2023年高考数学一轮复习第7章立体几何初步第5节垂直关系学案文北师大版

第五节垂直关系[考纲]1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面垂直的有关性质与判定定理.2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的垂直关系的简单命题．(对应学生用书第104页)[根底知识填充]1．直线与平面垂直(1)直线和平面垂直的定义如果一条直线l与平面α内的任何直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直．(2)判定定理与性质定理文字语言图形表示符号表示判定定理一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(l⊥a,l⊥b,a∩b＝O,aα,bα))⇒l⊥α性质定理两直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a⊥α,b⊥α))⇒a∥b2．平面与平面垂直(1)平面与平面垂直的定义两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．(2)判定定理与性质定理文字语言图形表示符号表示判定定理一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(l⊥α,lβ))⇒α⊥β性质定理如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(α⊥β,α∩β＝a,l⊥a,lβ))⇒l⊥α[知识拓展]1．假设两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面．2．一条直线垂直于两平行平面中的一个，那么这条直线与另一个平面也垂直．3．两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面．[根本能力自测]1．(思考辨析)判断以下结论的正误．(正确的打“√〞，错误的打“×〞)(1)直线l与平面α内的无数条直线都垂直，那么l⊥α.()(2)垂直于同一个平面的两平面平行．()(3)假设两条直线与一个平面所成的角相等，那么这两条直线平行．()(4)假设两个平面垂直，那么其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面．()[答案](1)×(2)×(3)×(4)×2．(教材改编)设α，β是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，且lα，mβ.()A．假设l⊥β，那么α⊥βB．假设α⊥β，那么l⊥mC．假设l∥β，那么α∥β D．假设α∥β，那么l∥mA[∵l⊥β，lα，∴α⊥β(面面垂直的判定定理)，故A正确．]3．(2023·浙江高考)互相垂直的平面α，β交于直线l.假设直线m，n满足m∥α，n⊥β，那么()A．m∥l B．m∥nC．n⊥l D．m⊥nC[∵α∩β＝l，∴lβ.∵n⊥β，∴n⊥l.]4．如图7­5­1，PA⊥平面ABC，BC⊥AC，那么图中直角三角形的个数为________.【导学号：00090253】图7­5­14[∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥AB，PA⊥AC，PA⊥BC，那么△PAB，△PAC为直角三角形．由BC⊥AC，且AC∩PA＝A，∴BC⊥平面PAC，从而BC⊥PC．因此△ABC，△PBC也是直角三角形．]5．边长为a的正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角，那么折叠后AC的长为________．a[如下图，取BD的中点O，连接A′O，CO，那么∠A′OC是二面角A′­BD­C的平面角．即∠A′OC＝90°，又A′O＝CO＝eq\f(\r(2),2)a，∴A′C＝eq\r(\f(a2,2)＋\f(a2,2))＝a，即折叠后AC的长(A′C)为A．](对应学生用书第105页)线面垂直的判定与性质如图7­5­2所示，在四棱锥P­ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点．证明：图7­5­2(1)CD⊥AE；(2)PD⊥平面ABE.[证明](1)在四棱锥P­ABCD中，∵PA⊥平面ABCD，CD平面ABCD，∴PA⊥CD．又∵AC⊥CD，且PA∩AC＝A，∴CD⊥平面PAC．而AE平面PAC，∴CD⊥AE.(2)由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝PA．∵E是PC的中点，∴AE⊥PC．由(1)知AE⊥CD，且PC∩CD＝C，∴AE⊥平面PCD．又PD平面PCD，∴AE⊥PD．∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥AB．又∵AB⊥AD，且PA∩AD＝A，∴AB⊥平面PAD，而PD平面PAD，∴AB⊥PD．又AB∩AE＝A，∴PD⊥平面ABE.[规律方法]1．证明直线与平面垂直的常用方法(1)利用线面垂直的判定定理．(2)利用“两平行线中的一条与平面垂直，那么另一条也与这个平面垂直〞．(3)利用“一条直线垂直于两个平行平面中的一个，那么与另一个也垂直〞．(4)利用面面垂直的性质定理．2．证明线线垂直的常用方法(1)利用特殊图形中的垂直关系．(2)利用等腰三角形底边中线的性质．(3)利用勾股定理的逆定理．(4)利用直线与平面垂直的性质．[变式训练1]如图7­5­3所示，在四棱锥P­ABCD中，AB⊥平面PAD，AB∥CD，PD＝AD，E是PB的中点，F是DC上的点，且DF＝eq\f(1,2)AB，PH为△PAD中AD边上的高．图7­5­3(1)证明：PH⊥平面ABCD；(2)证明：EF⊥平面PAB．[证明](1)因为AB⊥平面PAD，PH平面PAD，所以PH⊥AB．因为PH为△PAD中AD边上的高，所以PH⊥AD．因为AB∩AD＝A，AB，AD平面ABCD，所以PH⊥平面ABCD．(2)如下图，取PA的中点M，连接MD，ME.因为E是PB的中点，所以ME綊eq\f(1,2)AB．又因为DF綊eq\f(1,2)AB，所以ME綊DF，所以四边形MEFD是平行四边形，所以EF∥MD．因为PD＝AD，所以MD⊥PA．因为AB⊥平面PAD，所以MD⊥AB．因为PA∩AB＝A，所以MD⊥平面PAB，所以EF⊥平面PAB．面面垂直的判定与性质(2023·郑州调研)如图7­5­4，三棱台DEF­ABC中，AB＝2DE，G，H分别为AC，BC的中点．图7­5­4(1)求证：BD∥平面FGH；(2)假设CF⊥BC，AB⊥BC，求证：平面BCD⊥平面EGH.[证明](1)如下图，连接DG，CD，设CD∩GF＝M，连接MH.1分在三棱台DEF­ABC中，AB＝2DE，G为AC的中点，可得DF∥GC，DF＝GC，所以四边形DFCG为平行四边形．3分那么M为CD的中点，又H为BC的中点，所以HM∥BD，由于HM平面FGH，BD平面FGH，故BD∥平面FGH.5分(2)连接HE，GE，CD，因为G，H分别为AC，BC的中点，所以GH∥AB．6分由AB⊥BC，得GH⊥BC．又H为BC的中点，所以EF∥HC，EF＝HC，因此四边形EFCH是平行四边形，所以CF∥HE.10分由于CF⊥BC，所以HE⊥BC．又HE，GH平面EGH，HE∩GH＝H.所以BC⊥平面EGH.又BC平面BCD，所以平面BCD⊥平面EGH.12分[规律方法]1.面面垂直的证明的两种思路：(1)用面面垂直的判定定理，即证明其中一个平面经过另一个平面的一条垂线；(2)用面面垂直的定义，即证明两个平面所成的二面角是直二面角，把证明面面垂直的问题转化为证明平面角为直角的问题．2．垂直问题的转化关系：[变式训练2](2023·全国卷Ⅰ)如图7­5­5，在四棱锥P­ABCD中，AB∥CD，且∠BAP＝∠CDP＝90°。(1)证明：平面PAB⊥平面PAD；(2)假设PA＝PD＝AB＝DC，∠APD＝90°，且四棱锥P­ABCD的体积为eq\f(8,3)，求该四棱锥的侧面积．图7­5­5[解](1)证明：由∠BAP＝∠CDP＝90°，得AB⊥AP，CD⊥PD．由于AB∥CD，故AB⊥PD，从而AB⊥平面PAD．2分又AB平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAD．4分(2)如图，在平面PAD内作PE⊥AD，垂足为E.由(1)知，AB⊥平面PAD，故AB⊥PE，AB⊥AD，可得PE⊥平面ABCD．6分设AB＝x，那么由可得AD＝eq\r(2)x，PE＝eq\f(\r(2),2)x.故四棱锥P­ABCD的体积VP­ABCD＝eq\f(1,3)AB·AD·PE＝eq\f(1,3)x3.8分由题设得eq\f(1,3)x3＝eq\f(8,3)，故x＝2.从而结合可得PA＝PD＝AB＝DC＝2，AD＝BC＝2eq\r(2)，PB＝PC＝2eq\r(2).10分可得四棱锥P­ABCD的侧面积为eq\f(1,2)PA·PD＋eq\f(1,2)PA·AB＋eq\f(1,2)PD·DC＋eq\f(1,2)BC2sin60°＝6＋2eq\r(3).12分平行与垂直的综合问题角度1多面体中平行与垂直关系的证明(2023·潍坊模拟)在如图7­5­6所示的空间几何体中，EC⊥平面ABCD，四边形ABCD是菱形，CE∥BF，且CE＝2BF，G，H，P分别为AF，DE，AE的中点．求证：(1)GH∥平面BCEF；(2)FP⊥平面ACE.【导学号：00090254】图7­5­6[证明](1)取EC中点M，FB中点N，连接HM，GN.那么HM綊eq\f(1,2)DC，GN綊eq\f(1,2)AB，2分∵AB∥CD，AB＝CD，∴HM綊GN，∴HMNG是平行四边形，∴GH∥MN，4分∵GH平面BCEF，MN平面BCEF，∴GH∥平面BCEF；6分(2)连接BD，与AC交于O，连接OP，那么OP綊FB，∴PFBO是平行四边形，8分∴PF∥BO，∵BO⊥AC，BO⊥EC，AC∩EC＝C，∴BO⊥平面ACE，10分∴FP⊥平面ACE.12分[规律方法]1.三种垂直的综合问题，一般通过作辅助线进行线线、线面、面面垂直间的转化．2．垂直与平行结合问题，求解时应注意平行、垂直的性质及判定的综合应用．角度2平行垂直中探索开放问题(2023·秦皇岛调研)如图7­5­7(1)所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D，E分别为AC，AB的中点，点F为线段CD上的一点，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1F⊥CD，如图7­5­7(2)所示．【导学号：00090255】(1)(2)图7­5­7(1)求证：A1F⊥BE(2)线段A1B上是否存在点Q，使A1C⊥平面DEQ[证明](1)由，得AC⊥BC，且DE∥BC．所以DE⊥AC，那么DE⊥DC，DE⊥DA1，因为DC∩DA1＝D，所以DE⊥平面A1DC．2分由于A1F平面A1DC，所以DE⊥A1又因为A1F⊥CD，CD∩DE＝D所以A1F⊥平面BCDE又BE平面BCDE，所以A1F⊥BE(2)线段A1B上存在点Q，使A1C⊥平面DEQ理由如下：如图，分别取A1C，A1B的中点P，Q，连接PQ那么PQ∥BC．又因为DE∥BC，那么DE∥PQ.所以平面DEQ即为平面DEQP.9分由(1)知，DE⊥平面A1DC，所以DE⊥A1C又因为P是等腰三角形DA1C底边A1所以A1C⊥DP又DP∩DE＝D，所以A1C⊥平面DEQP.从而A1C⊥平面故线段A1B上存在点Q，使得A1C⊥平面DEQ[规律方法]1.对命题条件探索性的主要途径：(1)先猜后证，即先观察与尝试给出条件再证明；(2)先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件，再证明充分性．2．平行(垂直)中点的位置探索性问题：一般是先根据条件猜想点的位置再给出证明，探索点存在问题，点多为中点或三等分点中某一个，也可以根据相似知识建点．线面角的求法与应用(2023·浙江高考)如图7­5­8，在三棱台ABC­DEF中，平面BCFE⊥平面ABC，∠ACB＝90°，BE＝EF＝FC＝1，BC＝2，AC＝3.图7­5­8(1)求证：BF⊥平面ACFD；(2)求直线BD与平面ACFD所成角的余弦值．[解](1)证明：延长AD，BE，CF相交于一点K，如下图.1分因为平面BCFE⊥平面ABC，且AC⊥BC，所以AC⊥平面BCK，3分因此，BF⊥AC．又因为EF∥BC，BE＝EF＝FC＝1，BC＝2，所以△BCK为等边三角形，且F为CK的中点，那么BF⊥CK.所以BF⊥平面ACFD．5分(2)因为BF⊥平面ACK，所以∠BDF是直线BD与平面ACFD所成的角.8分在Rt△BFD中，BF＝eq\r(3)，DF＝eq\f(3,2)，得cos∠BDF＝eq\f(\r(21),7)，所以直线BD与平面ACFD所成角的余弦值为eq\f(\r(21),7).12分[规律方法]1.利用综合法求空间角的步骤：(1)找：根据图形找出相关的线面角或二面角．(2)证：证明找出的角即为所求的角．(3)算：根据题目中的数据，通过解三角形求出所求角．2．线面角的求法：找出斜线在平面上的射影，关键是作垂线，找垂足，要把线面角转化到一个三角形中求解．[变式训练3]如图7­5­9，在四棱锥P­ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点．图7­5­9(1)求PB和平面PAD所成的角的大小；(2)证明：AE⊥平面PCD．[解](1)在四棱锥P­ABCD中，因为PA⊥底面ABCD，AB平面