2023年高考数学一轮复习第8章平面解析几何第4节直线与圆、圆与圆的位置关系学案理北师大版

第四节直线与圆、圆与圆的位置关系[考纲](教师用书独具)1.能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系.2.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题.3.初步了解用代数方法处理几何问题的思想．(对应学生用书第136页)[根底知识填充]1．判断直线与圆的位置关系常用的两种方法(1)几何法：利用圆心到直线的距离d和圆半径r的大小关系．d<r⇔相交；d＝r⇔相切；d>r⇔相离．(2)代数法：eq\o(→,\s\up14(判别式),\s\do15(Δ＝b2－4ac))eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(＞0⇔相交；,＝0⇔相切；,＜0⇔相离.))2．圆与圆的位置关系(两圆半径为r1，r2，d＝|O1O2|)相离外切相交内切内含图形量的关系d＞r1＋r2d＝r1＋r2|r1－r2|＜d＜r1＋r2d＝|r1－r2|(r1≠r2)d＜|r1－r2|(r1≠r2)[知识拓展]1．圆的切线方程常用结论(1)过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2.(2)过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.(3)过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，那么两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2.2．圆与圆的位置关系的常用结论(1)两圆的位置关系与公切线的条数：①内含：0条；②内切：1条；③相交：2条；④外切：3条；⑤相离：4条．(2)当两圆相交时，两圆方程(x2，y2项系数相同)相减便可得公共弦所在直线的方程．[根本能力自测]1．(思考辨析)判断以下结论的正误．(正确的打“√〞，错误的打“×〞)(1)“k＝1”是“直线x－y＋k＝0与圆x2＋y2＝1相交〞的必要不充分条件．()(2)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，那么两圆外切．()(3)如果两圆的圆心距小于两半径之和，那么两圆相交．()(4)假设两圆相交，那么两圆方程相减消去二次项后得到的二元一次方程是公共弦所在直线的方程．()(5)过圆O：x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程是x0x＋y0y＝r2.()[答案](1)×(2)×(3)×(4)√(5)√2．直线x－y＋1＝0与圆(x＋1)2＋y2＝1的位置关系是()A．相切 B．直线过圆心C．直线不过圆心，但与圆相交 D．相离B[依题意知圆心为(－1,0)，到直线x－y＋1＝0的距离d＝eq\f(0,\r(12＋(－1)2))＝0，所以直线过圆心．]3．(教材改编)圆(x＋2)2＋y2＝4与圆(x－2)2＋(y－1)2＝9的位置关系为()A．内切 B．相交C．外切 D．相离B[两圆圆心分别为(－2,0)，(2,1)，半径分别为2和3，圆心距d＝eq\r(42＋1)＝eq\r(17).∵3－2<d<3＋2，∴两圆相交．]4．直线3x＋4y＝b与圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0相切，那么b的值是()A．－2或12 B．2或－12C．－2或－12 D．2或12D[由圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0，知圆心(1,1)，半径为1，所以eq\f(|3×1＋4×1－b|,\r(32＋42))＝1，解得b＝2或12.]5．在平面直角坐标系xOy中，直线x＋2y－3＝0被圆(x－2)2＋(y＋1)2＝4截得的弦长为__________．eq\f(2\r(55),5)[圆心为(2，－1)，半径r＝2.圆心到直线的距离d＝eq\f(|2＋2×(－1)－3|,\r(1＋4))＝eq\f(3\r(5),5)，所以弦长为2eq\r(r2－d2)＝2eq\r(22－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3\r(5),5)))\s\up12(2))＝eq\f(2\r(55),5).](对应学生用书第137页)直线与圆的位置关系(1)(2023·豫南九校联考)直线l：mx－y＋1－m＝0与圆C：x2＋(y－1)2＝5的位置关系是()A．相交 B．相切C．相离 D．不确定(2)(2023·大连双基测试)圆x2＋y2＝1与直线y＝kx＋2没有公共点的充要条件是________．(1)A(2)－eq\r(3)＜k＜eq\r(3)[(1)法一：∵圆心(0,1)到直线l的距离d＝eq\f(|m|,\r(m2＋1))<1<eq\r(5).故直线l与圆相交．法二：直线l：mx－y＋1－m＝0过定点(1,1)，∵点(1,1)在圆C：x2＋(y－1)2＝5的内部，∴直线l与圆C相交．(2)法一：将直线方程代入圆方程，得(k2＋1)x2＋4kx＋3＝0，直线与圆没有公共点的充要条件是Δ＝16k2－12(k2＋1)＜0，解得－eq\r(3)＜k＜eq\r(3).法二：圆心(0,0)到直线y＝kx＋2的距离d＝eq\f(2,\r(k2＋1))，直线与圆没有公共点的充要条件是d＞1.即eq\f(2,\r(k2＋1))＞1，解得－eq\r(3)＜k＜eq\r(3).][规律方法]判断直线与圆的位置关系的常见方法1几何法：利用d与r的关系.2代数法：联立方程之后利用Δ判断.3点与圆的位置关系法：假设直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交.上述方法中最常用的是几何法，点与圆的位置关系法适用于动直线问题.[跟踪训练]圆(x－3)2＋(y－3)2＝9上到直线3x＋4y－11＝0的距离等于1的点的个数为()A．1 B．2C．3 D．4C[因为圆心到直线的距离为eq\f(|9＋12－11|,5)＝2，又因为圆的半径为3，所以直线与圆相交，由数形结合知，圆上到直线的距离为1的点有3个．]圆的切线、弦长问题◎角度1求圆的切线方程(切线长)假设点P(1,2)在以坐标原点为圆心的圆上，那么该圆在点P处的切线方程为________.【导学号：79140279】x＋2y－5＝0[设圆的方程为x2＋y2＝r2，将P的坐标代入圆的方程，得r2＝5，故圆的方程为x2＋y2＝5.设该圆在点P处的切线上的任意一点为M(x，y)，那么eq\o(PM,\s\up7(→))＝(x－1，y－2)．由eq\o(OP,\s\up7(→))⊥eq\o(PM,\s\up7(→))(O为坐标原点)，得eq\o(OP,\s\up7(→))·eq\o(PM,\s\up7(→))＝0，即1×(x－1)＋2×(y－2)＝0，即x＋2y－5＝0.]◎角度2求弦长(2023·河北张家口期末)直线：12x－5y＝3与圆x2＋y2－6x－8y＋16＝0相交于A，B两点，那么|AB|＝________.4eq\r(2)[把圆的方程化成标准方程为(x－3)2＋(y－4)2＝9，所以圆心坐标为(3,4)，半径r＝3，所以圆心到直线12x－5y＝3的距离d＝eq\f(|12×3－5×4－3|,\r(122＋(－5)2))＝1，那么|AB|＝2eq\r(r2－d2)＝4eq\r(2).]◎角度3由弦长及切线问题求参数(2023·深圳二调)直线l：x＋my－3＝0与圆C：x2＋y2＝4相切，那么m＝________.±eq\f(\r(5),2)[由于直线与圆相切，那么有圆心到直线的距离d＝eq\f(|0＋0－3|,\r(1＋m2))＝eq\f(3,\r(1＋m2))＝2，整理得m2＝eq\f(5,4)，解得m＝±eq\f(\r(5),2).][规律方法]1.圆的切线方程的求法设切线方程为y－y0＝kx－x0，利用点到直线的距离公式表示出圆心到切线的距离d，然后令d＝r联立方程组用判别式Δ＝0，求出k.2.弦长的求法假设弦心距为d，圆的半径长为r，那么弦长l＝2eq\r(r2－d2)或联立方程组，用根与系数的关系，弦长公式求.[跟踪训练](1)直线l：x＋ay－1＝0(a∈R)是圆C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的对称轴．过点A(－4，a)作圆C的一条切线，切点为B，那么|AB|＝()A．2 B．4eq\r(2)C．6 D．2eq\r(10)(2)(2023·湖南五市十校共同体联考)直线l：mx＋y＋eq\r(3)＝0与圆(x＋1)2＋y2＝2相交，弦长为2，那么m＝________.(3)(2023·全国卷Ⅰ)设直线y＝x＋2a与圆C：x2＋y2－2ay－2＝0相交于A，B两点，假设|AB|＝2eq\r(3)，那么圆C的面积为________．(1)C(2)eq\f(\r(3),3)(3)4π[(1)圆C的标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝22，圆心为C(2,1)，半径r＝2，由直线l是圆C的对称轴，知直线l过点C，所以2＋a×1－1＝0，a＝－1，所以A(－4，－1)，于是|AC|2＝40，所以|AB|＝eq\r(|AC|2－22)＝eq\r(40－4)＝6.应选C．(2)由可得圆心为(－1,0)，半径为eq\r(2)，圆心到直线l的距离d＝eq\f(|\r(3)－m|,\r(m2＋1))，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(|\r(3)－m|,\r(m2＋1))))eq\s\up12(2)＋1＝2，解得m＝eq\f(\r(3),3).(3)圆C：x2＋y2－2ay－2＝0化为标准方程是C：x2＋(y－a)2＝a2＋2，所以圆心C(0，a)，半径r＝eq\r(a2＋2).|AB|＝2eq\r(3)，点C到直线y＝x＋2a即x－y＋2a＝0的距离d＝eq\f(|0－a＋2a|,\r(2))，由勾股定理得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(3),2)))eq\s\up12(2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(|0－a＋2a|,\r(2))))eq\s\up12(2)＝a2＋2，解得a2＝2，所以r＝2，所以圆C的面积为π×22＝4π.]圆与圆的位置关系两圆C1：x2＋y2－2x－6y－1＝0和C2：x2＋y2－10x－12y＋45＝0.(1)求证：圆C1和圆C2相交；(2)求圆C1和圆C2的公共弦所在直线的方程和公共弦长．[解](1)证明：圆C1的圆心为C1(1,3)，半径r1＝eq\r(11)，圆C2的圆心为C2(5,6)，半径r2＝4，两圆圆心距d＝|C1C2|＝5，r1＋r2＝eq\r(11)＋4，|r1－r2|＝4－eq\r(11)，∴|r1－r2|＜d＜r1＋r2，∴圆C1和C2相交．(2)圆C1和圆C2的方程左、右两边分别相减，得4x＋3y－23＝0，∴两圆的公共弦所在直线的方程为4x＋3y－23＝0.圆心C2(5,6)到直线4x＋3y－23＝0的距离＝eq\f(|20＋18－23|,\r(16＋9))＝3，故公共弦长为2eq\r(16－9)＝2eq\r(7).[规律方法]1.判断两圆位置关系的方法常用几何法，即用两圆圆心距与两圆半径和及差的绝对值的大小关系判断，一般不用代数法.重视两圆内切的情况，作图观察.2.两圆相交时，公共弦所在直线方程的求法两圆的公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x2，y2项得到.3.两圆公共弦长的求法求两圆公共弦长，常选其中一圆，由弦心距d，半弦长eq\f(l,2)，半径r构成直角三角形，利用勾股定理求解.[跟踪训练](1)(2023·山东高考)圆M：x2＋y2－2ay＝0(a>0)截直线x＋y＝0所得线段的长度是2eq\r(2)，那么圆M与圆N：(x－1)2＋(y－1)2＝1的位置关系是()A．内切 B．相交C．外切 D．相离(2)假设圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋y2－6x－8y＋m＝0外切，那么m＝()【导学号：79140280】A．21 B．19C．9 D．－11(1)B(2)C[(1)法一：由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋y2－2ay＝0，,x＋y＝0))得两交点为(0,0)，(－a，a)．∵圆M截直线所得线段长度为2eq\r(2)，∴eq\r(a2＋(－a)2)＝2eq\r(2).又a>0，∴a＝2.∴圆M的方程为x2＋y2－4y＝0，即x2＋(y－2)2＝4，圆心M(0,2)，半径r1＝2.又圆N：(x－1)2＋(y－1)2＝1，圆心N(1,1)，半径r2＝1，∴|MN|＝eq\r((0－1)2＋(2－1)2)＝eq\r(2).∵r1－r2＝1，r1＋r2＝3,1<|MN|<3，∴两圆相交．法二：∵x2＋y2－2ay＝0(a>0)⇔x2＋