2023年高考数学命题角度4.2空间几何体体积与距离问题大题狂练文

命题角度4.2：空间几何体体积与距离问题1.如图，是边长为的正方形，平面，平面，.〔Ⅰ〕求证：；〔Ⅱ〕求三棱锥的体积.【答案】〔Ⅰ〕见解析；〔Ⅱ〕.【解析】试题分析：〔Ⅰ〕先证明，结合，根据线面垂直的判定定理可得平面，从而可得结论；〔Ⅱ〕先根据勾股定理求底面三角形的三边的长，进而根据其特性求底面三角形的面积，再根据棱锥的体积公式求解即可.〔Ⅱ〕设，连接，.由〔Ⅰ〕知，平面，所以平面.因为平面将三棱锥分为两个三棱锥和，所以.因为正方形的边长为，，所以，.取的中点，连接，那么.所以等腰三角形的面积为.所以.所以三棱锥的体积为.2.如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，平面底面，为的中点，是棱上的点，，．〔Ⅰ〕求证：平面平面；〔Ⅱ〕假设三棱锥的体积是四棱锥体积的，设，试确定的值．【答案】〔Ⅰ〕见解析；〔Ⅱ〕.【解析】试题分析：〔Ⅰ〕由平面平面，且平面平面，可证得平面，进而平面平面；〔Ⅱ〕〔Ⅱ〕由，为的中点，可得．由平面平面，可得平面．设，梯形面积为，那么S△ABQ=，，利用即可求得.〔Ⅱ〕∵，为的中点，∴，∵平面平面，且平面平面，∴平面．设，梯形面积为，那么三角形的面积为，．又设到平面的距离为，那么，根据题意，∴，故，为中点，所以．3.如下图，菱形与正三角形所在平面互相垂直，平面，且，.〔1〕求证：平面；〔2〕假设，求几何体的体积.【答案】〔1〕见解析；〔2〕3.【解析】试题分析：〔1〕过点作于，连接，可证四边形为平行四边形，可得，根据线面平行的判定定理即可证明平面；〔2〕假设，利用分割法，将几何体分成两个棱锥，结合棱锥的体积公式即可求几何体的体积.∴平面.又∵平面，，∴.∴四边形为平行四边形，∴.∵平面，平面，∴平面.〔2〕连接，由题意得为正三角形，∴.∵平面⊥平面，平面，平面平面，平面.∵，平面，平面，∴平面，同理，由可证平面，∵，平面，平面，∴平面∥平面，∴到平面的距离等于的长.∵为四棱锥的高，∴.4.如下图的几何体中，四边形为菱形，，，，，平面平面，，为的中点，为平面内任一点.〔1〕在平面内，过点是否存在直线使？如果不存在，请说明理由，如果存在，请说明作法；〔2〕过，，三点的平面将几何体截去三棱锥，求剩余几何体的体积.【答案】〔1〕见解析;〔2〕.【解析】试题分析：(1)利用线面平行的判断定理结合题意可知点G存在；(2)利用题意将所要求解的多面体的体积进行分解可得几何体的体积.〔2〕连接，，那么平面将几何体分成两局部：三棱锥与几何体〔如下图〕.因为平面平面，且交线为，又，所以平面.故为几何体的高.又四边形为菱形，，，，所以，所以.又，所以平面，所以，所以几何体的体积.5.在三棱柱中，，，为的中点.〔1〕证明：平面；〔2〕假设，点在平面的射影在上，且侧面的面积为，求三棱锥的体积.【答案】〔1〕见解析;〔2〕.【解析】试题分析：〔1〕连接交于点，连接.利用中点可得，所以平面.〔2〕取中点，连接，过点作于，连接,利用等腰三角形和射影的概念可知平面，所以，所以平面，所以.利用侧面的面积可计算得三棱锥的高，由此可计算得三棱锥的体积.试题解析：〔1〕证明：连接交于点，连接.那么为的中点，又为的中点，所以，且平面，平面，那么平面.〔2〕解：取的中点，连接，过点作于点，连接.因为点在平面的射影在上，且，所以平面，∴，，∴平面，那么.设，在中，，，∴，，，由，可得.那么.所以三棱锥的体积为.6.如图，四棱锥中，平面平面，底面为梯形，，且与均为正三角形，为的重心.〔1〕求证：平面；〔2〕求点到平面的距离.【答案】〔1〕见解析〔2〕【解析】【试题分析】〔1〕可直接运用线面平行的判定定理推证；〔2〕借助三棱锥可换底的特征，运用三棱锥的体积公式建立方程求解：解：(1)连接并延长交于，连接.由梯形且，知，又为的重心，，在中，，故.又平面平面平面.，得，所以三棱锥的体积为.又.在中，，故点到平面的距离为.7.如图，在四棱锥中，，，，平面.〔1〕求证：平面；〔2〕假设为线段的中点，且过三点的平面与线段交于点，确定点的位置，说明理由；并求三棱锥的高.【答案】〔1〕详见解析〔2〕【解析】试题分析：〔1〕先分别利用勾股定理和线面垂直的性质得到线线垂直，再利用线面垂直的判定定理进行证明；〔2〕利用三角形的中位线证明线线平行，进而通过四点共面确定点的位置，再利用等体积法进行求解.因为平面，为的中点，所以到平面的距离.又，所以.由题意可知，在直角三角形中，，，在直角三角形中，，，所以.设三棱锥的高为，，解得：，故三棱锥的高为.8.如图，边长为2的正方形和高为2的直角梯形所在的平面互相垂直，，，且.〔1〕求证：平面；〔2〕过作平面，垂足为，求三棱锥的体积.【答案】〔1〕见解析;〔2〕.【解析】试题分析：〔1〕因为，通过证明平面，可证得平面.〔2〕利用等体积法可求体积.试题解析：〔1〕证明：∵，，∴，∴四边形为平行四边形，∴，∵平面平面，且平面平面，，∴平面，∴平面，∵平面，∴.在正方形中，平面，∵，∴平面.〔2〕解：取的中点，连接，那么，连接，过作于，∵平面，∴，∴平面，∴，∴平面，∴与重合.在中，，，，由，得，∴.过作，垂足为，易证平面，交于，那么，且.∴.9.如图，在各棱长为的直四棱柱中，底面为棱形，为棱上一点，且〔1〕求证：平面平面；〔2〕平面将四棱柱分成上、下两局部，求这两局部的体积之比.〔棱台的体积公式为，其中分别为上、下底面面积，为棱台的高〕【答案】〔1〕证明见解析；〔2〕.【解析】试题分析：〔1〕利用直线垂直平面的判定及面面垂直的判定定理，分析出平面又平面平面平面〔2〕平面分割出一个三棱台，先求其体积，再用总的体积减去此三棱台体积，即可得到下面局部的体积.试题解析：〔1〕证明：底面为菱形，在直四棱柱中，底面平面又平面平面平面〔2〕解：连接，过作交于，那么那么平面与侧面相交的线段为故平面将四棱柱分成上、下两局部中的上局部由三棱台组成，取的中点,连接底面为菱形，为正三角形，即也为正三角形，又底面平面又四棱柱的体积为10.如图，四棱锥中，底面为直角梯形，,平面平面，分别为的中点，为的中点，过作平面分别与交于点.〔Ⅰ〕当为中点时，求证：平面平面；〔Ⅱ〕当时，求三棱锥的体积.【答案】〔1〕见解析〔2〕【解析】试题分析：〔Ⅰ〕要证明面面垂直，即证明线面垂直，根据条件可知，根据条件易证明，那么，所以平面，