对称性（见前形心的逆 D为规则图x,y,SD已知易知xdxSD,ydy IxydDxyx2y2xy D3 1 1 3x2y2xy1x y 2 2 2x1,y1, 四 I 综

xd 33ydx Dy

【例】已知平面区域Dr,2r21cos, 2D计算D

21cos0xdxdy22d0

r2cos16

21cos31230 16 3163

1 3231 2 422n1n 1n n 2 2sinxdx2cosxdxn

n

n 第六讲无穷级数（4-10分（4分 （4-10分概念给 Un=U1U2……Un……叫无穷级Un叫通记SnU1U2lim

nnn若n

收敛lim

本质上：Unn

常）数项级数 ）任意项级 n4.axnn 级数（Un(Un0）Un收敛Sn有上nnlimSUnn

收U设U

n1 为正项级数，且 V

n

U发V【注】观点在于对Un放缩或根据提示找

nUnVn Vn收Un0U小

U发 V V小nlimUn V小nn nA0n

Vn发Un,Vn同敛 1p1p

P1+ p1xpdx P1比值判别法（达朗贝尔判别法）设Un1

U1U1n

根植判别法（柯西判别法）设Un为正项，1nn

11 1xx1 x1x1 20 dx dx= n