2023年高考数学二轮复习专题08平面向量教学案理

专题08平面向量高考侧重考查正、余弦定理与其他知识(如三角函数、平面向量等)的综合应用，试题一般为中档题，各种题型均有可能出现．预测2023年高考仍将以正、余弦定理的综合应用为主要考点，重点考查计算能力及应用数学知识分析、解决问题的能力．1．向量的根本概念(1)既有大小又有方向的量叫做向量．(2)零向量的模为0，方向是任意的，记作0.(3)长度等于1的向量叫单位向量．(4)长度相等且方向相同的向量叫相等向量．(5)方向相同或相反的非零向量叫平行向量，也叫共线向量．零向量和任一向量平行．2．共线向量定理向量a(a≠0)与b共线，当且仅当存在唯一一个实数λ，使b＝λa.3．平面向量根本定理如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1、λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.4．两向量的夹角两个非零向量a和b，在平面上任取一点O，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，那么∠AOB＝θ(0°≤θ≤180°)叫作a与b的夹角．5．向量的坐标表示及运算(1)设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，那么a±b＝(x1±x2，y1±y2)，λa＝(λx1，λy1)．(2)假设A(x1，y1)，B(x2，y2)，那么eq\o(AB,\s\up15(→))＝(x2－x1，y2－y1)．6．平面向量共线的坐标表示a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，当且仅当x1y2－x2y1＝0时，向量a与b共线．7．平面向量的数量积设θ为a与b的夹角．(1)定义：a·b＝|a||b|cosθ.(2)投影：eq\f(a·b,|b|)＝|a|cosθ叫做向量a在b方向上的投影．8．数量积的性质(1)a⊥b⇔a·b＝0；(2)当a与b同向时，a·b＝|a|·|b|；当a与b反向时，a·b＝－|a|·|b|；特别地，a·a＝|a|2；(3)|a·b|≤|a|·|b|；(4)cosθ＝eq\f(a·b,|a|·|b|).9．数量积的坐标表示、模、夹角非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)(1)a·b＝x1x2＋y1y2；(2)|a|＝eq\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))；(3)a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0；(4)cosθ＝eq\f(x1x2＋y1y2,\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))·\r(x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2))).【误区警示】1．两向量夹角的范围是[0，π]，a·b>0与〈a，b〉为锐角不等价；a·b<0与〈a，b〉为钝角不等价．2．点共线和向量共线，直线平行与向量平行既有联系又有区别．3．a在b方向上的投影为eq\f(a·b,|b|)，而不是eq\f(a·b,|a|).4．假设a与b都是非零向量，那么λa＋μb＝0⇔a与b共线，假设a与b不共线，那么λa＋μb＝0⇔λ＝μ＝0.考点一平面向量的概念及运算例1．【2023课标1，理13】向量a，b的夹角为60°，|a|=2，|b|=1，那么|a+2b|=.【答案】所以.【变式探究】(2023·高考全国甲卷)向量a＝(m,4)，b＝(3，－2)，且a∥b，那么m＝________.解析：根本法：∵a∥b，∴a＝λb即(m,4)＝λ(3，－2)＝(3λ，－2λ)∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝3λ，,4＝－2λ，))故m＝－6.速解法：根据向量平行的坐标运算求解：∵a＝(m,4)，b＝(3，－2)，a∥b∴m×(－2)－4×3＝0∴－2m－12＝0，∴m答案：－6【变式探究】(1)点A(0,1)，B(3,2)，向量eq\o(AC,\s\up6(→))＝(－4，－3)，那么向量eq\o(BC,\s\up6(→))＝()A．(－7，－4)B．(7,4)C．(－1,4)D．(1,4)答案：A【举一反三】向量的三角形法那么要保证各向量“首尾相接〞；平行四边形法那么要保证两向量“共起点〞，结合几何法、代数法(坐标)求解．(2)设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，那么eq\o(EB,\s\up6(→))＋eq\o(FC,\s\up6(→))＝()A.eq\o(AD,\s\up6(→))B.eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))C.eq\o(BC,\s\up6(→))D.eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up6(→))解析：根本法一：设eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝b，那么eq\o(EB,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)b＋a，eq\o(FC,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)a＋b，从而eq\o(EB,\s\up6(→))＋eq\o(FC,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)b＋a))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)a＋b))＝eq\f(1,2)(a＋b)＝eq\o(AD,\s\up6(→))，应选A.根本法二：如图，eq\o(EB,\s\up6(→))＋eq\o(FC,\s\up6(→))＝eq\o(EC,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\o(FB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(EC,\s\up6(→))＋eq\o(FB,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)·2eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→)).答案：A考点二平面向量数量积的计算与应用例2．【2023天津，理13】在中，，，.假设，，且，那么的值为___________.【答案】【变式探究】(2023·高考全国丙卷)向量eq\o(BA,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(\r(3),2)))，eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，\f(1,2)))，那么∠ABC＝()A．30°B．45°C．60°D．120°解析：根本法：根据向量的夹角公式求解．∵eq\o(BA,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(\r(3),2)))，eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，\f(1,2)))，∴|eq\o(BA,\s\up6(→))|＝1，|eq\o(BC,\s\up6(→))|＝1，eq\o(BA,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)×eq\f(\r(3),2)＋eq\f(\r(3),2)×eq\f(1,2)＝eq\f(\r(3),2)，∴cos∠ABC＝cos〈eq\o(BA,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))〉＝eq\f(\o(BA,\s\up6(→))·\o(BC,\s\up6(→)),|\o(BA,\s\up6(→))|·|\o(BC,\s\up6(→))|)＝eq\f(\r(3),2).∵0°≤〈eq\o(BA,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))〉≤180°，∴∠ABC＝〈eq\o(BA,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))〉＝30°.速解法：如图，B为原点，那么Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(\r(3),2)))∴∠ABx＝60°，Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，\f(1,2)))∠CBx＝30°，∴∠ABC＝30°.答案：A【变式探究】(1)向量a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，那么(2a＋b)·aA．－1B．0C．1D．2答案：C【举一反三】当向量以几何图形的形式(有向线段)出现时，其数量积的计算可利用定义法；当向量以坐标形式出现时，其数量积的计算用坐标法；如果建立坐标系，表示向量的有向线段可用坐标表示，计算向量较简单．(2)正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，那么eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(BD,\s\up6(→))＝________.解析：根本法：以eq\o(AB,\s\up6(→))、eq\o(AD,\s\up6(→))为基底表示eq\o(AE,\s\up6(→))和eq\o(BD,\s\up6(→))后直接计算数量积．eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))，∴eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(AD,\s\up6(→))＋\f(1,2)\o(AB,\s\up6(→))))·(eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＝|eq\o(AD,\s\up6(→))|2－eq\f(1,2)|eq\o(AB,\s\up6(→))|2＝22－eq\f(1,2)×22＝2.速解法：(坐标法)先建立平面直角坐标系，结合向量数量积的坐标运算求解．如图，以A为坐标原点，AB所在的直线为x轴，AD所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系，那么A(0,0)，B(2,0)，D(0,2)，E(1,2)，∴eq\o(AE,\s\up6(→))＝(1,2)，eq\o(BD,\s\up6(→))＝(－2,2)，∴eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(BD,\s\up6(→))＝1×(－2)＋2×2＝2.答案：2考点三平面向量的综合应用例3、【2023课标3，理12】在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上.假设=+，那么+的最大值为A．3 B．2C．D．2【答案】A【解析】如下图，建立平面直角坐标系【举一反三】【2023江苏，16】向量〔1〕假设a∥b,求x的值；〔2〕记,求的最大值和最小值以及对应的的值.【答案】〔1〕〔2〕时，取得最大值，为3；时，取得最小值，为.〔2〕.因为，所以，从而.于是，当，即时，取到最大值3；当，即时，取到最小值.1.【2023课标3，理12】在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上.假设=+，那么+的最大值为A．3 B．2C．D．2【答案】A【解析】如下图，建立平面直角坐标系设根据等面积公式可得圆的半径是，即圆的方程是，假设满足即，，所以，设，即，点在圆上，所以圆心到直线的距离，即，解得，所以的最大值是3，即的最大值是3，应选A。2.【2023北京，理6】设m,n为非零向量，那么“存在负数，使得〞是“〞的〔A〕充分而不必要条件 〔B〕必要而不充分条件〔C〕充分必要条件 〔D〕既不充分也不必要条件【答案】A3.【2023课标II，理12】是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，那么的最小是〔〕A.B.C.D.【答案】B【解析】如图，以为轴，的垂直平分线为轴，为坐标原点建立平面直角坐标系，那么，，，设，所以，，，所以，，当时，所求的最小值为，应选B．4.【2023课标1，理13】向量a，b的夹角为60°，|a|=2，|b|=1，那么|a+2b|=.【答案】5.【2023天津，理13】在中，，，.假设，，且，那么的值为___________.【答案】【解析】,那么.6.【2023山东，理12】是互相垂直的单位向量，假设与的夹角为，那么实数的值是.【答案】7．【2023浙江，15】向量a，b满足那么的最小值是________，最大值是_______．【答案】4，【解析】设向量的夹角为，由余弦定理有：，，那么：，令，那么，据此可得：，即的最小值是4，最大值是．8.【2023浙江，10】如图，平面四边形ABCD，AB⊥BC，AB＝BC＝AD＝2，CD＝3，AC与BD交于点O，记，，，那么A．B．C．D．【答案】C【解析】因为，，，所以，应选C。9.【2023江苏，12】如图,在同一个平面内，向量,,的模分别为1,1,,与的夹角为,且tan=7,与的夹角为45°.假设,那么▲.AACBO(第12题)【答案】310.【2023江苏，16】向量〔1〕假设a∥b,求x的值；〔2〕记,求的最大值和最小值以及对应的的值.【答案】〔1〕〔2〕时，取得最大值，为3；时，取得最小值，为.〔2〕.因为，所以，从而.于是，当，即时，取到最大值3；当，即时，取到最小值.1.【2023高考新课标2理数】向量，且，那么〔〕〔A〕－8〔B〕－6〔C〕6〔D〕8【答案】D【解析】向量，由得，解得，应选D.2.【2023高考江苏卷】如图，在中，是的中点，是上的两个三等分点，，，那么的值是▲.【答案】3.【2023年高考四川理数】在平面内，定点A，B，C，D满足==,===-2，动点P，M满足=1，=，那么的最大值是()〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕【答案】B【解析】甴易得.以为原点，直线为轴建立平面直角坐标系，如下图，那么设由，得，又，它表示圆上的点与点的距离的平方的，，应选B.4.【2023高考江苏卷】如图，在中，是的中点，是上的两个三等分点，，，那么的值是▲.【答案】【2023高考福建，理9】，假设点是所在平面内一点，且，那么的最大值等于〔〕A．13B．15C．19D．21【答案】A【解析】以为坐标原点，建立平面直角坐标系，如下图，那么，，，即，所以，，因此，因为，所以的最大值等于，当，即时取等号．【2023高考湖北，理11】向量，，那么.【答案】9【2023高考山东，理4】菱形的边长为，,那么〔〕〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕【答案】D【解析】因为应选D.【2023高考陕西，理7】对任意向量，以下关系式中不恒成立的是〔〕A．B．C．D．【答案】B【解析】因为，所以选项A正确；当与方向相反时，不成立，所以选项B错误；向量的平方等于向量的模的平方，所以选项C正确；，所以选项D正确．应选B．【2023高考四川，理7】设四边形ABCD为平行四边形，，.假设点M，N满足，，那么〔〕〔A〕20〔B〕15〔C〕9〔D〕6【答案】C【2023高考安徽，理8】是边长为的等边三角形，向量，满足，，那么以下结论正确的选项是〔〕〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕【答案】D【解析】如图，由题意，，那么，故错误；，所以，又，所以，故错误；设中点为，那么，且，而，所以，应选D.【2023高考福建，理9】，假设点是所在平面内一点，且，那么的最大值等于〔〕A．13B．15C．19D．21【答案】A【2023高考天津，理14】在等腰梯形中,,动点和分别在线段和上,且,那么的最小值为.【答案】【解析】因为，，，，当且仅当即时的最小值为.1.【2023高考福建卷第8题】在以下向量组中，可以把向量表示出来的是〔〕B.C.D.【答案】B【解析】由于平面向量的根本定理可得,不共线的向量都可与作为基底.只有成立.应选B.【考点定位】平面向量的根本定理.2.【2023高考广东卷理第5题】向量，那么以下向量中与成的是〔〕A.B.C.D.【答案】B【考点定位】空间向量数量积与空间向量的坐标运算3.【2023高考湖南卷第16题】在平面直角坐标系中,为原点,动点满足=1，那么的最大值是_________.【答案】【考点定位】参数方程、三角函数4.【2023高考江苏卷第12题】如图在平行四边形中，，，那么的值是.ADADCBP【答案】22【解析】由题意，，，所以，即，解得．【考点定位】向量的线性运算与数量积．5.【2023陕西高考理第13题】设，向量，假设，那么_______.【答案】【考点定位】共线定理；三角恒等变换.6.【2023高考安徽卷理第10题】在平面直角坐标系中，向量点满足.曲线，区域.假设为两段别离的曲线，那么()A.B.C.D.【答案】A【解析】设，那么，，区域表示的是平面上的点到点的距离从到之间，如以下图中的阴影局部圆环，要使为两段别离的曲线，那么，应选A.【考点定位】平面向量的应用、线性规划.7.【2023高考北京卷理第10题】向量、满足，，且〔〕，那么.【答案】【解析】当，那么，于是，因为，所以，又因为，所以.【考点定位】平面向量的模8.【2023高考湖北卷理第11题】设向量，，假设，那么实数.【答案】【解析】因为，，因为，所以，解得.【考点定位】平面向量的坐标运算、数量积10.【2023江西高考理第15题】单位向量与的夹角为，且，向量与的夹角为，那么=.【答案】【考点定位】向量数量积及夹角11.【2023辽宁高考理第5题】设是非零向量，命题P：假设，，那么；命题q：假设，那么，那么以下命题中真命题是〔〕A．B．C．D．【答案】A【解析】由题意可知，命题P是假命题；命题q是真命题，故为真命题.【考点定位】命题的真假12.【2023全国1高考理第15题】为圆上的三点，假设，那么与的夹角为_______．【答案】．【解析】由，故三点共线，且是线段中点，故是圆的直径，从而，因此与的夹角为【考点定位】平面向量根本定理13.【2023全国2高考理第3题】设向量a,b满足|a+b|=，|a-b|=，那么ab=()A.1B.2C.3D.5【答案】A【考点定位】本小题主要考查平面向量的模、平面向量的数量积等平面向量14.【2023高考安徽卷理第15题】两个不相等的非零向量两组向量和均由2个和3个排列而成.记，表示所有可能取值中的最小值.那么以下命题