2021年上海市青浦区高考数学一模试卷

Un1k1nn12n1n1nUn1k1nn12n1n1n年上海市浦区高数学一试卷一.填空（本大满分分）本大共有12题，16每题分，每题分考生在答题纸相编号的格内直截了填写结，每个空格对得分否则一得零分.1全集U=Z合M={1﹣21PCM

．2分）已知复数

（i为虚数单位

=

．3分）不等式2

＞（）3（x﹣1）

的解集为．4分）函数fx）+cos2x的最大值为．5面直角坐标xOy中线±2x为渐近线过椭圆x2右顶点的双曲线的方程是．

+

=1分）将圆锥的侧面展开后得到一个半径为

2的半圆，则此圆锥的体积为．7分设等差数列{a}的公差d不为0a=9d若a是a与a的等比中项，则k=

．8分）已知2x6

展开式的二项式系数的最大值为a系数的最大值为b，则=

．分）同时掷两枚质地平均的骰子，则两个点数之积不小于为．

4的概率10分）已知函数（x）的取值范畴是．

有三个不同的零点，则实数11知S为数列a}的前n项和=a=1面内三个不共线的向量

，，，满足

=（+a）+（1﹣a）﹣+

，n≥，∈N*，若A，，C在同一直线上，则S=

．12分）已知函数x）（x﹣+m+2）和g（）=3﹣3同时满足以下两个条件：1/15

000122nnnnn1212000122nnnnn1212①对任意实数x都有x）＜0或g（x）＜0②总存在x∈（﹣∞，﹣2fx）g（x）＜0成立．则m的取值范畴是．二.选择（本大满分分）大题共4题，每题且只有个正确答案考生应答题纸的相编号上将代表答案小方格黑，选对得5分，否则一律得分.13分）＞b”是“（）2

＞ab”成立的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件．充要条件

D既不充分又不必要条件14分）已知函数（x）（

x+对任意实数x，都有（x）≤f（x）≤x则|x﹣x|的最小值是（）A．πB．π．2D415知和是互相垂直的单位向量量

满足：，，nN*，设θ为和

的夹角，则（）A．θ随着n的增大而增大B．随着n的增大而减小．随着n的增大，θ先增大后减小D随着n的增大，θ先减小后增大16分）在平面直角坐标系中，已知两圆C：2+y2=12和C：x+y2=14，又点坐标为（3﹣、是上的动点，为上的动点，则四边形AMQN能构成矩形的个数为（）A．0个．2个．4个．许多个三．解题（本大题分分）本大题有5题，解答列各题须在答题纸相应编的规定区域写出必的步骤.17分）如图，在四棱PABCD中，底面是矩形，⊥平面ABCD，是的中点．（1）求三棱锥P﹣ABC的体积；（2）求异面直线EC和AD所成的角（结果用反三角函数值表示2/15

1n12nnn1n12nnnmnk18分）已知抛物线：2=2px过点（，点（）作直线l与抛物线C交于不同的两点N过点M作x轴的垂线分别与直线OPON交于点A，，其中O为原点．（1）求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；（2）求证：A为线段BM的中点．19分）如图，某大型厂区有三个值班A、C．值班室A在值班室B的正北方向2千米处，值班室C在值班室B的正东方向

千米处．（1）保安甲沿CA从值班室动身行至点处，现在PC=1，求PB的距离；（2）保安甲沿从值班室动身前往值班室，保安乙AB从值班室A动身前往值班室B，甲乙同时动身，甲的速为千米/时，乙的速度为千米小时若甲乙两人通过对讲机联系对讲机在厂区内的最大通话距离为3千（含3千米问有多长时刻两人不能通话？20分）设集合A，均为实数集R的子集，记A+B={a+ba∈，b∈B}．（1）已知A={1，}，B={﹣3，试用列举法表示A+；（2a=n∈*且≥时线+

=的焦距为aA=a，a…，a}，B={﹣，﹣，﹣}，A+B中的所有元素之和为，求的值；（3）在（2）的条件下，关于满足m+n=3k且m≠n的任意正整数m，n，，不等式S+S﹣λS＞0恒成立，求实数λ的最大值．21分）关于定义在0∞）上的函数f（x函数y=fx）﹣（+b满足：①在区间[0，+）上单调递减，②存在常数p，使其值域为（，]，则称函数g（x）+是函数f（x）的“逼进函数”．（1）判定函数（x=2x+5是不是函数（x）=

，x∈[∞）的“逼进函数”；（2）求证：函数g（x）=x不是函数f（x）（）x，x∈[0，+∞）的逼进函数”（3）若g（）=ax是函数f（x）=x+3/15

，x∈[∞）的“逼进函数，求a

UUUUUU的值．年海青区考学模卷参考答案与试题解析一.填空（本大满分分）本大共有12题，16每题分，每题分考生在答题纸相编号的格内直截了填写结，每个空格对得分否则一得零分.1分）设全集，集合{2}，{﹣﹣1，01，，则P∩CM{﹣2，﹣1，}．【解答】解：CM={﹣﹣10}，故P∩CM={﹣﹣1，故答案为：{﹣2，﹣1，0}2分）已知复数

（i为虚数单位

=

．，【解答】解：复数∴=

=

=

，∴=故答案为

．

•

==，3分）不等式2∞）．

＞（）3（﹣1）

的解集为（﹣∞，﹣2∪（3【解答】解：不等式2

＞（）3（x﹣1

化为2

＞2﹣

，即x

﹣4x﹣33﹣3x，∴x

﹣x﹣0解得x＜﹣或x＞3，∴原不等式的解集为（﹣∞，﹣2）∪（∞故答案为﹣∞，﹣2）∪（∞4分）函数fx）【解答】解：函数f（）=

+cos2x的最大值为+cos2x4/15

．

n1k1n1k1=sin2x+cos2x+=sin（2x

）+，当2x+

=2k+

，k∈Z，即x=k+，k∈，函数取得最大值+=，故答案为：．5面直角坐标xOy中线±2x为渐近线过椭圆x2

+

=1右顶点的双曲线的方程是

x

﹣

=1

．【解答】解：设以直线y=±2x为渐近线的双曲线的方程为x2

﹣

=λ（λ≠0∵双曲线椭圆x∴1=λ，

+

=1右顶点（10∴双曲线方程为：x2

﹣

=1故答案为：x

﹣

=1．6分）将圆锥的侧面展开后得到一个半径为2的半圆，则此圆锥的体积为．【解答】解：设圆锥的底面半径为r则2πr=2π，∴r=1∴圆锥的高h=

．∴圆锥的体积V=

=

．故答案为：．7分设等差数列{a}的公差d不为0a=9d若a是a与a的等比中项，则k=4

．5/15

k1kk1k12k【解答】解：因为a是a与a的等比中项，则a2=aa，[9d+（﹣1d]2

=9d•[9d+（2k﹣d]，又d0则k2﹣2k﹣8=0，k=4或k=﹣2（舍去故答案为：4．8分）已知2x6

展开式的二项式系数的最大值为a系数的最大值为b，则=12

．【解答】解：由题意可得a=再依照，

=20，解得，即≤r≤，∴r=4，现在∴==12．故答案为：12．

×2

=240；分）同时掷两枚质地平均的骰子，则两个点数之积不小于．【解答】解：同时掷两枚质地平均的骰子，差不多事件总数n=6×，两个点数之积小于4包含的差不多事件（a，b有：（1，15个，

4的概率为∴两个点数之积不小于4的概率为p=1﹣故答案为：．10分）已知函数（x）的取值范畴是[1，+∞）．6/15

=

．有三个不同的零点，则实数

nn12n1n1nn1n1nnnn12n1n1nn1n1nn1n1nn1n1nnn1nn000【解答】解：由题意可知：函数图象的左半部分为单调递增对数函数的部分，函数图象的右半部分为开口向上的抛物线，对称轴为

，最多两个零点，如上图，要满足题意，必须指数函数的部分向下平移到与x轴相交，由对数函数过点（1，0需左移至少1个单位，故a≥1还需保证抛物线与x轴由两个交点，故最低点解得a＜0或a＞，综合可得：a1，故答案为：[1，+∞

＜011知S为数列a}的前n项和=a=1面内三个不共线的向量

，，，满足

=（+a）+（1﹣a）﹣+

，n≥，∈N*，若A，，C在．同一直线上，则S=2【解答】解：若，C三点共线，则

=x

+（1﹣x），∴依照条件“面内三个不共线的向量，，，满足

（+a）﹣+

（1﹣a），≥，nN*，AB，在同一直线上，得出a+a+1﹣a=1，∴+a=a，﹣+﹣+∵S为数列{a}的前n项和，a=a=1，∴数列{a}为：1，1，﹣1，﹣1，，，0﹣1，﹣1，，…即数列{a}是以6为周期的周期数列，前6项为11，0﹣1﹣，0，∵2020=6×336+，∴S=336×（1+0﹣1﹣1+0）+1+．故答案为：2．12分）已知函数x）（x﹣+m+2）和g（）=3﹣3同时满足以下两个条件：①对任意实数x都有x）＜0或g（x）＜0②总存在x∈（﹣∞，﹣2fx）g（x）＜0成立．则m的取值范畴是（﹣3，﹣2．【解答】解：关于①∵g（x）=3﹣3当x＜时，g（x）＜又∵①x∈，fx）＜或g（x）＜07/15

12121∴f）=m（﹣m+m+2）＜在x≥时恒成立则由二次函数的性质可知开口只能向下，且二次函数与x轴交点都在1，0）的左面，即，可得﹣3＜＜0又∵②x∈（﹣∞，﹣2x）（x）＜0∴现在g（x）=3﹣30恒成立∴f）=m（﹣m+m+2）＞在x∈（﹣∞，﹣2）有成立的可能，则只要﹣2比x，x中的较小的根大即可，（i）当﹣1＜m0时，较小的根为﹣﹣2﹣m﹣2＞﹣不成立，（ii）当m=﹣1时，两个根同为﹣﹣3，不成立，（iii）当﹣3＜m＜﹣1时，较小的根为m，即m＜﹣2成立．综上可得①②成立时﹣3＜＜﹣2故答案为3﹣2二.选择（本大满分分）大题共4题，每题且只有个正确答案考生应答题纸的相编号上将代表答案小方格黑，选对得5分，否则一律得分.13分）＞b”是“（）2

＞ab”成立的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件．充要条件

D既不充分又不必要条件【解答】解：由（

）2

＞ab得＞ab，即a2

+2ab+2

＞4ab，则a2

﹣2ab+2

＞0，即（a﹣b）2＞0，则≠b则“＞b”“（故选：A．

）＞ab”成立的充分不必要条件，14分）已知函数（x）（

x+对任意实数x，都有（x）≤f8/15

221221nnnnnnn221221nnnnnnnnnnnnn（x）≤x则|x﹣x|的最小值是（）A．πB．π．2D4【解答】解：关于函数x）

x+对任意实数x，都有（）≤f）≤fx则|x﹣x|的最小值为函数f（）的半个周期，即

===2故选：．15知和是互相垂直的单位向量量

满足：，，nN*，设θ为和

的夹角，则（）A．θ随着n的增大而增大B．随着n的增大而减小．随着n的增大，θ先增大后减小D随着n的增大，θ先减小后增大【解答】解：分别以=（01

和所在的直线为x轴，y轴建立坐标系，则=10设∵

=（x，y，，nN*，∴x=n，=2n+1，∈*，∴

=（n，1∈*，∵θ为和∴tanθ=

的夹角，==2+∴y=tanθ为减函数，∴θ随着n的增大而减小．故选：B．9/15

121221=121221=16分）在平面直角坐标系中，已知两圆C：2

+2=12和C：x2

+2

=14，又点坐标为（3﹣、是上的动点，为上的动点，则四边形AMQN能构成矩形的个数为（）A．0个．2个．4个．许多个【解答】解：如图所示，任取圆C上一点Q，以AQ为直径画圆，交圆C与MN两点，则四边形AMQN能构成矩形，由作图知，四边形AMQN能构成矩形的个数为许多个．故选：D三．解题（本大题分分）本大题有5题，解答列各题须在答题纸相应编的规定区域写出必的步骤.17分）如图，在四棱PABCD中，底面是矩形，⊥平面ABCD，是的中点．（1）求三棱锥P﹣ABC的体积；（2）求异面直线EC和AD所成的角（结果用反三角函数值表示【解答】解∵⊥平面ABCD，底面ABCD是矩形，高PA=2，，AB=1，∴S

△

=

=1．故V

P

﹣

=

．（2）∵BC∥∴∠ECB或其补角为异面直线EC和AD所成的角θ，又∵⊥平面ABCD，∴⊥，又BC⊥，∴⊥平面，∴PB，因此在Rt△CEB中，BC=2，BE=PB=

，tanθ==

，∴异面直线EC和AD所成的角是arctan

．10/

1211112121111212111111118分）已知抛物线：2=2px过点（，点（）作直线l与抛物线C交于不同的两点N过点M作x轴的垂线分别与直线OPON交于点A，，其中O为原点．（1）求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；（2）求证：A为线段BM的中点．【解答】解∵y2∴1=2p，解得p=，

=2px过点P（1，∴y2

=x，∴焦点坐标为（，准线为x=﹣，（2）证明：设过点（0，）的直线方程为y=kx+，M（，y（x，y∴直线OP为y=x，直线为：y=x，由题意知A（x，x（x，由，可得k2∴x+x=，xx=

x

+（k﹣）x+=0∴+

=kx++

=2kx+

=2kx+

=2kx+（﹣•2x=2x，∴A为线段BM的中点．19分）如图，某大型厂区有三个值班A、C．值班室A在值班室B的正北方向2千米处，值班室C在值班室B的正东方向11/

千米处．

（1）保安甲沿CA从值班室动身行至点处，现在PC=1，求PB的距离；（2）保安甲沿从值班室动身前往值班室，保安乙AB从值班室A动身前往值班室B，甲乙同时动身，甲的速为千米/时，乙的速度为千米小时若甲乙两人通过对讲机联系对讲机在厂区内的最大通话距离为3千（含3千米问有多长时刻两人不能通话？【解答】解在RtABC中，AB=2，BC=2因此∠C=30°，

，在△PBC中PC=1BC=2由余弦定理可得

，BP2

=BC

+PC2

﹣2BC•PCcos30°=（2

）2

+1﹣2×

×1

=7即BP=

；（2）在RtABC中，BA=2BC=2

，AC==4，设甲动身后的时刻为t小时，则由题意可知0t≤4，设甲在线段CA上的位置为点则AM=4﹣t，①当0≤t≤时，设乙在线段上的位置为点Q，则AQ=2t，如图所示，在△AMQ中，由余弦定理得MQ2

=4﹣t）2

+（2t）

﹣2•2t•（tcos60°=7t2﹣+9，解得t因此0≤t≤

或t；

，②当1≤t≤时，乙在值班室处，在△ABM中，由余弦定理得MB2

=4﹣t）2

+4﹣2•2t•（4﹣t）cos60°=t

2﹣+12＞9，解得t3

或t3，又1t4不合题意舍去．综上所述0≤t≤

时，甲乙间的距离大于3千米，因此两人不能通话的时刻为

小时．20分）设集合A，均为实数集R的子集，记A+B={a+ba∈，b∈B}．（1）已知A={1，}，B={﹣3，试用列举法表示A+；12/

1n12nnnmnkn1n12nnnmnkn123nn123nmn（2a=n∈*且≥时线+

=的焦距为aA=a，a…，a}，B={﹣，﹣，﹣}，A+B中的所有元素之和为，求的值；（3）在（2）的条件下，关于满足m+n=3k且m≠n的任意正整数m，n，，不等式S+S﹣λS＞0恒成立，求实数λ的最大值．【解答】解∵+B={a+ba∈A，b∈}；当A={0，，2}，B={﹣3时，A+B={﹣1，0134，；（2）曲线+故a=2

=，即﹣=n

=，在n2时表示双曲线，∴a+a+a+…+a=∵B={﹣，﹣，﹣}，∴A+B中的所有元素之和为（a+a+a+…++（﹣﹣﹣