2023年高考数学一轮复习课时分层训练26平面向量的概念及线性运算理北师大版

课时分层训练(二十六)平面向量的概念及线性运算A组根底达标一、选择题1．给出以下命题：①零向量的长度为零，方向是任意的；②假设a，b都是单位向量，那么a＝b；③向量eq\o(AB,\s\up7(→))与eq\o(BA,\s\up7(→))相等．那么所有正确命题的序号是()A．① B．③C．①③ D．①②A[根据零向量的定义可知①正确；根据单位向量的定义可知，单位向量的模相等，但方向不一定相同，故两个单位向量不一定相等，故②错误；向量eq\o(AB,\s\up7(→))与eq\o(BA,\s\up7(→))互为相反向量，故③错误．]2．(2023·武汉调研)设a是非零向量，λ是非零实数，那么以下结论正确的选项是()【导学号：79140147】A．a与－λa的方向相反B．|－λa|≥|a|C．a与λ2aD．|－λa|≥|λ|aC[A中，当λ＜0时，a与－λa方向相同，故A不正确；B中，当－1＜λ＜1时，|－λa|＜|a|，故B不正确；C中，因为λ2＞0，所以a与λ2a3．(2023·广东东莞二模)如图4­1­1所示，eq\o(AC,\s\up7(→))＝3eq\o(BC,\s\up7(→))，eq\o(OA,\s\up7(→))＝a，eq\o(OB,\s\up7(→))＝b，eq\o(OC,\s\up7(→))＝c，那么以下等式中成立的是()图4­1­1A．c＝eq\f(3,2)b－eq\f(1,2)aB．c＝2b－aC．c＝2a－D．c＝eq\f(3,2)a－eq\f(1,2)bA[因为eq\o(AC,\s\up7(→))＝3eq\o(BC,\s\up7(→))，eq\o(OA,\s\up7(→))＝a，eq\o(OB,\s\up7(→))＝b，所以eq\o(OC,\s\up7(→))＝eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\o(AC,\s\up7(→))＝eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\f(3,2)eq\o(AB,\s\up7(→))＝eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\f(3,2)(eq\o(OB,\s\up7(→))－eq\o(OA,\s\up7(→)))＝eq\f(3,2)eq\o(OB,\s\up7(→))－eq\f(1,2)eq\o(OA,\s\up7(→))＝eq\f(3,2)b－eq\f(1,2)a，应选A.]4．(2023·全国卷Ⅱ)设非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|，那么()A．a⊥b B．|a|＝|b|C．a∥b D．|a|＞|b|A[法一：∵|a＋b|＝|a－b|，∴|a＋b|2＝|a－b|2.∴a2＋b2＋2a·b＝a2＋b2－2a∴a·b＝0.∴a⊥b.应选A.法二：在▱ABCD中，设eq\o(AB,\s\up7(→))＝a，eq\o(AD,\s\up7(→))＝b，由|a＋b|＝|a－b|知|eq\o(AC,\s\up7(→))|＝|eq\o(DB,\s\up7(→))|，从而四边形ABCD为矩形，即AB⊥AD，故a⊥b.应选A.]5．(2023·河南中原名校4月联考)如图4­1­2所示，矩形ABCD的对角线相交于点O，E为AO的中点，假设eq\o(DE,\s\up7(→))＝λeq\o(AB,\s\up7(→))＋μeq\o(AD,\s\up7(→))(λ，μ为实数)，那么λ2＋μ2＝()图4­1­2A.eq\f(5,8)B.eq\f(1,4)C．1D.eq\f(5,16)A[eq\o(DE,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)eq\o(DA,\s\up7(→))＋eq\f(1,2)eq\o(DO,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)eq\o(DA,\s\up7(→))＋eq\f(1,4)eq\o(DB,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)eq\o(DA,\s\up7(→))＋eq\f(1,4)(eq\o(DA,\s\up7(→))＋eq\o(AB,\s\up7(→)))＝eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up7(→))－eq\f(3,4)eq\o(AD,\s\up7(→))，所以λ＝eq\f(1,4)，μ＝－eq\f(3,4)，故λ2＋μ2＝eq\f(5,8)，应选A.]二、填空题6．O为四边形ABCD所在平面内一点，且向量eq\o(OA,\s\up7(→))，eq\o(OB,\s\up7(→))，eq\o(OC,\s\up7(→))，eq\o(OD,\s\up7(→))满足等式eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\o(OC,\s\up7(→))＝eq\o(OB,\s\up7(→))＋eq\o(OD,\s\up7(→))，那么四边形ABCD的形状为________．平行四边形[由eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\o(OC,\s\up7(→))＝eq\o(OB,\s\up7(→))＋eq\o(OD,\s\up7(→))得eq\o(OA,\s\up7(→))－eq\o(OB,\s\up7(→))＝eq\o(OD,\s\up7(→))－eq\o(OC,\s\up7(→))，所以eq\o(BA,\s\up7(→))＝eq\o(CD,\s\up7(→))，所以四边形ABCD为平行四边形．]7．(2023·全国卷Ⅱ)设向量a，b不平行，向量λa＋b与a＋2b平行，那么实数λ＝________.eq\f(1,2)[∵λa＋b与a＋2b平行，∴λa＋b＝t(a＋2b)，即λa＋b＝ta＋2tb，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝t，,1＝2t，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝\f(1,2)，,t＝\f(1,2).))]8．在△ABC中，点M，N满足eq\o(AM,\s\up7(→))＝2eq\o(MC,\s\up7(→))，eq\o(BN,\s\up7(→))＝eq\o(NC,\s\up7(→)).假设eq\o(MN,\s\up7(→))＝xeq\o(AB,\s\up7(→))＋yeq\o(AC,\s\up7(→))，那么x＝________；y＝________.【导学号：79140148】eq\f(1,2)－eq\f(1,6)[∵eq\o(AM,\s\up7(→))＝2eq\o(MC,\s\up7(→))，∴eq\o(AM,\s\up7(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AC,\s\up7(→)).∵eq\o(BN,\s\up7(→))＝eq\o(NC,\s\up7(→))，∴eq\o(AN,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AC,\s\up7(→)))，∴eq\o(MN,\s\up7(→))＝eq\o(AN,\s\up7(→))－eq\o(AM,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AC,\s\up7(→)))－eq\f(2,3)eq\o(AC,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up7(→))－eq\f(1,6)eq\o(AC,\s\up7(→)).又eq\o(MN,\s\up7(→))＝xeq\o(AB,\s\up7(→))＋yeq\o(AC,\s\up7(→))，∴x＝eq\f(1,2)，y＝－eq\f(1,6).]三、解答题9．如图4­1­3，在△ABC中，D，E分别为BC，AC边上的中点，G为BE上一点，且GB＝2GE，设eq\o(AB,\s\up7(→))＝a，eq\o(AC,\s\up7(→))＝b，试用a，b表示eq\o(AD,\s\up7(→))，eq\o(AG,\s\up7(→)).图4­1­3[解]eq\o(AD,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AC,\s\up7(→)))＝eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b.eq\o(AG,\s\up7(→))＝eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(BG,\s\up7(→))＝eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(2,3)eq\o(BE,\s\up7(→))＝eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(1,3)(eq\o(BA,\s\up7(→))＋eq\o(BC,\s\up7(→)))＝eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(1,3)(eq\o(AC,\s\up7(→))－eq\o(AB,\s\up7(→)))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up7(→))＝eq\f(1,3)a＋eq\f(1,3)b.10．设e1，e2是两个不共线的向量，eq\o(AB,\s\up7(→))＝2e1－8e2，eq\o(CB,\s\up7(→))＝e1＋3e2，eq\o(CD,\s\up7(→))＝2e1－e2.(1)求证：A，B，D三点共线；(2)假设eq\o(BF,\s\up7(→))＝3e1－ke2，且B，D，F三点共线，求k的值．[解](1)证明：由得eq\o(BD,\s\up7(→))＝eq\o(CD,\s\up7(→))－eq\o(CB,\s\up7(→))＝(2e1－e2)－(e1＋3e2)＝e1－4e2，∵eq\o(AB,\s\up7(→))＝2e1－8e2，∴eq\o(AB,\s\up7(→))＝2eq\o(BD,\s\up7(→)).又∵eq\o(AB,\s\up7(→))与eq\o(BD,\s\up7(→))有公共点B，∴A，B，D三点共线．(2)由(1)可知eq\o(BD,\s\up7(→))＝e1－4e2，∵eq\o(BF,\s\up7(→))＝3e1－ke2，且B，D，F三点共线，∴eq\o(BF,\s\up7(→))＝λeq\o(BD,\s\up7(→))(λ∈R)，即3e1－ke2＝λe1－4λe2，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝3，,－k＝－4λ.))解得k＝12.B组能力提升11．(2023·河北衡水中学三调考试)在△ABC中，eq\o(AN,\s\up7(→))＝eq\f(1,4)eq\o(NC,\s\up7(→))，假设P是直线BN上的一点，且满足eq\o(AP,\s\up7(→))＝meq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(2,5)eq\o(AC,\s\up7(→))，那么实数m的值为()【导学号：79140149】A．－4 B．－1C．1 D．4B[根据题意设eq\o(BP,\s\up7(→))＝neq\o(BN,\s\up7(→))(n∈R)，那么eq\o(AP,\s\up7(→))＝eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(BP,\s\up7(→))＝eq\o(AB,\s\up7(→))＋neq\o(BN,\s\up7(→))＝eq\o(AB,\s\up7(→))＋n(eq\o(AN,\s\up7(→))－eq\o(AB,\s\up7(→)))＝eq\o(AB,\s\up7(→))＋neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)\o(AC,\s\up7(→))－\o(AB,\s\up7(→))))＝(1－n)eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(n,5)eq\o(AC,\s\up7(→))，又eq\o(AP,\s\up7(→))＝meq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(2,5)eq\o(AC,\s\up7(→))，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－n＝m，,\f(n,5)＝\f(2,5)，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n＝2，,m＝－1，))应选B.]12．设O在△ABC的内部，D为AB的中点，且eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\o(OB,\s\up7(→))＋2eq\o(OC,\s\up7(→))＝0，那么△ABC的面积与△AOC的面积的比值为()A．3B．4B[如图，∵D为AB的中点，那么eq\o(OD,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\o(OB,\s\up7(→)))，又eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\o(OB,\s\up7(→))＋2eq\o(OC,\s\up7(→))＝0，∴eq\o(OD,\s\up7(→))＝－eq\o(OC,\s\up7(→))，∴O为CD的中点，又∵D为AB中点，∴S△AOC＝eq\f(1,2)S△ADC＝eq\f(1,4)S△ABC，那么eq\f(S△ABC,S△AOC)＝4.]13．(2023·辽宁大连高三双基测试)如图4­1­4，在△ABC中，AB＝2，BC＝3，∠ABC＝60°，AH⊥BC于点H，M为AH的中点．假设eq\o(AM,\s\up7(→))＝λeq\o(AB,\s\up7(→))＋μeq\o(BC,\s\up7(→))，那么λ＋μ＝________.图4­1­4eq\f(2,3)[因为AB＝2，∠ABC＝60°，AH⊥BC，所以BH＝1.因为BC＝3，所以BH＝eq\f(1,3)BC.因为点M为AH的中点，所以eq\o(AM,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AH,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(BH,\s\up7(→)))＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(AB,\s\up7(→))＋\f(1,3)\o(BC,\s\up7(→))))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(1,6)eq\o(BC,\s\up7(→))，又eq\o(AM,\s\up7(→))＝λeq\o(AB,\s\up7(→))＋μeq\o(BC,\s\up7(→))，所以λ＝eq\f(1,2)，μ＝eq\f(1,6)，所以λ＋μ＝eq\f(2,3).]14．O，A，B是不共线的三点，且eq\o(OP,\s\up7(→))＝meq\o(OA,\s\up7(→))＋neq\o(OB,\s\up7(→))(m，n∈R).【导学号：79140150】(1)假设m＋n＝1，求证：A，P，B三点共线；(2)假设A，P，B三点共线，求证：m＋n＝1.[证明](1)假设m＋n＝1，那么eq\o(OP,\s\up7(→))＝meq\o(OA,\s\up7(→))＋(1－m)eq\o(OB,\s\up7(→))＝eq\o(OB,\s\up7(→))＋m(eq\o(OA,\s\up7(→))－e