2023年高考数学一轮复习课时分层训练22解三角形应用举例文北师大版

课时分层训练(二十二)解三角形应用举例A组根底达标(建议用时：30分钟)一、选择题1．如图3­7­9所示，两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于akm，灯塔A在观察站C的北偏东20°，灯塔B在观察站C的南偏东40°，那么灯塔A与灯塔B的距离为()【导学号：00090119】图3­7­9A．akmB．eq\r(3)akmC．eq\r(2)akm D．2akmB[在△ABC中，AC＝BC＝a，∠ACB＝120°，∴AB2＝a2＋a2－2a2cos120°＝3a2，AB＝eq\r(3)A．]2．如图3­7­10，两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站南偏西40°，灯塔B在观察站南偏东60°，那么灯塔A在灯塔B的()图3­7­10A．北偏东10°B．北偏西10°C．南偏东80°D．南偏西80°D[由条件及题图可知，∠A＝∠B＝40°，又∠BCD＝60°，所以∠CBD＝30°，所以∠DBA＝10°，因此灯塔A在灯塔B南偏西80°.]3．(2023·重庆模拟)一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是()A．10eq\r(2)海里 B．10eq\r(3)海里C．20eq\r(3)海里 D．20eq\r(2)海里A[如下图，易知，在△ABC中，AB＝20海里，∠CAB＝30°，∠ACB＝45°，根据正弦定理得eq\f(BC,sin30°)＝eq\f(AB,sin45°)，解得BC＝10eq\r(2)(海里)．]4．(2023·赣州模拟)如图3­7­11所示，为了测量A，B处岛屿的距离，小明在D处观测，A，B分别在D处的北偏西15°、北偏东45°方向，再往正东方向行驶40海里至C处，观测B在C处的正北方向，A在C处的北偏西60°方向，那么A，B两处岛屿间的距离为()【导学号：00090120】图3­7­11A．20eq\r(6)海里 B．40eq\r(6)海里C．20(1＋eq\r(3))海里 D．40海里A[连接AB，由题意可知CD＝40，∠ADC＝105°，∠BDC＝45°，∠BCD＝90°，∠ACD＝30°，∴∠CAD＝45°，∠ADB＝60°，在△ACD中，由正弦定理得eq\f(AD,sin30°)＝eq\f(40,sin45°)，∴AD＝20eq\r(2)，在Rt△BCD中，∵∠BDC＝45°，∠BCD＝90°，∴BD＝eq\r(2)CD＝40eq\r(2).在△ABD中，由余弦定理得AB＝eq\r(800＋3200－2×20\r(2)×40\r(2)×cos60°)＝20eq\r(6).应选A．]5．如图3­7­12，两座相距60m的建筑物AB，CD的高度分别为20m、50m，BD为水平面，那么从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角为()图3­7­12A．30° B．45°C．60° D．75°B[依题意可得AD＝20eq\r(10)(m)，AC＝30eq\r(5)(m)，又CD＝50(m)，所以在△ACD中，由余弦定理得cos∠CAD＝eq\f(AC2＋AD2－CD2,2AC·AD)＝eq\f(30\r(5)2＋20\r(10)2－502,2×30\r(5)×20\r(10))＝eq\f(6000,6000\r(2))＝eq\f(\r(2),2)，又0°<∠CAD<180°，所以∠CAD＝45°，所以从顶端A看建筑物CD的张角为45°.]二、填空题6．(2023·扬州模拟)如图3­7­13，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点．从A点测得∠NAM＝60°，∠CAB＝45°以及∠MAC＝75°；从C点测得∠MCA＝60°；山高BC＝300米，那么山高MN＝________米．图3­7­13450[在Rt△ABC中，∵BC＝300，∠CAB＝45°，∴AC＝300eq\r(2)，在△AMC中，∠AMC＝180°－75°－60°＝45°，由正弦定理得：eq\f(AC,sin∠AMC)＝eq\f(AM,sin∠ACM)，∴AM＝eq\f(ACsin∠ACM,sin∠AMC)＝eq\f(300\r(2)×\f(\r(3),2),\f(\r(2),2))＝300eq\r(3)，∴MN＝AM·sin∠MAN＝300eq\r(3)×eq\f(\r(3),2)＝450.]7．如图3­7­14，为测得河对岸塔AB的高，先在河岸上选一点C，使C在塔底B的正东方向上，测得点A的仰角为60°，再由点C沿北偏东15°方向走10米到位置D，测得∠BDC＝45°，那么塔AB的高是________米．图3­7­1410eq\r(6)[在△BCD中，CD＝10，∠BDC＝45°，∠BCD＝15°＋90°＝105°，∠DBC＝30°，eq\f(BC,sin45°)＝eq\f(CD,sin30°)，BC＝eq\f(CDsin45°,sin30°)＝10eq\r(2).在Rt△ABC中，tan60°＝eq\f(AB,BC)，AB＝BCtan60°＝10eq\r(6)(米)．]8．如图3­7­15所示，一艘海轮从A处出发，测得灯塔在海轮的北偏东15°方向，与海轮相距20海里的B处，海轮按北偏西60°的方向航行了30分钟后到达C处，又测得灯塔在海轮的北偏东75°的方向，那么海轮的速度为________海里/分钟．【导学号：00090121】图3­7­15eq\f(\r(6),3)[由得∠ACB＝45°，∠B＝60°，由正弦定理得eq\f(AC,sinB)＝eq\f(AB,sin∠ACB)，所以AC＝eq\f(AB·sinB,sin∠ACB)＝eq\f(20×sin60°,sin45°)＝10eq\r(6)，所以海轮航行的速度为eq\f(10\r(6),30)＝eq\f(\r(6),3)(海里/分钟)．]三、解答题9．某航模兴趣小组的同学，为了测定在湖面上航模航行的速度，采用如下方法：在岸边设置两个观察点A，B，且AB长为80米，当航模在C处时，测得∠ABC＝105°和∠BAC＝30°，经过20秒后，航模直线航行到D处，测得∠BAD＝90°和∠ABD＝45°.请你根据以上条件求出航模的速度．(答案可保存根号)图3­7­16[解]在△ABD中，∵∠BAD＝90°，∠ABD＝45°，∴∠ADB＝45°，∴AD＝AB＝80，∴BD＝80eq\r(2).3分在△ABC中，eq\f(BC,sin30°)＝eq\f(AB,sin45°)，∴BC＝eq\f(ABsin30°,sin45°)＝eq\f(80×\f(1,2),\f(\r(2),2))＝40eq\r(2).6分在△DBC中，DC2＝DB2＋BC2－2DB·BCcos60°＝(80eq\r(2))2＋(40eq\r(2))2－2×80eq\r(2)×40eq\r(2)×eq\f(1,2)＝9600.∴DC＝40eq\r(6)，航模的速度v＝eq\f(40\r(6),20)＝2eq\r(6)米/秒.12分10．如图3­7­17，渔船甲位于岛屿A的南偏西60°方向的B处，且与岛屿A相距12海里，渔船乙以10海里/小时的速度从岛屿A出发沿正北方向航行，假设渔船甲同时从B处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用2小时追上．图3­7­17(1)求渔船甲的速度；(2)求sinα的值．[解](1)依题意知，∠BAC＝120°，AB＝12，AC＝10×2＝20，∠BCA＝α.3分在△ABC中，由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠BAC＝122＋202－2×12×20×cos120°＝784，解得BC＝28.所以渔船甲的速度为eq\f(BC,2)＝14海里/小时.7分(2)在△ABC中，因为AB＝12，∠BAC＝120°，BC＝28，∠BCA＝α，由正弦定理，得eq\f(AB,sinα)＝eq\f(BC,sin120°)，9分即sinα＝eq\f(ABsin120°,BC)＝eq\f(12×\f(\r(3),2),28)＝eq\f(3\r(3),14).12分B组能力提升(建议用时：15分钟)1．(2023·六安模拟)一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点A测得水柱顶端的仰角为45°，沿点A向北偏东30°前进100m到达点B，在B点测得水柱顶端的仰角为30°，那么水柱的高度是()A．50m B．100mC．120m D．150mA[设水柱高度是hm，水柱底端为C，那么在△ABC中，A＝60°，AC＝h，AB＝100，BC＝eq\r(3)h，根据余弦定理得，(eq\r(3)h)2＝h2＋1002－2·h·100·cos60°，即h2＋50h－5000＝0，即(h－50)(h＋100)＝0，即h＝50，故水柱的高度是50m．]2．(2023·全国卷Ⅰ)如图3­7­18，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点．从A点测得M点的仰角∠MAN＝60°，C点的仰角∠CAB＝45°以及∠MAC＝75°；从C点测得∠MCA＝60°.山高BC＝100m，那么山高MN＝________m.图3­7­18150[根据图示，AC＝100eq\r(2)m.在△MAC中，∠CMA＝180°－75°－60°＝45°.由正弦定理得eq\f(AC,sin45°)＝eq\f(AM,sin60°)⇒AM＝100eq\r(3)m.在△AMN中，eq\f(MN,AM)＝sin60°，∴MN＝100eq\r(3)×eq\f(\r(3),2)＝150(m)．]3．(2023·大连模拟)如图3­7­19，一条巡逻船由南向北行驶，在A处测得山顶P在北偏东15°(∠BAC＝15°)方向上，匀速向北航行20分钟到达B处，测得山顶P位于北偏东60°方向上，此时测得山顶P的仰角60°，假设山高为2eq\r(3)千米．(1)船的航行速度是每小时多少千米？(2)假设该船继续航行10分钟到达D处，问此时山顶位于D处的南偏东什么方向？图3­7­19[解](1)在△BCP中，tan∠PBC＝eq\f(PC,BC)⇒BC＝2.在△ABC中，由正弦定理得：eq